Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Вы нашли то, что искали?

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

0%

Нет, пока не нашел

0%

Узнайте стоимость индивидуальной работы

это быстро и бесплатно

Получите скидку

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!


Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
403
Размер файла
268 б
Поделиться

Ознакомительный фрагмент работы:

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

1. Определения

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом вида

(1)

где , , , называются дифференциальными уравнениями с запаздыванием, зависящим от состояния, а именно с сосредоточенным запаздыванием.

Если заданы начальные данные в виде

(2)

То имеет смысл определить понятие решения, начинающегося в точке σ с функции φ, или, короче, начинающегося в φ.

В дальнейшем будем рассматривать только решения, удовлетворяющие условию Липшица, поэтому следует дать следующее определение:

Def 1.Функция называется решением системы (1), (2) на отрезке , если она удовлетворяет следующим условиям:

на отрезке .

Естественно возникает вопрос о существовании и единственности такого решения.

Для начала сделаем некоторые обозначения.

a) есть функция, определенная на отрезке и удовлетворяющая условию Липшица с константой L, то есть

;

b)

c)

Def 2. удовлетворяет условиям a),b),c)}

2. Полезная лемма

Lemma 1: -выпуклое, замкнутое, ограниченное множество в пространстве непрерывных на отрезке функций.

Proof:

1)Выпуклость:

a)Выберем произвольные функции , тогда

b);

c)на отрезке на том же отрезке для любых .

2)Ограниченность:

Множество определено так, что все элементы этого множества лежат в шаре радиуса

3)Замкнутость:

Возьмем последовательность функций такую, что

, .

a)

Возьмем тогда

Так как это верно при любом , то получаем, что предельная функция удовлетворяет условию Липшица с константой L.

b) По теореме Кантора равномерно на отрезке.

Предположим, что при этом (для простоты доказательства предположим что , если , рассуждения проводятся аналогично)

Возьмем , тогда, так как для любого положительного и любого выполнено , то выполнено и для данных и t. Получим:

Так как по предположению , то получаем что , а это невозможно, так как . Противоречие показывает, что предельная функция ограничена по норме той же константой .

c)

на отрезке .

Видим, что выполнение условий a,b,c равнозначно тому что , то есть множество замкнуто.

Лемма доказана полностью.

3. Существование и единственность решения

Для доказательства теоремы о существовании и единственности липшицевого решения нам потребуется некоторые понятия и важные теоремы, доказательства которых можно, например, найти в книге Кадеца [3].

Def 2. Оператор Т называется вполне непрерывным (компактным), если Т непрерывен и Т отображает любое ограниченное множество в предкомпактное.

Def 3. Семейство Ф функций φ, определенных на называется равномерно ограниченным, если

Def 4.Семейство Ф функций φ, определенных на , называется равностепенно непрерывным, если

Теорема 1.(Арцела)

Для того чтобы семейство Ф непрерывных, определенных на отрезке функций было предкомпактом в , необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.

Теорема 2.(Шаудера, принцип неподвижной точки)

Если U-замкнутое ограниченное выпуклое подмножество пространства Банаха Xоператор вполне непрерывен, то Т имеет в U по крайней мере одну неподвижную точку.

Именно на теореме Шаудера основано доказательство теоремы о существовании и единственности решения.

Теорема 3.(существование и единственность решения системы (1).(2))

Пусть система (1),(2) такая что:

Тогда такая что на отрезке существует решение системы (1),(2), удовлетворяющее условию Липшица, и оно единственно.

Замечание. Для простоты возьмем , для других значений теорема доказывается аналогично, или сводится к этому случаю заменой переменных.

Доказательство: Проинтегрировав уравнение (1), увидим, что решение должно удовлетворять условию:

Обозначим

и будем искать решение в виде

Где

Определим оператор

,

Который действует из в себя, действительно, возьмем произвольный элемент

a) Проверим, удовлетворяет ли образ условию Липшица: возьмем

При

b)

При выполнено .

c) при по определению оператора.

Выполнение условий a,b,c означает что .

Для этого необходимо подобрать параметры так, чтоб одновременно выполнялись условия:

(3)

(4)

Покажем, что оператор Т осуществляет непрерывное отображение:

Возьмем последовательность такую что

Оценка выполнена на всем интервале, величина положительна и конечна, отсюда следует, что при |

также стремится к нулю, а значит оператор Т переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся, а значит он непрерывен.

Компактность оператора будем доказывать по теореме Арцела, так как образ оператора лежит в пространстве с соответствующей нормой.

1),

правая часть не зависит ни от t, ни от y, значит образ оператора – равномерно ограниченное семейство функций.

2)

Выбирая получаем что образ оператора есть равностепенно непрерывное семейство функций.

А значит, образ множества предкомпакт, а оператор Т вполне непрерывен.

Так как множество ограничено, выпукло и замкнуто, а оператор Т компактен и действует из этого множества в себя, то по теореме Шаудера существует по крайней мере одна неподвижная точка из этого множества.

, а это значит, что - решение системы (1),(2).

Единственность:

Предположим, что при выполнении условий теоремы xиy – решения системы (1),(2) на интервале .

При оба решении совпадают с начальными данными, а значит равны между собой. На интервале оценим модуль разности функций, являющимися решениями.

Эта оценка верна для произвольного t отсюда немедленно следует, что

,

Выбирая таким малым, чтоб было меньше 1, получаем что , а значит на . Последовательно строя интервалы длинной закончим доказательство теоремы.

4.Пример неединственности (Winston)

Для уравнения с начальными данными

для малых положительных tсуществует два различных решения:

Действительно, проверим, удовлетворяют ли эти функции уравнению:

Значит, система имеет два различных решения. Это происходит потому что при малых tаргумент оказывается в окрестности -1, а при этих значениях начальные данные недостаточно гладки, не выполнено условие Липшица.


Список использованной литературы

[1] HALE J. K. Theory of functional differential equations. –Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1977.

[2] Резуненко А.В. Краткое введение в обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Харьков-2004.

[3] Кадец В.М. Курс функционального анализа. Харьков-2006.

[4] I.D.Chueshov. Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems . «Аста»-2002.

[5] Д. Хенри. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. Москва. «Мир»-1985.

[6] Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Математика
История
Экономика
icon
154070
рейтинг
icon
3193
работ сдано
icon
1384
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
150011
рейтинг
icon
5991
работ сдано
icon
2712
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
105464
рейтинг
icon
2099
работ сдано
icon
1312
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
59 708 оценок star star star star star
среднее 4.9 из 5
Сибирский институт управления
Уважаемый АВТОР! СПАСИБО! Именно так - большими буквами и с большим уважением и благодарн...
star star star star star
Рггу
Очень отзывчивая и ответственная девушка, выполнила заказ на 100/10, цена/качество выше не...
star star star star star
НГТУ
Реферат выполнен хорошо, всем доволен, буду обращаться еще! Спасибо большое за помощь 👍☺️
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Выполнить реферат на 18-25 страниц

Реферат, Экономическая теория

Срок сдачи к 7 апр.

только что

Решить задачи и написать вывод

Решение задач, Управление финансовыми рисками

Срок сдачи к 15 мая

3 минуты назад

Рубежная аттестация Тест

Онлайн-помощь, Теоретическая грамматика

Срок сдачи к 4 апр.

9 минут назад
10 минут назад

решение Заданий

Решение задач, основы российской государственности

Срок сдачи к 28 апр.

12 минут назад

решение заданий

Решение задач, Физическая культура и спорт

Срок сдачи к 24 апр.

12 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени: 4 апреля 2025 г. 08:00

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Press the down arrow key to interact with the calendar and select a date. Press the question mark key to get the keyboard shortcuts for changing dates.

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно