Еліптичні інтеграли

Міністерство освіти і науки України

Південноукраїнський державний педагогічний університет

ім. К.Д.Ушинського (м. Одеса)

Кафедра математичного аналізу

Курсова робота на тему:

„Еліптичні інтеграли”

виконала

студентка 4 курсу

інституту фізики і математики

спеціальності „МІ”

Сушкова О.А.

Науковий керівник:

Аров Д.З.

Одеса 2007

План

Вступ

1.Загальні зауваження та означення

2.Допоміжні перетворення

3.Приведення до канонічної форми

4. Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду

Висновки

Література

Додатки

Вступ

У багатьох питаннях науки і техніки доводиться не по заданій функції шукати її похідну, а навпаки – відновлювати функцію по відомій її похідній.

Дамо наступне означення:

Функція F(x) на даному проміжку називається первісною функцією для функції f(x) або інтегралом від f(x), якщо на всьому цьому проміжку f(x) являється похідною для функції F(x) або, що те ж саме, f(x)dx служить для F(x) диференціалом

F’(x )= f(x) або dF(x )= f(x)dx.

Пошук для функції всіх її первісних, що називається інтегруванням її, і складає одну з задач інтегрального числення; як бачимо, ця задача являється оберненою основній задачі диференціального числення. Так, наприклад, для обчислення довжини дуги еліпса чи деякої її частини необхідно розв’язати певні еліптичні інтеграли, яким і присвячена дана курсова робота.

1. Загальні зауваження та означення

Розглянемо інтеграл виду

(1)

де y це алгебраїчна функція від х, тобто задовольняє алгебраїчному рівнянню

(2)

(тут - цілий відносно та многочлен). Інтеграли подібного роду отримали назву абелевих інтегралів. До їх числа відносяться інтеграли

Дійсно, функції

задовольняють, відповідно, алгебраїчним рівнянням

Виходячи на геометричну точку зору, абелев інтеграл (1) вважають зв’язаним з тою алгебраїчною кривою, яка визначається рівнянням (2). Наприклад, інтеграл

(3)

зв’язаний з кривою другого порядку

Якщо крива (2) може бути представлена параметрично

так, що функції є раціональними, то в інтегралі (1) стає можливою раціоналізація підінтегрального виразу: підстановкою вона зводиться до виду

.

До цього класу відносяться обидва вище згадані випадки. В окремому випадку, можливість раціоналізації підінтегрального виразу в інтегралі типу (3) зв’язана безпосередньо з тим фактом, що крива другого порядку унікурсальна.

Очевидно, що змінні x і t зв’язані алгебраїчним рівнянням, так що t являється алгебраїчною функцією від х. Якщо розширити клас елементарних функцій, включаючи в нього і всі алгебраїчні функції, то можна сказати, що в випадку унікурсальності кривої (2), інтеграл (1) завжди виражається через елементарні функції в кінцевому виді.

Але подібні обставини являються в деякому розумінні винятком. В загальному випадку крива (2) не унікурсальна, тоді ж, як можна довести, інтеграл (1) заздалегідь не завжди, тобто не при всякій функції R, може бути вираженим в кінцевому виді (проте не виключена можливість цього при окремих конкретних R).

З цим ми зустрічаємося уже при розгляді важливого класу інтегралів

(4)

які містять квадратний корінь з многочленів 3-ої або 4-ої степені і звичайно прилягаючих до інтегралів (3). Інтеграли виду (4) , як правило , уже не виражаються в кінцевому вигляді через елементарні функції навіть при розширеному розумінні цього терміну. Тому, знайомство з ними ми віднесли до заключного параграфу, щоб не переривати головної лінії викладення даної глави, присвяченої, головним чином вивченню класів інтегралів, що беруться в кінцевому вигляді.

Многочлени під коренем в (4) передбачаються такими, що мають дійсні коефіцієнти. Крім того, ми завжди будемо вважати, що у них не має кратних коренів, бо інакше, можна було б винести лінійний множник з під знаку кореня; питання звелося б до інтегрування виразу раніше вивчених типів, і інтеграл виразився б у кінцевому вигляді. Кінцева обставина може мати місце інколи і при відсутності кратних коренів; наприклад, легко перевірити, що

Інтеграли від виразів типу (4) взагалі називають еліптичними в зв’язку з тією обставиною, що вперше з ними зіткнулися при розв’язанні задачі про спрямування еліпсу:

Еліпс:

Зручніше буде взяти рівняння еліпса в параметричній формі , . Очевидно,

де - числовий ексцентриситет еліпса.

Обчислюючи довжину дуги еліпса від верхнього кінця малої осі до будь-якої його точки в першому квадранті, отримаємо

,

Таким чином, довжина дуги еліпса виражається еліптичним інтегралом 2-го роду; як вказувалося, цей факт послужив поводом для самої назви „еліптичний”.

В частковому випадку, довжина чверті обводу еліпса виражається через повний еліптичний інтеграл

.

Між іншим, цю назву, в прямому розумінні, відносять зазвичай лише до таких із них, що не беруться в кінцевому вигляді; інші ж, подібні тільки що приведеним, називають псевдоеліптичними.

Вивчення і табулювання ( тобто складання таблиць значень) інтегралів від виразів (4) при довільних коефіцієнтах a, b, c,…, розуміється складно. Тому звичайно бажання звести всі ці інтеграли, до небагатьох таких, до складу яких входило б по можливості менше довільних коефіцієнтів (параметрів).

Це досягається за допомогою елементарних перетворень, які ми розглянемо в наступних пунктах.

2. Допоміжні перетворення

Зазначимо перш за все, що достатньо обмежитися випадком многочлена 4-ї степені під коренем, так як до нього легко приводиться випадок, коли під коренем многочлен 3-ї степені.

Розглянемо, взагалі, алгебраїчне рівняння непарної степені (з дійсними коефіцієнтами)

.

При достатньо великих по абсолютній величині значеннях xмногочлен має знак старшого члена, тобто при додатному x – знак , а при від’ємному x – обернений знак. Так, як многочлен це неперервна функція, то, міняючи знак, він в проміжній точці необхідно перетворюється в 0. Звідси: всяке алгебраїчне рівняння непарної степені (з дійсними коефіцієнтами) має принаймні один дійсний корінь.

Дійсно, многочлен 3-ї степені з дійсними коефіцієнтами необхідно має дійсний корінь, скажемо λ, і, відповідно, допускає дійсне розкладання

Підстановка ( або ) і здійснює потрібне приведення

В першу чергу ми будемо розглядати лише диференціали, що мають корінь із многочленів 4-ї степені.

По відомій теоремі алгебри, многочлен четвертої степені з дійсними коефіцієнтами може бути представленим у виді добутку двох квадратних трьохчленів з дійсними коефіцієнтами:

(5)

Постараємось тепер необхідною підстановкою знищити в обох трьохчленах відразу члени першої степені.

Якщо р=р’, то наша ціль досягається простою підстановкою . Нехай тепер ; в цьому випадку ми скористаємось дробно-лінійною підстановкою

Можливість встановити дійсні і при чому різні значення для коефіцієнтів μ і ν зумовлена нерівністю

(6)

Нехай же тепер трьохчлени (5) обидва мають дійсні корені, скажемо, перший – корені α і β, а другий корені γ і δ. Підставляючи

можна переписати (6) у вигляді

(6ґ)

а для здійснення цієї нерівності достатньо лише потурбуватися, щоб корені трьохчленів не перемежались (наприклад, щоб було α > β > γ > δ ), що в наших можливостях.

Таким чином, належно вибравши μ і ν, за допомогою вказаної підстановки ми отримаємо

що можна також (якщо виключити випадки, коли який-небудь з коефіцієнтів M, N, M’, N’ виявляються нулем) переписати у виді

при А, m іm’ відмінних від нуля.

Цей інтеграл можна звести, з точністю до інтеграла від раціональної функції, до такого

Розкладемо тепер раціональну функцію R*(t) на два доданки

Перший доданок не міняє свого значення при заміні tна –t, значить, зводиться до раціональної функції від : ; другий же при вказаній заміні міняє знак, і тому має вид Розглянутий інтеграл представиться в формі суми інтегралів

Але другий із них підстановкою відразу зводиться до елементарного інтегралу

і береться в кінцевому виді. Таким чином, подальшому дослідженню підлягає тільки інтеграл

(7)

3. Приведення до канонічної форми

Покажемо, нарешті, що кожен інтеграл типу (7) може бути представленим у формі

(8)

де k – деякий додатній правильний дріб: 0<k<1. Назвемо цю форму канонічною.

Введемо скорочено

Не зменшуючи загальності, дозволяється вважати тут А = ± 1; крім того, для визначеності обмежимося додатніми значеннями t. Розглянемо тепер різні можливі комбінації знаків A, m, m’ і вкажемо для кожного випадку підстановку, що безпосередньо приводить інтеграл (7) в канонічну форму.

1) А = +1, (). Для того, щоб радикал мав дійсні значення, необхідно, щоб було або Припускаємо, що

де 0<z<1 або

Тоді

так, що за kтут треба прийняти

2) А = +1, (h, h’>0). Для того, щоб радикал мав дійсні значення, обмежимося значеннями .

Припускаємо, що

де 0 < z ≤ 1.

Тоді

і можна взяти

3) А = +1, (h>h’>0). Зміна tнічим не обмежена. Припустимо

де 0≤z<1.

В цьому випадку

і

4) А = -1, (h, h’>0).Зміна tобмежена нерівністю . Беремо

, де 0<z<1 ,

так, що

і .

5) А = -1, (h>h’>0). Змінна t може змінюватися лише між і . Припустимо

, де 0<z<1.

Маємо

і Цим вичерпуються всі можливі випадки, тому що у випадку, коли А = -1 і обидва числа m, m’ > 0, радикал взагалі не міг би мати дійсних значень. Про множник ми не говорили нічого, тому що у всіх випадках він, очевидно, перетворювався у раціональну функцію від .

Відмітимо ще, що розглядаючи інтеграл (8), ми можемо обмежуватися значеннями z<1; випадок приводиться до цього підстановкою , де <1.

4. Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду

Тепер залишається вивчити найпростіші з інтегралів виду (8), до яких можна було б звести всі інтеграли цього виду, а відповідно, в кінцевому рахунку, і взагалі, всі еліптичні інтеграли.

Виділимо з раціональної функції R(x), що зустрічається в підінтегральному виразі (8) цілу частину P(x), а правильний дріб, який входить до його складу, розкладемо на прості дроби. Якщо не об’єднувати спряжені комплексні корені знаменника, а розглядати їх окремо, як дійсні корені, то R(x) представиться у вигляді суми степенів (n = 0, 1, 2,…) і дробів виду (m = 1, 2, 3,…), де а може бути і уявним числом, помножених на числові коефіцієнти. Звідси ясно, що інтеграл (8), в загальному випадку, являється лінійним агрегатом наступних інтегралів:

(n = 0, 1, 2,…)

і (m = 1, 2, 3,…).

Зупинимося на інтегралах . Якщо проінтегрувати тотожність

то отримаємо рекурентне співвідношення

(9)

що зв’язують три послідовні інтеграли І. Припускаючи що тут n=2, виразимо через та ; якщо взяти n=3 і замість підставити його вираз через та , то навіть виразиться через ці інтеграли. Продовжуючи так далі, легко переконатися, що кожен з інтегралів виражається через та і далі враховуючи (9), можна встановити і вигляд з’єднуючої їх формули

де і - постійні, а є непарний многочлен степені (2n-3). Звідси стає зрозумілим, що якщо є многочлен n – ї степені від х, то

, (10)

де і - постійні, а (х) є деякий многочлен (n-2) – ї степені від х. Визначення цих постійних і коефіцієнтів многочлена Q може бути виконано (якщо многочлен Р коректно заданий за методом невизначених коефіцієнтів.)

Зауважимо, що з (9) можна було б виразити через та інтеграли і при від’ємних значеннях (n= -1, -2, …), так що в інтегралах досить обмежитись випадком .

Переходячи до інтегралів (скажімо, при дійсних a), подібним чином встановимо для них рекурентне співвідношення

справедливе і при від’ємних і нульовому значеннях m.

Звідси всі виражаються через три з них:

тобто, кінцево через , та .

Підкреслимо, що усе це зберігає силу і при уявних значеннях параметра а.

Так в результаті усіх наших тверджень ми підходимо до наступних висновків: всі еліптичні інтеграли за допомогою елементарних підстановок – з точністю до доданків, що виражаються в кінцевому виді, - приводяться до наступних трьох стандартних інтегралів:

( останній інтеграл виходить із введенням, замість , нового параметра ). Ці інтеграли, як показав Ліувіль , в кінцевому виді вже не беруться. Лежандр їх назвав еліптичними інтегралами, відповідно, 1-го, 2-го і 3-го роду. Перші два містять лише один параметр k, а останній, крім нього, ще (комплексний) параметр h.

Лежандр вніс у ці інтеграли ще подальші спрощення, виконавши в них підстановку ( змінюється від 0 до ). При цьому перший із них безпосередньо переходить в інтеграл

. (11)

Другий перетворюється так:

тобто приводиться до попереднього інтеграла і до нового інтеграла

. (12)

Нарешті, третій інтеграл при вказаній підстановці переходить в

. (13)

Інтеграли (11), (12) і (13) також називаються еліптичними інтегралами 1-го, 2-го і 3-го роду – в формі Лежандра.

Із них особливо важливе значення і застосування мають перші два. Якщо враховувати, що ці інтеграли при перетворюються в нуль, і тим зафіксувати вільні сталі, що містяться в них, то отримаємо дві доволі визначені функції від , які Лежандр позначив відповідно через F(k, φ) і E(k, φ). Тут, крім незалежної змінної , вказаний також параметр k, що називається модулем, який входить у вирази цих функцій.

Лежандром були складені обширні таблиці значень цих функцій при різних і різних k. В них не тільки аргумент ,який трактуються як кут, що виражається в градусах, але і модуль kрозглядається як синус деякого кута, який і вказується в таблиці замість модуля, причому також в градусах.

Крім того, як Лежандром, так і іншими вченими були вивчені найглибші властивості цих функцій, встановлений ряд формул, що відносяться до них, і т.д.

Дякуючи цьому функції F і E Лежандра ввійшли в сім’ю функцій, що зустрічаються в аналізі і його додатках, на рівних правах з елементарними функціями.

Висновки

В результаті усіх наших міркувань ми коротко можемо сказати, що всі еліптичні інтеграли за допомогою елементарних підстановок – з точністю до доданків, що виражаються в кінцевому виді, - приводяться до наступних трьох стандартних інтегралів Лежандра:

А за допомогою підстановки ( змінюється від 0 до ) ці інтеграли перетворюються в такі:

, і ,

які також називаються еліптичними інтегралами 1-го, 2-го і 3-го роду в формі Лежандра, значення яких можна знайти в таблицях.

Використана література:

1. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. М.: Наука, 1966 г., 800 стр. с илл.

2. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II. М.: Наука, 1966 г., 800 стр. с илл.

3. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973 г., 832 стр. с илл.

4. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1980 г., 976 с., илл.

ДОДАТКИ

Еліптичні інтеграли першого роду

Еліптичні інтеграли другого роду

Повні еліптичні інтеграли