Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Вы нашли то, что искали?

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

0%

Нет, пока не нашел

0%

Узнайте стоимость индивидуальной работы

это быстро и бесплатно

Получите скидку

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!


Кривые второго порядка. Квадратичные формы

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
1264
Размер файла
39 б
Поделиться

Ознакомительный фрагмент работы:

Кривые второго порядка. Квадратичные формы

Высшая математика

Кривые второго порядка

Квадратичные формы


Содержание

1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи

2. Знакоопределенность квадратичных форм

3. Критерии положительной и отрицательной определенностей

Литература


1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи

Квадратичной формой j (х1, х2, …, xn) n действительных переменных х1, х2, …, xn называется сумма вида

,(1)

где aij – некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что aij = aji.

Квадратичная форма называется действительной, если aijÎ ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица

то есть АТ = А. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде j(х) = хТАх, где

хТ = (х1 х2 … xn). (2)


И, наоборот, всякой симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А. (напомним, что матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае квадратичная форма является вырожденной.

Пример 1.

Записать матрицу квадратичной формы

j (х1, х2, x3) = – 6х1х2 – 8х1х3 + + 4х2х3

и найти ее ранг.

Решение.

Þr(A) = 3 Þ

квадратичная форма невырождена.

2. Знакоопределенность квадратичных форм

Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (или строго положительной), если j(х) > 0, для любого х = (х1, х2, …, xn), кроме х = (0, 0, …, 0).

Матрица А положительно определенной квадратичной формы j(х) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот.

Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если j(х) < 0, для любого х = (х1, х2, …, xn), кроме х = (0, 0, …, 0).

Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квадратичной формы также называется отрицательно определенной.

Следовательно, положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма j(х) достигает минимального (максимального) значения j(х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).

Отметим, что большая часть квадратичных форм не является знакоопределенными, то есть они не являются ни положительными, ни отрицательными. Такие квадратичные формы обращаются в 0 не только в начале системы координат, но и в других точках.

Пример 2.

Определить знакоопределенность следующих квадратичных форм.

1)

Þ

т. е. квадратичная форма является положительно определенной.


2)

Þ

т. е. квадратичная форма является отрицательно определенной.

3)

Þ

данная квадратичная форма не является знакоопределенной, так как она равна 0 во всех точках прямой х1 = –х2, а не только в начале системы координат.

Когда n > 2 требуются специальные критерии для проверки знакоопределенности квадратичной формы. Рассмотрим их.

Главными минорами квадратичной формы называются миноры:


то есть это миноры порядка 1, 2, …, n матрицы А, расположенные в левом верхнем углу, последний из них совпадает с определителем матрицы А.

3. Критерий положительной и отрицательной определенности

Критерий положительной определенности (критерий Сильвестра)

Для того чтобы квадратичная форма j(х) = хТАх была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть:

М1 > 0, M2 > 0, …, Mn > 0.

Критерий отрицательной определенности

Для того чтобы квадратичная форма j(х) = хТАх была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, то есть:

М1 < 0, M2 > 0, М3 < 0, …, (–1)nMn > 0.

Пример 3.

При каких значениях а и в квадратичная форма будет положительно определенной?

j (х1, х2, x3) =

Решение.

Построим матрицу А и найдем ее главные миноры.


М1 = 1 > 0,

= а – 1 > 0 Þ а > 1.

= ав – а – в > 0 Þв > .

Ответ:

а > 1, в > .

Пример 4.

При каких значениях а и в квадратичная форма будет отрицательно определенной?

j (х1, х2, x3) =

Решение.


М1 = –1 < 0,

= –а – 1 > 0 Þ а < –1.

= –ав – а – в < 0 Þв > – .

Ответ

а < –1, в > –.

Пример 5.

Доказать, что квадратичная форма

j (х1, х2, x3) =

положительно определена.

Решение.

Воспользуемся критерием Сильвестра. Построим матрицу А и найдем главные миноры матрицы А.


М1 = 6 > 0, = 26 > 0, М3 = ú А ç = 162 > 0

Þj (х1, х2, x3)

положительно определенная квадратичная форма.


Литература

1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.

2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Математика
История
Экономика
icon
146580
рейтинг
icon
3109
работ сдано
icon
1344
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
142254
рейтинг
icon
5881
работ сдано
icon
2654
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
95082
рейтинг
icon
2030
работ сдано
icon
1273
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
53 940 оценок star star star star star
среднее 4.9 из 5
РГСУ
Получила за реферат 38 из 40 баллов. Огромное спасибо за работу, без доработок и досрочно....
star star star star star
Московский Университет имени С.Ю. Витте
Спасибо огромное за качественно выполненную работу!!!Работа была выполнена как всегда рань...
star star star star star
ТОГУ
Очень хороший исполнитель советую всем! Две работы выполнил и обе на отлично. Спасибо боль...
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Тест и текст

Онлайн-помощь, Русский язык

Срок сдачи к 15 июля

только что

Практическая работы по предмету Теория принятия решений

Другое, Теория принятия решений

Срок сдачи к 31 июля

только что

Тестирование по экономики

Тест дистанционно, Основы экономики

Срок сдачи к 17 июля

2 минуты назад

Правила оформления кейса. За время обучения на 2 модуле (3-ий год...

Другое, Гештальт-терапия

Срок сдачи к 30 авг.

2 минуты назад

Сделать 4 презентации

Презентация, Тайм Менеджмент

Срок сдачи к 12 авг.

3 минуты назад

Решить с 23 по 41 задачу,с подробным описанием и формулами

Решение задач, Физика

Срок сдачи к 12 авг.

4 минуты назад

11/00

Онлайн-помощь, Математика

Срок сдачи к 19 июля

4 минуты назад

Выполнить кейс-задачи

Отчет по практике, Бухгалтерский учет и аудит

Срок сдачи к 16 июля

6 минут назад

Тема организация маркетинговой деятельности в...

Курсовая, Маркетинг в торговле

Срок сдачи к 1 сент.

8 минут назад

юмор и сатира в прозе 20 века

Сочинение, Литература

Срок сдачи к 13 июля

10 минут назад

Тесты по основным процессам в пунктах выдачи озон (турбо пвз)

Тест дистанционно, логистика

Срок сдачи к 13 июля

12 минут назад

Написать сочинение на тему : "Мои сны"

Сочинение, Русский язык

Срок сдачи к 14 июля

12 минут назад

Юридическая ответственность: понятие, основания, разновидности

Курсовая, Теория государства и права

Срок сдачи к 12 авг.

12 минут назад

Необходимо написать 3 главу с расчетами и мероприятиями по повышению...

Диплом, Техносферная безопасность

Срок сдачи к 31 июля

12 минут назад

Курсовая, Специальная педагогика

Курсовая, Педагогика

Срок сдачи к 20 июля

12 минут назад

Логорифмы

Презентация, Математика

Срок сдачи к 26 июля

12 минут назад

Тест дистанционно, Информационная безопасность и защита информации

Тест дистанционно, Информационные системы

Срок сдачи к 14 июля

12 минут назад

Тест 27 вопросов

Тест дистанционно, Литература

Срок сдачи к 13 июля

12 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно