Сложение колебаний

Реферат

На тему «Сложение колебаний»

Студента I –го курса гр. 107

Шлыковича Сергея

Минск 2001

Векторная диаграмма

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.

Сло­жение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится нагляд­ным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.

Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x. Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с осью угол б. Если привести этот вектор во вращение с угло­вой скоростью щ₀, то проекция конца вектора будет перемещать­ся по оси x в пределах от —А до +A, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с ам­плитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с на­чальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого рав­на амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний.

Рассмотрим сложение двух гармонических коле­баний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебаниебудет суммой колеба­ний х₁и x₂, которые определяются функциями

, (1)

Представим оба колебания с помощью векторов A₁и А₂. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А. На рисунке вид­но, что проекция этого вектора на ось xравна сум­ме проекций складываемых векторов:

Поэтому, вектор Aпредставляет собой резуль­тирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью щ₀, как и векторы А₁и А₂, так что сумма x₁и х₂является гармоническим колебанием с частотой (щ₀, амплитудой Aи начальной фа­зой б. Используя теорему косинусов получаем, что

(2)

Также, из рисунка видно, что

(3)

Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.

Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.

Представим две взаимно перпен­дикулярные векторные величины xи y, изменяющие­ся со временем с одинаковой частотой щ по гармони­ческому закону, то

(1)

Где e_xи e_у — орты координатных осей xи y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами xи у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.

В случае колеблющейся частицы величины

, (2)

определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от раз­ности фаз обоих колебаний. Выражения (2) пред­ставляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравне­ние траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2) параметр t. Из первого уравне­ния следует, что

(3) Соответственно (4)

Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле для косинуса суммы:

Подставим вместо cos щtи sinщt их значения (3) и (4):

Преобразуем это уравнение

(5)

Это уравнение эллипса, оси которого по­вернуты относительно координатных осей х и у. Ори­ентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд Aи В и разности фаз б.

Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев.

1. Разность фаз б равна нулю. В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом:

Отсюда получается уравнение прямой:

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой щ и ам­плитудой, равной (рис. 1 а).

2. Разность фаз б равна ±р. Из уравнение (5)имеет вид

Следовательно, результирующее движение представ­ляет собой гармоническое колебание вдоль прямой

(рис. 1 б)

Рис.1

3. При уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:

Полуоси эллипса равны соответствующим амплиту­дам колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается в окружность.

Случаи и отличаются на­правлением движения по эллипсу или окружности.

Следовательно, равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью щ может быть представлено как сумма двух взаимно перпен­дикулярных колебаний:

,

(знак плюс в выражении для у соответствует движе­нию против часовой стрелки, знак минус — движе­нию по часовой стрелке).

Если частоты взаимно перпендикулярных колеба­ний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, на­зываемых фигурами Лиссажу.

Фигура Лиссажу для

отношения ча­стот 1:2 и

разности фаз р/2

Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз р/2