Решение транспортной задачи методом потенциалов

Министерство Российской Федерации по атомной энергии

Саровский Государственный Физико-Технический Институт

Политехникум СарФТИ

КУСОВАЯ РАБОТА

По специальности– «Программное обеспечение»

Тема: Решение транспортной задачи методом потенциалов

Студент:

Группа:

Преподаватель:

Дата: 05 Мая

Оценка:…

г. Саров

2005 г.

Содержание

Введение.. 3

1. Транспортная задача.. 4

1.1 Составление опорного плана. 7

1.2 Метод потенциалов. 9

2. Практическая часть.. 16

2.1 Обоснование выбора языка программирования. 16

2.2 Разработка. 16

2.3 Руководство пользователей. 16

Заключение.. 18

Литература.. 19

Введение

Данный курсовой проект представляет собой программу для решения транспортной задачи методом потенциалов. Программа предоставляет пользователю возможность пошагового нахождения оптимального решения. Все промежуточные результаты выводятся на экран, пользователь может следить за ходом решения.

Транспортная задача заключается в нахождении такого плана поставок, при котором его цена минимальна.

Условия задачи задаются в виде таблицы:

Матрица (c_ij)_m*n называется матрицей тарифов. Планом транспортной задачи называется матрица х=(x_ij)_m*n, где каждое число обозначает количество единиц груза, которое надо доставить из i–го пункта отправления в j–й пункт назначения.

1. Транспортная задача

Транспортная задача ставится следующим образом: имеется m пунктов отправления_, в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов. Имеется n пунктов назначения подавшие заявки соответственно на груза. Известны стоимости р_ij перевозки единицы груза от каждого пункта отправления до каждого пункта назначения. Все числа р_ij, образующие прямоугольную таблицу заданы. Требуется составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько единиц поставить), чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок была минимальна.

Далее, предполагается, что

(1)

где b_i есть количество продукции, находящееся на складе i, и a_j – потребность потребителя j.

Замечание. Если то количество продукции, равное остается на складах. В этом случае мы введем "фиктивного" потребителя n +1 с потребностью и положим транспортные расходы p_i,n+1 равными 0 для всех i.

Если то потребность не может быть покрыта. В этом случае начальные условия должны быть изменены таким образом, чтобы потребность в продукции могла быть обеспечена.

Обозначим через x_ij количество продукции, поставляемое со склада i потребителю j. В предложении (1) нам нужно решить следующую задачу (математическая модель транспортной задачи):

(2)

Транспортную задачу мы можем характеризовать транспортной таблицей и таблицей издержек:

Допустимый план перевозок будем представлять в виде транспортной таблицы:

Cумма элементов строки i должна быть равна b_i, а сумма элементов столбца j должна быть равна a_j, и все должны быть неотрицательными.

Пример 1.

Мы получаем следующую задачу:

х₁₁+х₁₂+х₁₃+х₁₄+х₁₅ =15,

х₂₁+х₂₂+х₂₃+х₂₄+х₅₅ =15,

х₃₁+х₃₂+х₃₃+х₃₄+х₃₅ =20,

х₁₁ +х₂₁ +х₃₁=20,

х₁₂+х₂₂ +х₃₂=5,

х₁₃+х₂₃ +х₃₃ =10,

х₁₄ +х₂₄ +х₃₄ =10,

х₁₅+х₂₅+х₃₅=5;

х_ij 0 для i = 1,2,3; j = 1,2,3,4,5;

К_min=5х₁₁+6х₁₂+3х₁₃+5х₁₄+9х₁₅+6х₂₁+4х₂₂+7х₂₃+3х₂₄+5х₂₅+2х₃₁+5х₃₂+3х₃₃+х₃₄+8х₃₅;

Такие задачи целесообразно решать при помощи особого варианта симплекс-метода – так называемого метода потенциалов.

Все транспортные задачи имеют оптимальное решение. Если все значение a_j и b_i в условиях транспортной задачи целочисленные, то переменные x_ij во всех базисных решениях (а так же и в любом оптимальном базисном решении) имеют целочисленные значения.

1.1 Составление опорного плана

Решение транспортной задачи начинается с нахождения опорного плана. Для этого существуют различные способы, рассмотрим простейший, так называемый способ северо-западного угла. Пояснить его проще всего будет на конкретном примере:

Условия транспортной задачи заданы транспортной таблицей.

Будем заполнять таблицу перевозками постепенно начиная с левой верхней ячейки ("северо-западного угла" таблицы). Будем рассуждать при этом следующим образом. Пункт а₁ подал заявку на 20 единиц груза. Удовлетворим эту заявку за счёт запаса 15, имеющегося в пункте b ₁ , и запишем перевозку 15 в клетке (1,1). После этого дополним заявку за счет заявка пункта b ₂, и запишем 5 в клетке (1,2), теперь заявка удовлетворена, но в пункте b ₂ осталось ещё 10 единиц груза. Удовлетворим за счёт них заявку пунктов а₂ (5 единиц клетка 2,2) и а₃ (5 единиц клетка 2,3). На складе b₃ есть запас в 20 единиц, за счет его мы удовлетворим оставшиеся заявки а₃ (оставшиеся 5 единиц клетка 3,3), а₃ (10 единиц клетка 3,4) и а₅ (5 единиц клетка 3,5).

На этом распределение запасов закончено; каждый пункт назначения получил груз, согласно своей заявки. Это выражается в том, что сумма перевозок в каждой строке равна соответствующему запасу, а в столбце - заявке. Таким образом, нами сразу же составлен план перевозок, удовлетворяющий балансовым условиям. Полученное решение является опорным решением транспортной задачи. Составленный нами план перевозок, не является оптимальным по стоимости, так как при его построении мы совсем не учитывали стоимость перевозок С_ij .

1.2 Метод потенциалов

Пусть имеется транспортная таблица, соответствующая начальному решению, х_il = для базисного решения переменных, х_il = 0 для свободных переменных (ячейки, соответствующие свободным переменным, остаются пустыми). Далее, нам требуется таблица расходов с заданными p_ij.

Отыскание симплекс множителей. Заполним таблицу расходов, оставив ячейки, соответствующие свободным переменным, пустыми. В крайний правый столбец внесем значения неизвестных u₁,…,u_m, в нижнюю строку – значения неизвестных v₁,…,v_n,. Эти m + n неизвестных для всех (i, j), соответствующих базисным переменным, должны удовлетворять линейной системе уравнений u_i + v_j = p_ij.

Для всех базисных решений эта система имеет треугольный вид, ранг её матрицы равен n + m – 1. Следовательно, систему всегда можно решить следующим способом.

Полагают v_n = 0. Если значения k неизвестных определены, то в системе всегда имеется уравнение, одно из неизвестных в котором уже найдено, а другое ещё нет.

Переменные u_i и v_j симплекс - множителями. Иногда они называются также потенциалами, а этот метод решения называют методом потенциалов.

Пример 2.

v₅ = 0 ® u₃ = 8, так как u₃ + u₅ = p₃₅ = 8, ® v₄ = -7, так как u₃ + v₄ = p₃₄ = 1, ® v₃ = -5, так как u₃ + v₃ = 3, ® u₂ = 12 ® v₂ = -8, ® v₁ = -6 ® u₁ = 11.

Симплекс – множители нужны для того, чтобы найти свободную ячейку (i, j), которая при замене базиса переходит в базисную (это соответствует отысканию разрешающего столбца в симплекс – методе).

Для определения симплекс – множителей мы вносим на свободные места в таблице значения

p¢_ij = p_ij – u_i – v_j

(коэффициенты целевой функции, пересчитанные для свободных переменных). Если все p¢_ij 0, то базисное решение оптимально. В противном случае мы выбираем произвольное p¢_ab < 0, чаще всего наименьшее. Индексом ab помечено свободное переменное х_ab , которое должно войти в базис. Соответствующую ячейку транспортной таблицы мы отметим знаком +.

Кроме ячейки (a, b) транспортной таблицы, мы пометим значками – и + другие занятые числами ячейки таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце транспортной таблицы число знаков + было равно числу знаков -. Это всегда можно сделать единственным образом, причем в каждой строке и в каждом столбце будет содержаться максимум по одному знаку = и по одному знаку -.

Затем мы определяем минимум М из всех элементов, помеченных знаком -, и выбираем ячейку (g, d), где этот минимум достигается.

В нашем примере с М = 5 можно выбрать (g, d) = (2, 3); при этом (g, d) определяет базисное переменное, которое должно стать свободным, т.е. базисное переменное, соответствующее индексу разрешающей строки симплекс – метода.

¯

¯

¯

¯

К_опт = 150

Переход к новой транспортной таблице (замена базиса) происходит следующим образом:

а). В ячейку (a, b) новой таблицы записывается число М.

б). Ячейка (g, d) остается пустой.

в). В других ячейках помеченных знаками – или +, число М вычитается из стоящего в ячейке числа (-) или складывается с ним (+). Результат вносится в соответствующую ячейку новой таблицы.

г). Непомеченные числа переносятся в новую таблицу без изменений. Остальные ячейки новой таблицы остаются пустыми.

2. Практическая часть

2.1 Обоснование выбора языка программирования

Мною был выбран язык программирования Turbo Pascal по следующим соображениям:

· Изучение данного языка в школе

· Наличие литературы по данному языку программирования

2.2 Разработка

Имеется m пунктов отправления А1, А2 , ..., Аm , в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов в количестве соответственно а1, а2, ... , аm единиц. Имеется n пунктов назначения В1 , В2 , ... , Вn подавшие заявки соответственно на b1 , b2 , ... , bn единиц груза. Известны стоимости Сi,j перевозки единицы груза от каждого пункта отправления Аi до каждого пункта назначения Вj . Все числа Сi,j, образующие прямоугольную таблицу заданы.

Требуется составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько единиц поставить), чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок была минимальна.

Составить программу, которая бы вычисляла оптимальный план перевозки (потенциальный план).

2.3 Руководство пользователей

При запуске программа предлагает ввести количество поставщиков (не меньше 2, но не больше 5), затем количество потребителей (условие тоже). Если вводятся числа не удовлетворяющие этому условию, то программа предлагает ввести их заново. Далее программа выводит на экран таблицу, число строк которой равно введенному количеству поставщиков, а число столбцов – количеству потребителей. Предлагается ввести количество продукции у первого поставщика, у второго и т.д. После пользователю предлагается ввести количество продукции необходимое первому потребителю, второму и т.д. Затем вводятся стоимости перевозок, после чего производятся вычисления и выдается результат

Литература

Карманов В.Г. Математическое программирование. - М.; Наука, 1986г

А.В.Кузнецов, Г.И.Новикова, И.И.Холод - "Сборник задач по математическому программированию". Минск, Высшая школа, 1985г

Боборыкин В.А. Математические методы решения транспортных задач. Л.: СЗПИ, 1986

Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощснко А. Б. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1980