Нахождение корней уравнения методом простой итерации (ЛИСП-реализация)

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Постановка задачи

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Описание метода

2.2 Геометрическая интерпретация

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

4. Программная реализация решения задачи

5. Пример выполнения программы

Заключение

Список использованных источников и литературы

ВВЕДЕНИЕ

Методы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще древним грекам. Решение уравнений третьей и четвертой степеней были получены усилиями итальянских математиков Ш. Ферро, Н. Тартальи, Дж. Картано, Л. Феррари в эпоху Возрождения. Затем наступила пора поиска формул для нахождения корней уравнений пятой и более высоких степеней. Настойчивые, но безрезультатные попытки продолжались около 300 лет и завершились благодаря работам норвежского математика Н. Абеля. Он доказал, что общее уравне6ие пятой и более высоких степеней неразрешимы в радикалах. Решение общего уравнения n-ой степени

a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n=0, a₀¹0

при n³5 нельзя выразить через коэффициенты с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

Для неалгебраических уравнений типа

х–cos(x)=0

задача еще более усложняется. В этом случае найти для корней явные выражения, за редким случаем не удается.

В условиях, когда формулы "не работают", когда рассчитывать на них можно только в самых простейших случаях, особое значение приобретают универсальные вычислительные алгоритмы. Известен целый ряд алгоритмов, позволяющих решить рассматриваемую задачу.

Если записать уравнение в виде

f(x) =0,

то для применения этих алгоритмов нет необходимости накладывать какие-либо ограничения на функцию f(x), а предполагается только что она обладает некоторыми свойствами типа непрерывности, дифференцируемости и т.д.

Это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции.

Целью данной курсовой работы является Лисп – реализация нахождения корней уравнения методом простой итерации.

1. Постановка задачи

Дано уравнение:

.

Требуется решить это уравнение, точнее, найти один из его корней (предполагается, что корень существует). Предполагается, что F(X) непрерывна на отрезке [A;B].

Входным параметром алгоритма, кроме функции F(X), является также начальное приближение - некоторое X₀, от которого алгоритм начинает идти.

Пример.

Найдем корень уравнения

.

Рисунок 1. Функция

Будем искать простой корень уравнения, находящийся на отрезке локализации [-0.4,0].

Приведем уравнение к виду x=f(x), где

.

Проверим условие сходимости:

.

Рисунок 2. График производной

Максимальное по модулю значение производной итерационной функции достигается в левом конце отрезка

.

.

Выполним 3 итерации по расчетной формуле

x= (x),

1 итерация .

2 итерация .

3 итерация .

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Описание метода простых итераций

Рассмотрим уравнение

f(x)=0 (2.1)

с отделенным корнем X[a, b]. Для решения уравнения (2.1) методом простой итерации приведем его к равносильному виду:

x=φ(x). (2.2)

Это всегда можно сделать, причем многими способами. Например:

x=g(x) · f(x) + x ≡ φ(x),

где g(x) - произвольная непрерывная функция, не имеющая корней на отрезке [a,b].

Пусть x⁽⁰⁾ - полученное каким-либо способом приближение к корню x (в простейшем случае x⁽⁰⁾=(a+b)/2). Метод простой итерации заключается в последовательном вычислении членов итерационной последовательности:

x^(k+1)=φ(x^(k)), k=0, 1, 2, ... (2.3)

начиная с приближения x⁽⁰⁾.

УТВЕРЖДЕНИЕ: 1 Если последовательность {x^(k)} метода простой итерации сходится и функция φ непрерывна, то предел последовательности является корнем уравнения x=φ(x)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть

. (2.4)

Перейдем к пределу в равенстве x^(k+1)=φ(x^(k)) Получим с одной стороны по (2.4), что а с другой стороны в силу непрерывности функции φ и (2.4)

.

В результате получаем x^*=φ(x^*). Следовательно, x^* - корень уравнения (2.2), т.е. X=x^*.

Чтобы пользоваться этим утверждением нужна сходимость последовательности {x^(k)}. Достаточное условие сходимости дает:

ТЕОРЕМА 2.1: (о сходимости) Пусть уравнение x=φ(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены условия:

1) φ(x) C¹[a,b];

2) φ(x) [a,b] " x [a,b];

3) существует константа q > 0: | φ '(x) | ≤ q < 1 x [a,b]. Tогда итерационная последовательность {x^(k)}, заданная формулой x^(k+1) = φ(x^(k)), k=0, 1, ... сходится при любом начальном приближении x⁽⁰⁾ [a,b].

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Рассмотрим два соседних члена последовательности {x^(k)}: x^(k) = φ(x^(k-1)) и x^(k+1) = φ(x^(k)) Tак как по условию 2) x^(k) и x^(k+1) лежат внутри отрезка [a,b], то используя теорему Лагранжа о средних значениях получаем:

x ^(k+1) - x ^(k) = φ(x ^(k)) - φ(x ^(k-1)) = φ '(c _k )(x ^(k) - x ^(k-1)),

где c _k (x ^(k-1), x ^(k)).

Отсюда получаем:

| x ^(k+1) - x ^(k) | = | φ '(c _k ) | · | x ^(k) - x ^(k-1) | ≤ q | x ^(k) - x ^(k-1)| ≤

≤ q ( q | x ^(k-1) - x ^(k-2) | ) = q ² | x ^(k-1) - x ^(k-2) | ≤ ... ≤ q ^k | x ⁽¹⁾ - x ⁽⁰⁾ |. (2.5)

Рассмотрим ряд

S_∞ = x ⁽⁰⁾ + ( x ⁽¹⁾ - x ⁽⁰⁾ ) + ... + ( x ^(k+1) - x ^(k) ) + ... . (2.6)

Если мы докажем, что этот ряд сходится, то значит сходится и последовательность его частичных сумм

S_k = x ⁽⁰⁾ + ( x ⁽¹⁾ - x ⁽⁰⁾ ) + ... + ( x ^(k) - x ^(k-1) ).

Но нетрудно вычислить, что

S_k = x ^(k)). (2.7)

Следовательно, мы тем самым докажем и сходимость итерационной последовательности {x^(k)}.

Для доказательства сходимости pяда (2.6) сравним его почленно (без первого слагаемого x⁽⁰⁾) с рядом

q ⁰ | x ⁽¹⁾ - x ⁽⁰⁾ | + q ¹ |x ⁽¹⁾ - x ⁽⁰⁾| + ... + |x ⁽¹⁾ - x ⁽⁰⁾| + ..., (2.8)

который сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (так как по условию q < 1). В силу неравенства (2.5) абсолютные величины ряда (2.6) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда (2.8) (то есть ряд (2.8) мажорирует ряд (2.6). Следовательно ряд (2.6) также сходится. Tем самым сходится последовательность {x⁽⁰⁾}.

Получим формулу, дающую способ оценки погрешности

|X - x ^(k+1)|

метода простой итерации.

Имеем

X - x^(k+1) = X - S_k+1 = S_∞ - S_k+1 = (x^(k+2) - ^(k+1) ) + (x^(k+3) - x^(k+2) ) + ... .

Следовательно

|X - x^(k+1)| ≤ |x^(k+2) - ^(k+1) | + |x^(k+3) - x^(k+2) | + ... ≤ q^k+1 |x⁽¹⁾ - x⁽⁰⁾ | + q^k+2 |x⁽¹⁾ - x⁽⁰⁾ | + ... = q^k+1|x⁽¹⁾ - x⁽⁰⁾ | / (1-q).

В результате получаем формулу

|X - x^(k+1)| ≤ q^k+1|x⁽¹⁾ - x⁽⁰⁾ | / (1-q). (2.9)

Взяв за x⁽⁰⁾ значение x^(k), за x⁽¹⁾ - значение x^(k+1) (так как при выполнении условий теоремы такой выбор возможен) и учитывая, что при имеет место неравенство q^k+1 ≤ q выводим:

|X - x^(k+1)| ≤ q^k+1|x^(k+1) - x^(k) | / (1-q) ≤ q|x^(k+1) - x^(k) | / (1-q).

Итак, окончательно получаем:

|X - x^(k+1)| ≤ q|x^(k+1) - x^(k) | / (1-q). (2.10)

Используем эту формулу для вывода критерия окончания итерационной последовательности. Пусть уравнение x=φ(x) решается методом простой итерации, причем ответ должен быть найден с точностью ε, то есть

|X - x^(k+1)| ≤ ε.

С учетом (2.10) получаем, что точность ε будет достигнута, если выполнено неравенство

|x^(k+1)-x^(k)| ≤ (1-q)/q. (2.11)

Таким образом, для нахождения корней уравнения x=φ(x) методом простой итерации с точностью нужно продолжать итерации до тех пор, пока модуль разности между последними соседними приближениями остается больше числа ε(1-q)/q.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.2: В качестве константы q обычно берут оценку сверху для величины

.

2.2 Геометрическая интерпретация

Рассмотрим график функции . Это означает, что решение уравнения и - это точка пересечения с прямой :

Рисунок 3.

И следующая итерация - это координата x пересечения горизонтальной прямой точки с прямой .

Рисунок 4.

Из рисунка наглядно видно требование сходимости . Чем ближе производная к 0, тем быстрее сходится алгоритм. В зависимости от знака производной вблизи решения приближения могут строится по разному. Если , то каждое следующее приближение строится с другой стороны от корня:

Рисунок 5.

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунке 6, 7.

Используемые обозначения:

·FN, F – уравнение для поиска корня;

·X, START – начальное значение;

·E, PRECISION – точность вычисления;

·N, COUNT_ITER –количество итераций.

Рисунок 6 – Функциональная модель решения задачи для функции SIMPLE_ITER

Рисунок 7 – Функциональная модель решения задачи для поиска корня уравнения методом простой итерации

4. Программная реализация решения задачи

Файл SIMPLE_ITER.txt

;ФУНКЦИЯ, РЕАЛИЗУЮЩАЯ МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

(DEFUN SIMPLE_ITER (N E X FN)

(COND

((AND (<= N 0) (> (ABS (- (FUNCALL FN X) X)) (* E (FUNCALL FN X)))) X)

(T (SIMPLE_ITER (- N 1) E (FUNCALL FN X) FN))

)

)

;ПОДГРУЖАЕМУРАВНЕНИЕ

(LOAD "D:\FUNCTION.TXT")

;РАССЧИТЫВАЕМ НАЧАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ К КОРНЮ

(SETQSTART (/ (- (CADRINTERVAL) (CARINTERVAL)) 2))

;ВЫЧИСЛЯЕМКОРЕНЬ

(SETQ ROOT (SIMPLE_ITER COUNT_ITER PRECISION START (FUNCTION F)))

;ОТКРЫВЕМФАЙЛДЛЯЗАПИСИ

(SETQ OUTPUT_STREAM (OPEN "D:\ROOT.TXT" :DIRECTION :OUTPUT))

;ПЕЧАТАЕМВФАЙЛКОРЕНЬ

(PRINT 'ROOT OUTPUT_STREAM)

(PRINT ROOT OUTPUT_STREAM)

;ЗАКРЫВАЕМФАЙЛ

(TERPRI OUTPUT_STREAM)

(CLOSE OUTPUT_STREAM)

Файл FUNCTION.txt (пример 1)

;ФУНКЦИЯ

(DEFUN F (X)

(/ (+ (- (* X X) (* 5 (COS X))) 3.25) 3)

)

;КОЛИЧЕСТВО ИТЕРАЦИЙ

(SETQ COUNT_ITER 100)

;ПРОМЕЖУТОК, НА КОТОРОМ ИЩЕМ КОРЕНЬ

(SETQ INTERVAL '(-0.4 0))

;ТОЧНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ

(SETQ PRECISION 0.0001)

Файл FUNCTION.txt (пример 2)

;ФУНКЦИЯ

(DEFUN F (X)

(- (* X X) (COS X))

)

;КОЛИЧЕСТВО ИТЕРАЦИЙ

(SETQ COUNT_ITER 60)

;ПРОМЕЖУТОК, НА КОТОРОМ ИЩЕМ КОРЕНЬ

(SETQ INTERVAL '(1 1.5))

;ТОЧНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ

(SETQ PRECISION 0.0001)

5. Пример выполнения программы

Пример 1.

Рисунок 8 – Входные данные

Рисунок 9 – Выходные данные

Пример 2.

Рисунок 10 – Входные данные

Рисунок 11– Выходные данные

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проблема повышения качества вычислений, как несоответствие между желаемым и действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решению будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов – сред и языков программирования.

Итогом работы можно считать созданную функциональную модель нахождения корней уравнения методом простой итерации. Данная модель применима к детерминированным задачам, т.е. погрешностью экспериментального вычисления которых можно пренебречь. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ и литературы

1. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. – М.: Наука, 2007. – 708 с.

2. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов. [Текст] / Н.Ш.Кремер, 3-е издание – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2006. C. 412.

3. Калиткин, Н.Н. Численные методы. [Электронный ресурс] / Н.Н. Калиткин. – М.: Питер, 2001. С. 504.

4. Поиск минимума функции [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://solidbase.karelia.ru/edu/meth_calc/files/12.shtm

5. Семакин, И.Г. Основы программирования. [Текст] / И.Г.Семакин, А.П.Шестаков. – М.: Мир, 2006. C. 346.

6. Симанков, В.С. Основы функционального программирования [Текст] / В.С.Симанков, Т.Т.Зангиев, И.В.Зайцев. – Краснодар: КубГТУ, 2002. – 160 с.

7. Степанов, П.А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П.А.Степанов, А.В. Бржезовский. – М.: ГУАП, 2003. С. 79.

8. Хювенен Э. Мир Лиспа [Текст] / Э.Хювенен, Й.Сеппянен. – М.: Мир, 1990. – 460 с.