Задачи по Теоретической менханике

Вариант №10 Задание №1

Определить реакции опор горизонтальной балки от заданной нагрузки

Дано:

Решение:

Рассмотрим равновесие балки АВ (рис. 1).

К балке приложена уравновешенная система сил, состоящая из активных сил и сил реакции.

Активные (заданные) силы:

, , , пара сил с моментом М, где

- сосредоточенная сила, заменяющая действие распределенной вдоль отрезка АС нагрузки интенсивностью .

Величина

.

Линия действия силы проходит через середину отрезка СD.

Силы реакции (неизвестные силы):

, , - реакции жесткой заделки.

Для полученной плоской произвольной системы сил можно составить три уравнения равновесия:

, , .

Задача является статически определимой, так как число неизвестных сил (,, ) - три - равно числу уравнений равновесия.

Поместим систему координат XY в точку А, ось AX направим вдоль балки. За центр моментов всех сил выберем точку В.

(1)

(2)

(3)

Решая систему уравнений, найдем , :

Из (1):

Из (2):

Из (3):

Модуль реакции опоры А

Для проверки правильности решения составляем уравнение моментов всех сил относительно точки В:

Ответ: .

Вариант №10 Задание №2

Определение реакции опор и давления

в промежуточном шарнире составной

конструкции.

Дано:

Решение:

Решение: Рис. 1

Рассмотрим равновесие всей конструкции (рис. 1). К ней приложены:

активные силы пара сил с моментом М,

где

силы реакции:

, , - заменяют действие шарнирно-неподвижной опоры А;

, - реакции шарнира С;

- заменяет действие шарнирно-неподвижной опоры В

Расчетная схема

Рис. 2

Решение. 1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня АС и раму в целом. Проведем координатные оси и изобразим действующие на стержень силы: сосредоточенный момент М и реакции шарнира С и , реакции опоры А ( и ), равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой , приложенной в середине участка длиной а (численно ), силы и , реакции шарнира С ( и ), направленные противоположно реакциям и , составляющие , реакции опоры В. Для полученной плоской системы сил составляем шесть уравнений равновесия:

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Из уравнения (2) находим :

Из уравнения (3) находим Y_А:

Из уравнения (1) находим Х_С:

Из уравнения (4) находим Y_С:

Из уравнения (5) находим X_В:

Из уравнения (6) находим Y_В:

Проверка:

Ответ: Х_А = - 0,686 кН, Y_A = 1,086 кН, Х_С = - 0,686 кН,

Y_С = 1,086 кН, Х_B= 0,986 кН, Y_B= 1,986 кН. Знаки указывают на то, что силы направлены так, как показано на рисунке, кроме силы и .

Вариант №10 Задание №3

Кинематика точки.

Дано:

Решение:

Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время .

Определим местоположения точки при t = 1/2 с.

Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

;

и при

(2)

Аналогично найдем ускорение точки:

и при

(3)

Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство

.

Получим

(4)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (4), определены и даются равенствами (2) и (3). Получаем

.

Нормальное ускорение точки

.

Радиус кривизны траектории

.

Вариант №10 Задание №4

Дано:

Решение:

1). Определение скоростей точек и угловой скорости АВ.

Вектор скорости направлен вдоль направляющих ползуна В. Модуль найдем, применив теорему о проекциях скоростей на прямую АВ.

Для определения скорости строим мгновенный центр скоростей (МЦС Р) который находится на пересечении перпендикуляров восстановленных к векторам в точках А и В. Направление определяем направлением вектора . Вектор скорости направлен перпендикулярно РС в сторону , и численно ,

где

.

Угловая скорость звена АВ:

2) Определение ускорений точек звена и углового ускорения звена.

Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры

, где - вектор направлен от В к А. Вектор ускорения направлен вдоль направляющих ползуна В. Вектор перпендикулярен прямой АВ.

Спроектируем векторное уравнение на ось х:

, откуда

Спроектируем векторное уравнение на ось у:

, откуда

Угловое ускорение

Определяем ускорение точки С:

.

Здесь

;

Модуль ускорения точки С находим способом проекций:

.

Вычисляем

;

.

Итак,