Формулы шпаргалка

1.

2. Предел функции:Число А наз-ся пределом функции f(x) в точке x0 если для всех x достаточно близких к x0, отличных от x0 значения ф-ии f(x) сколь угодно мало отличаются от числа A.

Limf(x) =A

^x->x0

2. Теоремы о пределах:

· Limc=c,где с-это число

· Lim(f(x)+-g(x))=lim f(x)+-lim g(x)

· Lim(f(x)*g(x))=lim f(x)*lim g(x)

· Lim(f(x)/g(x))=lim f(x)/lim g(x),где g(x)<>0

· Lim(c*f(x))=c*limf(x)

^· Lim(f(x)^g(x))=(lim f(x))^{lim g(x)}

^· Lim(f(g(x)))=f(lim g(x))

3.Методы нахождения пределов:

· непосредственное вычисление пределов (вместо ч подставляем ч0 и считаем что получится)

· раскрытие неопределенностей вида 0/0 (числитель и знаменатель раскладывается на множители а затем сокращают дробь)

· раскрытие неопределенностей вида ∞/∞ (числитель и знаменатель делим на x в старшей степени)

· применение замечательных пределов. Limsinx/x=1- первый зам. Предел

lim(1+x)^1/x=e; lim(1+1/x)^x=e – 2-ой зам.предел

· применение эквивалентных бесконечно малых ф-ий

sinx ~x

tgx~x

arcsinx~x

arctgx~x X - > 0

ln(1+x) ~x

e^x-1~x

a^x-1~x*lna

4.Замечательный пределы:Limsinx/x=1 -первый зам. Предел

lim(1+x)^1/x=e; lim(1+1/x)^x=e - 2 зам. Предел

5. эквивалентные бесконечно малые ф-ии

sinx ~x

tgx~x

arcsinx~x

arctgx~x X - > 0

ln(1+x) ~x

e^x-1~x

a^x-1~x*lna

6.Ф-ия f(x) называется непрерывной в точке x0 если

1)ф-ия определена в точке x0

2) существует предел ф-ии f(x) в точке x0

3)этот предел равен значению ф-ии в точке x0

Ф-ия f(x) называется непрерывной на промежутке если она непрерывна в каждой точке этого прмежутка.

7. Условия непрерывности ф-ии в точке

1)ф-ия определена в точке x0

2) существует предел ф-ии f(x) в точке x0

3)этот предел равен значению ф-ии в точке x0

9. Точки разрыва:Если хотябы одно из 3 условий непрерывности ф-ии в точке не выполняются, то ф-ия называется разрывной в точке x0, а сама точка x0 называется точкой разрыва

Типы точек разрыва:

1)если ф-ия f(x) имеет предел в точке ч0 неравный значению ф-ии в точке, то x0-называется точкой устранимого разрыва. Limf(x) <>f(x0)

^{x - > x0}

2) если сущ-ют односторонние пределы ф-ии f(x) в точке x0, но они различные, то точка x0 называется точкой разрыва первого рода limf(x)<>limf(x)

^{x→x0-0 x→x0+0}

3)если хотябы один из односторонних пределов ф-ий f(x) в точке x0 равен бесконечности то точку x0 называют точкой разрыва 2 рода.

Limf(x)= ∞ или limf(x)= ∞

^{x→x0-0 x→x0+0}

11.Производная – предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к 0.

Правила дифференцирования:

(cf(x))’=c*f’(x);

(f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x)

(f(x)-g(x))’=f’(x)-g’(x)

(f(x)*g(x))’=f’(x)*g(x)+g’(x)+f(x)

(F(x)/g(x))’= f’(x)*g(x)-g’(x)+f(x)/g2(x)

(F(g(x)))’=f’(g)*g(x)

12. Таблица производных:

(с)’=0

(x^α)’ = α×x^α-1

(√x)’=1/2√x

(x)’=1

(1/x)’=-1/x²

(a^x)’ = a^x× ln a

(e^x)’= e^x

(lnx)’=1/x

(log_ax )’= 1/(x×ln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos² x

(ctg x)’ = - 1/sin²x

(arcsin x)’ = 1/ Ö(1-x²)

(arccos x)’ = - 1/ Ö(1-x²)

(arctg x)’ = 1/ Ö(1+x²)

(arcctg x)’ = - 1/ Ö(1+x²)

13.Вторая производная – производная от первой производной.

14.Дифференциалdy ф-ии y=f(x) называется произведения производной этой ф-ии на приращение независимого аргумента x. Dy=f’(x)*∆x

Дифференциалом аргумента называется приращение этого аргумента.

15.для приближенных вычислений дифференциалом используется формула:

f(x0+∆x)≈f(x0)+f’(x0) *∆x

16 Нахождение монотонности:

1) найти 1 производ.

2)найти критическую точку 1 рода-это внутрен точки d(y) d кот. Первая произ равна 0 или не сущ

3) разбиваем D(y) критич точками 1 пода на промежутке моннотоности.Находим знак первой производ на каждом промежутке, если y’>0,то ф-ия возрастает,если y’<0 , то ф-ия убывает

4)если при переходе через точку ч0 – производ сменила знак с+ на- то x0 точка максимума,если с- на + то x0 точка мин.

17.экстемумы- это значения в точках мин и макс.

18.Выпуклось:

Кривая наз. выпуклой вверх в точке x0, если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена ниже касательной, проведённой в этой точке.

Вогнутость:

Кривая наз. вогнутой вниз в точке x0, если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена выше касательной, проведённой в этой точке.

Алгоритм нахождения промежутков выпуклости:

· найти вторую производную

· найти критические точки 2-го рода(внутренние точки области определения, в которых 2-ая производная равна 0 или не сущ.)

· разбиваем область определения критическими точками 2-го рода на промежутки выпуклости

· находим знак 2-ой производной на каждом промежутке, если y’’>0, то график ф-ии вверх, если y’’<0, то график ф-ии вниз.

· Если при переходе через точку x0 2- ая производная меняет знак, то x0 наз. точкой перегиба

· Найти значение ф-ии в точке прегиба

19.Точки прегиба Если при переходе через точку x0 2- ая производная меняет знак, то x0 наз. точкой перегиба

2021. асимптоты:

Если точка (y;x) непрерывно перемещается по кривой так, что хотя бы одна координата точки стремится к бесконечности и при этом расстояние от точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая наз.асимптотой.

Виды асимптот:

· Вертикальная асим., находят лишь тогда, когда есть точки разрыва области определения.

Limf(x)= ∞, где a-точка разрыва D(y)

^{x - > a}

· Горизонтальная асим.

Limf(x)= b, где b-число,b<>∞

^{x - > ∞}

· Наклонная асим

y=kx+b

k=lim f(x)/x, где k-число,k<>∞, k<>0,

^{x - > ∞}

b=lim(P(x)-kx, где b-число,b<>∞

^{x - > ∞}

22.Схема исследования ф-ии:

1)D(y),ф-ия дробная, то знаменатель <>0

2) четность

· D(y) симметрично относительно 0

Y(-x)=y(x) => ф-ия четная

Y(-x)=-y(x) => ф-ия нечетная или ф-ия общего вида

3)пресечение с осями координат

· С осью ОХ:y=0

· С осью OY:х=0

4)асимптоты

5)монотонность

6)выпуклость точки перегиба

7)график(пробный точки)

8)E(x)

23. первообразная – на промежутке, если для всех x этого промежутка выполняется равенство f’(x)=f(x).

Основное св-во: ф-ия имеет бесконечно много первообразной, которые отличаются друг от друга на постоянную c.

24.Интеграл – множество всех первообразных на промежутке.

Св-ва:

1)(∫f(x)*d(x))’=f(x)

2)∫c*f(x)*dx=c∫f(x)dx

3)∫(f(x)+-g(x)dx=∫f(x)dx-+∫g(x)dx

25. Таблица интегрлов:

ò xn dx = xn+1/(n+1) + c

ò ax dx = ax/ln a + c

ò ex dx = ex + c

ò cos x dx = sin x + cos

ò sin x dx = - cos x + c

ò 1/x dx = ln|x| + c

ò 1/cos² x = tg x + c

ò 1/sin² x = - ctg x + c

ò 1/Ö(1-x²) dx = arcsin x +c

ò 1/Ö(1-x²) dx = - arccos x +c

ò 1/1+ x² dx = arctg x + c

ò 1/1+ x² dx = - arcctg x + c

26.Методы нахождения неопределенных интегралов:

1)непосред. Интегрирования – при котором интегралы сводятся к табличным путем первообразной, применения к ним основных св-в интеграла.

2)подстановки – некоторое выражение заменяется новой переменной для того чтобы интеграл относительно новой переменной стал табличным. В результате необходимо вернуться к первоначальным переменным.

3)интегрирование по частям:

Формула: òu*dυ=uυ-òυ*du

· В интегралах вида:

òP(x)*e^ax*dx

òP(x)*cosax*dx

òP(x)*sinaxdx, где P(x)-многочлен от x,a-любое число

Полагают:

u=P(x)

dυ=всё остальное

· В интегралах вида:

òP(x)* ln(ax)dx

òP(x)*arcsin(ax)dx

òP(x)*arcos(ax)dx

òP(x)*arctg(ax)dx

òP(x)*arcctg(ax)dx

Полагают:

dυ= P(x) dx

u- всё остальное

· В интегралах вида:

ò e^ax*cosbx dx

ò e^ax*sinbx dx

Полагают:

u- e^ax

dυ=всё остальное

27.формула Ньютона-Лейбница - эта формула применяется для точного вычесления опред. интеграла: òf(x)dx=F(x)│=F(b)-F(a)

28.Методы вычисления определённого интеграла:

· Табличное интегрирование

· Метод подстановки: в результате возвращаться к первоначальной переменной не нужно потому что перечисляются новые пределы интегрирования

· По частям

29. метод прямоугольников для приближённого вычисления интегралов:

· òf(x) dx=SaABb≈(b-a)/n*(y₀+y₁…y_n-1)

· |δ_n|=< M₁*(b-a)²/2n.,где M₁-макс|f’(x)|

30.Метод трапеций:

· òf(x) dx=SaABb≈(b-a)/n*( y₀+2y₁+2y₂…2y_n-1+ y_n)

· |δ_n|=<M₂*(b-a)³/12n². где M₁-макс|f’(x)|

31.Применение опред. Интегралов в физике:

· Нахождение пути при прямолинейном движении:

S=òV(t)*dt, где V(t) – закон изменения скорости, t ε[a;b]

· Вычисление работы, силы, произведённой при прямолинейном движении тела

A=òF(x)dx, где F(x) – закон изменения силы, a и b – крайние положения тела.

32.Применение определенных интегралов в геометрии:

· Площадь криволинейной трапеции:

S=òF(x)*dx

· S фигуры ограниченной двумя непрерывными кривыми y=f(x) y=g(x) и прямыми x=ax=b:

S=ò(f(x)-g(x))dx

· Длина дуги плоской кривой:

L= òÖ1+(f’(x)²dx, где y=f(x) – уравнение кривой x ε[a;b]