Системы счисления 2

СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ

Система счисления -
это способ записи чисел.

64, /

Системы счисления

Позиционные-

- Позиционные системы счисления - системы записи чисел, в которых значение каждой цифры числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр.

Примеры: двоичная(101101),

десятичная(123, 15).

Непозиционные -

каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа

Пример: римская( XXI, IV)

Десятичная

- Система счисления с основанием 10.

- Возникла примерно в V веке нашей эры в Индии.

Двоичная

- Позиционная система счисления с основанием два.

Перевод чисел из одной СС в другую.

Для перевода целого числа из СС с основанием 10 в СС с любым основанием необходимо:

- 1 способ Последовательное деление числа и последующих целых частных на n - новое основание СС. Это число разделить на n, полученное частное вновь делят на n и так до тех пор пока последнее частное не окажется меньше n. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Для перевода целого числа из СС с основанием 10 в СС с любым основанием необходимо:

- 2 способ Метод разностей. Берем степень числа 2 ближайшую к исходному числу. Представляем это число в виде суммы степени 2 и остатка. Далее остаток представляем в виде ближайшей степени 2 и остатка и так до тех пор пока находится степень 2. Далее записываем все степени 2 в порядке убывания, если нет каких, то ставим 0. Записываем число в развернутой форме. Последовательно записанные слева направо коэффициенты перед степенями –0 и 1 – это и есть ответ

Для перевода правильной дроби из СС с основанием 10 в СС с основанием n необходимо:

- эту дробь умножить на n, затем дробную часть, полученного произведения вновь умножить на n и так до тех пор пока в дробной части не окажутся все нули, либо не будет достигнута заданная степень точности. Целые части, полученных произведений взятые по схеме сверху вниз, и дадут результат перевода.

Для перевода смешанной дроби из одной СС в другую необходимо:

- представить эту дробь в виде суммы целого числа и десятичной дроби, а затем произвести перевод каждой части отдельно по соответствующим правилам.

Перевести 25,25₁₀ в двоичную СС

Рассмотрим пример:

Сначала- переводим целую часть

25₁₀=11001₂

Затем- перевод дробной части

0,25₁₀=0,01₂

Соединили целую и дробную части и получили:

25,25=11001,01₂

Перевод чисел из СС с основанием q, кратным 2 (т.е. 2ⁿ) в двоичную СС (из 8-й в 2-ю, из 16 в 2-ю, из 2-й в 8-ю и т.д.) и обратно

- Для того, чтобы произвольное число в СС с основанием q=2ⁿ, перевести в 2-ую СС, нужно каждую цифру исходного числа заменить ее n-значным эквивалентом в 2-й системе счисления.

- Пример1. 15FC₁₆=Х₂

- Исходная СС – это 16, т.е. 2⁴, значит n=4, т.е. двухзначный эквивалент содержит четыре 0 и 1

- 1-> 0001

- 5 –> 0101

- F=16 –> 1111

- С=12 –> 1100

- ОТВЕТ 0001 0101 1111 1100

Записать в тетради
Двоично- шестнадцатеричная таблица

Перевод чисел из СС с основанием q, кратной 2 (т.е. 2ⁿ) в двоичную СС и обратно (из 8-й в 2-ю, из 16 в 2-ю, из 2-й в 8-ю и т.д.)

Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в СС с основанием q=2ⁿ, нужно:

- 2-е число разбить слева и справа от запятой (разделитель дробной части) на группы по n цифр

- Если в последних правой и левой группах окажется меньше чем n цифр, то дополнить нулями слева и справа

- Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать его соответствующей цифрой в системе счисления

Пример2. 1010111111100₂ = Х₁₆

- СС, в которую переводим – это 16, т.е. 2⁴, значит n=4, т.е. двухзначный эквивалент содержит в каждой группе по четыре 0 и 1

- Разбиваем на группы по 4 справа налево и слева направо приписываем три 0 и получаем 0001 0101 1111 1100

- 1 5 F C

Пример 3 111100101,0111₂=Х₈

- Ответ 745,34

Пример 4 Перевести 8-е и 16-е числа
в 2-ю СС

1)266₈

2) 1270₈

3) 10,23₈

4) 266₁₆

5) 2А19₁₆

6) 10,231₆

Задания для самост. решения

- 1. Переведите из 10-й в 2-ю

- 1)513 2)600 3)602 4) 1000

- 5)2304 6)501 7) 7000 8)8192

- 2. Переведите 10-е дроби в 2-ю СС (ответ записать с 6-ю двоичными знаками)

- 1) 0,4622 2) 0,5198 3)0,5803 4) 0,6124

- 5) 0,7351 6) 0,7982 7) 0,8544 8) 0,9321

- 3. Переведите смешанные десятичные дроби в 2-ю СС

- 1)40,5 2)31,75 3) 124,25

- 4. Переведите целые числа из 10-й в 8-ую

- 1) 8700 2) 8888 3) 8900 4) 9300

- 5. Переведите целые числа из 10-й в 16-ую

- 1) 266 2) 1023 3) 1280 4) 2041

- 6*. Переведите числа из 10-й в 8-ую 1) 0,43 2) 37,41 3) 2936

- 7. Переведите двоичные числа в 8-ую СС

- 1) 1010001001011 2) 1011001101111 3) 110001000100

Задания из ЕГЭ

Задания из ЕГЭ

Задания из ЕГЭ

Ответы

12. Сколько единиц в двоичной записи числа 195
1)5 2)2 3)3 4)4

13. Сколько единиц в двоичной записи числа 197? 1)5 2)'2 3)3 4)4

14. Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 129 равно:

1)5 2)6 3)7 4)4

15. Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 129 равно:

1)5 2)6 3)7 4)4

16. Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 126 равно:

1)1 2)2 3)3 4)0

17. Вычислите сумму чисел х и у, при х =В416 , у =468 . Результат представьте в двоичной системе счисления.

1)110110102 2)100000102 3)11100102 4)10111010г

18. Значение выражения 1016+ 108 - 102 в двоичной системе счисления равно:

1) 1010 2) 11010 3) 100000 4) 110000

19. Вычислите сумму чисел х и у, при х =А716, у =568
Результат представьте в двоичной системе счисления.
1)110101012 2)110010012 3)10001111, 4)10000101о

20. Вычислите сумму чисел х и у, при х = 1016, у = 728. Результат представьте в двоичной системе счисления.

1)10001Ш2 2)11001012 3)1010112 4)10101112

21. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4. 6, 9, 18

22. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3. 7, 21