Решение задач по высшей математике

Задача 10 Даны матрицы

Найти матрицу С = 5В – АE + BA -2Е

Решение:

2 -1 1 1 1 2

BA= 3 4 -2 · -2 0 2

1 0 -1 0 -1 0

2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0

3•1+4•(-2)+(-2)•0 3•1+4•0+(-2)•(-1) 3•2+4•2+(-2)•0

2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0

4 1 2

= -5 5 14

1 2 2

10 -5 5 2 0 0

5В= 15 20 -10 2Е= 0 2 0 АЕ=А,

5 0 -5 0 0 2

1 1 2

т.к. Е – единичная матрица АE = -2 0 2

0 -1 0

Задача 20

Решить систему уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера.

x + 2y + z = 5

x - y –2z = -1

2x + y + z = 4

Решение:

Метод Гаусса.

2z = 0, z = 0; -3y -3∙0 = -6, y = 2; x + 2∙2 + 1∙0 = 5, x = 1.

Решение системы {1;2;0}

По формулам Крамера:

D - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных,

Dx, Dy, Dz – получаются из D путем замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов.

X=Δ_x/Δ= -6/(-6) = 1

Y=Δ_y/Δ= -12/(-6) =2

Z=Δ_z/Δ= 0/(-6) = 0

Решение системы {1;2;0}

Задача 30

На плоскости задан треугольник координатами своих вершин А(2,3), В(-3,1), С(-4,5)

Найти:

- длину стороны АВ

- уравнение стороны АВ

- уравнение медианы АD

- уравнение высоты СЕ

- уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ

- внутренний угол при вершине А

- площадь треугольника АВС

- координаты точки Е

- сделать чертеж

Решение:

1. Длина стороны АВ:

½АВ½= » 5,385

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

; ;

у = - уравнение прямой АВ, угловой коэффициент k­­_AB= 2/5

3. Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам.

Координаты середины ВС:

х₄ = (х₂ + х₃)/2 = 3,5, у₄ = (у₂ + у₃)/2 = 3

D (-3,5;3)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, А и D:

; -5,5у = -16,5

у = 3- уравнение прямой АD

3. Высота СЕ перпендикулярна АВ, а значит угловой коэффициент высоты СЕ равен

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х₃ёу₃) и имеющей угловой коэффициент k_СЕ, имеет вид:

у – у₃ = k_СЕ (х – х₃); у – 5 = -2,5(х+4)

у = -2,5х -5 – уравнение высоты СЕ.

5. Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой, проходящей через точку С (х₃ёу₃) и имеющей угловой коэффициент k_АВ, имеет вид:

у – у₃ = k_АВ (х – х₃); у – 5 = х +,

у = х +, - уравнение прямой, параллельной АВ.

6. Косинус внутреннего угла при вершине А вычисляется по формуле:

, где

- длины сторон АВ и АС соответственно.

,

ÐА = arc cos 0,7643 = 40^о9'

7. Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле:

S = Ѕç(x₂ – x₁)(y₃ – y₁) – (x₃ – x₁)(y­₂ – y₁)ç;

S= Ѕ ç(-5)·2 – (-2) ·(-6)ç = 22/2 = 11 кв.ед.

8. Координаты точки Е находим, решая совместно уравнения АВ и СЕ, т.к точка Е принадлежит им обоим:

у = -2,5х -5

у =

0,4х +2,2 = -2,5х -5 2,9х = -7,2 х = -2,5

у = 6,25 – 5 = 1,25 Е(-2,5;1,25)

Задача 40

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить кривую.

у² + 2x - 2y -1 = 0

Решение:

Выделяем полные квадраты:

у²- 2у +1 + 2х- 2 = 0

(у - 1)² = -2(х - 1)

(х - 1) =-1/2(у - 1)² – это уравнение параболы с центром в точке (1,1), ось симметрии – прямая

у = 1, ветви параболы направлены влево.

Задача 50

Вычислить пределы.

1)

2)

3)

4)

так как -первый замечательный предел

5) , (a>0)

Обозначим х-а = t. Если х→а, то t→0, х = t+a, ln x-ln a =

где -– второй замечательный предел.

Задача 60

Найти производные функций:

1) y =

y¢ =

2) у =

3) y =

y¢ =

4) y = ctg(e^xcosx);

y¢=

Задача 70

Провести полное исследование функции и построить ее график.

у = ;

Решение:

1. Область определения функции: х Î (-¥; +¥).

2. Поведение функции на границах области определения:

3. у¢= х³ – х² = х²(x-1); у¢= 0, если х₁ = 0, х₂ = 1;

При х Î (-¥; 0), у¢< 0, функция убывает.

При х Î (0;1), у¢< 0, функция убывает.

В точке х = 0 экстремума нет.

При х Î (1;+∞), у¢> 0, функция возрастает.

В точке х =1 функция имеет локальный минимум.

4. у_min = ¹/₄ - ¹/₃ = - ¹/₁₂.

5. Выпуклость, точки перегиба графика функции:

у²= 3х² – 2х = x(3x-2).

у²= 0, если 2х(6х -1) = 0, х₁ = 0, х₂ = ²/₃;

При х < 0, у²> 0, график вогнутый.

При 0 < х < ²/₃, у²< 0, график выпуклый.

При х > ²/₃, у²> 0, график вогнутый.

Точки х₁ = 0 и х₂ = ²/₃ - точки перегиба графика функции.

у(0) = 0, у(²/₃ ) » -0,05

6. Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ. у = 0, = 0 х₁ = 0, x₂ = ⁴/₃

С осью ОУ. х = 0, у= 0.

Задача 80

Найти частные производные первого и второго порядка функций.

z = x²∙sin y + y²∙cos x;

Решение:

=.

Задача 90

Дана функция. Показать, что

Решение:

=

=

=-= 0, что и требовалось доказать.

Задача 100

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x³ + 8y³ -6xу+1 в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = -1.

Решение:

1. Ищем точки экстремумов внутри замкнутой области:

3x² = 6y, y =

24y² = 6x,

x₁ = 0, x₂ = 1, y₁ = 0, y₂ = Ѕ

Точка О(0,0) и точка N (1, Ѕ)

2. Ищем точки экстремумов на границах области:

а) сторона АВ: х= 0, -1 £ у £ 1, z = 8у³+1;

24у², z¢ = 0, если у = 0, точка (0,0).

б) сторона ВС: у = 1, 0 £ х £ 2, z = х³ – 6х+9;

3х² - 6 = 0, х² = 2 х = ±»±1,4, точка х = -1,4 в замкнутую область не входит.

х = 1,4 , – точка К (1,4;1)

в) Сторона CD: х = 2, -1 £ у £ 1,

z = 8 + 8у³- 12у+1 = 8у³- 12у+9;

2у² = 1, у = - точки M(2;0,7) и Q(2;-0,7)

г) сторона АD: у = -1, 0 £ х £ 2, z = х³ + 6х-7;

3х² + 6 ≠ 0, при любых значениях х.

2. Вычислим значения функции Z в точках А, В, С, D, О, К, M, N, Q.

Z_A = Z(0,-1) = -8+1=-7;

Z_B = Z(0,1) = 8+1=9;

Z_C = Z(2,1) = 8+8-12+1=5;

Z_D = Z(2,-1) = 8-8+12+1=13;

Z_K = Z(,1) = 2,8+8-8,4+1=3,4;

Z_O = Z(0,0) = 1;

Z_M = Z(2,0.7) = 8+2,7-8,4+1=3,3;

Z_N = Z(1,) = 0;

Z_Q = Z(2,-0.7) = 8-2,7+8,4+1=14,7;

Z_min = -7, Z_max = 14,7.

Задача 110

Найти формулу вида y = ax + b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы):

Решение:

Метод наименьших квадратов дает систему двух линейных уравнений для определения параметров ”a” и “b”:

Подсчитаем суммы:

1+2+3+4+5=15 1+4+9+16+25 = 55

4,8+5,8+4,3+2,3+2,8=20 1·4,8+2·5,8+3·4,3+4·2,3+5·2,8 = 52,5

Подставляем значения сумм в систему уравнений:

52,5 -55a -15b = 0

20 – 15a – 5 b = 0 (*3)

a = -0.75

20 – 15·(-0.75) = 5b; b = 31,25 : 5 = 6,25

Искомая формула: y = -0,75x + 6,25.

Задача 120

Вычислить неопределенные интегралы:

1)

2)

3)

4) ; Подстановка: t = tg t; x = arctg t,

dx =

5) Подстановка:

Задача 130

Вычислить площадь, ограниченную заданными линиями:

у = х^2­­­­­­­­­, y = 2- x²

Решение:

S =

S

Sкв.ед.

Задача 140

Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной заданными линиями:

(у-3)² +3х = 0, х = -3 вокруг оси Ох

Решение:

V =

V =

=6p∙27 =162p куб.ед.

Литература:

1. Л.Г. Лелевкина, В.В. Попов «Основы высшей математики». Бишкек, КРСУ, 2005 г.

2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление» т.1 М. 1986 г.