Основы математики

Задание № 1

В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд два ряда шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение:

Всего возможно . (это общее количество возможных элементарных исходов испытания). Интересующая нас событие заключается в том, что данная выборка содержит 2 белых шара, подсчитаем число благоприятствующих этому событию вариантов:

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

По формуле полной вероятности имеем:

Задание № 2

Имеется 2 урны: в первой 3 белых и 4 черных шара, во второй 5 белых и 7 черных. Из наудачу выбранной урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение:

Пусть событие А сводится к тому, что шар достали (из одной из урн). Предположим, что:

1) Н1 = шар достали из урны первой

2) Н2 = шар достали из урны второй

Вероятность того, что шар достали из первой урны Р (Н1) = 1/3, а вероятность того, что шар достали из второй урны Р (Н1) = 1/5. Согласно условию задачи в случае Н1 шар достанут с вероятностью: Р (А/Н1) = 3/7, а в случае Н2 – с вероятностью Р (А/Н2) = 5/12. По формуле полной вероятности имеем:

Р (А) = Р (Н1) * Р (А/Н1) + Р (Н2) * Р (А/Н2),

Задание № 3

Дана вероятность p появления события А в серии из n независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:

а) равно к раз;

б) не менее к раз;

в) не менее к₁ раз и не более к₂ раз.

Решение:

В нашем случае р = 0,3, тогда g = 1 – 0,3 = 0,7, n = 6 и к = 3, отсюда вероятность появления события в серии из 6 независимых испытаний:

а) n = 6, к = 3, р = 0,3, тогда g = 0,7. По формуле Бернуле имеем:

=

б) вероятность появления события а не менее 3 раз из независимых испытаний предположим, что событие должно повторяться более 3 раз: Рn (к1;n) = Ф (в) – Ф (а),

Р6 (1; 6) = Ф (3,74) – (+Ф (-0,71)) = 0,6233 + 0,2528 = 0,8761

Так как рассматриваемое событие появляется не менее 3 раз, имеем:

1 – Р_n (К₁; n) = = 1 - 0,8761 = 0,1449

в) вероятность того, что событие появится в серии из 6 независимых испытаний не менее 1 раза и не более 3 раз можно найти по Формуле Лапласа:

Рn (к1; к2) = Ф (в) – Ф (а),

Р6 (1; 3) = Ф (1,07) – (+Ф (-0,71)) = 0,3103 + 0,2528 = 0,5631

Задание № 4

Таблицей задан закон распределения дискретной случайной, величины Х. Найти математическое ожидание М (х), D(х) и среднее квадратическое отклонение σ (х). Закон распределения.

Решение:

М (х) = -2 * 0.2 + (-1) * 0,5 + 0 * 0,1 + 3 * 0,2 = -0,4 – 0,5 + 0 + 0,6 = 0,5

D (х) = М (х²) – (М (х))² , найдем х²;

М (х²) = 4 * 0,2 + 1 * 0,5 + 0 * 0,1 + 9 * 0,2 = 0,8 + 0,5 + 0 + 1,8 = 3,1, тогда D (х) = = 3,1 + (0,5)² = 3,1 – 0,25 = 2,85.

Среднее квадратическое отклонение:

Задание № 5

Дана интегральная функция распределения случайная величина Х. Найти дифференциальную функцию распределения, математическое ожидание М (х), дисперсия D (х) и среднее квадратическое отклонение σ (х).

Решение:

Среднее квадратическое отклонение равно:

Задание № 6

Диаметры деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение диаметра равно d мм, среднее квадратическое отклонение σ мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше, α мм и меньше β мм; вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более, чем на Δ мм.

Решение:

Пусть х – длина детали. Если случайная величина х распределена по нормальному закону, то вероятность ее попадания на отрезок [а; в].

=

Вероятность отклонения длины детали от ее математического ожидания а не больше, чем на d = 1 мм, очевидно, что есть вероятность того, что длина детали попадает в интервал [а - d; а + d] и потому вычисляется также с помощью функции Лапласа:

Задание № 7

Признак Х представлен дискретным выборочным распределением в виде таблицы выборочных значений (таблица 1). Требуется:

‾ составить интервальное распределение выборки;

‾ построить гистограмму относительных частот;

‾ перейти от составленного интервального распределения к точечному выборочному распределению, взяв за значение признака середины частичных интервалов;

‾ построить полигон относительных частот;

‾ найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

‾ вычислить все точечные статистические оценки числовых характеристик признака: среднее х; выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию; выборочное среднее квадратическое отклонение и исправленное среднее квадратическое отклонение S;

‾ считая первый столбец таблицы 1 выборкой значений признака X, а второй столбец выборкой значений Y, оценить тесноту линейной корреляционной зависимости между признаками и составить выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

Таблица 1 Таблица выборочных значений

Решение:

1) определим максимальное и минимальное значение имеющихся значений: х_min = 26,7 х_max = 99,9

2) Выстроим в порядке возрастания, имеющиеся у нас значения (табл.2)

Таблица 2

3) Определим размах R: R = х_max - х_min = 99,9 - 26,7 = 73,2

Нижняя граница х₀ = х_min – L / 2 = 26,7 – 10 / 2 = 21,7;

Верхняя граница х_i = х_max + L / 2 = 99.9 + 10 / 2 = 104,9,

следовательно, у нас имеются интервалы: [21,7; 31,7); [31,7; 41,7); [41,7; 51,7); [51,7; 61,7); [61,7; 71,7); [71,7; 81,7); [81,7; 91,7); [91,7; 104,7].

5) wi = ni / n

Рис. 1. Гистограмма относительных частот

Перейдем от составленного интервального распределения к точечному выборочному распределению, взяв за значение признака середины частичных интервалов. Построим полигон относительных частот и найдем эмпирическую функцию распределения, построим ее график:

Рис. 2. График интервального распределения.

Рис. 3. График эмпирической функции распределения

= ∑ x_iw_i= ∑ x_iw_i

∑ x_i w_i = 26,7 * 0,01 + 36,7 * 0,09 + 46,7 * 0,14 + 56,7 * 0,19 + 66,7 * 0,29 + 76,7 * 0,14 + 86,7 *0,08 + 98,3 * 0,06 =26,71 + 3, 303 + 6,538 + 10,773 +

+ 19,343 + 10,738 + 6,936 + 5,898 = 90,2

= ∑ = = (26,7 – 90,2)² * 0,01 +(36,7 – 90,2) ² *0,09 + (46,7 – 90,2) ² * 0,14 + (56,7 – 90,2) ² * 0,19 + (66,7 – 90,2) ² * 0,29 + (76,7 – 90,2) ² *0,14 + (86,7 – 90,2) ² * 0,08 + (98,3 – 90,2) ² * 0,06 = 40,32 + 257,6 + 264,92 +213,23 + 160,15 + 25,52 + 0,98 + 3,94 = 966,66

Задание № 8

Даны среднее квадратическое отклонение σ, выборочное среднее и объем выборки nнормального распределенного признака генеральной совокупности. Найти доверительные интервалы для оценки генеральной средней с заданной надежностью γ.

Решение:

Доверительный интервал, в котором с вероятностью γ будет находиться средний интервал совокупности) для нормального распределения случайной величины с известным квадратичным отклонением σ, выборочной средней и объемом выборки n равен.

t – решение уравнения 2Ф (t) = γ, Ф (t) – функция Лапласа. В нашем случае Ф (t) = = 0,475, следовательно, значение Ф (t) соответствует t = 2,13, тогда доверительный интервал будет равен:

.

В этом интервале с вероятностью γ = 0,95, будет находиться средняя генеральной совокупности.

Задание № 9

Даны исправленное среднее квадратическое отклонение S, выборочное среднее и объем выборки n нормально распределенного признака генеральной совокупности. Пользуясь распределением Стьюдента, найти доверительные интервалы для оценки генеральной средней , с заданной надежностью γ.

Решение:

Доверительный интервал, для нормального распределения случайной величины с известным квадратичным отклонением σ, но с известным исправленным средним квадратичным отклонением S, выборочной средней и объемом выборки n и доверительной вероятностью γ, имеет вид.

где t_γ = t (γ; n) – коэффициенты Стьюдента, значения n = 18 и γ = 0,99, t_γ = 2,39, то есть t (0,99; 18) = 2,39.

Тогда доверительный интервал:

В интервале (112,16; 126,84) с вероятностью γ = 0,99 будет находиться средняя генеральной совокупности.

Задание № 10

При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты.

Решение:

В соответствии с критерием согласия х ² (Пирсона) определим наблюдаемое значение критерия:

Таким образом, Х_о² = 2,91, по таблице критических точек распределения при уровне значимости d = 0,05 и числе степени свободы к = m – 3 = 7 – 3 = 4, где m – число различных вариантов выборки, находим: Х_кр².

Х_кр² = х² (0,05; 4) = 8,0

Так как Х_о² <Х_кр², то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.