#21{Производнаядиф…} {O}Производнойf(x)в т. х0- называетсяпредел отношениеприращенияф-ции к соответсвующемуприращениюаргумента,когда последние0;f'(x0)=lim_x0(f(x0+x)-f(x0))/x{O}A=constВырожение Ах–назыв. дифференциаломф-ции fв т. х0 и обозначаютdyили df(x);Приращениехобозначаютdxи называютдефференциаломнезависимойпеременнойт.о. dy=Adx{Т} Если у ф-цииf(x)в (.) x0существутпроизводнаято ф-ция непрерывнав (.) х0 {Док-во} Пустьy=f(x0+x)-f(x0)т.к. lim_x0y/x=f’(x0)y/x=f’(x0)+(x),где (x)0при х0y=f’(x0)x+(x),где (х)0при х0y=f’(x0)x+(x)xlim_x0y=0в f(x)-непрерывнов т.х0 {O}y=f(x)-определённаяв U(x0) в т.х0 называетсядифференцируемойпри х=х0 ислиеё приращениеу=f(x0+x)-f(x0),x0+xU(x0)можно представитьв виде у=Ах+о(х),х0{Т}Для того, чтобыф-ция y=f(x)была дифференцируема,необходимои достаточночтобы она вэтой точкеимела дифференциал.{Док-во} Пустьy=f(x)диффер-ма в х0y=f(x0+x)-f(x0)=Ax+o(x),x0;lim_x0y/x=lim_x0(A+o(x)/x)=A;т.о. в т. х0 f’(x0)=lim_x0y/x=A{Обратно} Пустьф-ция y=f(x)имеет в т. х0f’(x0)=lim_x0y/xy/x=f’(x0)+(x),lim_x0(x)=0y=f’(x0)x+(x)xy=f’(x0)x+o(x),x0ф-ция f-дифференцируемав т. х0

№22{Геометрическийсмысл произ}Пусть ф-цияy=f(x)-определенаи непрерывнана (a;b)x0,x0+x(a,b),y0=f(x0),y0+y=f(x0+x)M0(x0,y0)M(x0+x,y0+y){картинка}проведём секущуюMM0её ур-ние имеетвид y=y0+k(x)(x-x0),k(x)=y/x;Всилу непрерывностиy=f(x)в т.(х0) у0при х0|M0M|=(x+y)0при х0В этом случаеговорят чтоMM0{О} Если lim_x0k(x)=k0то прямая уравнениекоторой y=y0+k(x)(x-x0)получаетсяиз ур-ния k(x)=y/xпри х0называетсянаклоннойкасательнойк графику ф-цииу=f(x)в (.) (х0,у0) Т.к. k(x)=y/x,то k0=lim_x0k(x)=lim_x0y/x=f’(x0)уравнениекасательнойимеет видy=y0+f’(x0)(x-x0); f’(x0)=tg;причём y=y0+k0(x-x0)–называетсяпредельнымположением;y=y0+k(x)(x-x0)касательнаяесть предельноеположениесекущей приM0Mт.к. f’(x0)(x-x0)=dyто dy=y-y0где у-текущаяордината касательной.Т.е. дифференциалф-ции в (.) х0 естьприращениеординатыкасательной.{Уравнениенормали.} Нормальюк графику ф-цииy=f(x)в (.) (х0,у0) называетсяпрямая роходящаячерез эту точкуперпендикулярнокасат к графикуэтйф-ции. Его можнонаписать, знаяточку, черезкоторую онапроходит иугловой коэффициент k=-1/f’(x0); y-f(x0)=-1(x-x0)/f’(x0) xи y– точки на нормали

#23Пусть ф-цииU(x)и V(x)–дифференцируемыв (.) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV;2)d(UV)=(UV)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv;3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V=(U'Vdx-V’Udx)/V=(Vdu-Udv)/V

№24 {Производнаяот сложнойф-ии.} Dh:Пусть: z=f(y)- дифф. в точкеy₀; y=(x)  дифф.в точке х₀.   y0=(x0)тогда сложнаяф-ия z=f((x))-дифф. в точкех₀и справедливаформула:z’_x=z’_yy’_x=f’(y)’(x); dz/dx=dz/dydy/dx{Док}Т.к. z=f(y)- дифф. в точкеy₀z=f’(y0)y+(y);Т.к. y=(x)-дифф. в точкех₀y=’(x0)x+(x);z=f’(y0)’(x0)x+f’(y0)(x)+(y);Т.к y=(x)- дифф. в точкех₀а значит непрерывнав этой точке(x0y0).(x)=f’(x0)(x)+(y);lim_x0/x;lim_x0(x)/x=lim_x0[f’(x0)(x)/x+(y)/x]=lim_x0(y)/x=lim_x0(y)/ylim_x0y/x=’(x0);(f((x)))=(f’(y0)’(x0))x+(x),гдеlim_x0(x)/x=0(f((x)))’_x=z’_x=f’(y0)’(x0)

#25{Производнаяот обратнойф-ии.} Пусть y=f(x)в точке х0 имеет:1) f’(x)0,2) на промежутке,содержащемх0, обратнуюф-цию y=f^-1(x)=(y)3) y0=f(x0);тогда в (.) х0 существуетf’()0,равная '(y0)=1/f’(x0).{Док-во} Пустьx=(y)и двум различнымзначениям хсоответсвуете различныхзначений у.xx0yy0x0y0y/x=1/y/x; Пусть y=f(x)дифф. в точкеx0тогда lim_x0y=0x0y0f’(x0)=lim_x0y/x=lim_y01/y/x=1/lim_y0x/y=1/’(y0); f’(x0)0’(y0)=1/f’(x0)

#26{Логарифмическаяпроизводная}y=[u(x)]^v(x),u(x)>0;lny=v(x)lnu(x);y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)u’(x)/u(x);y’=u^v(v’lnu+vu’/u);(lny)’=y’/y-логарифмическаяпроизводнаяф-ции {Производныеосновных элементарныхф-ций} 1) y=Consty=c-c=0lim_x0y/x(C)’=0; 2) y=sinxy’=cosx3)(cosx)’=-sinx4) (a^x)’=a^xlna5)(arcsinx)’=1/1-x6)(arccosx)’=-1/(1-x)7) (arctgx)’=1/(1+x)8) (arcctgx)’=-1/(1+x)9) (lnx)’=1/x; 10) (x^)’=x^-1

#27 {Производныеи дифференциалывыс. порядков}{О}Пусть y=f(x);f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))’т.о. если говорятчто у ф-ции y=f(x)в (.) существуетпроизводнаяn-огопорядка то этоозначает, чтов некоторойокресности(.) х0 определенопроизведение n-1–ого порядка,которая самаимеет производнуюв (.) х0 f^(n-1)(x0)Эта последняяпроизводнаяи наз. n-огопорядка отф-ции f{}Дифференциалn-огопорядка} {О}dⁿf(x)=d(d^n-1f(x))При взятиидифференциаласледует учитывать,что величинаdxесть произвольноене зависящееот х число котороенадо рассматриватькак постоянныймножитель привзятии производнойdy=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx;dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ;f⁽ⁿ⁾=dⁿy/dxⁿ ) uv⁽ⁿ⁾= u⁽ⁿ⁾v+ C_n¹u^(n-1)v'+C_n²u^(n-2)v''+ … +C¹_nu^(n-k)v^(k)+ uv⁽ⁿ⁾=_k=0ⁿC^k_n u^(n-k)v^(k),(формулаЛейбница), ГдеC_n^k =n!/k!(n-k)!, 0! = 1, v⁽⁰⁾=v. (u + v)⁽ⁿ⁾= _k=0ⁿC^k_nu^(n-k)v^(k)-биномНьютона. формулаЛейбница доказываетсяпо индукции.

#28{Параметрическоедифференцирование} Пусть x=x(t),y=y(t)определеныв окрестностиt0t=t(x)x0=x(t0)Определенасложная ф-цияФ(х)=у(t(x))которая называетсяпараметрическизаданным уравнением.Предположимчто x(t)и g(t)имеют производныев т. х0 тогда ф-цииФ(х)=у(t(x))также имеютпроизводнуюв (.) х0 и она равнаФ’(x)=y’_t(t0)/x’_t(t0)Действительнопо правилудифференцированиясложной ф-цииФ’(x0)=y’_t(t0)t’_x(x0);t’_x(x0)=1/x’_t(t0) Ф(э(х0)=y’_t(t0)/x’_t(t0)x’(t0)0 Если ф-ция x(t)и g(t)имеет производнуюx’’(t0)y’’(t0)то Ф’’(x0)равно =(Ф’(x))’_x|x=0=(y’t/x’)’_x|_x=x0=(y’_t/x’_t|_t|_t=t0t’_x|_x=x0=y’’_tt(t0)x’_t(t0)-y’_t(t0)x_tt’’(t0)/(x’_t(t0))

#29Теорема (Ферма).Еслифункцияf(x)имеет про­изводнуюв точке с и достигаетв этой точкенаибольшее(наим)значение, тоf’(с)=0.Доказательство.Для определенностибудем считать,чтоf(x)имеет в точкеслокальныймаксимум. Пооп­ределениюпроизводнойимеем f’(c)=lim_x(f(c+x)-f(c))/x;Так как у насf(c)>=f(x)xU(с),то для достаточномалых x>0;(f(c+x)-f(c))/x откудав пределе приx0получим, чтоf’(с)xx)-f(c))/x>=0поэтому, переходяк пределу приx0в этом нера­венстве,получаем, чтоf’(с)>=0.Изсоотношений вытекает,что f'(c)=0.

#30Теорема (Ролля).Еслифункция y=f(x)непре­рывнана [а,b], дифференцируемана (а, b) и f(а)==f(b), тосуществуетточкаc0(а,b),такая,чтоf'(c)=0.Доказательство.Еслиfпостоянна на[а, b],то для всехc(a,b) производнаяf'(c)=0.

Будемтеперь считать,чтоfнепостояннана [а, b].Таккакfнепрерывнана [а, b],то существуетточка x1[а, b],в которойfдостигаетмаксимума на[а, b] и существуетточка х2[а,b],в кото­рой fдостигаетминимума на[а, b].Обе точки немогут бытьконцевымиточками отрезка[а,b],потому чтоиначе maxf(x)=minf(x)=f(a)=f(b)иf былабы постояннойна [а,b].Следовательно,одна из точекx1,х2принадлежитк интервалу(а, b).Обозна­чимее через c.В ней достигаетсялокальныйэкстремум.Кроме того,f'(c)существует,потому что поусловиюf'(x)существуетдля всех х(а,b).Поэтому потеореме Фермаf’(c)=0.{}Теорема Ролляимеет простойгеометри­ческийсмысл. Есливыполненыусловия теоремы,то на графикефункции y=f(x)существуетточка (c,f(c))касательнаяв кото­ройпараллельнаоси х.

#31 Теорема(Лагранжа).Пустьфункция f(x)непрерывнана отрезке [а,b] иимеет про­изводнуюна интервале(а,b).Тогда существуетна ин­тервале(а, b) точка с, длякоторой выполняетсяравенство(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (аtg=k=(f(b)-f(a))/(b-a)существуетт. с в которойкасат. к графикупараллельнастяг прям концовкрив. Рассмотрим вспомогательнуюфунк-циюF(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a)данная функ-цияудовлетворяетвсем условиямтеор Ролля,т.к. она непрерывана [a,b]в силу непрерывнотси f(x)и (x-a)и имеет наинтервале(a,b)F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a) x(a,b)и F(a)=0=F(b)по теоремеРолля с(a,b)| F’(c)=0f^’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0

Теорема Лагранжа имеетпростой геометрическийсмысл, еслизаписать еев виде(f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c)(acb)Леваячасть этогоравенства естьтангенс угланаклона к осиххорды, стягивающейточки (a,f(a))и (b,f(b))графикафункции y=f(x),а правая частьесть тангенсугла наклонакасательнойк графику внекоторойпро­межуточнойточке с абсциссойс(а,b). ТеоремаЛагранжа утверждает,что если кривая есть графикнепре­рывнойна [а, b] функции,имеющей производнуюна (a, b),то на этой кри­войсуществуетточка, соответствующаянекоторойабсциссе с(асb)такая, чтокасательнаяк кривой в этойточке параллельнахорде, стягивающейконцы кривой(а, f(а)) и (b,f(b))

#32Теорема(Коши).Еслифункции f(x)и g(x)не­прерывнына [а, b] и дифференцируемына (а, b), и g'(x)0в (а, b), то существуетточкаc(a,b) такая,что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)

Доказательство.Отметим, чтоg(b)-g(a)0,таккак в противномслучае, по теоремеРолля нашласьбы точка gтакая, что g'(c)=0,чего быть неможет по условиютеоремы. СоставимвспомогательнуюфункциюF(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a)) В силу условиятеоремы этафункция Fнепрерывнана [а,b], дифференцируемана (а,b) и F(a)=0,F(b)=0.Применяятеорему Ролля,получим, чтосуществуетточка c(a,b),в которой F'(c)=0Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))g’(x)/(g(b)-g(a)) поэтому, подставляявместо хточкуc, получаемутверж­дениетеоремы.

#33(ПравилоЛапиталя) 1)Ф-цииf(x)и g(x)опред на полуинтервале(a,b];2) lim_xa+0f(x)=lim_xa+0g(x)=0;3) Существуютпроизв (конечн)f’(x)andg’(x)на (a,b]y’0; 4) Сущесвует(конечн илинет) lim_xa+0f’(x)/g’(x)=kтогда lim_xa+0f(x)/g(x)=k{Док-во} доопределимф-ции f(x)и g(x)при x=aналожив f(0)=g(0)=0; Тогда мы получимнепрерывныена отрезке[a;b]ф-ции (т.к. в т.aзнак а fи gсовпадают созначениямипределов, а востальныхточках непрерывностьвытекает изсуществованияпроизводных)По теоремеКоши.f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c);где a0( т.к. если g(x)=0=g(0)(a,x)g’()=0-этоне возможнопо условию. Если xacalim_xa+0f(x)/g(x)=lim_xa+0f’(x)/g’(x)=k{}{T2}Пусть1)f,gопр и непр наположит [c;+)c>0; 2) lim_x+f(x)=lim_xa+g(x)=0;3)Сущ(кон) произвf’(x)andg’(x)на [c,+) g’(x)0;4)lim_xa+f’(x)/g’(x)=kТогда lim_xa+f(x)/g(x)=k{д} Замена t=1/x,если x+t0по условию 2)lim_t0f(1/x)=lim_t0g(1/x)=0;По усл 4) lim_t0f’(1/t)/g’(1/t)=kпот1 lim_xa+f(x)/g(x)=lim_xa+f’(x)/g’(x)=k {}{T3}1)Ф-цииf(x)и g(x)опред на полуинтервале(a,b];2) lim_xa+0f(x)=+;lim_xa+0g(x)=+;3) Существуютпроизв (конечн)f’(x)andg’(x)на (a,b]y’0; 4) Сущесвует(конечн илинет) lim_xa+0f’(x)/g’(x)=kтогда lim_xa+0f(x)/g(x)=k

#34Ф-ла Тейлора{Т} Путь ф-цияy=f(x)опред и непрна (a,b)и имеет в т.х(a,b)производныедо порядка nвключительноf’(x),f’’(x),…,f⁽ⁿ⁾(x); f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+f’(x0)(x-x0)/2!+…+f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)⁽ⁿ⁾/n!+o((x-x0)ⁿ)-формулаТейлора с остаточнымчленом Пеано.f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+f’(x0)(x-x0)/2!+…+f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)⁽ⁿ⁾/n!+f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-x0)ⁿ⁺¹/(n+1)!-формулаТейлора с остаточнымчленом Лагранжа.Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)ⁿ/n!-ф-лаТейлора в степениn,а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточныйчлен ф-лы Тейлора;При х=0 ф-ла Маклорена.{Д} Найдём многочленPn(x)=A0+A,(x-x0)ⁿ;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn⁽ⁿ⁾(x0)=f⁽ⁿ⁾(x0) (1) Дифференцируяданный многочленполучимPn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)ⁿ;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn⁽ⁿ⁾(xn)=f⁽ⁿ⁾(x0);Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)^n-1; P’’n(x)=2A2+32A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)^n-2;Pn⁽ⁿ⁾=n(n-1)(n-2)…An;P(x0)=A0=f^(x0);Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fⁿ(x0)(x-x0)/2!+…+f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)ⁿ/n!;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn⁽ⁿ⁾(x0)=f⁽ⁿ⁾(x0); r_n(x)=f(x)-Pn(x)Т.к. деференцирr_n^(n-1)(x)диф-фма в ()x0то lim_xx0r_n^(n-1)(x)/(x-x0)=lim_xx0(r_n^(n-1)(x))-r_n^n-1(x0)/(x-x0)=r_nⁿ(x0) Раскрывая поправилу Лапиталяполучимlim_xx0r_n(x)/(x-x0)ⁿ=lim_xx0r_n’(x)/n(x-x0)^n-1=…=lim_xx0r_n^(n-1)(x)/n!(x-x0)=r_n⁽ⁿ⁾(x)/n!=0r_n(x)=o((x-x0)ⁿ),xx0

#35Разложениеосновных элементарныхф-ций по формулеМаклорена.1)f(x)=e^x,f(0)=1,f^(k)(x)=e^x,f^(k)(0)=1,e^x=1+x+x/2!+…+xⁿ/n!+o(xⁿ),x0;2)f(x)=sinx,f(0)=0,f’(x)=cosx,f’’(x)=-sinx,f’’’(x)=-cosx,f^(IV)(x)=sinx,…;f^(k)(x)={(-1)^msinx,k=2m{(-1)^m-1cosx,k=2m-1m=1,2,…;f^(2m-1)(0)=(-1)^m-1полагаяn=2mполучимsinx=x-x³/3!+x⁵/5!-…+(-1)^n-1x^2m-1/(2m-1)!+o(x)^2m,x0;cosx=1-x/2!+x⁴/2!-x⁶/6!+….+(-1)^mx^2m/(2m)!+o(x^2m+1),x0;4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0,f’(x)=1/(1+x),f’’(x)=-1/(1+x),f’’’(x)=2/(1+x)³…,f^(k)(x)=(-1)^k-1(k-1)/(1+x)^k;f^(k)(0)=(-1)^k-1(k-1)!Подставим вформулу Тейлораl(1+x)=x-x/2+x³/3+..+(-1)^n-1xⁿ/n+o(xⁿ),x0; 5)f(x)=(1+x)^ f(0)=1,f’(x)=(1+x)^-1,f’’(x)=(-1)(1+x)^-2;f^(k)(x)=(-1)…(-k+1)(1+x)^-k;f^(k)(0)=(-1)…(-k+1);(1+x)^=1+x+(-1)x/2!+…+(-1)…(-n+1)xⁿ/n!+o(xⁿ),x0

#36 Признакмонотонностиф-ции. {Т} Пустьф-ция f(x)дифференцируемана (a,b),для того, чтобыф-ция возрастала(убывала)на этом интерваленеобходимои достаточночтобы во всехточках этогоинтервалавыполнялосьf’(x)>=0(f’(x)0(f’(x)(a,b),x>0,тогда f(x0+x)-f(x0)>=0;x0;(yy/x>=0(y/xf’(x0)=lim_x0y/x>=0(f’(x0)x(a,b)f’(x)>=0(f’(x)0,f’(c)>=0 (f’(c)f(x2)-f(x1)>=0(f(x2)-f(x1)f(x2)>=f(x1) (f(x2)ф-ция возрастает(убывает) Еслиf’(x)>0x(a,b) (f’(x)(a,b))f’(c)>0(f’(c)f(x2)-f(x1)>0(f(x2)-f(x1)

#37{Т}Пусть()x0–являетсяточкой экстремумаф-ции f(x),тогда производнаяв этой точке=0 либо не существует.{Док} Т.к. (.) x0–экстремумU(x0,)| xU(x0,)f(x)>=f(x0)или f(x))по теорме Фермапроизв еслиона сущ то =0 {Т}Достаточноеусловие экстремума:Пусть ф-цияy=f(x)дифференцируемав некоторойокресности(.) x0за исключениембыть можетсамой точких0 в которойона непрерывна.Тогда если припереходе черезточку х0 производнаяф-ции меняетзнак (т.е. >=0| x(x0,x0+]f’(x)0),а x(x0-,x0]f’(x)0)то х0 являетсяэкстремумомпри этом дляx(,x0+);f’(x)>0,aдля x(x0-,x0)f’(x)(x0-,x0)f’(x)(x0,x0+)f’(x)>0то xo-мин.{До} Пусть дляx(x0-,x0)f’(x)>0для x(x0,x0+)f”(x)f=f(x)-f(x0)=f’()(x-x0)между х0 и х Еслих>x0x-x0>0x0)fx-x0)>0f>0f(x)

#38Пусть y=f(x)определенаи непрерывнана промежуткеХ ф-ции называетсявыпуклой (вогнутой)если x1,x2Xвыполняетсянер-во f(q1x1+q2x2)=q1f(x1)+q2f(x2)),где q1>0,q2>0,q1+q2=1Геом интопрет:x=q1x1+q2x2(x10,q2>0,q1+q2=1тогда т.х лежитмежду точкамих1 и х2{Док-во}(x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0x>x1x2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0x1хq1x1+q2x2 q1=(x2-x)/(x2-x1);q1=(x-x1)/(x2-x1)выполненонеравенство(f(x)-f(x1))/(x-x1)=)(f(x2)-f(x))/x2-x1)(1) {Т1} Пусть ф f(x)опред. и непрерыв.на пром. Х и имеетна этом пром.кон . произв.Для того чтобывыпукла(вогнута)f’(x)-возратала(убывала)на Х {Док-во} Пустьф-ция выпуклана Х и х1х1или хх2получимf’(x1)x1(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)x1f’(x) производнаявозрастает{Обр} Пусть произв.возрост. то потеор Лагранжа(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’()Причём т.к.(f’(1)2)выполненонер-во 1 ф-ция выпукла.{Т} Пусть ф-цияy=f(x)определенаи непрерывнавместе со своейпроизводнойна промежутке(Х) и имеет наэтом промежуткеконечную вторуюпроизводную,для того чтобыф-ция была выпуклой( вогнутой) наXнеобходимои достаточно,чтобы на этомпромежуткевыполнялосьнер-во f’’(x)>=0(f’’(x)f’– возрастает(убывает)f’’=0){(.) перегиба} Пустьy=f(x)–дифференцируемав (.) x0и y=e(x)-ур-ниекасательнойк графику ф-цииу=f(x)в (.) х0. Если припереходе через(.) х0 выражениеf(x)-e(x)-меняет свойзнак то (.) х0 называетсяточкой перегиба.{T}Достаточноеусловие точкиперегиба. Еслих0 являетсяточкой перегибаф-ции f(x)и вэтой точкесуществуетвторая производная,то она равна0 {Д} Уравнениекасательнойк графику ф-цииy=f(x)в т. х0 имеет видL(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)Разложим ф-циюf(x)в окр. т. х0 поТейлору с остаточнымчленом в формеПеано:f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)/2!+(x)(x-x0),(x)0при xx0; f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2(x))(x-x0)/2!; Если предположитьчто f’’(x)0то т.к. (х)0при хх0в достаточномалой окр. т.х0 знак в правойчсти аоследнегоравенствасовпадает сознаком f’’(x)при переходечерез т. х0 выражениеf(x)-L(x)не меняет знак,значит т. х0 неявляется точкойперегиба, а этопротиворечитусловию f’(x0)=0{Т}Достаточноеусловие (.) перегиба:Пусть ф-цияy=f(x)дифференцируемав (.) х0 и дваждыдифференцируемав некоторойвыколотойокрестностиU(x0,)Если при переходечерез (.) х0 f’’меняет знак,то это точкаперегиба.{Док-во}Рассмотримf(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(потеореме Лагранжа; лежит междух и х0) =f’()(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(ТЛагранжа леж ме/ду и х0)=(x-x0)(f’()-f’(x0))=(x-x0)(-x0)f’’();Т.к. т-ка лежит междух0 их то т-ки хи лежат по однусторону от т.х0 (х-х0)(-х0)>0поэьому знакf(x)-L(x)совпадает сознаком f’’();Т.к. т. лежит междуи х0 то т-ки х илежат по однусторону от т.х0 Если при переходечерез т. х0 втораяпроизводнаяменяет знакто и вырожениеf(x)-L(x)-также меняетсвой знак х0-т. перегиба.

#39 Асимптоты:Пустькривая заданаур-нием y=f(x)где х>A=constи ф-ция f(x)– непрерывнапри всех x>A.Пусь прямаяL:задана ур-нием: y=ax+b.Если расстояниеот точки А (x,f(x))до прямой L стремитьсяк 0 при неограниченномвозрастаниих, то прямаяназываетсяасимптотойкривой гаммысоответсвующейх+ Аналогичнопри х-{}Найдёмрасстояниедо пр L(x)=|f(x)-ax-b|/(1+a)Т.к. прямая L–являетсяасимптотойто lim_x+(x)=0lim_x+(f(x)-ax-b)=0lim_x+(f(x)/x-a-b/x)=0lim_x+(f(x)/x-a)=0a=lim_x+f(x)/x; b=lim_x+(f(x)-ax).Для отысканияасимтоты необходимовычислитьlim_x+f(x)/xесли этот limнесущ то асимтотысоответсвующейк стремлениюх+нет. Если этотпредел существуети = а то находимbтогда y=ax+b–являетсяасимтотой.{}Пусть функ-цииy=f(x)определенавозможно водностороннейокрестностит. х0 и если дляэтой ф-циивыполняетсяхотябы одноиз равенствlim_xх0-0f(x)=lim_xх0+0f(x)=то прямая х=х0называетсявертикальнойасимптотой.

#40 {O}Ф-цияF(x)называетсяпервообразнойдля ф-ции f(x)на промежуткеХ если эта ф-цияДифференцирунмана этом промежуткеи во всех точкахпромежуткавыполняетсяравенствоF’(x)=f(x){T}Для того чтобыдве дифференцируемыеф-ци F(x)и (x)были первообразнымидля одной и тойже ф-ции f(x)необходимои достаточночтобы они отличалисьна const{Док-во}ПустьF(x)– первообразнаядля f(x)тогда тогдаF’(x)=f(x)(F(x)+c)’=F’(x)=f(x)F(x)+c-первообразнаядля f(x)Если F(x)и (x)– первообразныедля f(x)то рассмотримф-цию (х)=F(x)-(x)для неё’(x)=F’(x)-’(x)=f(x)-f(x)=0Пусть х1,x2Xпотеореме Лагранжа(х2)-(х1)=’(c)(x2-x1)=0т.е (x2)=(x1)(x)=c=const{T}Если F1(x)и F2(x)-двепервообразныедля f(x)на (a,b),то F1(x)-F2(x)=Cна (a,b),где C-некотораяпостоянная.

#41{O}Пусть ф-цияf(x)определенона Х мн-во всехпервообразныхф-ции f(x)на пром Х называетсянеопределённыминтеграломи обозначаетсяf(x)dx; Если F(x)-первообразнаядля f(x)то f(x)dx=F(x)+C;{Cв-ва}1)Если ф-ция F(x)дифференцируемана Х, то F’(x)dx=F’(x)+C;2)Если ф-ция f(x)имеет первообразнуюна Х то для всехточек из этогопромежуткаd(f(x)dx)=f(x)dx;3)Пусть f1andf2имеют на промежуткеХ первообразнуютогда ф-цияf1+f2–также имеетна этом промежуткепервообразнуюи выполненоравенство(f1(x)+f2(x))dx=f1(x)dx+f2(x)dx{д} пусть F1(x)-первообразнаядля f1(x),F2(x)-первообразнаядля f2(x),тогда F1(x)+f2(x)-непрерывнадля f1(x)+f2(x),т.к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)=f1(x)+f2(x);5)Если F(x)–первооб дляf(x),то f(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C{д} в самом деле[1/aF(ax+b)]’=1/aaF’(ax+b)=f(ax+b);

#42Метод заменыпеременой внеоп:Пусть f(x)определенаи непрерывнана соответствующеминтервале их=(t)–непрерывнодифференцируемаф-ция на некотороминтервалеизменения t,тогдаf(x)dx=f((t))’(t)dt+C=f((t))d((t))+C-ф-цияинтегрированиязамены переменной.{Т по частям}Пусть ф-цияU(x),V(x)–дифференцируемана некоторомпромежуткеХ и существуетU(x)V’(x)dxтогда существуетинтегралV(x)U’(x)dx=U(x)V(x)-U(x)V’(x)dx–ф-ла дифференцированияпо частям. {Док-во}Т.к. ф-ция U(x)и V(x)дифференцируемына промежуткеХ то по правилудифференцированияпроизведенияполучим(UV)’=U’V+UV’U’V=(UV)’-UV’;Т.к. существуетитегралл UV’dx по условиюЕсли (UV)’dx=UV+Cто U’Vdx=(UV)’dx-UV’dx=UV-UV’dx+Cпроизводнуюпостояннуюк U’Vdx=UV-UV’dx;Примерe^xsinxdx=e^xsinx-e^xcosxdx=|U’(x)=exV’(x)=sinx|=exsinx-(e^xcosx-e^xsinxdx);e^xsinxdx=e^xsinx-e^xcox-e^xsinxdx;2e^xsinxdx=e^xsinx-e^xcosxe^xsinxdx=(e^xsinx-e^xcosx)/2

#43Поосновной теоремеалгебры каждыймногочленстепени nимеет n–корней с учётомкратностиPn(z)=A1(z-z1)^k1…(z-zs)^ks,k1+…+ks=n;Пусть а-коренькр-ти м многочленаPn(z)Pn(z)=(z-a)^mQ_n-m(z)a-коренькр-ти mмногочлена Pn(z);Пусть многочленPn(x)-имеет действительныйкоофицент,тогда Pn(x)Pn(x)xRПо доказанному:Если комплексноечисло а являетсямногочленомPn(x)то аявляется такжекорнем этогомногочленатой же кратности.Т.к. (z-a)(z-a)является многочленомс действительныммногочленомPn(x)=(x-a1)^1…(x-ar)^r(x-z1)^1…(x-zs)^bs(x-zs)^s=(x-a1)^1…(x-ar)^r(x+p1x+q1)^1…(x+psx+qs)^s; Pj/4-qjR,Pj,qjR{Лема} Пусть Pxи Qx–многочленыс действительнымикоофицентами,причём степеньdegP(x)mQ1(x),Q1(a)0то сущ действительноечисло А и многочленс действительнымичислами P1(x),ARтакие, чтоP(x)/Q(x)=A/(x-a)^m+P1(x)/(x-a)^m-1Q1(x){}Пусть P(x)и Q(x)–многочленыс действительнымикоофициентами,причём degP(x)0-являетсякорнем кратностиmQ(x),т.е. имеет месторавенствоQ(x)=(x+px+q)^mQ1(x),Q1(z1)0,p/4-qRи многочленс действ. кооф.P1(x)такие что имеетместо равенствоP(x)/Q(x)=(Mx+N)/(x+px+q)^m+P1(x)/(x2+px+q)^m-1Q1(x);При любых действитMи Nимеет место:P(x)/Q(x)=(Mx+N)/x+px+q)^m+P(x)/Q(x)-(Mx+N)/(x+px+q)^m=(Mx+N)/(x+px+q)^m+(P(x)-(Mx+N)Q1(x))/(x+px+q)^mQ1(x) {T}ПустьP(x)andQ(x)–многочленыс действ многочленамипричём degP(x)(x-a1)^1…(x-ar)^r(x+p1x+q)(x+psx+qs)^ps,a1,…,arR,p1q1..psqsR,Pj/4-qji^(j),I=1,..,r;j=1,…,_IM_i^(j),N_i^(j),I=1,…,s; j=1,…,_I;P(x)/Q(x)=A₁⁽¹⁾/(x-a1)^1+..+A₁^(1)/(x-a1)+…+A₂⁽¹⁾/(x-a2)^2+…+A₂^(2)/(x-a2)^2+(M₁⁽¹⁾x+N₁⁽¹⁾)/(x+p1x+q1)^1+…+(M₁^(1)x+N₁^(1))/(x+p1x+q1)+…+(M_s⁽¹⁾x+N_s⁽¹⁾)/(x+ps+qs)^s+…+(Ms^()x+N_s^(s))/(x+psx+qs).; {}Из этого следуетчтоот правильнойрациональнойдроби сводитьсяк интегралуследующихпростейшихдробей 1.Adx/(x-a)=Aln|x-a|+C; 2.Adx/(x-a)^m=A(x-a)^-mdx=A/(1-m)(x-a)^m-1+C3.(Mx+N)dx/(x+px+q)=(M/2)ln(x+px+q)+(N-MP/2)(1/a)arctg(x+P/2)/a+C4.(Mx+N)dx/(x+px+q)^m=M/2(1-m)(x+px+q)^m-1+(N-MP/2)dt/(t+a)^m

#44Ф-цию видаR(x,^m(ax+b)/(cx+d)–называютдробно линейнойиррациональностью.С помощью заменыt=^m(ax+b)/(cx+d)рационализируеминтеграл.t^m=(ax+b)/(cx+d);x=(b-dt^m)/(ct^m-a)–рациональнаяф-ция от t;dx=(mt^m-1(ad-bc)dt)/(ct^m-a) R(x,^m(ax+b)/(cx+d))dx=R((b-dt^m)/(ct^m-a),t)(mt^m-1(ad-bc)dt)/(ct^m-a)=R1(t)dt.R1(t)-рациональная.{}Вида R(x,ax+bx+c)dx,-квадратичнаяиррациональность где а, b,c–постоянныечисла. Еслитрёхчлен ax+bx+cимеет действительныекорни х1 х2 тоax+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,ax+bx+c)=R(x,(x-x1)(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,(x-x2)/(x-x1); поэтому пустьax+bx+cне имеет действиткорней и а>0.Тогда подстановка(Эйлера) t=(ax+bx+c)+xaax+bx+c=t-2xta+ax;x=(t-c)/2t(a)+b–рациональнаяфунк-ция от t Ч.Т.Д ;Если а0 (ax+bx+c)>=0)то можно сделатьзамену ax+bx+c=xt+c{}{}

#45Интегрированиевыр R(cosx,sinx);РационализацияR(cosx,sinx)dxдостигаетсяподстановкойt=tg(x/2)(-),(универсальная);sinx=2tg(x/2)/(1+tg(x/2))=2t/(1+t),cosx=(1-tg(x/2))/(1+tg(x/2))=(1-t)/(1+t),x=2arctgt,dx=2dt/(1+t),R(cosx,sinx)dx=R(1-t)/(1+t),2t/(1+t))2dt/(1+t)=R1(t)dt{}Еслифункция R(x,у) обладаетсвойствамичетности илинечетностипо переменнымхили у,то могут упот­реблятьсяи другие подстановки,также рационализиру­ющиеинтеграл.ПустьR(u,v)=P(u,v)/Q(u,v) (u=cosx,v=sinx).гдеPиQ—многочленыот uи v. 1)Если один измногочленовPQчетный по v,aдругой—нечетныйпо и,то подстановкаt=cosxрацио­нализируетинтеграл. 2)Если один измногочленовР,Q четныйпо и,а другой—нечетныйпо и,то подстановкаt=sinxрацио­нализируетинтеграл. 3)Если РиQ: а)оба не изменяютсяпри замене и,vсоответственнона—и,—v илиб) оба меняютзнак, то интегралрационализируетсяподстановкойt= tgx(или t=ctgx).

#46{O}Разбиением[a,b]называетсяпроизвольноемн-во точек xi,I=0,1,…,iудовлетворяющееусловиюx0=a-1{}Каждый из отрезков[xi-1,xi]называетсяотрезком разбиения{} Пусть ф-цияy=f(x)определенана [a,b]и произвольноеразбиение этогоотрезка, в каждомотрезке разбиенияв произвольномобразе выберем(.) i[xi-1,xi]I=1,..,iи рассмотримсумму _(f,1,…,i)=_I=1^if(I)x;-интегральнаясумма {Определение}Число I–называетсяопред ф-ции y=f(x)на отр[a;b]и обозначается_a^bf(x)dxЕсли E>0_E=(E)>0| при любом разбиениимелкости ||_Eи любом выборе(.) i[xi-1,xi],I=1,…,i| _I=1^if(i)x-I| _ ||0{T}Еслиф-ция интегрируемана отр. [a,b]то она ограничинана этом отрезке{Док-во} Пустьф-ция y=f(x)интегрируемана [a,b]но не являетсяограниченным.на этом отрезке.На этом отрезкерассмотримпроизвольноеразбиение отрезка [a,b]то она ограниченахотя бы на одномна одном отр.разбиения.Пусть это будетотр.[x_j0-1,xj0]Тогда на этомотрезке существуетпоследовательностьточек {ⁿ_jo}>0| lim_nf(ⁿ_jo)=Рассмотримсумму _=_I=1^if(I)xi=f(io)xjo+_I=1^if()xi=f(jo)xjo+BЗафиксируемпроизвольнымобразом i[xi-1,xi]ijolim_(f,1,…,₀ⁿ,..,i)=lim(f(jo)xjo+B)=m>0существуетn0| _(f,1,…,_jo⁽ⁿ⁾,…,_i)>mОтсюда ,что интегральнаясумма при мелкостиразбеения ||0не могут стремитсяни к какомуконечномурезультату.Предположим,что I=lim_||0_E>0_E>0| ,||_Eи любой выборточек iвыполняетсянер-во|_-I||_|=|_-I+I|_-I|+|I|в частностипри при ||_Eможно выбратьточки 1,..,_iтакие, что |_|>Mф-цияне может бытьне ограниченана отр[a,b].Ч.Т.Д.

#47{O}Дляф-ции y=f(x)определённойв (.) а положимпо определению_а^af(x)dx=0,а для ф-ции y=f(x)интегрируемойна отр.[a,b]положим поопред _b^af(x)dx=-_a^bf(x)dx {Св-во1} _a^bdx=b-aдействительноф-ция f(x)1на [a,b]по этому прилюбом разбиениии любом выборе(.) if(i)=1_=_i=1^if(i)xi=_i=1^ix1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xi-x-1)=xi-x0=b-alim_||0_=b-a{Св-во2} Пустьf,gинтегрируемына отр [a,b], тогда ф-цияf+gтакже интегрируемана отр[а,b]и имет месторавенство:_a^b(f(x)+g(x))dx=_a^bf(x)dx+_a^bg(x)dx{док} Пусть ={xi}i=ii=oi[xi-1,xi],тогда_E(f+g)=_i=1^i(f(i)+g(i)xi=^i_i=1f(i)xi+^i_i=1g(i)xi=_(f)+_(g)Т.к. fи g- интегриремына [a,b]то lim_||0_(f)=_a^bf(x)dx;lim_||0_(g)=_a^bg(x)dx; lim_||0_(f+g)=_a^bf(x)dx+_a^bg(x)dxт.о. ф-ция f+g-интегрируемана отр[a,b]и имеет месторавенство_a^b(f(x)+g(x))dx=lim_||0_(f+g)=_a^bf(x)dx+_a^bg(x)dx{Св-во №3}Пустьф-ция y=f(x)интегрируемана отр[a,b]тогда для любогодействительногочисла ф-ция f(x)- интегрируемана отр [a,b] и имеетместо равенство _aт^bf(x)dx=_aт^bf(x)dx{Св-во 4} Пустьaaт^bf(x)dx=_aт^сf(x)dx+_ст^bf(x)dx{Св-во№5} Еслиy=f(x)интегрируемана отр [a,b]то она интегрируемана любом отр[c,d][a.b]лежащем в этомотрезке. {Св-во№6}Если ф-ции fи gинтегрируемына [a,b]то ф-ция f-gтакже интегрируемана [a,b]{Св-во №7} Пусотьf(x)- итегр-ма на[a,b]и на этом отрinf|f(x)|>0(M>0| x[a,b]|f(x)|>M)Тогда 1/f(x) - такжеинтегрируемана [a,b] {Св-во} Пусьтf(x)-интегр-ма на[a,b]и х[a,b]f(x)0тогда_aт^bf(x)dx0

#48{Tо среднем} Пусть1) f и gинтегрируемана [a,b];2) mх[a,b];3) На отр.[a,b]ф-ция g(x) Сохраняетзнак. т.е. оналибо не положительна,либо не отрицательнатогда сущ | mMи _aт^bf(x)g(x)dx=_aт^bg(x)dx{Док-во} Т.к. наотр[a,b]mf(x)Mто умножив этонер-во на g(x)получим mg(x)f(x)g(x)Mg(x)при g(x)0; mg(x)f(x)g(x)Mg(x)при g(x)0;Т.к. fи gинтегрируемына [a,b]то интегрируянер-во получимm_aт^bg(x)dx_aт^bf(x)g(x)dxM_aт^bg(x)dxпри g(x)0;m_aт^bg(x)dx_aт^bf(x)g(x)dxM_aт^bg(x)dxпри g(x)0;Если _aт^bg(x)dx=0то из полученногонер-ва находим: _aт^bf(x)g(x)dx=0рав-во _aт^bf(x)g(x)dx=_aт^bg(x)dxвыполнено прилюбом ;Пусть _aт^bg(x)dx0при g(x)0_aт^bg(x)dx>0,а при g(x)0_aт^bg(x)dxaт^bg(x)dxв обоих случаяхполучим :m_aт^bf(x)g(x)dx/_aт^bg(x)dxM;Пологая=_aт^bf(x)g(x)dx/_aт^bg(x)dxполучаем утверждениетеоремы_aт^bf(x)g(x)dx=_aт^bg(x)dx{Следствие} Придополнительномпредположениичто ф-ция y=f(x)непрывна наотр[a,b]существует[a,b]такое, что_aт^bf(x)g(x)dx=f()_aт^bg(x)dx

#49Пусть ф-цияy=f(x)интегрируемана отр[a,b]тогдаона интегрируемана отр[a,x]при axbпо св-ву опредF(x)=_aт^xf(t)dt,x[a,b]– которая называетсяинтеграломс переменнымверхним пределомот ф-ции F(x){T1}Если ф-ция y=f(x)интегрируемана [a,b],то F(х)непрерывнана [a,b].{Док-во} пустьx[a,b]x+x[a,b]Рассмотримприращение:F=F(x+x)-F(x)=_aт^x+xf(t)dt-_aт^xf(t)dt;Т.к. ф-ция y=f(x)интегрируемана [a,b]C>0.|f(x)|С x[a,b]|F|=|_xт^x+xf(t)dt|С|_xт^x+xdt|=С|x|lim_x0F=0Значит А- непрерывнав т. х Ч.Т.Д. {T2}Пусть y=f(x)интегрируемана [a,b]и непрерывнав x0[a,b]F(x)=_aт^xf(t)dtдифференцируемав (.) х0[a,b] и имеет месторавенствоF’(x0)=f(x0){Док-во} Пустьx0+x[a,b]F=F(x0+x)-F(x0)=_aт^x+xf(t)dt-_aт^x0f(t)dt=_aт^x0f(t)dt+_x0т^x+xf(t)dt-_aт^x0f(t)dt=_xт^x0+xf(t)dt |F/t-f(x0)|=|1/x|,_x0т^x0+xf(t)dt-f(x0)/x=|1/x_x0т^x0+x(F(t)-f(x0))dt|1/|x||_x0т^x0+xf(t)-f(x0)dtТ.к. ф-ция f(x)непрерывнав х0 то для любогоE>0_>0|при|x-x0|_E|f(x)f(x0)|x|Etиз промежуткаот х0 до х0+хвыполняетсянер-во |t-x0||x|+|F(t)-f(x)|F/x-F(f0)|1/x|_x0т^x0+x(f(t)-f(x0))dtx|E_xт^x0+xdt|=Elim_x0F/x=f(x0)F’(x0)=f(x0)Ч.Т.Д.

№50Ф-ла Ньтона-Лейбница_aт^bf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|_а^b–(1) {T}(основная теоремаинтегральногоисчисления)Пусть ф-цияy=f(x)непрерывнана [a,b]и Ф(х)-какая либоиз её первообразных.(1) {Док-во} F(x)=_aт^xf(t)dtтогдаф-ции F(x)и Ф(x)первообразныедля f(x)на [a,b]F(x)=Ф(х)+С;_aт^xf(t)dt=Ф(х)+СЕсли x=aто _aт^аf(t)dt=00=Ф(а)+СС=-Ф(а)_aт^xf(t)dt=Ф(х)-Ф(а)Поллагая вравенстве x=bприходим квормуле (1) Ч.Т.Д.

#51{заменапеременной}1)f(x)непр на[a,b];2)x=(t)непрерывнавместе со своейпроизводнойна [a,b];3) ()=a,()=b;4)t[;](t)[a,b];Тогда _aт^bf(x)dx= _aт^bf((t))’(t)dt{Док-во} по условиютеоремы наотр[,]определенасложная ф-цияf((t));F(x)-первообрf(x)на [a,b]тогда определенаF((t)),которая потеореме умножениясложной ф-цииявляетсяпервообразнойдля f((t))’(t)на [,] По условиютеоремы подъинтегральныхф-ций в равенстве_aт^bj(x)dx= _aт^bj((t))’(t)dtнепрерывнына рассматриваемыхотрезках оба интеграласуществуют.По теор Ньютона-Лейбница: _aт^bf(x)dx=F(b)-F(a);_aт^bf((t))’(t)dt=F(())-F(())=F(b)-F(a)=_aт^bf(x)dxЧ.Т.Д. {Т по частям}Пусть u(x)и v(x)непрерывнысо своимипроизводнымина [a,b]тогда _aт^bu’(x)v(x)dx=u(x)v(x)|^b_a-_aт^bu(x)v’(x)dx{Док-во} Произведение u(x)v(x)имеет на [a,b]непрерывнуюпроизводную(u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x)по этому потеореме Ньютона-Лейбница u(x)v(x)|_a^b=_aт^b(u(x)v’(x)+u’(x)v(x))dx=_aт^bu(x)v’(x)dx+_aт^bu’(x)v(x)dxоткуда _aт^bu’(x)v(x)dx=u(x)v(x)|^b_a-_aт^bu(x)v’(x)dx

#52(Площадьплоской фигуры)Заключим фигуруР в прямоугольниксо сторонамипараллельнымиосм Ох и Оу прямоугобозн R;Разабьём прамRна мн-во мелкихпрямоуг.; ОбозначимА фигуру полученнуюобъединениемпрямоуг , целикомлежащих в плоскостиR,а через В фигуруполученнуюобъедин прямоугольниковлежащих в Р.A-_AB-_B; Пусть d-наибольшаядиагональпрямоугольниковразбиения, еслипри d0 _Aи _Bк одному и томужепределу, тофигура Р-назквадрируемой,а её площадьсчитаетсяравной ; Пусть ф-цияf(x)–непрерывнана [a,b]и f(x)0x[a;b]и ограниченаснизу осью Оха по бокам x=a,x=b.Пусть ={xi}_i=0^i=i-произвольноеразбиение отр[a,b];g_i={(x,y),x[xi-1,xi],0ymi=inff(x)}G_i={(x,y),x[xi-1,xi],0yMi=supf(x)};S_g=_i=1^imixi;S_G=_i=1^iMixi{T}Для того, чтобыф-ция f(x)огр на [a,b]была интегрируемана этом отр.необходимои достаточно: lim_||0(S_g-S_G)=0{Д} т.к. ф-ция f(x)–нерерывнана отр[a,b] то она интегрируемана этом отр. по критериюитегрируемостиlim_||0S_G=lim_||0S_g=S=_aт^bf(x)dx{сектор} Секторограниченкривой r=f(),где f()– непрерывнана [,]и f()0[,]{} Пусь -произвольноеразбиениеg_i={(,r),[i-1,i],0rmi=inff()}G_i={(,r),[i-1,i],0rMi=supf()}Т.к. ф-ция f(x)-непрерывнана отр[,]то она интегрируемана этом отрезкеПлощадь сектораg_i=mi/2и G_i=Mi/2;S_g=1/2_i=1^imi S_G=1/2_i=1^iMi по критерииитегрируемостиlim_||0S_G=lim_||0S_g=S=1/2_т^f()dP-квадрируемаи S_p=1/2_т^f()d.

#53Пустьy=f(x)определна на[a,+) и интегрмруемна [a;b]несобственныйинтеграл попромежутку[a,+)под ф-ей f(x)обозначенследующийпредел _a^+f(x)dx=lim_b+a^bf(x)dx.Если указанныйпредел конечен,то интеграл_a^+f(x)dxназываетсясходящимся,если бесконеченили не существует,то расходящийся.{} Пусть с[a,+)_a^bf(x)dx=_a^cf(x)dx+_c^bf(x)dx{Т} По св-ву пределов_a^+f(x)dxcущкогда сущ lim_b+a^bf(x)dx {Док} Существованиеинтеграла(2) эквивалентносуществованиюпредела,что в свою очередьэквивалентновыполнениюусловия Коши:для любого E> 0 существуетb0где а,такое, чтовыполняетсянеравенство|F(b’’)-F(b’)для всех b'и b",удовлетворяющих неравенствамb0 b'b_’^b’’f(x)dxтеорема доказана.{O}Несобственныминтеграломпо промежутку(a;b]от ф-ции f(x)называетсяследующийпредел _a^bf(x)dx=lim_a+0a^bf(x)dx.Если указанныйпредел конеченто называетсясход, если бесконеченили не сущ торасх. {О} _a^сf(x)dxи _с^bf(x)dxпри aa^bf(x)dx-также сходится.{Св-ва} f(x)определенана [a,b)интегрируемана любом отр.aпри хb-0,если b{Св1} _a^bf(x)dx=lim_b-0F()-F(a)=F(x)|^b_a_a^bf(x)dx  lim_b-0F(){Д} Пусть aa^bf(x)dx=F()-F(a)по св-ву пределов_a^bf(x)dx=lim_b-0F()-F(A){2}_aт^bf1(x)dxи _aт^bf2(x)dx -сходятся, то_aт^b(f1(x)+_aт^bf2(x))dx=_aт^bf1(x)dx+_aт^bf2(x)dx {До} Пусть aa^(f1(x+f2(x))dx=_a^f1(x)dx+_a^f2(x)dx т.к. поусл. теор lim_b-0a^f1(x)dxи lim_b-0a^f2(x)dxто сущ левойчасти полученногоравенства переходя в этомрав-ве к пред.получ утв{3}Еслиf(x)[a,b]b_aт^bf(x)dx,_aт^bg(x)dx– сход , то _aт^bf(x)dx_aт^bg(x)dx{Д} a_a^f(x)dx_a^g(x)dxпереходя вданном нер-век lim_b-0получаемутв{4} Пусть u(x)и v(x)–непрерынывместе со своимипроизводнымина [a,b)_aт^bu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|^b_a-_aт^bu’(x)v(x)dx{Д} Пусть aa^u(x)v’(x)dx= y(x)v(x)|_a^-_a^u’(x)v(x)dxпо св-ву пределовЕсли сущ пределылюбых выраженийв последнемравенстве тосущ предел3-его ; При сущук пределовпереходя впоследнемрав-ве к предпол. утв.; {5} f(x)непрерывнона [a,b),x=(t)непрерывнавместе со своейпроизводной на [,) и возрастаетна этом промежутке,причём дляa(t)t_b-0(t)тогда имеетместо : _aт^bf(x)dx=_т^f((t))’(t)dt{Д} Пусть [,)т.к. ф-ция непрна [,)то она отрораж.отр [,]на [a,()]по теореме озамене переменнойв опред получ утв.