Математический анализ

Числовыефункции

Понятие функцииявляется однимиз основныхв математике.С его помощьювыражают зависимостимежду различнымипеременнымивеличинами. Изучение свойствфункций, основанноена методе пределов,составляетсодержаниематематическогоанализа.

1. Определение

Пусть -некотороечисловое множество,и пусть каждомуэлементу поставленов соответствиечисло .Тогда говорят,что на множествеопределеначисловая функция.Функцию обозначаютнекоторымсимволом, например,и пишут

. (1)

Множествоназываетсяобластьюопределенияфункции , - ее аргументом,а - значениемфункции в точке .Используютсятакже обозначения:для областиопределенияи для множествазначений функции.

Графикомфункции называетсямножество всехточек координатнойплоскости вида,где .График даетнаглядноепредставлениео поведениифункции, однакоболее удобнымв теоретическихисследованияхявляетсяаналитическийспособ заданияфункций с помощьюформул. На практикеиспользуюттакже табличныйспособ, когдазначения функцииуказываютсядля отдельныхзначений аргумента.

В качествеобласти определенияфункции могутвыступатьразличныечисловые множества,например:

а) отрезок ;

б) интервал;

в) полуинтервалыили ;

г) бесконечныеполуинтервалыили ;

д) множествовсех действительныхчисел R =.

Под областьюопределенияфункции, заданнойформулой, понимаютобычно множествовсех значенийаргумента, длякоторых этаформула имеетсмысл.

Примеры.1) Для функцииобласть определенияи множествозначений

имеютвид: ,;график функциипредставленна рис. 1.

Рис.1.

2)Для функцииимеем,;график функцииизображен нарис. 2.

Рис.2.

3) Для функцииимеем: ,

;ее график приведенна рис. 3.

Рис. 3.

2. Основныеэлементарныефункций

Напомним определенияи свойстванекоторыхэлементарныхфункций, известныеиз школьногокурса математики.В каждом случаеукажем аналитическоевыражение иобласть определенияфункции, приведемее график.

а) Линейнаяфункция:

R,

где и – некоторыепостоянные(числа); график– прямая с угловымкоэффициен-

том (,где – угол наклонапрямой к оси):

Рис.4.

б
)Квадратичнаяфункция:

R,

Рис.5.

где,,- постоянныекоэффициенты;график – парабола,ее расположениесущественнозависит отвеличины

,

называемойдискриминантомфункции, и отзнака первогокоэффициента:

в)Обратно пропорциональнаязависимость:

,

где - постоянная.График – гипербола:

Рис.6.

г)Степеннаяфункция:

,

где и - постоянные;область определениясущественнозависит от .В п. в) рассмотрен случай ,а в примере 1 -случай .Приведем ещеграфики функцийдля и :

Рис. 7.

е)Показательнаяфункция:

R,

где - постоянная;график в зависимостиот значенияимеет вид:

Рис. 8.

Всеперечисленныездесь функции,а также логарифмическая,тригонометрическиеи обратныетригонометрическиефункции основнымиэлементарнымифункциями.

3. Сложнаяфункция

Пусть заданыфункции и ,причем множествозначений функциипринадлежитобласти определенияфункции :.Тогда можноопределитьсложную функцию

,

называемуютакже композициейфункций и .

Пример.Из функций и с помощью указаннойоперации можносоставить двесложные функции:и.

Используяоперацию композиции,можно из основныхэлементарныхфункций, получатьновые функции,также называемыеэлементарными.Вообще, элементарнойфункцией называютфункцию, которуюможно получитьиз основныхэлементарныхфункций с помощьюконечного числаарифметическихопераций икомпозиций.

П
ример.Функция (читается: “модуль”)являетсяэлементарной,так как длявсех Rсправедливопредставление.График этойфункции приведенна рис. 9.

Рис. 9.

4. Обратнаяфункция

Рассмотримфункцию с областьюопределенияи множествомзначений .Предположим,что для любогоуравнение имеет единственноерешение.Тогда на множествеможно определитьфункцию, сопоставляющуюкаждому такое значение,что .Эту функциюназывают обратнойдля функциии обозначают:

.

Функцию,у которой существуетобратная функция,назовем обратимой.

Обозначая, какобычно, аргументфункции через,а значениефункции через,можно записать

.

Посколькувзаимная перестановкапеременныхи равносильнапереобозначениюкоординатныхосей, можнопоказать, чтографик функциисимметриченграфику функцииотносительнобиссектрисыпервого и третьегокоординатныхуглов (то естьотносительнопрямой ).

Примеры.1) Для линейнойфункции обратная функциятакже линейнаи имеет вид .Меняя местамии ,получаем .Графики исходнойи обратнойфункций приведенына рис. 10.

Рис. 10.

2) Для функции,,множествозначений имеетвид .Для каждогоуравнение имеет единственноерешение .Поменяв местамии ,получим ,.Графики функцийприведены нарис. 11 .

Рис. 11.

Рис. 11.

3) Обратной кпоказательнойфункции являетсялогарифмическаяфункция .На рис. 12 представленыграфики функцийи .

Рис. 12.

Упражнения

1.Найти областиопределенияследующихфункций:

2. Построитьграфики функций:

3.Найти функцииобратные кфункции ,указать ихобласти определенияи построитьграфики:

Ответы

1.

3.

§2. Предел и непрерывностьфункции

Пределомфункции в точкеназываетсячисло, к которомуприближаютсязначения функциипри приближенииаргумента кэтой точке.Строгое определениепредела даетсясначала дляфункций частноговида – последовательностей,а затем переноситсяна функцииобщего вида.На основе понятияпредела определяютсяважнейшиепонятия математическогоанализа – производнаяи интеграл.

1. Предел последовательности

Последовательностьюназываетсяфункция, определеннаяна множественатуральныхчисел N = .Значения этойфункции , N, называютсяэлементамиили членамипоследовательности,число называетсяномером элемента.Для последовательностейиспользуетсяобозначениеили более нагляднаязапись .Задать последовательностьможно с помощьюформулы, связывающейи .

Приведем примерыпоследовательностей,указав их различныепредставления:

а) , или , или ;

б) , или , или ;

в) , или , или .

Заметим,что элементыэтих последовательностейведут себяпо-разному сувеличениемномера :в первом случаеубывают, приближаяськ нулю; во второмслучае неограниченновозрастают;в третьем случаене приближаютсяни к какомуопределенномучислу, принимаяпоочереднозначения и .Для описанияповеденияэлементовпоследовательностипри неограниченномувеличенииn вводитсяпонятие предела.

Число а называетсяпределомпоследовательности,если для любогоположительногочисла существуеттакой номер,что для всехвыполняетсянеравенство(то есть отличаетсяот менее, чем на).

Если пределсуществует,то говорят, чтопоследовательностьсходится, ипишут (читается: “пределравен ”)или при (“стремится кпри ,стремящемсяк бесконечности”).В противномслучае говорят,что последовательностьрасходится.

Примеры. а)Последовательностьсходится,ее предел равеннулю: .Это непосредственноследует изопределенияпредела, посколькупри любом неравенствовыполняетсядля всех ,и в качествеможно взятьлюбое натуральноечисло, большее.

б) Аналогичнодоказываетсяболее общееутверждение:

при любом .

Например,,и т. д.

2. Правилавычисленияпределовпоследовательностей

При вычислениипределовпоследовательностейиспользуютсяследующиеправила:

I. Еслипоследовательностии сходятся, тосходятся ихсумма, разностьи произведение,причем:

1) ,

2) ,

2. 3) ;

если и ,то сходитсятакже и частное:

4) .

II. Пределпоследовательности,где - постоянная,равен этойпостоянной:

.

III.Постоянныймножитель можновыносить зазнак предела:

(следствиеправил I.3 иII).

Применениюуказанныхправил частопредшествуютнекоторыепредварительныепреобразованиявыражения,стоящего подзнаком предела.

Примеры. а) ;

б) .

3. Бесконечномалые и бесконечнобольшие последовательности

Последовательностьназываетсябесконечномалой, если.Это означает,что для любогонайдется номертакой, что длявсех выполняетсянеравенство.

Последовательностьназываетсябесконечнобольшой, еслидля любогочисла найдется такойномер ,что для всехсправедливонеравенство.В этом случаепишут (читается: “пределравен бесконечности”)или при (“стремится кбесконечностипри ,стремящемсяк бесконечности”).Если при этомвсе элементыположительны,начиная с некоторогономера, то пишут(“предел равен плюсбесконечности”),а если отрицательны- используютзапись (“предел равен минусбесконечности”).

Заметим, чтоесли ,то (при ),то есть последовательность,обратная кбесконечнобольшой, являетсябесконечномалой. Аналогично,если ,то (при ),– последовательность,обратная кбесконечномалой, являетсябесконечнобольшой.

Справедливытакже следующиеутверждения:

сумма и произведениедвух бесконечномалых последовательностейявляются бесконечномалыми последовательностями;

произведениедвух бесконечнобольших последовательностейявляется бесконечнобольшойпоследовательностью;

если оба пределаи равны (или ),то (соответственно).

Примеры. а)Последовательности

,,,при ,

являютсябесконечномалыми, а обратныек ним последовательности

{},{},{},{}при ,{}

– бесконечнобольшими.

б) Последовательностии бесконечнобольшие, поэтомуих сумма – также бесконечнобольшая. Отсюдаследует, что– бесконечномалая последовательность,поскольку

.

4. Числоe

Рассмотримпоследовательность.Можно показать,что эта последовательностьсходится; еепредел обозначаетсябуквой :

.

Числоиграет важнуюроль в математике(служит основаниемнатуральныхлогарифмов);оно не являетсярациональными приближенноравно

.

Исходяиз определениячисла ,можно получитьболее общуюформулу:

,

справедливуюдля любой постоянной.

Приведем примерэкономическойзадачи, в которойвозникает число.Предположим,что в банк помещенасумма под годовых. Тогдачерез год суммавклада составит

,

гдевведено обозначение.

Предположим,что вклад можноснять по истечениилюбого срокав течение года,и начислениена вклад пропорциональноэтому сроку,т.е. за полгодабудет начислено,за месяц - ,за один день- .Тогда к концугода можнополучить доходбольший, чем,действуя следующимобразом. Если,например, всередине годазакрыть счети полученнуюсумму снова положитьв банк на оставшиесяполгода, то вконце годасумма вкладасоставит

.

Еслиповторятьоперациюзакрытия-открытиясчета чаще,например, каждыймесяц, то к концугода будемиметь ,а если каждыйдень, то .Если предположить,что операциязакрытия-открытиясчета производитсяраз в году черезравные промежуткивремени, то вконце годасумма вкладасоставит ,а если представить,что процентыначисляютсянепрерывно(число операцийзакрытия-открытиясчета неограниченнорастет), то

.

Таким образом,максимальноечисло процентов,на котороегипотетическиможет увеличитьсявклад при даннойсхеме начисления,составляет.Например, приноминальнойставке 100 % (максимальнаяэффективнаяставка составит.

5. Пределфункции

Пусть функцияопределенана некотороминтервале ,содержащемточку ,за исключениембыть можетсамой этойточки. В дальнейшемлюбой интервал,содержащийнекоторую точку,будем называтьокрестностьюданной точки.

Число называетсяпределом функциив точке ,если для любойпоследовательности,,сходящейсяк ,последовательностьзначений функциисходится к .Обозначения:

или при .

При вычислениипределов функцийиспользуютсяте же правила,что и при вычислениипределовпоследовательностей.В частности,если существуютпределы и ,то

;

;

;

если, крометого, (тогда для всех ,достаточноблизких к ),то

.

Примеры.а) Найдем пределфункции в точке .Для произвольнойпоследовательноститакой, что ,,на основаниисвойств пределовпоследовательностейимеем

.

Отсюдапо определениюпредела функцииполучаем

.

б) Найдем пределфункции в точке ,в которой функцияне определена.Для произвольнойпоследовательноститакой, что ,,имеем

.

Отсюдаполучаем

.

6. Пределыв бесконечности.Бесконечныепределы

Данноевыше определениепредела функцииможно распространитьна случаи, когдаили (по отдельностиили вместе)являются нечислами, а символами ,или .Так, например,запись

,

где - число, означает,что для любойбесконечнобольшой последовательности,стремящейсяк ,последовательностьсходится к .Аналогично,запись

,

означает,что для любойпоследовательности,стремящейсяк ,последовательностьстремится к.

Примеры. а) ; б) ; в) ;

г) .

В качествеболее сложногопримера приведемравенство

,

котороеможно доказать,исходя из определениячисла .Заметим, чтоэтому равенствуможно придатьвид

.

7. Непрерывностьфункции

Функция,определеннаяв некоторойокрестноститочки ,называетсянепрерывнойв точке ,если

.

Есливвести обозначенияи (называетсяприращениемаргумента,а - соответствующимприращениемфункции), тоопределениюнепрерывностиможно придатьвид

.

Такимобразом, непрерывностьозначает, чтомалым приращениямаргументасоответствуютмалые приращенияфункции.

Функция называетсянепрерывнойна множестве,если она непрерывнав каждой точкеэтого множества.Справедливоследующееутверждение:все основныеэлементарныефункции непрерывнына своих областяхопределения.

Примеры.Следующиефункции непрерывнына указанныхмножествах:

а) функция непрерывнана R;

б) функция непрерывнана ;

в) функция непрерывнадля всех ;

г) функция непрерывнана .

Упражнения

1.Найти пределыпоследовательностей:

2. Найтипределы функций:

Ответыи указания крешению

1.

2.

§3. Производнаяи ее применение

Производнаяхарактеризуетскорость измененияфункции приизменении ееаргумента. Онаявляется основныминструментомисследованияфункций вматематическоманализе,в частности,используетсядля отысканияточек экстремума:в этих точкахпроизводнаялибо равнанулю, либо несуществует.Через производнуюопределяетсяпонятие эластичностифункции, применяемоев экономическихприложениях.

1. Определениепроизводнойи правиладифференцирования

Пусть функцияопределенав некоторойокрестноститочки .Пусть – приращениеаргументав точке ,а – соответствующееприращениефункции. Составимотношение этих приращенийи рассмотримего предел при.Если указанныйпредел существует,то он называетсяпроизводнойфункции в точке и обозначается,или ,то есть

.

Операция вычисленияпроизводнойназываетсядифференцированием,а функция, имеющаяпроизводнуюв точке, – дифференцируемойв этой точке.Если функцияимеет производнуюв каждой точкеинтервала ,то она называетсядифференцируемойна этом интервале.

Примеры. Найдем производныефункций впроизвольнойточке :

а) ,

;

б),

Заметим, чтона практикепри вычислениипроизводныхредко прибегаютк определению.Вместо этогоиспользуюттаблицу, содержащуювыражения дляпроизводныхвсех основныхэлементарныхфункций, а такжеправила дифференцирования,позволяющиенаходить производнуюсуммы, разности,произведения,частного икомпозициифункций.

Приведем таблицупроизводныхнекоторыхосновных элементарныхфункций и правиладифференцирования.

Таблицапроизводных

где ,и - произвольныепостоянные,,.

Примеры.Получим некоторыеследствияформулы 2:

а),

б);

в).

Правиладифференцирования

1. ;

2. ,где - постоянная;

3. ;

4. ;

5. если,а ,то производнаясложной функциинаходится поформуле

,

гдеиндексы указывают,по какому аргументупроизводитсядифференцирование.

Примеры.Найдем производныефункций, используяправила 1-4:

а) ;

б) ;

в) ;

Примеры.Найдем производныесложных функцийпо правилу 5:

а) ; положим ,тогда ,и, следовательно,

;

б) ;положим ,тогда ,и

.

Заметим, чтопроизводная,называемаятакже первойпроизводнойфункции ,сама являетсяфункцией аргумента.Производнаяэтой функцииназываетсявторой производнойфункции и обозначается,то есть .Аналогичноможно ввеститретью и болеевысокие производные.

Примеры.Найдем вторыепроизводные:

а);

б).

2. Геометрическийи физическийсмысл производной

а) Геометрическийсмысл производной.Рассмотримграфик функции,дифференцируемойв точке (рис. 13). Проведемчерез точкии графика прямую,и пусть - угол ее наклонак оси .Тогда

. (1)

Рис.13.

Еслистремится кнулю, то также стремитсяк нулю, и точкаприближаетсяк точке ,а прямая - к касательной,образующейс осью угол .При этом равенство(1) принимаетвид:

, (2)

откудаследует, чтопроизводнаяфункции в точкеравна тангенсуугла наклонакасательнойк графику функциив этой точке.

Пример.Найдем уголнаклона касательнойк графику функциив точке .Поскольку ,то в силу формулы(2) получаем .Следовательноугол ,то есть касательнаяпараллельнаоси .

б) Физическийсмысл производной.Если - время движения,а - путь, пройденныйза это время,то отношениеесть средняяскорость движенияна отрезке ,а - мгновеннаяскорость вмомент времени.

3. Исследованиефункций с помощьюпроизводной

Функция называетсявозрастающей(убывающей)на интервале,если для любыхиз следует ().

Интервалывозрастанияили убываниямогут бытьнайдены наоснованииследующегоутверждения.

Теорема 1. Еслидля всех ,то функция возрастаетна интервале;если для всех ,то функция убывает наинтервале .

Точка называетсяточкой локальногомаксимума(минимума)функции ,если для всехиз некоторойокрестноститочки ,,выполненонеравенство().Точки максимумаи минимуманазываютсяточками экстремумафункции.

Для отысканияточек экстремумаиспользуютсяследующиетеоремы.

Теорема 2 (необходимоеусловие экстремума).Если функцияимеет экстремумв точке и дифференцируемав этой точке,то .

Из этой теоремывытекает, чтов точках экстремумафункции производнаялибо равнанулю, либо несуществует.Такие точкиназываютсякритическими.Экстремумыфункции следуетискать средиее критическихточек.

Теорема 3(достаточноеусловие экстремума).Пусть - критическаяточка функции.Если при переходечерез точкупроизводнаяменяет знакс "+" на "–",то в точке функция имеет максимум,а если с "–"на "+", то –минимум. Еслипроизводнаяне меняет знакпри переходечерез точку,то в этой точкеэкстремуманет.

Проводимыйна основесформулированныхтеорем анализповеденияфункций используютпри построенииих графиков.

Примеры. а) Найдем интервалывозрастанияи убыванияфункции

,

и ееэкстремумы.

Производнаярассматриваемойфункции существуетпри любом и равна .Приравнявпроизводнуюнулю и решивполученноеквадратноеуравнение,найдем двекритическиеточки: и .Ось разбиваетсяэтими точкамина три интервала:,и ,причем на каждомиз них сохраняетзнак. Определимэти знаки, например,вычислив в произвольныхточках указанныхинтервалов,получим:

на и , и на .

Отсюда в силутеорем 1-3 заключаем,что функциявозрастаетна интервалахи ,убывает наинтервале ,в точке достигаетмаксимальногозначения ,а в точке - минимальногозначения .

б) Пусть.Тогда ,и единственнойкритическойточкой является.Так как знакпроизводнойне меняетсяпри переходечерез эту точку,то она не являетсяточкой экстремума.График этойфункции приведенв § 1 на рис. 7.

в) Пусть,.Тогда при всех .Это означает,что даннаяфункция возрастаетна интервалах()и ().

г) Точкаявляется критическойточкой функции- производнаяфункции в этойточке не существует.Функция достигаетв этой точкеминимума, чтоиллюстрируетее график (рис.5).

4. Эластичностьфункции

Пусть аргументфункции получает приращение.Тогда значениефункции изменяетсяна величину.Отношение характеризует среднее изменениефункции, приходящеесяна единицуизменения ееаргумента, а предел этогоотношения приравен производной.

Рассмотримотносительныеизмененияпеременныхи ,выраженные,например, впроцентах: и .Их отношение

показывает,на сколькопроцентов всреднем меняетсяпри изменениина .Предел этогоотношения приназываетсяэластичностьюфункции и обозначается,то есть

.

Таккак

,

тосправедливаформула

.

Примеры. а) Пусть ,тогда и, следовательно,.При получаем ,то есть приувеличенииот 2 до 2,02 (на 1%) значениеизменяетсяпримерно на.

б) Пусть ,тогда и, следовательно,.При получим .Следовательно,увеличениеот 3 до 3,03 ведетк уменьшениюпримерно на.

в) Пусть ,тогда и, следовательно,.В этом случаеэластичностьпостоянна иравна ,то есть прилюбом значенииаргумента егоувеличениена 1% ведет куменьшениюзначения функциитакже на .

Функция называетсяэластичнойв точке ,если ,нейтральной,если ,и неэластичной,если .

Пример. Дана зависимостьспроса от цены :

.

Найдемэластичностьспроса ,и рассмотримее значенияпри некоторых.Так как ,то .При имеем ,откуда ,то есть спроснеэластичен.Если ,то ,,– спрос нейтрален.При получим ,то есть и, значит, спросэластичен.

Эластичностьспроса означает,что его относительноеизменение поабсолютнойвеличине превосходитотносительноеизменениецены; неэластичностьозначает меньшееотносительноеизменениеспроса по сравнениюс ценой; нейтральность– равенствоэтих измененийпо абсолютнойвеличине.

Пример.Пусть зависимостьспроса от ценыпредставленафункцией .Величина

равнавыручке, получаемойот продажитовара в объеме,равном спросуна товар. Выясним,как изменяетсяспрос с увеличениемцены. Для этогонайдем производную:

,

откуда

.

Будем предполагать,что ,поскольку, какправило, спросуменьшаетсяс ростом цены.В этом случаеи, следовательно,имеем

.

Отсюдавидно, что еслиспрос эластичен(),то ,и с повышениемцены выручкаот продажитовара снижается;если спроснейтрален (),то ,и выручкамало зависитот измененияцены; если спроснеэластичен(),то ,и выручкаувеличиваетсяс ростом цены.

Упражнения

1. Найтипроизводныефункций:

2. Определитьугол наклонакасательнойк графику функции:

3. Найти промежуткивозрастанияи убыванияфункций и ихэкстремумы:

4. Найтиэластичностьфункций:

5. Длязаданной зависимостиспроса от цены найти эластичностьспроса и вычислитьее при заданномзначении :

1) ; 2) ; 3) .

6. Длязаданной зависимостиспроса от цены найти значенияцены, при которыхвыручка возрастаетс увеличениемцены:

1) ;2) ;3) .

Ответы и решения

1.

2.

1) Уголнаклона касательнойпоскольку;

2) ;3) ,4) .

3.

1) При функция убывает,при - возрастает;;

2) Функциявозрастаетпри и ;убывает при; ;;

3) Функцияубывает привсех ;4) Функция возрастаетпри всех ;

5) Функцияубывает при,возрастаетпри ;

;

6) Функцияубывает привсех ;

7) Функциявозрастаетпри ,убывает при;;

8) Функцияубывает прии,возрастаетпри ;

, ;

9) Функциявозрастаетпри ,убывает при;;

10) Функцияубывает при,возрастаетпри ;;

4.

5.1) ,;спрос нейтрален; 2) ,;спрос эластичен; 3) ,;спрос неэластичен.

6. 1) ;2) ;3) Таких значенийцены нет; выручкане меняетсяс ростом цены.

§4. Неопределенныйинтеграл

К понятиюнеопределенногоинтегралаприводит задачао нахождениифункции по еепроизводной.Эта задачарешается спомощью операцииинтегрирования,обратной поотношению коперациидифференцирования.

1.Определениеинтеграла иправила интегрирования

Пусть для всех,принадлежащихинтервалу ,выполненоравенство

,

тогдафункция называетсяпервообразнойфункции на .

Заметим,что первообразнаяфункции определяетсяне однозначно:вместе с первообразнымиявляются функциивида ,где –произвольнаяпостоянная.Справедливоутверждение:любая первообразнаяфункции представимав виде при некоторомзначении .

Совокупностьвсех первообразныхфункции называетсяее неопределенным интеграломи обозначаетсясимволом :

;

приэтом называетсяподынтегральнойфункцией, а- переменнойинтегрирования.Операция нахожденияинтеграланазываетсяинтегрированием.

Пример. а) Изравенства заключаем, чтофункция являетсяпервообразнойфункции .Следовательно,можно записать

.

б)Аналогично,из равенстваследует

.

В отличие отпроизводнойинтеграл элементарнойфункции можетне быть элементарнойфункцией. Этоотносится,например, кинтеграламот ,,.Однако интегралывсех основныхэлементарныхфункций выражаютсячерез элементарныефункции. Приведемтаблицу некоторыхиз них, получаемуюиз таблицыпроизводных,и правила, покоторым можнонаходить интегралыдругих функций.

Таблицаинтегралов

1) (); 2) ;

3) ; 4) .

Правилаинтегрирования

1. ;

2. ,где  -постоянная

Отметим,что приведенныеправила аналогичнысоответствующимправиламдифференцирования.

Примеры. Найдеминтегралы,применяя указанныеправила и таблицу:

а);

б) ;

в).

2.Замена переменнойв неопределенноминтеграле

В некоторыхслучаях нахождениеинтегралаупрощаетсяпри переходек другой переменнойинтегрирования.При этом еслиисходная иновая переменныеи связаны соотношением,где - обратимаядифференцируемаяфункция, то дляинтеграловсправедливоравенство

,

в правойчасти которогопосле вычисленияинтеграласледует сделатьобратную замену.

В частности,используязамену (или ),получаем формулу

,

позволяющуюобобщить табличныеинтегралы.Например:

(),

,

,

где и - произвольныепостоянные,.

Примеры.Найдем интегралы,применяя полученныеформулы:

а);

б);

в);

г)интеграл найдем, сделавзамену ,.Тогда

,

гдеиспользованрезультатпримера в);

д).

Упражнения

1. Найтиинтегралы:

2. Найтиинтегралы:

Ответы

1.

2.

§5. Определенныйинтеграл

Определенныйинтеграл функцииравен пределуинтегральныхсумм, сопоставляемыхей по некоторымправилам. Длянепрерывнойнеотрицательнойфункции определенныйинтеграл равенплощади фигуры,заключенноймежду графикомфункции и осью.При вычисленииопределенногоинтеграла отнепрерывнойна отрезкефункции используетсяформула Ньютона-Лейбница,выражающаяопределенныйинтеграл черезпервообразнуюфункции.

1. Определение

Пусть функцияопределенана отрезке .Разобьем отрезокна частей точками()такими, что .Длины полученныхотрезков обозначим(),и пусть – наибольшаяиз этих длин.Выберем накаждом из отрезковразбиенияпроизвольнуюточку и составимсумму

, (1)

которуюназовем интегральнойсуммой дляфункции .

Рассмотриминтегральныесуммы, соответствующие разбиениямотрезка при различныхзначениях .Если существуетпредел такихсумм при ,то он называетсяопределенныминтеграломфункции на отрезке и обозначается

,

приэтом функцияназываетсяинтегрируемой(по Риману) наотрезке ,числа и называютсясоответственнонижним и верхнимпределамиинтегрирования.

Заметим,что всякаянепрерывнаяна отрезкефункция интегрируемана этом отрезке.

Пример. Функциянепрерывнана отрезке и, следовательно,интегрируемана нем. Чтобывычислитьинтеграл ,достаточнорассмотретьлюбую последовательностьразбиенийотрезка ,для которой,и найти пределсоответствующейпоследовательностиинтегральныхсумм. При этомпромежуточныеточки для каждогоразбиения можновыбирать произвольно.Рассмотримравномерныеразбиения вида,,а в качествевыберем правыеконцы отрезков,то есть положим,.В этом случаеимеем ,,и интегральнаясумма (1) принимаетвид

.

Переходяк пределу при,получаем

.

2. Геометрическийсмысл

Пусть функциянепрерывнана отрезке и неотрицательна:.Фигуру, ограниченнуюграфиком функции, вертикальнымипрямыми и и осью ,назовем криволинейнойтрапецией.Рассмотримразбиениеотрезка ,описанное впредыдущемпункте, и соответствующуюинтегральнуюсумму (1). Заметим,что слагаемыев (1) равны площадямпрямоугольниковс основаниямии высотами (),а вся суммапредставляетплощадь ступенчатойфигуры, образованнойэтими прямоугольниками,см. Рис. 14. Пределинтегральныхсумм (если онсуществует),то есть определенныйинтеграл, естественнопринять в качествеплощади криволинейнойтрапеции.

Рис. 14.

3. ФормулаНьютона – Лейбница

Если функциянепрерывнана отрезке и - любая ее первообразнаяна этом отрезке,то справедливаосновная формулаинтегральногоисчисления:

,

называемаяформулойНьютона-Лейбница.Используякраткое обозначение,эту формулуможно записатьв виде

.

Такимобразом, вычислениеопределенногоинтеграла отнепрерывнойфункции сводитсяк отысканиюее первообразной,то есть, по существу,неопределенногоинтеграла, чтопозволяетиспользоватьметоды, изложенныев § 4.

Пример.Найдем интеграл.Поскольку ,то по формулеНьютона-Лейбницаполучаем

.

Пример.Площадь криволинейнойтрапеции,ограниченнойграфиком функции,осью и прямыми и ,равна

.

Упражнения

1.Вычислитьопределенныеинтегралы:

1) ; 6) ;11);

2) ; 7) ;12);

3) ; 8) ;13);

4) ; 9) ;14).

5) ;10);

2.Найти площадифигур, ограниченныхлиниями:

1. 1) ,,,;

2. 2) ,,,;

3) ,.

Ответы

1. 1) 4; 2) ; 3) ; 4) 1; 5) 0; 6) 2(); 7) ; 8) 2; 9) 0; 10) ;

11) ; 12) : 13) ; 14) ;

2. 1) 12; 2) 1; 3) ;Графики функцийи пересекаютсяв точках с абсциссами.Площадь фигурыможет бытьвычислена какразность двухплощадей: и .

§6. Функциинесколькихпеременных

Функциинесколькихпеременныхвозникают принеобходимостиучета зависимостинекоторойвеличины болеечем от одногофактора. Многиепонятия: предел,непрерывность,производнаяи другие, введенныедля функцийодной переменной,переносятсяна случай функцийнесколькихпеременных.

Мыограничимсяздесь рассмотрениемфункций двухпеременных.Для функцийбольшего числапеременныхуказанныепонятия вводятсяаналогично.

1. Определения

Пусть каждойточке некоторогомножества плоскостипоставленов соответствиечисло ,тогда говорят,что на множествезадана функциядвух переменных.Используетсятакже запись.

Пример. Вэкономическихприложенияхвстречаютсяпроизводственныефункции,устанавливающиесвязь междузатратамипроизводственныхресурсов иобъемом выпускаемойпродукции.Производственныефункции, какправило, зависятот многих переменных(факторов). Вчастности,рассматриваютсядвухфакторныефункции

,

где - объем производственныхфондов, -затраты труда,-объем выпускаемойпродукции.Примеромдвухфакторнойфункции являетсяфункция Кобба-Дугласа

,

где,,- постоянные.

Окрестностьюточки назовем внутренностьлюбого кругас центром вэтой точке.Пусть функцияопределенав некоторойокрестноститочки .Зафиксируемзначение и рассмотримфункцию одной переменной.Производнаяфункции в точке (если она существует)называетсячастной производнойфункции в точке по переменнойи обозначается.Аналогичноопределяетсячастная производнаяпо переменной.

Производныеи функции называютсячастными производнымипервого порядка.Если они существуютв некоторойокрестноститочки ,то частныепроизводныеот них по и называютсячастнымипроизводнымивторого порядкаи обозначаются,,,,где, например,,.Производные,называютсясмешаннымичастнымипроизводными.

Аналогичноможно ввестичастные производныетретьего иболее высокихпорядков. Изопределениячастных производныхследует, чтодля их нахожденияможно использоватьвсе правила,справедливыедля производныхфункций однойпеременной.

Примеры. Найдемчастные производныепервого и второгопорядков функций:

а),тогда

, ,

, , ;

б),тогда

, ,

, , .

Равенствосмешанныхпроизводных,наблюдаемоев приведенныхпримерах, неслучайно. Справедливоследующее общееутверждение.

Теорема. Еслипроизводные,существуютв некоторойокрестноститочки и непрерывныв этой точке,то справедливоравенство

.

2. Экстремумы

Точканазываетсяточкой локальногомаксимума(минимума)функции ,если для всехточек ()из некоторойокрестностиэтой точкисправедливонеравенство().Точки локальногомаксимума иминимума называютсяточками экстремумафункции.

Пример.В экономическоманализе применяетсяфункция прибыли

,

где – производственнаяфункция, – цена выпускаемойпродукции, и – факторныецены. Пара чисел()называетсяоптимальнымпланом, еслифункция достигаетмаксимума при.Таким образом,поиск оптимальногоплана сводитсяк отысканиюточки экстремума(максимума)функции прибыли.

Следующиетеоремы позволяютнаходить точкиэкстремумафункций.

Теорема (необходимоеусловие экстремума).Если функцияимеет в точкеэкстремумачастные производныепервого порядка,то они равнынулю в этойточке:

. (1)

Точки,координатыкоторых удовлетворяютсистеме (1) называютсястационарнымиточками функции.Точки экстремумафункции следуетискать средиее стационарныхточек и техточек, в которыхчастные производныепервого порядкане существуют.

Теорема (достаточноеусловие экстремума).Пусть функцияимеет непрерывныечастные производныевторого порядкав некоторойокрестностисвоей стационарнойточки .Положим

.

Тогда:

а) если и ,то - точка максимумафункции;

б) если и ,то - точка минимумафункции;

в) если ,то в точке экстремуманет.

Пример.Стационарнаяточка ,функции

являетсярешением системыуравнений

,.

При этом,,и .Следовательно,в точке функция имеетлокальныйминимум.

Пример. Пусть.Тогда ,,,,,,и, следовательно,стационарнаяточка не являетсяточкой экстремума.

Пример. Дляфункции из системыуравнений

, ,

найдемчетыре стационарныеточки: ,,,.Поскольку ,,,то

.

В точкахи выполненоусловие ,поэтому функцияимеет экстремумыв этих точках:минимум в ,так как ,и максимум в,так как .В точках и экстремумовнет, так как в этих точках.

Упражнения

1. Найтичастные производныепервого порядкаследующихфункций:

2. Найтисмешанныепроизводныефункций:

3. Найтистационарныеточки функций:

4. Найтиточки локальногоэкстремумафункций:

Ответы

1.

2.

3.

4.

10) - точка минимума;- точка максимума.

§ 7. Обыкновенныедифференциальныеуравнения

Математическоеисследованиемногих реальныхпроцессовосновано наприменениидифференциальныхуравнений,содержащихпроизводныеискомых функций.Аппарат дифференциальныхуравненийуниверсален:разнообразныепроцессы могутописыватьсяодинаковымиуравнениями.Практика показывает,что даже простыематематическиемодели, использующиедифференциальныеуравнения,позволяюткачественноизучить основныечерты сложныхявлений и оценитьих количественныехарактеристики.

1. Определения

Порядкомдифференциальногоуравненияназываетсянаибольшийпорядок входящихв него производных.Этот параграфпосвящен обыкновеннымдифференциальнымуравнениямпервого порядка,то есть уравнениямвида

,

где - заданная функция,- независимаяпеременная,- искомая функция,- ее производная.Уравнения вида

называютсяразрешеннымиотносительнопроизводной.

Функция называетсярешениемдифференциальногоуравнения, еслипосле ее подстановкиуравнениеобращаетсяв тождество.Процесс нахождениярешений называетсяинтегрированиемуравнения.Решить уравнениезначит найтивсе его решения.

Ниже рассматриваютсятолько уравнения,разрешенныеотносительнопроизводной.В простейшемслучае, когдаправая частьуравнения независит от ,то есть уравнениеимеет вид

,

любое его решениеявляетсяпервообразнойфункции ,а интегрированиеуравнениясводится котысканиюнеопределенногоинтеграла от(см. § 4). Совокупностьвсех решений,то есть общеерешение уравнения,можно представитьформулой

,

где - произвольнаяпостоянная.При этом в данномпараграфе поднеопределенныминтеграломфункции условимсяпонимать невсе множествоее первообразных,а любую фиксированнуюпервообразную.

Пример. Дляуравнения

,

интегрируя,получим общеерешение

.

В следующемпункте рассматриваетсяодин классуравнений,общее решениекоторых представляетсяв квадратурах,то есть с использованиеминтеграловот известныхфункций.

2. Уравненияс разделяющимисяпеременными

Дифференциальнымуравнениемс разделяющимисяпеременныминазываетсяуравнение вида

, (1)

где и -заданные функции.

Заметим, чтоесли для некоторогозначения выполнено ,то функция является решениемуравнения (1).

Рассмотримслучай .Разделив левуюи правую частиуравнения на,получим ,откуда следуетсоотношениемежду первообразными,где - произвольнаяпостоянная.Используяформулу заменыпеременнойв неопределенноминтеграле (см.§ 4), получаемравенство

, (2)

определяющеев неявном видесемействорешений уравнения(1), зависящееот произвольнойпостоянной.

Замечание.Чтобы из бесконечногомножестварешений дифференциальногоуравнениявыделить частноерешение нужнозадать какое-либодополнительноеусловие, например,

, (3)

где ,- некоторыепостоянные.Условие (2) называетсяначальным,а задача отысканиярешения, удовлетворяющеготакому условию,называетсязадачей Коши.

Пример. Найдемобщее решениеуравнения

.

Используя (2),получаем ,то есть ,где - произвольнаяпостоянная.Отсюда находимсемействорешений .Кроме того,имеется решение,при которомправая частьуравненияобращаетсяв ноль. Все найденныерешения можнопредставитьодной формулой

,

где - произвольнаяпостоянная.

Пример. Рассмотримуравнение

. (4)

Как и в предыдущемпримере, является решением.При получаем или ,откуда находимбесконечноесемействорешений

.

Пример. Решимзадачу Коши

, .

Заметим, чтофункция удовлетворяетуравнению, ноне удовлетворяетначальномуусловию. Пусть,тогда общеерешение определяетсяиз равенства,откуда и, следовательно,

.

При с учетом начальногоусловия получим,откуда .Таким образом,решением задачиКоши являетсяфункция

.

3.Математическиемодели некоторыхпроцессов

Рассмотримпримеры задач,исследованиекоторых проводитсяс использованиемобыкновенныхдифференциальныхуравнений.

Пример (законроста населенияЗемли). Пусть- число людейна Земле в моментвремени .Демографическиеданные показывают,что за небольшойинтервал времениприрост населенияпропорционаленквадрату числалюдей и интервалувремени:

,

где - некотораяпостоянная.Разделив левуюи правую частиэтого равенствана и перейдя кпределу при,получим уравнение

, (5)

где - дифференцируемаяфункция, приближающаяфункцию .Уравнение (5)аналогичноуравнению (4),рассмотренномувыше. Его общеерешение имеетвид .Заметим, чтоизвестныедемографическиеданные хорошосогласуютсяс частным решением

,

где время исчисляетсяв годах от началанашей эры. Функцияне определенапри ,поэтому законроста населенияв будущем долженизмениться.

Пример (модельпроизводства).Пусть - интенсивностьвыпуска продукциинекоторымпредприятиемв момент времени,а - цена продукции.Доход от продажиэтой продукциисоставляет.Пусть частьвырученныхсредств, равная

,(6)

где - некотороечисло, направляетсяна расширениепроизводства.Предположим,что скоростьизмененияинтенсивностивыпуска продукциипрямо пропорциональнаобъему инвестиций:

, (7)

где-постоянная.Из (6) и (7) получаемуравнение

, (8)

общее решениекоторого припостоянномимеет вид ,где .Если заданоначальноеусловие

, (9)

торешением задачиКоши (8), (9) являетсяфункция

.

Уравнение (8)называется уравнениеместественногороста. Им описываютсятакже процессырадиоактивногораспада в физикеи размножениябактерий вбиологии.

На практикес увеличениемвыпуска продукциипроисходитнасыщение рынкаи цена падает.Если, например,,где и -положительныепостоянные,то вместо (8) получимуравнение

, (10)

аналогичноеуравнению,рассматриваемомув следующемпримере.

Пример (модельрекламы). Пусть- число людей,знающих к моментувремени некоторуюновость, а -общее числолюдей. Будемпредполагать,что скоростьраспространенияновости прямо пропорциональнакак числу людей,уже ее знающих,так и числулюдей ,еще не знающихновости, тоесть

, (11)

где -постоянная.Разделив переменныев этом уравнении,получим

,

откуда, используярезультатпоследнегопримера §4, найдем

или

.

График этойфункции называетсялогистическойкривой. Дляслучая ,соответстщегоусловию, чтов момент половина людейзнает новость(),эта

кривая представленана рис. 15.

Рис.15.

Рассматриваемоеуравнениеобладает такжерешениями и ,обращающимив ноль его правуючасть. Эти решениясоответствуютситуациям,когда новостьне распространяется:в первом случаев начальныймомент ее никтоне знает, а вовтором - знаютвсе.

Отметим, чтоуравнения (10)и (11), описывающиесовершенноразные процессы,по существу,совпадают.Уравнения тогоже типа возникаютпри описаниидинамики эпидемий,процессовразмножениябактерий вограниченнойсреде обитания,применяютсяв математическойтеории экологии.

Упражнения

1.Решить уравнения:

2.Решить задачиКоши:

Ответы

1.

2.