Математическая теория захватывания

Введение и краткое резюме

Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает" автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр m таким образом, чтобы при m = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр m, который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову".

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.

§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.

Уравнение, которое нас будет интересовать:

При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение

Рассмотрим случай, когда m бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:

Начальные условия выберем так:

F₂ - степенной ряд по b₁b₂, m начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):

Сравнивая коэффициенты при b₁b₂, m получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).

Решая задачи Коши, получим:

Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы

Введем обозначения ; для остальных функций аналогично.

Тогда (6) запишется в виде:

Если в этой системе можно b₁b₂ представить в виде функции m так, чтобы b₁b₂, m исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых m служит неравенство 0 Якобиана.

В нашем случае:

Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых m и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.

§ 2 Исследование устойчивости периодического решения

Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x =Ф(t) + x; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени x и x^'.

Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:

Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в видефункции времени Удовлетворяют тому же уравнению, что и x, то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом.

; аналогичным образом можно показать, что (11).

Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по m.

будем искать в виде: (12).

Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m, получим:

Начальные условия для А_о , В_о, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m, получим

Для В^'_о и В_о аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:

(14)

Решение (13) можно найти при помощи квадратур:

(15)

Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:

S₁, S₂ - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). a₁, a₂ - характеристические показатели.

Если все , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:

=0 (16) Полагаем ;

Тогда определитель будет:

Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком R_e (a), или что все равно ÷l÷ . Если ÷l÷ < 1 имеет место устойчивость ÷l÷ = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ÷l÷> 1 имеет место неустойчивость.

При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р²; q < р²; В первом случае l-комплексные; ½l²½=q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость.

Случай второй - l - действительные: ; (21) устойчивость соответствует p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19) (12).

(22)

Если принять во внимание (15)

(22a)

(23)

Мы видим, что при достаточно малом m и w¹n; n 'Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость.

В нашем случае b имеет вид:

(23a)

§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.

Тогда l=ml_о; w² = 1+ a_оm, (24) (a_о , m - расстройка , реальный физический резонанс наступает при a_о¹ 0).

Тогда исследуемое уравнение имеет вид :

(25)

При m = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26)

Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:

(27);

Начальные условия возьмем как и раньше:

Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при b₁b₂, m и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F. Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).

(29)

Запишем условия периодичности для (27):

Делим на m:

( 30a )

Необходимым условием существования периодического решения является:

Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :

(31)

Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).

D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить b_1,b₂, в виде рядов по степеням m. Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.

(33)

P,Q-определяются формулами (31) (32).

§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса

Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33).

Решение опять будем искать в виде . Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:

Из формул (22) (34) , тогда D - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:

(36)

;

Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить D в виде функции P, Q и a_о.

Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:

; (37)

Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых m)

1) p² - q < 0

2) p² - q > 0

В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же самое b < 0.

Во втором случае (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а D> 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0, D> 0. (Это можно получить из неравенства (*)).

§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола.

Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Р_оsinw₁t.

Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:

(39)

Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:

(40)

S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения .

Далее, вводя обозначения:

Получим дифференциальное уравнение для х:

(41)

А: (случай далекий от резонанса).

Для него применяем результаты § 1, полагая.

Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:

Если w> 1, т.е. w_о> w₁, то разность фаз равна 0, если w< 1, то разность фаз равна p. В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0).

(42).

Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.

В: (область резонанса , § 3, 4).

В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q - const).

Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая.

Или преобразовав их, получим следующее:

Полагая Р = R sin j; Q = R cos j. Далее найдем для амплитуды R и фазы j для того исходного периодического решения, в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :

Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, D> 0. Считаем b и D через формулы (35-37).

(46)

Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления a_о, соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая.

1)

a₀ - является общим корнем уравнений

2)

Сама ширина Dw, отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: Dw = a_оw²_о (MS - c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:

а) l²_о<< 1; Dw = w_о Р_о/V^о_g.

б) для очень сильных сигналов ( V^о_g - амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы).

Список литературы

1. Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.

2. Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.

3. Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.