Геометрия чисел

Введение.

Возникновениемтеории чиселмы, по большомусчёту, обязаныМинковскому.Минковский(Minkowski), Герман - выдающийсяматематик (1864- 1909), еврей, родомиз России. Былпрофессоромв Бонне, Кенигсберге,Цюрихе и Геттингене.Сблизил теориючисел с геометрией,создав особоеучение о "геометриичисел" ("Geometrie derZahlen", 1896 - 1910; "Diophantische Approzimationen",1907, и др.). Последняяего работа:"Raum und Zeit" (Лейпциг.,1909;несколькорусских переводов);здесь данасмелая математическаяформулировкатак называемого"принципаотносительности".Полное собраниесочинениеМинковскоговышло в Лейпциге,в 1911 г.; биографияМинковскогов русском издании"Пространствои время". Такимобразом, Минковскийсделал большойвклад в развитиематематикикак науки. Вчастности, онсумел упроститьтеорию единицполей алгебраическихчисел, а также упростил и развил теориюаппроксимациииррациональныхчисел рациональными,или теориюдиофантовыхприближений.Под диофантовымиприближениямив данном случаепонимаетсяраздел теориичисел, изучающийприближениядействительныхчисел рациональнымии вопросы, связанныес решением вцелых числахлинейных инелинейныхнеравенствс действительнымикоэффициентами.Это новоенаправление,которое Минковскийназвал „геометрией чисел", развилосьв независимый раздел теории чисел, имеющий много приложенийв самых различныхвопросах ивместе с темдостаточноинтересныйдля самостоятельногоизучения.

Постановказадачи.

Для началая хочу рассмотретьнекоторыепонятия и результаты,играющие вдальнейшемосновную роль.Рассуждения,которыми мыздесь пользуемся,иногда значительноотличаютсяот рассужденийв основныхкнигахпо данномувопросу, таккак в даннойработе мы имеемцелью, не даваяполных доказательств,сделать дляпростейшихслучаев геометрическуюситуациюинтуитивноясной, тогдакак позднеемы будем вынужденыжертвоватьнаглядностьюради точности.В работе рассматриваетсяосновная задачагеометриичисел, приводитсятеорема Минковскогос её доказательством,и объясняютсятакие понятиягеометрии чиселкак решёткии критическиерешётки. В концеработы приводитсятак называемая«неоднороднаязадача» геометриичисел.

Основнаязадача геометриичисел.

Основной и типичной задачей геометриичисел являетсясле­дующаязадача.

Пустьf(х₁,…,x_n)— функциявещественныхаргументов,прини­мающаявещественныезначения. Какмал может бытьf(u₁,…,u_n)приподходящемвыборе целыхчисел u₁,…,u_n?Может встретитьсятривиальныйслучай f(0,…,0)=0,например, еслиf(х₁,…,x_n)являетсяоднороднойформой; в этомслучае совокупностьзначений u₁= u₂= ...= u_n= 0 из рассмотренияисключается(“однороднаяпроблема”).

Обычнорассматриваютсяоценки, применимыене только длякон­кретныхфункций f,но и для целыхклассов функций.Так, типичнымрезультатомтакого родаявляется следующеепредложение.Пусть

f(x₁,x₂)= a₁₁x₁²+ 2a₁₂x₁x2+ a₂₂x₂² (1)

- положительноопределённаяквадратичнаяформа. Тогданайдутся такиецелые числаu₁,u₂,не равныеодновременнонулю, что справедливонеравенство

f(u₁,u₂)(4D/3)^1/2 (2)

где D= a₁₁a₂₂– a₁₂²– определительформы. Ясно,что если этотрезультатверен, то онявляется наилучшим.Действительно,

u₁²+ u₁u₂+ u₂²1

для всех парцелых чиселu₁,u₂,не равныходновременнонулю; здесь D= 3/4.

Конечно,случай положительноопределённыхбинарных квадратичныхформ крайнепрост, и результатзадачи былизвестен задолгодо возникновениягеометриичисел. Однакона положительноопределённыхбинарных квадратичныхформах относительнопросто проводятсянекоторыерассуждениягеометриичисел, так чтоэти формы удобноиспользоватьв качествеиллюстрациивсех рассуждений.

Толькочто сформулированныйрезультат можновыразить на­глядно.Неравенствотипа

f(x₁,x₂)k,

где f(x₁,x₂)— форма (1), а k— некоторое положительноечисло, задаетобласть плоскости{x₁,x₂},ограниченнуюэллипсом. Такимобразом, наше предложение утверждает, что если k(4D/3)^1/2,то областьсодержит точку (u₁,u₂)с целыми координатамиu₁и u₂,неравными одновременнонулю.

ТеоремаМинковского.

Аналогичный,но, правда, ненастолькоточный результатнемедленноследует изосновной теоремыМинковского.В двумерномслучае этатеорема утверждает,что областьвсегда содержитточку (u₁,u₂)с целыми координатами,отличную отначала, еслиэта областьудовлетворяетследующимтрем условиям:

1. область симметрична относительноначала координат;т. е. если точка (x₁,x₂) находится в , то точка (-x₁,-x₂)также содержитсяв ;

2. областьвыпукла; т. е.если (x₁,x₂),(y₁,y₂)— две какие-нибудьточки области,то и весь отрезок

{x₁+ (1-)y₁,x₂+ (1-)y₂}, 0 1,

соединяющийэти точки, такжесодержитсяв ;

3)площадь больше 4.

Любой эллипс f(x₁,x₂)k удовлетворяет условиям 1) и 2). Таккак его площадьравна

k/ (a₁₁a₂₂– a₁₂)^1/2= k/ D^1/2,

то он удовлетворяет условию 3), если k> 4D^1/2.Таким образом,мы имеемрезультат,аналогичныйприведенномувыше предложению,если в (2) константу(4/3)^1/2заменить любымчислом, большим 4/.

Доказательствотеоремы Минковского.

Интереснобудет краткорассмотретьосновные идеи,лежащие в основедоказательстватеоремыМинковского,потому что вформальныхдоказательствах,приводимыхосновнымиисточниками,они заслоняютсянеобходимостьюполучениясильных теорем,имеющих наиболееширокие приложения.

Вместо областиМинковскийрассматриваетобласть = /2,которая состоитиз точек (x₁/2,x₂/2),где (x₁,x₂)точки области.Таким образом,область симметричнаотносительноначала координати выпукла, еёплощадь равначетвертиплощади областии,следовательно,больше1. В общем случаеМинковскийрассматриваетсовокупностьобластей(u₁,u₂)с центрамив целочисленныхточках (u₁,u₂),полученныхиз тела параллельнымипереносами.

Для началасправедливоотметить, чтоесли и (u₁,u₂)пересекаются,то точка (u₁,u₂)находится в.Обратноеутверждениетривиально.Если точка(u₁,u₂)находится в,то точка (u₁/2,u₂/2)содержитсякак в ,так и в (u₁,u₂). Действительно,пусть (ξ₁,ξ₂) –точка, лежащаяв пересечении.Так как точка(ξ₁,ξ₂) лежитв области (u₁,u₂),то тогдаточка (ξ₁– u₁,ξ₂ – u₂)лежитв области ;следовательно,ввиду симметрииобласти точка(u₁- ξ₁,u₂- ξ₂) находитсяв .Наконец,в силу выпуклоститела серединаотрезка, соединяющеготочку (u₁- ξ₁,u₂- ξ₂) сточкой (ξ₁,ξ₂), тоесть точка(u₁/2,u₂/2),лежит в ,а потому точка(u₁,u₂)находится в.Что, собственно,и требовалосьдоказать. Ясно,что область(u₁,u₂)тогда и толькотогда пересекаетсяс областью(u₁^’,u₂^’),когдаобласть пересекаетсяс об­ластью(u₁- u₁^’,u₂- u₂^’).

Такимобразом, чтобытеорема Минковскогобыла доказана,достаточнопоказать,что если области(u₁,u₂)непересекаются,то площадьобласти(u₁,u₂)непревышает 1.Небольшоеразмышлениеубеждает, чтотак должнобыть. Другоеобоснование,возможно интуитивноболее ясное,можнополучить, полагая,что областьцеликомсодержитсяв квадрате

‌ x₁‌≤ X, |x₂|≤ X,

при этом нужноучитывать то,что выпуклаяобласть конечнойплощади ограничена.

ПустьU — достаточнобольшое целоечисло. Существует(2U+ 1)² областей(u₁,u₂),координатыцентров которыхудовлетворяютнеравенствам

‌ u₁‌≤ U, |u₂|≤ U.

Всеэти областицеликом находятсяв квадрате

‌ x₁‌≤ U+ X, |x₂|≤ U+ X,

площадькоторого равна

4 (U+ X)².

Так какпредполагается,что области(u₁,u₂) не пересекаются,то имеет место неравенство

(2U + 1)²V4(U + X)²,

где V– площадь области,а значит, и любойобласти (u₁,u₂).Устремляятеперь Uк бесконечности,мы получаемнеравенствоV1, что и требовалосьдоказать.

Решётки.

Преобразованиекоординат вприведённомпримере сопределённойбинарной квадратичнойформой можетпривести и кдругой точкезрения. Мыможем представить форму f(x₁,x₂)каксумму квадратовдвух линейныхформ

f(x₁,x₂)= Х₁²+ Х₂², (3)

где

Х₁= x₁+ x₂,X₂= x₁+ x₂, (4)

,,,- некоторыепостоянныевещественныечисла. Можно,например, положить

 =a₁₁^1/2,= a₁₁^-1/2a₁₂,

 =0, = a₁₁^-1/2D^1/2.

Обратно,если ,,,- такие вещественныечисла, что -  0, и формыХ₁, Х₂ заданыравенствами(4), то выражение

Х₁²+ Х₂²=a₁₁x₁²+ 2a₁₂x₁x₂+ a₂₂x₂²,

где

a₁₁= ²+ ²,

a₁₂= + , (5)

a₂₂= ²+ ²,

являетсяположительноопределен­нойквадратичнойформой с определителем

D = a₁₁a₂₂– a₁₂²= (- )². (6)

Теперьбудем рассматриватьпару(Х₁,Х₂)каксистему пря­моугольныхдекартовыхкоординат.Тогда говорят,что точки (Х₁,Х₂),соответствующиецелым (x₁,x₂)в выражениях(4), образуют(двумерную)решетку .В векторныхобозначенияхрешетка есть совокупностьточек

(Х₁,Х₂)= u₁(,)+ u₂(,), (7)

гдеu₁,u₂ пробегаютвсе целые числа;точки (векторы)(,)и (,)образуют базисрешётки .

Рассмотримтеперь болееподробно свойстварешеток. Ввидутого, чтомы рассматриваемрешетку просто как множествоточек, мы можемеё описать спомощью различныхбазисов. Например, пара

(α – β, γ – δ), (-β, - δ)

являетсядругим базисомрешётки .Фиксированныйбазис (α, β), (γ, δ)решётки определяетразбиениеплоскости двумясемействамиравноудалённыхпараллельныхпрямых; первоесемействосостоит из техточек (Х₁,Х₂),которые имеюткоординатывида (7), где u₂– любоецелое число,а u₁– любоевещественное.Для линий второгопорядка семействаu₁и u₂меняютсяролями. Такимобразом, плоскостьразбиваетсяна параллелограммы,вершинамикоторых являютсякак раз точкирешётки .

Разумеется,что это разбиениезависит отвыбора базиса.Однако, можнопоказать, чтоплощадь получаемыхпараллелограммов,именно число

|αδ – βγ|,

не зависитот выбора базиса.Это становитсявозможным, еслипоказать, чточисло N(X)точек решёткив достаточнобольшом квадрате

ζ (Х): |Х₁|≤ Х, |Х₂|≤ Х

удовлетворяетсоотношению

N(X)/ 4X²→ 1 / |αδ- βγ| (X→ ∞).

Действительно,рассмотрениеидей доказательстватеоремы Минковскогоо выпукломтеле, котороебыло приведенов кратком видевыше, показывает,что число точекрешётки в квадрате ζ(Х), грубо говоря,равно числупараллелограммов,находящихсяв этом квадрате.А это число, всвою очередь,приблизительноравно площадиквадрата ζ (Х),делённой наплощадь |αδ- βγ| одногопараллелограмма.Строго положительноечисло

d ()= |αδ - βγ| (8)

называетсяопределителемрешётки .Как было толькочто показано,это число независит отвыбора базиса.

Критическиерешётки.

Используявведённые вышеновые понятия,можно заметить,что утверждениео существованиицелых решенийнеравенстваf(х₁,х₂)(4D/3)^1/2 эквивалентноутверждениюо том, что любаярешётка в области

Х₁²+ Х₂²≤ (4/3)^1/2d() (9)

имеет точки,отличные отначала координат.В силу однородностиэто в свою очередьэквивалентноутверждению,что открытыйкруг

Đ: Х₁²+ Х₂²

содержитточку каждойрешётки ,для которойd()1/2.А тот факт, чтосуществуюттакие формы,для которых в (2) знак равенстванеобходим,эквивалентенсуществованиюрешётки _сс определителемd(_с)= (3/4)^1/2,не имеющейточек в кругеĐ. Таким образом,задача о произвольнойопределённойбинарной квадратичнойформе эквивалентназадаче о фиксированнойобласти Đ ипроизвольнойрешётке. Аналогичноисследованиерешёток с точкамив области

| Х₁Х₂|

даётинформациюо минимумахinf|f(u₁,u₂)|неопределённыхбинарных квадратичныхформ f(x₁,x₂).Здесь точнаянижняя границаберётся по всемцелым числамu₁и u₂,не равнымодновременнонулю. Примерыможно продолжить.

Подобныерассмотренияприводят кследующимопределениям.Говорят, чторешётка допустима дляобласти (точечногомножества) в плоскости{Х₁,Х₂}если она несодержит никакихдругих точек,кроме, можетбыть, началакоординат.Последнийслучай возможен,когда началокоординатявляется точкойобласти .Тогда мы говорим,что эта решётка-допустима.Точная нижняягрань Δ()определителейd(Λ)всех -допустимыхрешёток являетсяконстантойобласти .Если -допустимыхрешёток несуществует,то полагаем,что Δ()= ∞. Тогда любаярешётка Λ, длякоторой d(Λ)),обязательносодержит точкуобласти ,отличную отначала координат.-допустимаярешётка Λ, длякоторой d(Λ)= Δ(),называетсякритической(для ).Конечно, критическиерешётки, вообщеговоря, существуютне всегда.

Важностькритическихрешёток былазамечена ужеМинковским.Если _с– критическаярешётка области,а решётка Λполучена изΛ_снебольшойдеформацией(то есть малымизменениемпары базисныхвекторов), толибо решёткаΛ имеет точку,отличную отначала координати лежащую вобласти ,либо d(Λ)≥ d(Λ_с).Либо и то, и другоевместе.

В качествепримера можноснова рассмотретьоткрытый круг

Đ: Х₁²+ Х₂²

Предположим,что Λ_с– критическаярешётка областиĐ. Нижебудет дан набросокдоказательстватого, что есликритическаярешётка существует,то она должнаиметь три парыточек (А₁,А₂),(В₁,В₂),(С₁,С₂)на границе Х₁²+ Х₂²= 1 круга Đ.

Если Λ_сне имеет точекна окружностиХ₁²+ Х₂²= 1, томожно будетполучитьĐ-допустимуюрешетку с меньшимопределителем,гомотетическисжимая решеткуΛ_ск началу координат,то есть рассматриваярешетку= tΛ_сточек (tX₁,tX₂),где (Х₁,Х₂)Λ_с, а t— это фикси­рованноечисло с условием0 )= t²d(_c)_c)и, очевидно,будет Đ-допустимойрешеткой, еслиtдостаточноблизкок 1. Таким образом,решетка _cсодержит паруточек наокружностиХ₁²+ Х₂²= 1, координатыкоторых посленадлежащегоповоротаосей мы можемсчитать равными± (1,0).

Если бына окружностиХ₁²+ Х₂²= 1 небыло бы большеточек решетки_c,то мы смоглибы получитьĐ-допустимуюрешетку с меньшимопределителем,сжимая решетку_cв направлении,пер­пендикулярномоси X₁,то есть принимаяза решетку точек(Х₁,tХ₂),где(Х₁,Х₂)Λ_с,а tдостаточноблизко к 1.

Наконец,если бы Λ_симела бы толькодве пары точек±(1, 0), ± (В₁,В₂)на границе, торешетку можнобыло бы слегкадеформиро­ватьтак, чтобы точка(1, 0)осталась наместе, а точкас координатами(В₁,В₂)продви­нуласьбы вдоль окружностиХ₁²+ Х₂²= 1 ближек оси Х₁.Наглядно этопредставленона рисунке:

Данная операция,как легко проверить,уменьшаетопределитель,и при небольшихдеформацияхполучающаясярешётка ΛостаётсяĐ-допустимой.Действительно,(1,0) и (В₁,В₂) можнорассматриватькак базис решёткиΛ_с,так как треугольникс вершинами(0, 0), (1, 0), (В₁,В₂), аследовательно,и параллелограмм,отвечающийбазису (1, 0), (В₁,В₂) несодержит внутрисебя точек Λ_с.Тогда критическаярешётка Λ_с(если онасуществует)должна иметьтри пары точекна окружностиХ₁²+ Х₂²= 1. Легко увидеть,что единственнойрешеткой,у которой трипары точеклежат на окружностиХ₁²+ Х₂²= 1, а одна изпар естьпара ± (1, 0), являетсярешетка Λ ́ сбазисом

(1, 0), (1/2, √3/4).

Она содержитвершины правильногошестиугольника

± (1, 0), ± (1/2, √3/4), ±(-1/2, √3/4),

лежащие наокружностиХ₁² + Х₂² =1, но не содержитни одной точки(кроме (0, 0)) в кругеХ₁² + Х₂² 1/2. Минковскийпоказал, чтокритическиерешетки существуютдля довольноширокого классаобластей ,показав, грубоговоря, чтолюбую -допустимуюрешетку Λ можнопостепеннодеформи­роватьдо тех пор, покаона не станеткритической.

“Неоднороднаязадача”

Другимобщим типомпроблемы являетсяследующаятипичная«неоднороднаязадача». Пустьf(х₁,…,x_n)—некотораявещественнозначнаяфункция вещественныхаргументовх₁,. . ., х_n.Требуетсяподобратьпостоянноечисло kсо следующимсвойством: еслиξ₁,...,ξ_n— любые вещественныечисла, то найдутсятакие целыечислаu₁,…,u_n,что

│f(ξ₁– u₁,…,ξ_n– u_n)│≤k.

Подобныевопросы естественновозникают,например, втеории алгебраическихчисел. И на этотраз имеетсяпростая геометрическаяинтерпретация.Для наглядностиположим n= 2. Пусть— мно­жествотаких точек(х₁,х₂)двумернойевклидовойплоскости, что

│f(x₁,…, x_n)│≤k.

Пустьu₁,u₂— любые целыечисла; обозначимчерез (u₁,u₂)об­ласть,полученнуюиз параллельнымпереносом навектор (u₁,u₂);иными словами,(u₁,u₂)естьмножество такихточек х₁,х₂,что

│f(х₁– u₁,х₂– u₂)│≤k.

Неоднороднаяпроблема состоитв выборе kтаким образом,чтобы области(u₁,u₂)покрываливсю плоскость.Желательновыбрать k,а значити ,наименьшимиз всех возможных(но так, чтобысвой­ствопокрывать всюплоскостьсохранилось).Здесь мы имеемпро­тивоположностьпостановкеоднороднойзадачи, приведённойвыше, где цельсостояла в том,чтобы сделатьобласти наибольшими,но все еще непересекающимисяодна с другой.

19

Содержание.

1. Введение. 2

2. Постановказадачи. 3

3. Основнаязадача геометриичисел. 4

4. ТеоремаМинковского. 6

5. Доказательствотеоремы Минковского. 7

6. Решётки. 10

7. Критическиерешётки. 13

8. «Неоднороднаязадача». 17

9. Списоклитературы. 18

2

Списоклитературы.

1. Касселс, Дж.В. С. Геометриячисел – М., Мир,1965г.

2. МинковскийГ. Геометриячисел – Лейпциг,1911г. (переиздание1996г.)

3. Марков А. А.О бинарныхквадратичныхформах положительногоопределителя– СПб., 1948г.

4. ЧеботарёвМ. Г. Заметкипо алгебре итеории чисел– УЧ Зап. Каз.Унив-та, 1934г.(переиздание1994г.)

5. ЧеботарёвМ. Г. Доказательствотеоремы Минковскогоо неоднородныхлинейных формах– М., Мир, 1949г.

19

МинистерствоОбразованияРоссийскойФедерации

ГОСУДАРСТВЕННОЕОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГОПРОФЕССИОНАЛЬНОГООБРАЗОВАНИЯ

ХабаровскийГосударственныйПедагогическийУниверситет

Кафедраматематическогоанализа и информатики

Курсоваяработа

“Геометриячисел”

Выполнил: =PeppeR=

Научныйруководитель: доцент кафедры

мат. анализаи информатики

кандидат физ.-мат. наук

Хабаровск- 2004