Большая коллекция шпор для МАТАНа (1 семестр 1 курс)

1.Векторы. Действиянад векторами.

Векторомназ. упорядоченнаясовокупностьчисел Х={X₁,X₂,...X_n}вектор дан вn-мерномпространстве.Т(X₁,X₂,X₃).n=1,2,3.Геометрическийвектор - направленныйотрезок. |AB|=|a|- длинна.2 вектора наз.коллинеарными,если они лежатна 1 прямой или||-ныхпрямых. Векторыназ. компланарными,если они лежатв 1-ой плоскостиили в ||-ныхплоскостях.2 вектора равны,когда ониколлинеарны,сонаправленны,и имеют одинак-уюдлинну.

1.умножениена число: произведениевектора А начисло lназ. такой векторВ, который обладаетслед. св-ми: а)А||В.б) l>0,то А­­В,lА­ЇВ.в)l>1,то АВ,)lА>В.2. Разделитьвектор на числоnзначит умножитьего на число,обратное n:а/n=a*(1/n).

3.Суммойнеск-их вектороваи вназ. соединяющийначало 1-го иконец последнеговектора. 4. Разностьювекторов аи вназ-ся векторc,который,будучи сложеннымс вектором вдаст вектора.

2.3.Декартовапрямоугольнаясистема координат.Базис.

Базисомна плоскостиназываетсясовокупностьфиксированнойточки и 2х неколлинеарныхвекторов, проведенныхк ней.

Базисомв пространственаз. совокупностьфиксированнойточки в пространствеи 3х некомпланарныхвекторов.

Любойвектор на плоскостиможет бытьразложен повекторам базисана плоскости.Любой векторв пространствеможет бытьразложен повекторам базисав пространстве.

ОС=OA+OB,OA=x*i,OB=j*y,OC=xi+yj.Числах,у наз-ся координатамивектора ОСв данном базисе

4.Действия надвекторами.

а=х₁i+y₁j+z₁k;b=х₂i+y₂j+z₂k

l*a=l(х₁i+y₁j+z₁k)=l(х₁)i+l(y₁)j+l(z1)k

a±b=(x₁±x₂)i+(y₁±y₂)j+(z₁±z₂)k

ab=x₁x₂ii+y₁x₂ij+x₂z₁ki+x₁y₂ij+y₁y₂jj+z₁y₂kj+x₁z₁ik+y₁z₂jk+z₁z₂kk=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

ii=1;ij=0;и т.д.

скалярноепроизведение2х векторовравно суммепроизведенийсоответствующихкоординат этихвекторов.

аа=x²+y²+z²=|a|²a{x,y,z},aa=|a|*|a|,то a²=|a|²

ab=|a|*|b|*cosj

а)ав=0,а^в,x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0

б)а||в- коллинеарны,если , x₁/x₂=y₁/y₂=z₁/z₂

5.Скалярноепроизведениевекторов и егосвойства.

-(“skala”-шкала)2х векторов аи вназ. число, равноепроизведениюдлин этих векторовна cosугламежду ними.(а,в)-скалярноепроизведение.а*в=|а|*|в|*cosj,j=p/2,cosp/2=0,a^b=>ab=0.Равенство“0” скаляргногопроизведениянеобходимоеи достаточноеусловие ихперпендикулярности(ортогональности).

6.Векторноепроизведение2х векторов.

левая----- правая

Тройкавекторов а,в,сназ. правоориентированной(правой), еслис конца 3го вектораскратчайшийповорот от 1гоко 2му векторумы будем видетьпротив час.стрелки. Есликратчайшийповорот от 1гоко 2му по час.стрелки - левая.Векторнымпроизведением2х векторов аи вназ. такой векторс,который удовлетворяетусловиям: 1.|c|=|a|*|b|*sinj.2. c^aиc^b.3.тройка а,в,с-правая.

7.Смешанноепроизведениевекторов и егосвойства.

Смешаннымпроизведениемвекторов наз.векторно-скалярноепроизведение,являющеесячислом: a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c],где

a={a_x,a_y,a_z}

b={b_x,b_y,b_z}

c={c_x,c_y,c_z}

Св-ва:
1.При перестановке2х сомножителей:

a*b*c=-b*c*a

2.неменяется приперестановкециклическихсомножителей:

a*b*c=c*a*b=b*c*a

3.а)(Геометрич.смысл) необходимыми достаточнымусловиемкомпланарности3х векторовявл. равенствоa*b*c=0

б)еслинекомпланарныевектора a,b,cпривестик 1 началу, то|a*b*c|=Vпараллепипеда,построенногона этих векторах

еслиa*b*c>0,то тройка a,b,c- правая

еслиa*b*ca,b,c- левая

8.Уравнение линиии поверхности.

1.Уравнениесферы. Сфера-геометрическоеместо точек,равноудаленныхот 1ой точки,называемойцентром.

O(a,b,c)

|OM|=r,OM={x-a,y-b,z-c}

r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²-уравнениесферы. x²+y²+z²=r²-ур-есферы с центромточке(0,0).

F(x,y,z)=0-ур-еповерхности- ур-ю, удовлетворяющемукоординатамx,y,zлюбой точки,лежащей наповерхности.

2.Уравнениеокружности

|OM|=r,OM={x-a,y-b)

r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²-ур-еокружности

а=b=0,то x²+y²=r²

F(x,y)=0-ур-елинии на плоскости.

9.Плоскость впространстве.

Ур-ев плоскости,проходящейчерез даннуюточку, перпендикулярнозаданномувектору.

N-векторнормали

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀}

Длятого, чтобыточка MОP,необходимои достаточночтобы вектораN^M₀M(т.е.N*M₀M=0)

A(x-x₀)+B(y-y₀)+С(z-z₀)=0- ур-еплоскости,проходящейчерез даннуюточку ^вектору.

10.Общее уравнениеплоскости.

Ax+By+Сz-Ax₀-By₀-Сz₀=0

-Ax₀-By₀-Сz₀=D,гдеD=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частныйслучай:

ЕслиD=0,то Ax+By+Сz=0(проходитч/з 0;0)

ЕслиA=0,то By+Сz+D=0

ЕслиB=0,то Ax+Сz+D=0

ЕслиC=0,то Ax+By+D=0

ЕслиA=B=0,то Сz+D=0

ЕслиA=C=0,то By+D=0

ЕслиA=D=0,то By+Сz=0

ЕслиB=D=0,то Ay+Сz=0

11.Взаимное расположениеплоскостей.

N₁,N₂-нормальныевекторы плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

P^Q{A₁,B₁,C₁}

Q^N₂{A₂,B₂,C₂}

1)ПустьP^QN₁^N₂

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0условиеперпендикулярностиP^Q.

2)Пусть P^QN₁^N₂

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂-Условиепараллельности2х плоскостей.

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D₂-Условиесовпадения2х плоскостей.

12.Каноническоеуравнениепрямой в пространстве.

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀}

Чтобыточка МОпрямой(илилежала на ней)необх. и достаточно,чтобы M₀M||S

13.Уравнениепрямой в пространстве,проходящейч/з 2 заданныеточки.

l m n

S{x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁}

14.прямая, какпересечениеплоскостей.Нахождениеначальной точкии направляющеговектора прямой.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

­Общееур-е прямой впространстве.

Длятого, чтобыперейти отобщего к каноническомуур-ю прямой,надо задатьначальную точкуи направляющийвектор:

1.Найдем начальнуюточку:

Z=0

M₀(x₀,y₀,0),т.к.Z=0

2.Найдем направляющийвектор S-?

P^N₁{A₁,B₁,C₁}

Q^N₁{A₂,B₂,C₂}

S=N₁*N₂

16.Взаимное расположениепрямой на плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0^N₁{A₁,B₁}

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0^N₂{A₂,B₂}

а)

то

б)

p­­qN₁||N₂,тоA₁/A₂=B₁/B₂

в)

p||qN₁^N₂,тоA₁A₂+B₁B₂=0

17.Общееур-е прямойлинии на плоскости.Его частныеслучаи.

Сначалазапишем ур-епрямой, проходящейчерез заданнуюточку ^заданномувектору.

M₀(x₀,y₀)

M₀M{x-x₀,y-y₀}

n*M₀M=0

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0

Ax+By-Ax₀-By₀=0

-Ax₀-By₀=C

Ax+By+C=0-общееуравнениепрямой на плоскости.

18.19.Каноническоеур-е прямойлинии на плоскости.Ур-е прямой,проходящейч/з 2 точки. Ур-ес угловымкоэффициентом.

y-y₁=k₁(x-x₁)

y=k₁x-k₁x₁+y₁

y₁-k₁x₁=b

y=k₁x+b

ур-епрямой с угловымкоэффициентомk.

Пустьданы 2 точкиM₁(x₁,y₁),M₂(x₂,y₂)и x₁№x₂,y₁№y₂.Для составленияуравненияпрямой М₁М₂запишем уравненияпучка прямых,проходящихчерез точкуМ₁:y-y₁=k(x-x₁).Т.к.М₂лежитна данной прямой,то чтобы выделитьее из пучка,подставимкоординатыточки М₂в уравнениепучка М₁:y-y₁=k(x-x₁)и найдем k:

Теперьвид искомойпрямой имеетвид:

или:

-Ур-е прямой,проходящейч/з 2

20,21.Угол м/ду прямымина плоскости.Условия ||и^.

а)

S₁{l₁,m₁}S₂{l₂,m₂},

или

p:y=k₁x+b₁,k₁=tgj₁

q:y=k₂x+b₂,k₂=tgj₂=>tgj=tg(j₂-j₁)=

=(tgj₂-tgj₁)/(1+tgj₁tgj₂)=

=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂).

б)p||q, tgj=0,k₁=k₂

в)p^q,то

22.Расстояниеот точки допрямой на плоскостии до плоскостив пространстве.

1.Ax+By+C=0, M₀(x₀,y₀)

2.Пусть плоскостьзадана ур-емAx+By+Cz+D=0

23.Кривые линии2-го порядка.

Кривые2го порядкаописываютсяс помощью общегоур-я:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0,где

а)Каноническоеур-е эллипса

-Каноническоеур-е эллипса

Еслиa=b,тоx²+b²=a²- ур-еокружности.

б)Ур-е гиперболы:x²/a²-y²/b²=1

в)ур-е параболы:y²=2pxилиy=ax²

г)ур-е сферы:x²+y²+z²=а²(r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²)

д)ур-е эллипса:x²/a²-y²/b²+z²/c²=1

24.Парабола и еесвойства.

Множествоточек плоскости,координатыкоторых поотношению ксистеме декартовыхкоординатудовлетворяетуравнениюy=ax²,гдех и у - текущиекоординаты,а- нек. число,наз. параболой.

Есливершина нах.в О(0,0), то ур-е приметвид

y²=2px-симметричноотн. оси ОХ

х²=2pу-симметричноотн. оси ОУ

ТочкаF(p/2,0)наз. фокусомпараболы, апрямая x=-p/2- еедиректриса.

Любойточке М(х,у),принадлежащейпараболе, расстояниедо фокуса = r=p/2

Св-ва:

1.парабола предст.собой Ґточек плоскости,равноотстающихот фокуса и отдиректрисыy=ax².

25.Эллипси его св-ва:

Криваявторого порядканаз. эллипсомесли коэффициентыА и L имеют одинаковыезнаки

Аx²+Cy²=d

ур.-е

наз.канонич. ур.-емэллипса, гдеПри а=в представляетсобой ур-е окружностих²+y²=а²

ТочкиF₁(-c,0)иF₂(c,0)- наз. фокусамиэллипса а.

Отношениеe=с/аназ. его эксцентриситетом(0e

ТочкиA₁,A₂,B₁,B₂-вершиныэллипса.

Св-во:
Длялюбой точкиэллипса суммарасстоянийэтой точки дофокусов естьвеличина постоянной,=2а.

26.Гипербола иее св-ва.

Кривая2го порядканаз. гиперболой,если в ур-ииAx²+Cy²=d,коэффициентА и С имеютпротивоположныезнаки, т.е. А*С

б)Если d>0,то каноническоеур-е гиперболыпримет вид:x²/a²-y²/b²=1,F1(c,o)и F₂(-c,0)- фокусыее, e>0,e=c/a- эксцентриситет.

Св-во:
длялюбой точкигиперболыабсолютнаявеличина разностиее расстоянийдо фокусов естьвеличина постоянная= 2а.

б)если d=0,ур-е примет видx²/a²-y²/b²=0,получаем 2перекрестныепрямые х/а±у/b=0

в)если d2/a²-y²/b²=-1- ур-е сопряженнойгиперболы.

27.Понятие оповерхностях2го порядка.

Алгебраическимур-ем 2ой степениназ. ур-е видаAx²+Bxy+Cy²+Dx+ey+F=0,где A,B,C,D,e,F- действительныечисла

Линии,которые в системедекартовыхкоординатопределяютсяалгебраическимур-ем 2ой степениназ. линиями2го порядка.

28.Функции. Определениеспособа задания.Классификацияфункций. Основныеэлементарныефункции.

Функция- это зависимостьодной величиныот другой.

Еслисуществуетвзаимооднозначноесоответствиемежду переменнойх одного множестваи переменнойу другого множества,то она называетсяфункциональнойзависимостью.y=f(x).

Определениеспособа задания:

-аналитически(y=kx+b)

-графический(график)

-таблично

-алгоритмически(с помощью ЭВМ)

Классификацияфункций:

Элементарные:- функции, которыеполучаютсяиз основныхэлементарныхф-ций с помощьюалгебраическихдействий(+,-,*,/,введение встепень). Основныеэлементарныеф-ции:

1.y=xⁿ- степенная

2.y=a^x- показательная

3.y=log_ax- логарифмическая

4.y=sinx,y=cosx- тригонометрические.

Сложные:

Y=f(U),где U=j(x),Y=f[j(x)]

Еслиф-ция у зависитот промежуточногоаргумента U,который зависитот независимойпеременнойх, то y=f[j(x)]называетсясложным заданиемх.

29.Определениепределовпоследовательностии ф-ции. Осн. св-вапределов ф-ции1ой переменной.

а)Предел последовательности:

y=f(Un),гдеU₁,U₂,...U_n,аU_n=n/(n²+1)

Предел:число а называетсяпределом переменнойx_n,еслидля каждого“+” как угодномалого числаe(эпсилон)существуеттакой номерN,что при n>Nразность |x_n-a|e

limx_n=a

n®Ґ

-en-ae

a-ene

б)Предел ф-ции:
y=f(x)числоа называетсяпределом переменнойх, если разностьм/ду ними естьб.м.в. |x-a|®0,|x-a|e

ЧислоА называетсяпределом ф-цииf(x)при х®а,если для каждого,как угодномалого на периодзаданного числаe.-e>0,найдется такоекак угодномалое на периодзаданного d>0,что будут выполнятьсянеравенства:Если |x-a|d,то |f(x)-A|e

Основныесв-ва:
1.Есливеличина имеетпредел, то только1.

2.limC=C,где С- постояннаявеличина

3.Если a-б.м.в.,то lima=0

4.пределаб.б.в. не существует

5.если limy=a,то y=a+a,где a-б.м.в.

30.Основные теоремыо пределах.

1.Предел суммы= суммы пределов:
limx=a,limy=b,тогда x=a+a,y=b+b,где aи b- б.м.в. x+y=(a+a)+(b+b)=(a+b)+(a+b),где a+b=w-б.м.в.

x±y=(a±b)+w,тоlim(x±y)=a±b=limx+limy.

2.Теорема о пределепроизводной:если сомножителиимеют пределы,то и произведениеимеет предел,равный произведениюпределовсомножителей.

limx=a,limy=b,то на основании5го св-ва

x=a+a

y=b+b,где aи b- б.м.в.

x*y=(a+a)*(b+b)=a*b+(ab+ab+ab),то

­суммаб.м.в. = d(дельта)

xy=ab+d

xy®ab,

limxy=ab=limx*limy

3.Следствие:постояннаявеличина выноситьсяза знак предела.

limCx=limC*limx=C*limx

4.Пределот частного= частному пределов(кроме limx/limy=0

limx/y=limx/limy,т.к.limx=a, limy=b

x=a+a,y=b+b

x/y=(a+a)/(b+b)

31.1й, 2й замечательныйпределы.

1й:limsinx/x=1, limx/sinx=1. x®0

j

lim((Sina)/a)=1

x®0

S_DOACсектора_OACD_OCB

S_DOAC=1/2*OC*AD,OA=OC=1, то

S_DOAC=1/2*OC*OA*Sina=1/2*Sina

S_{сектораOAC}=1/2*OA*OC*a=1/2*a(т.к.OA=OC)

S_DOCB=1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tga=1/2*tga

1/2*Sinaaa//*2

sinaaa//:sin

1a/sinaa,=>cosaa/a

limCosaa)/a)

a®0 a®0 существования

пределаф-ции

lim((Sina)/a)=1

a®0

2ой:lim(1+1/n)ⁿ=e»2.7183

n®Ґ

Зная,что 1/n=a- б.м.в.,то n=1/aи

x®Ґ a®0

lim(1+1/n)^1/a=e

a®0

32.Основные приемынахожденияпределов.

1.Подстановка:при х®х₀и х₀Ообластиопределенияф-ции f(x),предел ф-цииf(x)=егочастному значениюпри х=х₀

limf(x)=f(x₀)

x®x₀

2.Сокращение:при х®Ґи х®х₀f(x)/g(x)=0/0,то сокращаютчислитель изнаменательна множитель,стремящийсяк 0.

3.уничтожениеиррациональности(* числитель изнаменательна 1 число).

4.делениена наивысшуюстепень х: прих®Ґи х®х₀f(x)/g(x)=0/0,то делим числительи знаменательна наивысшуюстепень.

5.сведение кизвестнымпределам:lim((Sinx)/x)=1

x®Ґ

lim(1+1/n)^x=e

x®Ґ

33.Непрерывностьф-ции в точкеи на интервале.

x=x₀+Dx,Dx=x-x₀

Dy=f(x₀+Dx)-f(x₀)

Ф-цияy=f(x)наз. непрерывнойв точке x₀,если она определенав окрестностиэтой точки, аlimDy=0.(б.м. приращениюаргументасоответствуетб.м. приращениюф-ции).

limDy=lim[f(x)-f(x₀)]=limf(x)-limf(x₀)=0,то

limf(x)=limf(x₀)

x®x₀

Ф-циянепрерывнав точке х₀,если ее предел= значению этойф-ции в точкех₀

Ф-цияявл. непрерывнойна интервале,если она непрерывнав каждой еготочке.

34.Признакисуществованияа) предела ф-циии б) пределапоследовательности.

а)если все значенияф-ции f(x)заключены междузначениямиф-ции j(x)и g(x),которые имеют1 предел прих®а,то и limf(x)=A

j(x)j(x)=А,limg(x)=А,то limf(x)=A.х®а

б)Если последовательностьмонотонновозрастаети ограниченнасверху, то онаимеет предел.

Последовательностьмонотонновозрастает,если последующийчлен>предыдущего(x_n+1>x_n)

Последовательностьограниченасверху, еслисуществуеттакое М, чтоx_n

35.Бесконечномалые величиныи их св-ва:

величинаназываетсяб.м.в. в каком-топроцессе, еслиона в этом процессебесконечноуменьщается.(r=m/V,если V®Ґ,то r®0)

Св-ваб.м.в.:

-суммаили разностьконечного числаб.м.в. есть б.м.в.(aи b-б.м.в.,то a±b=б.м.в.)

-произведениеб.м.в. на величинуограниченнуюесть б.м.в. (Ua*U=б.м.в.)

-произведениеб.м.величин=б.м.в.

-произведениеб.м.в. на постоянную= б.м.в

36.Бесконечнобольшие величиныи их св-ва.

б.б.в- величина длякоторой |X_n|®Ґ(приx_n=1/n,n®0,то x_n®Ґ)

Св-ва:

-величинаобратная б.б.в.явл. б.м.в. (1/Ґ=0;1/0=Ґ)

-суммаб.б.в. (с одинаковымзнаком) естьб.б.в.

-произведение2х б.м.величин=б.м.в.

-частноеот деления 2хб.б.в = неопределенность

38.Св-ва непрерывныхф-ций:в
в отрезке:

1.Если ф-ция y=f(x)непрерывнана [a,b]и f(a)*f(b)

2.Если ф-ция y=f(x)непрерывнана [a,b],то она ограниченана этом промежутке.

3.Если ф-ция y=f(x)непрерывнана[a,b],то она достигаетна этом отрезкеminmи maxM(теоремаВейерштрасса).

вточке:

1.если ф-ция f(x)иg(x)непрерывнав х₀,то их сумма,произведение,частное (приj(х₀)№0)явл-ся ф-циями,непрерывнымив х₀

2.если ф-ция y=f(x)непрерывнав х₀,и f(x₀)>0,то существуетокрестностьх₀,в которой f(x)>0

3.еслиy=f(U)непрерывнав U₀,а U=j(x)непрерывнав U₀=j(x₀),то сложнаяф-ция y=f[j(x)]непрерывнав х₀.

39.Задачи, приводящиек понятиюпроизводной.Определениепроизводнойи ее геометрическийсмысл.

1.n_cp.=DS/Dt,n=lim(DS/Dt),гдеDt®0

2.p_cp.=Dm/Dl,p_T=lim(Dm/Dl),гдеDl®0

Dy=f(x+Dx)-f(x),y=f(x)

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)

Dx®0 Dx®0

Смыслпроизводной- это скоростьизменения ф-циипри измененииаргумента.

y=f(x+Dx)-f(x),y=f(x).производнойв точке а называетсяпредел отношенияприращенияф-ции к приращениюаргумента:

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx

Dx®0 Dx®0

Вычислениепроизводной:lim(Dy/Dx)=y` Dx®0

1)еслиy=x, Dy=Dx,y`=x=lim(Dy/Dx)=1.

2)еслиy=x²,Dy=(x+Dx)²-x²=x²+2xDx+Dx²-x²=Dx(2x-Dx),

(x²)`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x

x®0 Dx®0

Геометрическийсмысл производной.

KN=Dy,MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислимпредел левойи правой части:

limtga=lim(Dy/Dx)Dx®0

tga₀=y`

a®a₀

ПриDx®0секущаяMN®занятьположениекасательнойв точке M(tga₀=y`,a®a₀)

Геометрическийсмысл производнойзаключаетсяв том, что естьtgугланаклона касательной,проведеннойв точке x₀.

40.Основные правиладифференцирования.

Теорема:Если f(x)и g(x)дифферен. вточке х, то:

Теоремао произв. сложнойфункции:

Еслиy(x)=f(u(x))и существуетf’(u)и u’(x),то существуетy’(x)=f(u(x))u’(x).

Теоремао произв. обратнойфункции.

Таблицапроизводных:

41.Дифференцированиесложных ф-ций:

Производнаясложной ф-ции= произведениюпроизводнойф-ции по промежуточномуаргументу ипроизводнойсамого промежуточногоаргумента понезависимойпеременной.

y`=f(x)*U`,илиy_x`=y<sub>U</sub>`*U_x`,илиdy/dx=dy/dU=dU/dx

Например:

42.Дифференцированиеобратной ф-ции.

y=f(x),тоx=j(y)- обратнаяф-ция.

Длядифференцируемойф-ции с производной,не = 0, производнаяобратной ф-ции= обратной величинепроизводнойданной ф-ции,т.е. x_y`=1/y<sub>x</sub>`.

Dy/Dx=1/(Dy/Dx)- возьмемпредел от левойи правой части,учитывая, чтопредел частного= частному пределов:

lim(Dy/Dx)=1/(lim(Dy/Dx),т.е. y_x`=1/x<sub>y</sub>илиf`(x)=1/j`(x)

Например:

43.Производныестепенных итригонометрическихфункций.

Основныеформулы:

44.Производныеобратныхтригонометрическихфункций.

Основныеформулы:

Длясложных функций:

45.Производныепоказательныхи логарифмическихфункций.

Основныеформулы:

Еслиz=z(x)– дифференцируемаяфункция от x,то формулыимеют вид:

46.Логарифмическоедифференцирование.Вывод производнойстепеннойф-ции.

y=a^x- показательнаяф-ция, y=xⁿ- степенная,y=x^x- показательно-степенная.

y=[f(x)]^j(x)- показательно-степеннаяф-ция.

lny=xlnx- найдемпроизводнуюот левой и правойчасти, считаяу ф-цией х.

(1/y)*y`=(lny)

(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1

y`=y*(lnx+1)=x^x(lnx+1)

Операция,которая заключаетсяв последовательномприменениик ф-ции y=f(x)сначала логарифмирование,а затем дифференцирование.

Степеннаяф-ция:

1.y=xⁿ,nlnx, y`/y=n/x=n*(x)^-1

y`=y*n*(x^-1)=n*xⁿ*x^-1=n*x^n-1

2.y=e^U,гдеU=sinx

U`=cosx,y`=(e^U)`=e<sup>U</sup>*U`=e^sinx*cosx.

47.Производнаявысших порядковф-ции 1й переменной.

y=f(x)

y``=(y`)`=lim((f`(x+Dx)-f`(x))/Dx)

x®0

y```=(y``)`=lim((f``(x+Dx)-f``(x))/Dx)

f⁽ⁿ⁾(x)=[f^(n-1)(x)]`

48.Производные1,2-го порядканеявных ф-ций.

Неявнойназываетсятакая ф-ция уаргумента х,если она заданауравнениемF(x,y)=0,не разрешеннымотносительнонезависимойпеременной.

y=f(x),y=x²-1- явные

F(x,y)=0,a²=x²+y²- неявныеф-ции.

1)a²=x²+y²- найдемпроизводную,продифференцируем,считая у - сложнойф-цией х.

y`=2x+2y=0,т.к. а-постоянная

y*y`=-x,y`=-x/y

2)x³-3xy+y³=0

3x³-3(xy)`+3y<sup>2</sup>*y`=0//:3

x²-(x`y+y`x)+y²*y`=0

y`y<sup>2</sup>-xy`=y-x²

y`=(y-x²)/(y²-x)

49.Дифференциалф-ции и егогеометрическийсмысл. Св-вадифференциала.

limy=A,y=A+a

limDy/Dx=y`,Dy/Dx=y`+a,Dy=y`Dx+aDx

Dx®0

Dy=y`Dx+e,гдеe-б.м.в.,величина болеевысокого порядкамалости,, чемDx(a),и ееможно отбросить.

dy=y`Dx

Дифференциаломф-ции наз. величина,пропорциональнаяб.м. приращениюаргумента Dхи отличающаясяот соответствующегоприращенияф-ции на б.м.в.более высокогопорядка малости,чем Dх.

Еслиy=x,тоdy=dx=x`Dx=Dx,dx=Dx

Еслиy№x,то dy=y`dx,y`=dy,dx

Геометрическийсмысл: дифференциал- изменениеординаты касательной,проведеннойк графику ф-циив точке (x₀,f(x₀))приизменении x₀навеличину Dx

Св-ва:
1.(U±V)`=U`±V`,то(U±V)`dx=U`dx±V`dx,d(U±V)=d(U±V)

2.(UV)`=U`V+V`U,то(UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4.d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V².

50.ТеоремаРолля.

Еслифункция f(x)непрерывнана заданномпромеж/ [a,b]деффер. на интервале(a,b) f(a)=f(b)то существуетт. сиз интерв. (a,b),такая, что f’(c)=0.

51.Теорема Лагранжа.

Еслифункция f(x)непрерывнана [a,b]и дефференцированана (a,b),то сущест.

т.с(a,b),такая,что:f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство:применимт.Коши, взявтолько g(x)=x,тогда g’(x)=1№0.

52.Теорема Коши.

Еслиf(x),g(x)удовл. тремусловиям:

1).f(x),g(x)непрерыв. напромеж [a,b]

2).f(x),g(x)деффер. на интервале(a,b)

3).g’(x)№0на интер. (a,b),то сущ. т. с

g(b)№g(a)(неравны потеореме Ролля).

1).F(x)– непрерывнана [a,b]

2).F(x)– деффиренцированана(a,b)

3).F(a)=0 ; F(b)=0

потеореме Роллясущ. сО(a,b);F’(с)=0

53.Необходимыеи достаточныепризнаки монотонностиф-ции:

Еслиx₂>x₁,f(x₂)>f(x₁),то ф-ция монотонновозрастает

Еслиx₂>x₁,f(x₂)1),то ф-ция монотонноубывает

Монотонность- постоянство

Необходимыепризнаки:1)еслиф-ция f(x)всюдув интервалевозрастает,то ее производнаяв этом интерваленеотрицательна(f`(x)>=0)

2)еслиф-ция f(x)всюдув интервалеубывает, то еепроизводнаяв этом интерваленеположительная (f`(x)

3)еслиф-ция f(x)всюдув интервалепостоянна, тоее производнаяв этом интервале=0 (f`(x)=0)

Достаточныепризнакимонотонности:1)если f`(x)в интервалеположительна,то ф-ция f(x)возрастаетв этом интервале.

2)еслиf`(x)

3)еслиf`(x)=0,то ф-ция f(x)=constна интервале.

x₁2,x₂-x₁>0,x₂>x₁

1.если f`(a)>0,тоf(x₂)>f(x₁)

2.если f`(a)2)1)

3.если f`(a)=0,тоf(x₂)=f(x₁)

54.Экстремумыф-ций. Признакисуществованияэкстремума.Наибольшееи наименьшеезначение ф-ции1й переменной.

Точках называетсяточкой maxф-ции, если значениеф-ции в этойточке - наименьшеев некоторойее окрестности.

1-локальный max

2-локальныйmin

3-глобальныйmax

4-глобальныйmin

еслиtga>0,то f`(x)>0

еслиtga

Необходимыйпризнак экстремума:ф-ияf(x)может иметьmaxиminтолько в техточках, в которыхf`(x)=0или не существует.

(Вних можно построитьҐкасательных).

Достаточныйпризнак: точках₀является точкойэкстремума,если ее производнаяв этой точкеменяет знак:

-если с “+” на“-”, то х₀-т. max

-если с “-” на“+”, то х₀-т. min

55.Выпуклостьи вогнутостьлиний точкиперегиба.

Линияназываетсявыпуклой, еслиона пересекаетсяс любой своейсекущей неболее чем в 2хточках.

Линияназ-ся вогнутой,если она целикомлежит по 1 сторонуот касательной,проведеннойв любой ее точке.

Точкаперегиба - точка,отделяющаявыпуклый участокдуги от вогнутого.

Необходимыйпризнак выпуклостии вогнутости:если линия наинтервалевыпуклая, тоее 2я производная=0

Достаточныйпризнак: еслиf``(x)всюду в интервале“-”, то линия винтервалевыпуклая; еслиf``(x)>0,то линия вогнутая

Признакиточки перегиба:чтобы X₀была т. перегиба,чтобы у``в этой точке= 0 и меняла знакпри переходех через х₀.

56.Асимптотаграфика ф-ции.

Асимптота- прямая, к которойграфик ф-циистремится, ноникогда ее непересекает.

1)прямая х=х₀назыв-ся вертикальнойасимптотойграфика ф-цииf(x)=y,если при х®х₀|f(x)|®+Ґ(видаx=b)

2)y=kx+b,,y=f(x)- общееур-е наклоннойасимптоты

lim[f(x)-(kx+b)]=0,f(x)=kx+b+a(б.м.в.)по св-ву x®Ґ пределов.

разделимлевую и правуючасти на х. Возьмемпредел при х®Ґ

f(x)/x=k+b/x+a/x,lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x)

x®Ґ

,то

k=lim(f(x)/x)

b=lim[f(x)-kx]

Еслиэти пределысуществуют,то существуети наклоннаяассимптотавида kx+b=y

3)k=lim(f(x)/x)=0,y=b - горизонтальнаяасимптота.

57.Предел и непрерывностьф-ции несколькихпеременных.

ВеличинаUназ-ся ф-циейпеременных(x₁,x₂...x_n),если каждой,рассматриваемойв совокупностиэтих величин соотв-ет 1 определенноезначение величиныU.

Пустьf(M)=M₀(x₁⁰,x₂⁰,...x_n⁰),M(x₁,x₂,...x_n)

Ф-цияf(M)=f(x₁,x₂,...x_n)имеетпредел А приМ₀®М,если каждомузначению какугодно малогочисла d(дельта)соотв-ет, какугодно малоезаданное числоe>0,если |M₀M|=d,то|f(M)-A|e

Ф-цияf(M)наз-ся непрерывнойв точке М₀,если б.м. приращениюлюбого аргументасоответствуетб.м. приращениеф-ции.

limf(x₁⁰,x₂⁰,...x_n⁰)=limf(x₁,x₂,...x_n)

x₁⁰®x₁

x₂⁰®x₂

x_n⁰®x_n

58.а) Частнаяпроизводнаяф-ции несколькихпеременных.б) Частный иполный дифференциалы.

а)рассмотримна примереф-ции 2х переменных

x=f(x,y),точкаA(x₀,y₀)

Dz=f(x₀+Dx,y₀+Dy)-f(x₀,y₀)- полноеприращение.

Частноеприращениепо х (по у):

DxZ=f(x₀+Dx,y)-f(x₀,y₀)

DyZ=f(y₀+Dy,x)-f(x₀,y₀)

Частнаяпроизводнаяф-ция:
б)dxZ=Z_x`*Dx=¶Z/¶x*dx;dxZ=Z<sub>y</sub>`*Dy=¶Z/¶y*dy

ПолныйдифференциалdZ=d_xZ+d_yZ=Z`<sub>x</sub>dx+Z`_ydy

dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy

Чтобынайти полныйдифференциалф-ции надо найтичастные производныеот этой ф-циипо всем независимымпеременным,умножить ихна дифференциалэтих переменных,рез-ты сложить.

59.Производная2го порядкаф-ции несколькихпеременных.Дифференцированиесложной ф-ции2х переменных.

Частноепроизводной2го порядка отф-ции Zявл. частнаяпроизводнаяот 1й производной:

Z``<sub>XX</sub>=(Z`<sub>x</sub>)`<sub>x</sub>; Z``_yy=(Z`<sub>y</sub>)`_y

Z``_Xy=(Z`<sub>x</sub>)`_y=(Z`<sub>y</sub>)`_x

60.Экстремумыф-ции несколькихпеременных.Необходимыеи достаточныепризнаки экстремумаф-ции 2х переменных.

Z=f(x,y),M₀(x₀,y₀),M(x,y)

Maxф-ции Zназываетсятакое ее значениеf(x₀,y₀),которое являетсянаибольшимсреди всехзначений, принимаемыхв некоторойокрестноститочки M₀

Minф-ции Zназываетсятакое ее значениеf(x₀,y₀),которое являетсянаименьшимсреди всехзначений, принимаемыхв некоторойокрестноститочки M₀

Экстремумсущ. в тех точках,в которых частнаяпроизводнаяф-ции Z=0или не существует:

ЕслиZ=f(x₁,x₂,...x_n),то ¶Z/¶x_i=0,i=1,2,...n- необходимоеусловие.

Достаточныйпризнак:

гдеA=Z``<sub>XX</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>),C= Z``_yy(x₀,y₀),B= Z``_yx(x₀,y₀),

1)если D>0,то М₀- точка экстремума;

еслиА0- точка max;

еслиА>0или С>0,то М₀- точка min.

2)если D

3)если D=0,то вопрос осуществованииэкстремумаостается открытым.

61.Общая схемаисследованияф-ции необходимадля построенияграфика.

Найти:
-обл.определенияф-ции

-точкиразрыва и интервалы,где ф-ция явл-сянепрерывной

-поведениеф-ции в окрестностяхточки разрыва,вертикальнойасимптоты

-т.пересеченияграфика с осямикоординат

-симметрияграфика (чет./нечет):

f(-x)=xсимметричнаотносительноосей

f(-x)=-xсимметричнаотносительноО(0,0)

-периодичность

-интервалымонотонности

-точкиэкстремума

-наибольшееи наименьшеезначение

-выпуклость,вогнутость

-точкиперегиба

-поведениеф-ции в безконечности,наклонная игоризонтальныеасимптоты

-нанесениена график.

Л

По всемвопросам и подальнейшемупополнениюлекций обращатьсяна ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спроситьВаню

Ведущая:Голубева ЗояНиколаевна

Дата:вторник, 5 сентября2000 г.

Тема:Введение

Условныеобозначения:

: - так,чтоdef– по определению

 – включает’’’ – [dⁿf(x)]/dxⁿ=(d/dx)([d^n-1f(x)]/dxⁿ)

 - следует,выполняется

 -тогда и толькотогда

 -любой

 -существует

] – пусть

! – единственный

[x]– целая часть

~ - эквивалентно

о - малое

ВсеRпредставляютдесятичнойдробью.

ВсеQпредставляютконечной дробью,либо периодичнойдробью.

Всеиррациональныечисла представляютбесконечнойдесятичнойдробью ( непериодичной).

Рассмотримчисловую ось.Числовая ось– направленнаяпрямая с отмеченнойточкой и отмеченныммасштабом.

x

0 – отвечаетза ноль.

Отрезок[0;1] отвечает заединицу

Единицаза единицу.

Каждойточки хна числовойпрямой отвечаетнекотороедействительноечисло. Еслидлинны отрезков[0;x]из заданногомасштаба соизмеримы,тогда числух отвечаетрациональноечисло. Если несоизмеримы,то иррациональны.

КаждомуRотвечаетточка на числовойпрямой и наоборот,каждой точкеотвечает R.

Основныечисловые множества.

x

Отрезок: [/////////] x

a b

Обозначается[a;b] ab

Частныйслучай отрезкаточка

Илиaxb– в виде неравенства.

х

Интервал: (/////////) x– множествоточек на числовойпрямой.

a b

Обозначается(a;b)или в виденеравенстваa

x

Полуинтервал: (/////////] x

a b

x

[/////////) x

a b

Обозначается:[a;b) axb

(a;b]ab

Всёэто числовыепромежутки.

Замечание:один из концов( а или b)может бытьсимволом .

x

///////////////] x (-;b] или -b

b

x

///////////////) x (-;b) или -

b

Всячисловая прямая– R=(-;+)

Окрестности.

Определение:ε–окрестностьючисла аназываетсямножество чиселх удовлетворяющиенеравенству

a-ε x-a  (////////) x О_ε(а)

ε>0 а-ε а а+ε

О_ε(а)={xR:x-a

Проколотаяεокрестность– О^_ε(а)это множествотаких чиселвключающихR,и отстаёт отточки на εи не принадлежита.

О^_ε(а)={xR:0x-a

(////////) x

а-ε а а+ε

Праваяε поло окрестностьточки а: О⁺_ε(а)={xR:ax

 ///////) x

a a+ε

Проколотаяправая ε полоокрестностьточки а: О^_ε(а)={xR:aа.

1. возрастающаяa_nn₊₁,nN

2. убывающаяa_n>a_n+1,nN

3. невозрастающаяa_na_n+1,nN

4. неубывающаяa_na_n+1,nN

Пределыпоследовательности.

Определение:числа а, называетсяпределом числовойпоследовательностиа_n,если для любогосколь угодномалого числаε>0,найдётся натуральныйномер Nтакой, что длявсех чисел nNвыполняетсямодуль разностиa_n-aε>0N :nNa_n-a

Начинаяс этого номераNвсе числа этойпоследовательностипопадают в εокрестностьчисла а.Другими словаминачиная с номераNвне интервалаа-ε;а+εможет находитьсяне более конечногочисла членовпоследовательности.

Lima_n=0

^n

Примеры:Доказать, чтоln(-1)²/n=0

Зададимлюбое ε>0,хотим чтобы(-1)ⁿ-0n>1/ε

N=[1/ε]+1

ε=0.01

N=[1/0.01]+1=101

|a_n|101

** *

a_n=1-1/n²

lim(1-1/n²)=1

^n+

Длялюбого ε>0(1-1/n²)-1

-1/n²1/n²n²>1/εn>1/ε

N=[1/ε]+1

Лекция№3

Ведущая:Голубева ЗояНиколаевна

Дата:среда, 13 сентября2000 г.

Тема:Последовательности

Бесконечномалые последовательности

Последовательностьа_nназываетсябесконечномалой , этоозначает, чтопредел этойпоследовательностипосле равен0.

a_n– бесконечномалая lima_n=0то есть длялюбого ε>0существуетN,такое что длялюбого n>Nвыполняется

^n+

a_n

Важныепримеры бесконечномалой последовательности:

1)_n=1/nДокажем, чтодля любого ε>01/n1/nn>1/εN[1/ε]+1

Докажем,что lim1/n=0

^n+

2)_n=sin(1/n). Докажем,что для любогоε>0sin(1/n)sin(1/n)>0,следовательноsin(1/n)

Следовательно1/nn>1/arcsinε N=[1/arcsinε]+1.Докажем,что limsin1/n=0

^n+

3)_n=ln(1+1/n)

n0;1/n;1+1/n1

lim ln(1+1/n)=0

^n+

Докажемln(1+1/n)ln(1+1/n)1+1/nε

1/nε-1

n>1/e^ε-1N=[1/e^ε-1]+1

5. _n=1-cos(1/n)

lim(1-cos(1/n))=0

^n+

Докажемε>01-cos(1/n)

1/nпервой четвертиcosпервой четвертиположительный01-cos(1/n)

cos(1/n)>1-ε(считаем, что0

1/nn>1/arcos(1-ε)

N=[1/arcos(1-ε)]+1

Свойствабесконечномалой последовательности.

Теорема. Суммабесконечномалой естьбесконечномалое.

_n_nбесконечномалое _n+_n– бесконечномалое.

Доказательство.

Дано:

_n-бесконечномалое ε>0N₁:_n>N₁_n

_n-бесконечномалое ε>0N₂:_n>N₂_n

ПоложимN=max{N₁,N₂},тогда для любогоn>Nодновременновыполняетсяоба неравенства:

_n_n+_n_n+_n1n>N

_n

Зададимε₁>0,положим ε=ε₁/2.Тогда для любогоε₁>0N=maxN₁N₂: n>N_n+_n1lim(_n+_n)=0,то

^n

есть_n+_n– бесконечномалое.

ТеоремаПроизведениебесконечномалого естьбесконечномалое.

_n,_n– бесконечномалое _n_n– бесконечномалое.

Докозательство:

Зададимε₁>0,положим ε=ε₁,так как _nи _n– бесконечномалое для этогоε>0,то найдётсяN₁:n>N_n

N₂:n>N₂_n

ВозьмемN=max {N₁;N₂},тогдаn>N= _n

_n

_n_n=_n_n2=ε₁

 ε₁>0N:n>N_n_n2=ε₁

lim_n_n=0_n_n– бесконечномалое, что итребовалосьдоказать.

^n

ТеоремаПроизведениеограниченнойпоследовательностина бесконечномалую последовательностьесть бесконечномалая последовательность

а_n– ограниченнаяпоследовательность

_n–бесконечномалая последовательностьa_n_n– бесконечномалая последовательность.

Доказательство:Так как а_n– ограниченнаяС>0:nNa_nC

Зададимε₁>0;положим ε=ε₁/C;так как _n– бесконечномалая, то ε>0N:n>N_na_n_n=a_n_nε₁/C=ε₁

ε₁>0N:n>Na_n_n=Cε=ε₁lim a_n_n=0a_n_n– бесконечномалое

^n

Замечание:в качествеограниченнойпоследовательностиможно рассматриватьconstпроизведениепостоянно.

Теоремао представлениепоследовательностиимеющий конечныйпредел.

lima_n=aa_n=a+_n

^n+

Последовательностьa_nимеет конечныйпредел атогда и толькотогда, когдаона представленав виде a_n=a+_n

где_n– бесконечномалая.

Доказательство:

lima_nε>0N:n>Na_n-an-a=_n_nn>N, то есть _n- бесконечномалая

^n+

a_n=a+_nчто и требовалосьдоказать

Доказательство(обратное):пусть a_n=a+_n,_n– бесконечномалая, то есть_n=a_n-aε>0N:n>N

_n=a_n-an-а

^n+

Теоремыо пределахчисловыхпоследовательностей.

1. Теоремао пределе суммы:

Пустьlim a_n=a lim b_n=blim a_n+_n=a+b

^{n+ n+ n+}

Докозательство:a_n=a+_n b_n=b+_n Сложимa_n+b_n=a+b+_n+_n=a+b+_nlima_n+b_n=a+b

^n+

2)Теоремао произведениепределов:

Пустьlim a_n=a lim b_n=blim a_nb_n=ab

^{n+ n+ n+}

Доказательство:a_n=a+_n b_n=b+_n a_nb_n=(a+_n)(b+_n) a_nb_n=ab+a_n+b_n+_n_n=ab+_n lim a_nb_n=abчтои

^n+

требовалосьдоказать.

2. Теоремао пределе частного

Пусть lim a_n=a lim b_n=b b0 lim a_n/b_n=a/b

^{n+ n+ n+}

Доказательство:a_n=a+_n b_n=b+_nтак как b0,то N₁:n>N₁b_n0

_bn

₀^{ (////////}_b^{/////////)} x

a_n/b_n=a_n/b_n-a/b+a/b=a/b+(ba_n-ab_n)/bb_n=a/b+[b(a+_n)-a(b+_n)]/b(b+_n)=a/b+_n/b(1+b_n/b)

lima_n/b_n=a/b

^n+

Лекция№4

Ведущая:Голубева ЗояНиколаевна

Дата:понедельник,19 сентября 2000 г.

Тема:Бесконечнобольшие последовательности.

а_n=(-1)ⁿ– не имеетпредел.

{b_n}={1,1…}

{a_n}={-1;1;-1;1…}– предел несуществует.

Бесконечнобольшие последовательности.

a_n=2ⁿ

N:n>Na_n>ε

b_n=(-1)ⁿ2ⁿ

N:n>Nb_n>ε

c_n=-2ⁿ

N:n>Nc_n

Определение(бесконечнобольшие последовательности)

1) lima_n=+,если ε>0N:n>Na_n>εгде ε-сколь угодномалое.

^n

2)lima_n=-,еслиε>0N:n>Na_n

^n+

3)lim a_n=ε>0N:n>Na_n>ε

^n+

Последовательностьюимеющий конечныйпределназываютсходящимися.В противномслучае последовательностьназываютрасходящимися.Среди них естьпоследовательности,которые расходятсяв бесконечность.О них мы говорим,что они имеютбесконечныйпредел.

Доказательство:

a_n=2ⁿ

Берёмε>0;хотим 2ⁿ>ε

n>log₂ε

N=[log₂ε]+1

Правилоформированияобратногоутверждения:нужно поменятьместами значки и ,а знак неравенствана дополнительный.

Пример:

Утверждение lim a_n=aaRε>0NN:n>Na_n-a

^n

ОбратноеутверждениеaRε>0NN:n>Na_n-a

Всякаябесконечнобольшая неограниченная.Обратное утверждениеневерно.

b_n{2;0;2ⁿ;0;2³;0….}

Теорема(обограниченнойсходящейсяпоследовательности)

Пустьlima_n=aa_n- ограниченная

^n+

Доказательство:

Дано:

ε>0N:n>Na_n-a

Разε>0возьмемε=1N:n>Na_n-a

a-1nn>N

Этомунеравенствуможет быть неудовлетворятьтолько первыеNчлены последовательности.

N₁=max{a₁;a₂;…a_n;1+a;a-1}

a_nc,n>N

Теорема(оединстве пределасходящейсяпоследовательности).

Еслиlima_n=a,то а- единственное.

^n+

Доказательство:(отпротивного)

Предположим,что b: lim a_n=bи baε=b-a/2>0для определенностипусть b>aN₁:n>N₁a_n-a

^n+

N₂:n>N₂a_n-b1;N₂},тогда оба неравенствавыполняютсяодновременно

 -(b-a)/2n-a

-(b-a)/2n-b

a_n-a

-

a_n-b>-(b-a)/2

b-a

0предположение,что b>aневерно. Аналогичнодоказывается,что b

Связьмежду бесконечнобольшими ибесконечномалыми величинами.

Теорема:

1)a_n-бесконечнобольшая 1/a_n– бесконечномалая

2)_т– бесконечномалая, _n0(n>N₀)1/_n– бесконечнобольшая

Доказательство:

1)a_n-бесконечнобольшая lima_n=для достаточнобольших номеровna_n0.Зададим любоесколько

^n+

угодномалое ε>0,положим ε=1/ε>0

ДляεN₁:n>N₁a_n>ε,то есть a_n>1/εN=max{N₁;N₀}

Тогдаn>N1/a_nn=0,то есть 1/a_n– бесконечномалое

^n+

2)_n– бесконечномалоеlim_n=0

^n+

Дано:_n0,n>N₀зададим ε>0положим ε=1/ε>0

N₁:n>N₁_n

N=max{N₀;N₁}:n>N1/_n=,то есть 1/_n– бесконечнобольшая.

Основныетеоремы осуществованиепредела последовательности.

ТеоремаВейрштрасса:

Пустьa_n-ограниченнаяи моннатонна.Тогда lima_n=а

^n+

Лемма.Среднее арифметическоечисел большесреднегогеометрического.Равенстводостигаетсятолько есливсе числа равны.

a_nn₊₁ nNпоследовательностьвозрастаети ограниченная.

(1-1/n)ⁿ– имеет конечныйпредел

lim(1-1/n)ⁿ=1/e

^n+

Следствие

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n+

lim1/(1+1/n)ⁿ=(n/n+1)ⁿ=[1-1/(n+1)]ⁿ⁺¹/[1-1/(n+1)]=(1/e)/1=1/e

^n+

lim[1/(1+1/n)ⁿ]=1/e

^n+

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n+

Определениепод последовательности

Пустьдана a_nзададим произвольныйнабор натуральныхчисел таких,что

n₁23k

a_n1,a_n2,…,a_nk,…

Полученнаяпоследовательностьназываетсяпод последовательностьюи сходнойпоследовательности.

a_n=(-1)ⁿ

{a_n}={-1;1;-1;1….}

n₁=2;n₂=4,….,n_k=2k

{a_nk}={1,1,1,1…}

Теорема

Пустьпоследовательностьa_nсходится, тогдапоследовательности

 lima_n=a{a_nk}– гасиlim

^n+

lima_nk=0

^n+

Доказательствотак какa_n– сходиться,то ε>0N:n>Na_n-a

a_nk;n_k>Nто естьa_nk-a

Пример

a_n=(-1)ⁿ– не имеет предела

{a_2n}={1,…,1,…,}

{a_2n-1}={-1,….,-1,…}

имелибы тот же самыйпредел.

Пределфункции.

Определение

Пустьy=f(x)определенав O(x₀).Мы говорим, чтофункция f(x)имеет пределв при хх₀если ε>0>0

x:0x-x₀f(x)-b

lim f(x)=b

^xx_

Черезокрестностиэто определениезаписываетсяследующимобразом

ε>0>0x0_(x₀)f(x)0_ε(b)

Еслиlimf(x)=0,то f(x)наз бесконечномалой при xx₀.

^xx_

Замечание.Необходимоуказать в какомименно процессеf(x)бесконечномалое. Надоуказать к какомучислу а.

f(x)=x-1

1.x1lim(x-1)=0,то есть y=x-1бесконечномалое при x1

^x1

2.x2lim(x-1)=1,то есть y=x-1не являетсябесконечномалой при x2

^x1

Пример

f(x)=2x+1x1

Докажемlim(2x+1)=3

^x1

ε>0>0x:0x-1(2x+1)-3

(2x+1)-3

|x-1

x1

Положим=ε/2

Теоремаобесконечномалом

1)(x);(x)– бесконечномалое xx₀(x)+(x)– бесконечномалое при xx₀

2)(x);(x)– бесконечномалое при xx₀

3)Если f(x)– ограниченнав O(x₀)и (x)– бесконечномалое при xx₀,то f(x);(x)– бесконечномалое при xx₀

Доказательство(3)

Таккак f(x)– ограниченнав O(x₀),то С>0: xO(x₀)|f(x)C;

Таккак (x)– бесконечномалое при хх₀,то ε>0>0x:0x-x₀(x)ε₁>0

Положимε=ε₁/c

>0x:0x-x₀|f(x)(x)=f(x)a(x)1limf(x)(x)=0,то есть f(x)a(x)– бесконечномалое при xx₀

^xx_

Лекция№6

Ведущая:Голубева ЗояНиколаевна

Дата:среда, 26 сентября2000 г.

Тема:Замечательныепределы

Теорема

f(x)>g(x)в O(x₀)и lim(f(x))=bи lim(g(x))=c.Тогда bc

^xx_ ^xx_

Доказательство:

Рассмотримфункцию (x)=f(x)-g(x)>0в O(x₀) lim((x))=lim(f(x))- lim(g(x))=b-c и в силу предыдущей

^xx_ ^xx_ ^xx_

теоремы b-c0,то есть b0что и требовалосьдоказать.

Теорема

f(x)(x)g(x)xO(x₀)и lim(f(x))=bи lim(g(x))=b. lim ((x))=b

^xx_ ^xx_ ^xx_

Доказательство:

f(x)=b+(x)

g(x)=b+(x)

где(x)и (x)– бесконечномалые при хх₀

b+(x)(x)b+(x)

Таккак (х)и (х)– бесконечномалые то ε>0₁>0:xO_1(x₀)(x)

₂>0:xO_2(x₀)(x)

Положим=min{₁;₂}

Тогда xO_(x₀) (x)

(x)

-ε(x)

-ε(x)

b-ε(x)(x)b+(x)

-ε(x)-b

(x)-bxO_(x₀)

 ε>0=min{₁;₂}(x)-bxO_(x₀)тоестьlim ((x))=b

^xx_

Первыйзамечательныепределы.

Теремаlim(sin(x)/x)=1

^x0

Доказательство:

S_∆OMN=1/2sin(x)

S_секOMN=1/2(x)

S_∆OKN=1/2tg(x)

S_∆OMNсек_OMN∆_OKN

1/2sin(x)

sin(x)

1

lim (1-cos(1/n))=0

^n+

lim(1-cos(x))=0  lim (cos(x))=1

^{x0 x0}

lim (x/sin(x))=0

^x0

x>0

lim (x/sin(x))=1

^x0

lim(1/(x/sin(x)))=lim(sin(x)/x)=1что и требовалосьдоказать

^{x0 x0}

Определениебесконечногопредела и пределовпри х+.

lim(f (x))=+ε>0>0:xO_(x₀)f(x)O_ε(+)

^xx_

(x):0x-x₀

(////////// x

ε

lim (f(x))=-ε>0>0:xO_(x₀)f(x)O_ε(-)

^xx_

(x):0x-x₀

lim (f(x))=ε>0>0:xO_(x₀)f(x)O_ε()

^xx_

f(x)>ε

lim (f(x))=b ε>0∆>0:xO_∆(+)f(x)O_ε(b)

^x+

 x:x>∆f(x)-b

lim (f(x))=b ε>0∆>0:xO_∆(-)f(x)O_ε(b)

^x-

 x:xf(x)-b

Односторонниепределы.

Определение

f(x)определенав O⁺(x₀)

lim (f(x))=b ε>0>0:xO⁺_(x₀)f(x)O_ε(b)x₀0+

^xx_⁺⁰

Определение

f(x)определенав O^-(x₀)

lim (f(x))=b ε>0>0:xO^-_(x₀)f(x)O_ε(b)x₀-0

^xx_^-0

ТеоремаПусть f(x) определенав O(x₀)Для того чтобысущество-

валпредел lim(f(x))=blim(f(x))=lim(f(x))=b

^xx_ ^xx_^{+0 xx}_^-0

Пусть lim(f(x))=b,то есть ε>0>0:xO_(x₀)f(x)O_ε(b)f(x)O_(b)для xO⁺_(x₀)и для xO^-_

^xx_

 xO^-_(x₀)lim(f(x));lim(f(x))=bчто и требовалосьдоказать.

^xx_^{+0 xx}_^-0

Второйзамечательныйпредел.

Теоремаlim(1+1/x)^x=e

^x+

Доказательство:Пусть n– целая частьх – n=[x] nx

[1+1/(n+1)]ⁿ(1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ⁺¹

Еслиx+,то n+

[1+1/(n+1)]ⁿ⁺¹1/[1+1/(n+1)](1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ(1+1/n)lim(1+1/x)^x=e

^x+

Лекция№7

Ведущая:Голубева ЗояНиколаевна

Дата:вторник, 3 октября2000 г.

Тема:Сравнениебесконечнобольших и бесконечномалых.

Определение.

Пусть(x)и (x)– бесконечномалые при хх₀()

1. (x)~ (x)при хх₀()если lim(x)/(x)=1 ^{xx0()}

2. (x)и (x)одинаковогопорядка прихх₀()если lim(x)/(x)=с0 ^{xx0()}

3. (x)бесконечномалое болеевысокого порядкамалости чем(x)при хх₀()если lim(x)/(x)=0 ^{xx0()}

Определение.

Пустьf(x)и g(x)– бесконечнобольшое прихх₀()

1)f(x)~ g(x)при хх₀()если limf(x)/g(x)=1 ^{xx0()}

2)f(x)и g(x)бесконечнобольшие одинаковогопорядка роста,если при хх₀()если limf(x)/g(x)=с ^{xx0()} 

Вчастности, еслис=1, то они эквивалентны

1. f(x)бесконечнобольшое болеенизкого порядкароста чем g(x)или иначе g(x)бесконечнобольшое болеевысокого порядкароста чем g(x) при хх₀()если limf(x)/g(x)=0 ^{xx0()}

Примеры:

1. sin(x)– бесконечномалое

xпри хх₀– бесконечномалое

Сравнимих limsin(x)/x=1sin(x)~x

^x0

прих0

2. 1n(1+x)– бесконечномалое

хпри х0– бесконечномалое

Сравнимих limln(1+x)/x=limln(1+x)^1/x=1 

^{x0 x0}

ln(1+x)~ x,при х0

3. x²– бесконечнобольшие

2х²+1,при х+ – бесконечнобольшие

Сравнимlimx²/(2x²+1)= limx²/x²(2+1/x²)=1/2

^{x+x+}

то естьфункция являетсябесконечнобольшой и

одинаковогопорядка. Замечание: если одну из

функций одинаковогопорядка ростадомножить на

одинаковуюconst,то они станутэквивалентны.

Определение:

1. пусть(х)=о(х)– бесконечномалое при хх₀().То мы говорим,что (х)и (х)при хх₀(),если (х)=(х)(х),бесконечномалое при хх₀().Другими словами- (х)– бесконечномалое болеевысокого порядка,чем (х)така как (х)/(х)=(х)– бесконечномалое, то естьlim(x)/(x)=0 ^{x0()}

2. пустьf(х)=оg(х)– бесконечнобольшое прихх₀().То мы говорим,что f(х)и g(х) при хх₀(),если f(х)=(х)g(х). Другими словами- f(х) – бесконечнобольшое болеенизкого порядка,чем g(х)так как f(х)/g(х)=(х)– бесконечномалое, то естьlimf(x)/g(x)=0 ^{x0()}

Шкалабесконечности.

Степенныебесконечности.

xⁿ=o(x^m),0+.Из двух степенныхбесконечностейсильнее та, укоторой показательстепени больше.

Докажем:

xⁿ=x^m(xⁿ/x^m)=x^m(1/x^(m-n))=x^m(x) m-n>0 x^m(x)o(x^m)

Показательныебесконечности.

а^х=о(b^х),1+.Из двух показательныхбесконечностейсильнее та, укоторой основаниебольше.

Докажам

a^x=a^x(b^x/b^x)=a^x(a/b)^x=b^x(xo(b^x) (0

Логарифмическаябесконечность

ln(x)=o(x^),>0.Логарифмическаябесконечностьслабее любойстепеннойбесконечности.

ln(x)x

limln(x)/x^=lim[(ln(x)/(x^/2x^/2))((/2)/(/2))]=

^{x0 x0}

lim [(ln(x)/x^/2)(2/(x^/2)]

^x0

Произведениебесконечномалых на ограниченную

равнобесконечномалой.

lim(ln(x)/x^)=0(lim(x))/x^=(x)ln=x^(x)ox^,

^x0

x+

Показательнаяи степенная.

X^k=o(a^x),k>0,a>1 x+lim(x^k)/(a^x)=0

^x+

Теорема:Пусть (x)~ ₁(x)при xx₀()

(x)~ ₁(x)при xx₀()

Тогдаlim (x)/(x)=lim₁(x)/₁(x)

^{xx0() xx0()}

Последовательностьлевых концовудовлетворяетотношениюa12n

bb₁b₂…b_n…>a

{a_n}-ограниченнаяне убывающаяlima_n=bf(a)n)n

^x+[a_nb_n]=(b-a)/2ⁿ0приn

{b_n}-ограниченнаяне возрастающаяlimb_n=f(b)>0 f(b_n)>0n

^x+

Всилу непрерывностифункции limf(a_n)=f(limb_n)=f()0 lim(b_n-a_n)=-=lim(b-a)/2ⁿ=0=

^{x+ x+ x+ x+}

f()0

f()=0x₀=

f()=f()0

Условиенепрерывностифункции нельзяотбросить:f(b)>0;f(a)

ТеоремыВейштрасса.

1) Теорема:Пусть функцияy=f(x)непрерывнана отрезке[a,b].Тогда она ограниченнана нём.

Замечание:а) Условиенепрерывностинельзя отбросить

Ведущая:Голубева ЗояНиколаевна

Дата:вторник, 17 октября2000 г.

Тема:«Коши, производные»

Теорема:(Коши о промежуточныхзначениях)

Пустьфункция y=f(x)непрерывнана отрезке[a,b]и на концахпринимаетзначение разныезначения.

f(a)=Af(b)=BAB.Тогда Слежащею междуА и В, х₀(a,b):f(x₀)=C.Другими словаминет точек которыене являютсязначениемотрезка.

Доказательство:AC(A,B)(x)=f(x)-C.

Этафункция непрерывнана отрезке[a,b]

(a)=f(a)-c=A-C¹x₀(a,b):(x₀),то естьf(x₀)-C=0f(x₀)=c

(b)=f(b)-c=B-C>0

Замечание:Условие непрерывностинельзя отбросить

[c,d][A,B]

[c,d)E(f)

Теорема:(о существованиеи непрерывностиобратной функции)«Без доказательства»

Пустьна множествеDзадана непрерывнаявозрастающаяили убывающаяфункция y=f(x).Тогда на множествееё значенийЕ определенаобратная ейфункция x=g(y),которая непрерывнаи возрастаетили убываетна множествеЕ.

Производнаяфункции. ∆Х

Пустьy=f(x)определенав O(x₀)

∆x=x-x₀– называетсяприращениемаргумента вт х₀ Х

^Х_^Х

Разностьзначений функций.

∆y=∆f(x₀)=f(x)-f(x₀)=f(x₀+∆x)-f(x₀)– называетсяприращениемфункции в точких₀. Черезэти обозначенияможно определитьнепрерывностьфункций:

f(x)– неопределеннав точки х₀,если она определенав O(x₀)и lim∆y=0

^∆x0

lim[f(x)-f(x₀)]=lim[f(x)-f(x₀)]0 lim[f(x)]=f(x₀)]

^x-x_^{0 xx}_ ^xx_

Определениенепрерывнойфункции в точкиприращения:

f(x)– неопределеннав точки х₀,если она определенав O(x₀)и lim∆y=0

^∆x0

Определение:(производнойфункции)

Пустьy=f(x)определенав О(х₀)и lim[∆y/∆x],тогда этотпредел называетсяпроизводнойфункции f(x)в

^∆х0

точкех₀.

Обозначения:

f’(x₀),y’(x₀),dy/dx, df(x₀)/dx=df(x)/d(x)

Тоесть f’(x₀)по определению=lim[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)lim∆y/∆xdy/dx

^{∆x0 ∆x0}

Физическийсмысл производной.

Рассмотримпрямолинейноедвижение материальнойточки:

S

x

x₀ x

t₀ t

s(t)x(t);∆s=∆x(t)=x(t)-x(t₀)

∆s/∆t=[x(t)-x(t₀)]/[t-t₀]=v_cp.Если ∆t0

тогдаv_cpv_мнг

lim∆s/∆t=lim[x(t)-x(t₀)]/[t-t₀]=v_мнг

^{∆t0 tt}_

Геометрическийсмысл производной.

y’(x₀)=lim∆y/∆x– производнаяфункции у(х) ив точке х₀.

^∆х0

∆y=y(x₀+∆x)-y(x₀)

y’(x₀)=tg_касгде _кас– угол наклонав точке (х₀;y(x₀)) к оси

Основныетеоремы опроизводной.

Теорема:Пусть f’(x)и g’(x),тогда [f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x)

Доказательство:следует непосредственноиз определенияпроизводной и свойств пределасуммы.

Теорема:(связи междунепрерывностьюфункции исуществованиепроизводной)

Пустьf’(x)функция f(x)– непрерывна.

Доказательство:Пусть f(x)определенав О(х₀)и lim[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)=f’(x₀)[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)=f(x₀)+(x-x₀)²

^∆xx_

[f(x)-f(x₀)]=f’(x₀)(x-x₀)+(x-x₀)(x-x₀)при хх₀

lin[f(x)-f(x₀)]=limf’(x₀)(x-x₀)+lim(x-x₀)(x-x₀)=0+0=0linf(x)=f(x₀)то есть f(x)непрерывнав точки х₀

^xx_ ^xx_ ^xx_ ^xx_

Замечание:обратноеутверждениеневерно, из-занепрерывностифункции в точкех₀ неследует существованиефункции в этойточки.

y=х

Непрерывнав точки х₀=0

limx,x0

^x+0

lim|x|= =0

lim(-x),x

^x-0

y(0)=0

limy(x)=limy(x)=y(0)=0limy(x)=y(0)=0 функциянепрерывна

^{x+0x-0 x0}

lim∆y/∆x-несуществует,действительнох+0y(x)=x

^x0

lim[y(x)-y(0)]/x=lim(x-0)/x=1

^x+0x+0

x-0y(x)=-x

lim[y(0)-y(x)]/x=lim(0-x)/x=-1то есть lim∆y/∆x– не существует

^{x-0x-0 х0}

Теорема:Пусть u’(x)и v’(x),тогда (uv)’=u’v+v’u

Доказательство:Зададим приращение∆хв точких.Рассмотрим:lim[∆(uv)]/∆x=

^∆x0

lim[1/∆x][u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x)]=lim[1/∆x][u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x+∆x)+u(x)v(x+∆x)-u(x)v(x)=

^{∆x0 ∆x0}

lim[(v(x+∆x))(u(x+∆x)-u(x))]/∆x+lim[(u(x))(v(x+∆x)-v(x))]/∆x=v(x)u’(x)+u(x)v’(x)

^{∆x0∆x0}

Теорема:(о произведениечастного)

Пустьu’(x)и v’(x),v’(x)0в О(х), тогда(u/v)’=[u’v-v’u]/v²

Доказательство:(u/v)’=[u(1/v)]’=[u’(1/v)]+[(1/v)’u].Функция u(x)и v(x)–непрерывныв точки х₀.

lim[∆(1/v)/∆x]=lim[1/∆x][1/(v(x+∆x))-1/v(x)]=lim[[v(x)-v(x-∆x)]/[∆xv(x)x(x+∆x)]]-[v’(x)/v²(x)]

^{∆x0 ∆x0 ∆x0}

(u/v)’=u’(1/v)-(uv)’/v²=[u’v-uv’]/v²что и требовалосьдоказать

Таблицапроизводных

y=sinx

(sinx)’=lim[sin(x+∆x)-sinx]/∆x=lim[2sin(∆x/2)cos((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[2(∆x/2)cos(x+(∆x/2))]/∆x=cosx

^{∆x0∆x0}

(sinx)’=cosx

гдеsin(x)

(sin(x))’=cos(x)

y=cos(x)

(cos(x))’=lim[cos(x+∆x)-cos(x)]/∆x=lim[-2sin(∆x/2)sin((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[-2(∆x/2)sin(x+(∆x/2))]/∆x=-sinx

^{∆x0 ∆x0 ∆x0}

(cos(x))’=-sinx

гдеcosx

(cos(x))’=-sin(x)

y=tg(x)

(tg(x))’=(sin(x)/cos(x))’=[(sin(x))’cos(x)-(cos(x))’sin(x)]/cos²x=[cos²x+sin²x]/cos²x=1/cos²x

(tg(x))’=1/cos²x

гдеtg(x)

(tg(x))’=1/cos²x

Лекция№11

Ведущая:Голубева ЗояНиколаевна

Дата:вторник, 24 октября2000 г.

Тема:«Производные,дифференциал»

y=xⁿ

y’(x)=lim[(x+∆x)ⁿ-xⁿ]/∆x=¹=lim[xⁿ(1+(∆x/x))-1]/∆x=/∆x/x0,∆x0=lim[xⁿ(∆x/x)n]/∆x=nx^n-1

^{∆x0 ∆x0 ∆x0}

(xⁿ)’=nx^n-1

^{y=x^3}

_y’=3x^2

Рассмотримкогда х=0y’(0)=lim(∆x)ⁿ/∆x=lim(∆x)^n-1=/n>1=0еслиn=1/0,n>1;1,n=1

^{∆x0∆x0}

Дифференциалфункции.

Определение:Пусть y=f(x)определенав некоторойО(х₀)– она называетсядифференцируемойв точке х₀,если её приращениев этой точкипредставимов виде:

∆y=∆f(x₀)=A∆x+(∆x)∆x)¹

(0)=0 A=const

Определение:линейная∆хчасть приращениедифференцируемойфункции называетсядифференциаломфункции в точкех₀:

dy=df(x₀)A∆x

Теорема:Если функциядифференцируемав точке х₀то A=f’(x₀),то она имеетпроизводнуюв этой точке,то A=f’(x₀);наоборот если функция имеетпроизводнуюв этой точке,то она дифференцируемав этой точке– называетсядифференциалом.

Доказательство:Пусть y=f(x)дифференцируемав точке х₀,то есть в некоторойО(х₀)справедливоравенство∆f(x₀)=A∆x+(∆x)∆x¹;(0)=0.Поделим обечасти этогоравенства на∆хи приведём кпределу при∆х0:

lim(∆f(x₀))/∆x=lim(A+(x))=A.Этот пределсуществует,меньше ,тогда по определениюэтот пределесть

^{∆x0 ∆x0}

производная.

Доказательство:(в обратнуюсторону) Пустьв точке х₀f’(x₀)()– это означает,что f(x)определенав некоторойО(х₀)и lim(∆f(x₀))/∆x=f’(x₀)по определениюпредела следует,что в некоторойО(х₀)

^∆x0

(∆f(x₀))/∆x=(∆х)+f’(x₀)при ∆х0∆f(x₀)=f’(x₀)+(∆x)∆x,так как lim(∆x)=0,то в точке х₀y(∆x)может

^∆х0

быть лишьустранимымразрывом . Устранимего, определими доопределим:

(0)=0,тогда ∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+(∆x)∆xA=f’(x₀)из установленногосоответствияполучим выражениядля дифференцируемойфункции df(x₀)=f’(x₀)∆x

Следствие:по определениюполагают дифференциалнезависимойпеременнойравной её приращению

dx=∆x(х - независимаяпеременная)

df(x)=f’(x)dx

f(x)=x– вычислимдифференциалf’(x)=1 df(x)=dx=f(x)∆x=1∆x

Замечание: дифференциалфункции зависитот двух переменных– от самой точких и от ей приращения

y=cosx x₀=/2 ∆x=/180

y’=-sinx y’(/2)=-sin(/2)=-1

dy(/2)=-1∆x=-1/180=-/180

Теорема:Пусть y=f(x)дифференцируемав точке х₀,а z=g(y)дифференцируемав точке у₀=f(x₀),тогда сложнаяфункция z=g(f(x)- дифференцируемав точке х₀и z’(x₀)=g’(f)f’(x)

Доказательство:(1) ∆z=g’(y₀)∆y+(∆y)∆y

(2)∆y=f(x₀)∆x+(∆x)∆x (0)=0 (0)=0

Подставимв первое равенствовторое:

∆z=g’(y₀)f(x₀)∆x+g’(y₀)(∆x)∆x+[f’(x₀)+(∆x)∆x][f’(x₀)∆x+(∆x0∆x]

lim∆z/∆x=limg’(x₀)f’(x₀)+limg’(x₀)(∆x)+lim(f’(x₀)+(∆x)∆x)[f’(x₀)+∆x]z’(x₀)=g’(y₀)f’(x₀)что и требовалось

^{∆x0 ∆x0∆x0 ∆x0}

доказать.

Теорема:Пустьфункция y=f(x)возрастает(убывает) в О(х₀)и дифференцируемав точке х₀.Тогда обратнаяу ней функцияx=g(y)дифференцируемав точки y₀=f(x₀),причём g’(y₀)=1/f(x₀)

Доказательство:из дифференцируемойфункции f(x)в точке х₀и из монотонностиследует существованиеобратной функциив точке х₀и её непрерывностьlim[∆y(y₀)]/∆y= ∆y0,то ∆у0в силу строгой

^∆у0монотонностифункции и обратной =

кней следует∆х0

=lim∆x/∆y=lim1/(∆y/∆x)= в силу непрерывностиследует =1/[lim∆y/∆x]=1/[lim∆f(x₀)/∆x]=1/f(x₀) f(x₀)0

^{∆y0 ∆y0} ∆у0,то ∆х0и наоборот ^{∆x0 ∆x0}

y=a^x

y’(x)=lim[a^x+∆x-a^x]/∆x=lim[a^x(a^∆x-1)]/∆x=lim[a^x(e^∆xlna-1)]/∆x=/∆x0,то ∆xlna0=lim[a^x∆xlna]/∆x=a^xlna

^{∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0}

y’=a^xlna,частный случайy=e^x(e^x)’=e^x

^{y=x^2}

_y’=x^2lnx

y=lnx

y’=lim[ln(x+∆x)-lnx]/∆x=lim[ln((x+∆x)/x)]/∆x=lim[ln(1+∆x/x)]/∆x=/∆x/x0при∆x0=lim(∆x/x)/∆x=1/x

^{∆x0∆x0 ∆x0 ∆x0}

(lnx)’=1/x

^y=lnx

_y’=1/x

y=log_ax=lnx/lna(log_ax)’=1/xlna

^y=lgx

_y’=1/xln10

y=arcsinxобратная функцияx=siny x[-1;1]y[-/2;/2]

(arcsinx)’_x=x0=1/(siny)’_y0=y=1/cosy_y0=y=

y[-/2;/2],cosy0cosy>0,если y[-/2;/2]то есть x1

=1/(1-sin²y)_y=y0=1/(1-(sinarccosx)²)_x=x0=1/(1-x₀²)

(arcsinx)’=1/(1-x²)

^y=arcsinx

_{y’=1/(1-x^2)}

y=acrcosx,обратнаяx=cosy x[-1;1]y[0;]

(arcosx)’=1/(cosy)’_y=y0=1/-siny_y=y0=-1/(1-cos²y)_y=y0=-1/(1-(cosarccosy)²)_x=x0=-1/(1-x₀²)

(arcosx)’=-1/(1-x²)

^y=arccosx

_{y’=--1/(1-x^2)}

y=arctgxобратная функцияx=tgyy(-/2;/2)

(arctgy)’=1/(tgy)’=cos²y=/ 1+tg²y=1/cos²y =1/(1+x²)

(arctgy)’=1/(1+x²)

(arcctgy)’=-1/(1+x²)

^y=arctgsx

_{y’=-1/(1+x^2)}

^y=arcctgx

_{y’=--1/(1+x^2)}

Гиперболическиефункции.

chx=(e^x+e^-x)/2

shx=(e^x-e^-x)/2

chx²-shx²=1

chx²+shx²=ch2x

ch(-x)=chx

sh(-x)=-shx

chxshx

^cthx=chx/shx

^thx=shx/chx

(chx)’=sh(x)

(shx)’=ch(x)

(thx)=1

Лекция№12

Ведущая:Голубева ЗояНиколаевна

Дата:среда, 25 октября2000 г.

Тема:«Линеаризация»

Геометрическийсмысл дифференциалафункции и уравнениекасательной.

f’(x₀)=tg

уравнениепрямой : Y=kx+b

y₀=f(x₀)=kx₀+b

k-угловойкоэффициентпрямой

k=tg=f’(x₀)

Y=f(x₀)+f(x₀)-f’(x₀)x₀

b=f(x₀)-kx₀

Y=f(x)+f’(x₀)(x-x₀)

∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+(∆x)∆xпри ∆х0 в некоторой

O(x₀)f(x₀)=f’(x₀)+f’(x₀)∆x+(∆x)∆xпри ∆х0

Y¹=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)^a=f’(x₀)+f’(x₀)∆x

df(x₀)=f’(x₀)∆x

Геометрическийсмысл дифференциала:

df(x₀)– это приращениеординаты придвижение покасательнойпроведённойк графику функциив точки (х₀;f(x₀).

Замечание:Частоговорят о касательнойпроведённойв точке х₀.

Линеаризацияфункции.

Определение: Заменафункции в окрестностиданной точкилинейной функцииназываетсялинеаризациейфункции, точнеев О(х₀)заменяетсяотрезком касательнойв точке х₀.

(*)f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)

Еслив равенстве(*) отброситьправую часть,то мы

получимприближённоеравенство:

f(x)f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀),xx₀

Y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)– уравнениекасательнойв точке х₀

Формулаполучена изопределениядифференциалав точке х₀функции

f(x)=f(x₀)+f(x₀)∆x+o∆xпри ∆х0– называетсякритериемдифференциальностифункции в точкех₀.

Приближенныевычисленияи оценка погрешностивычисления.

Можноприближенновычислятьзначение функциив точках близкихк заданнойточки.

³8,001=1

х₀=8

х=8,000

f(x)=³x

f(x₀)=f(8)=2

Проведёмлинеаризациювыбранногокорня.

f’(x)_х=8=(³x)’_x=8=1/3x^-2/3_x=8=1/12

³x2+1/12(x-8),x8

³x2+0,001/12

Y_кас=2+1/12(x-8)

³x=2+1/12(x-8)+o(x-8)при х8

Погрешностивычисления.

f(x)-f(x₀)=df(x₀)+o(x-x₀)при хх₀

∆f(x₀)df(x₀),xx₀

∆¹=∆f(x₀)df(x₀)

f(x)=10^xв точке х₀=4,если ∆х=0,001 х=40,001

10⁴∆=10⁴23

f’(x)=10^xln10;f’(4)=10⁴ln10=23000;ln102,2

∆230000,001=23

Изучениеповеденияфункции припомощи первойпроизводной.

Слеваот М₀tg>0;Справа от М₀tg

tgf’(x)>0слева от М₀

tgf’(x)0

Теорема:Пусть y=f(x)дифференцируемаx(a,b)и f’(x)>0(f’(x)

_a( |_x1 |_x2 )_b

x₁,x₂(a,b) x₁2

Надодоказать: f(x₁)2)

Применимтеорему Лангранджана отрезке(х₁,x₂)^{Теорема}.

f(x₂)-f(x₁)=f’(c)(x₂-x₁)где c(x₁,x₂)

f(x₂)-f(x₁)>0f(x₂)>f(x₁)

Экстремумыфункции.

Можноуказать О(х₁)в которой всезначения функции

f(x)1)b и О_1(х₁)анологичнодля точки х₂

f(x)>f(x₁)b и О_2(х₁).Значенгиефункции в точкеМ₁, М₃и М₅ –

max;M₂и М₄– min –такие точкиназавыютсяточкками

экстремумаили точкамилокальногоmax и min.

Определение:(точки экстремума)

Пустьфункия f(x)определенав некоторойО(х₀)и f(x)>f(x₀)в

О(х₀)или f(x)0)в этом случаеточка х₀– называетсяточкой локальногоmax(min).

Замечание:

f(x)f(x₁) в О_1(х₁)

f(x)f(x₂) в О_2(х₂)

говорят,что точки х₁и х₂ точкине строгоголокального

экстремума.

Теорема:(Ферма) (о необходимостиусловия экстремумадифференцируемойфункции)

Пустьy=f(x) дифференцируемав точки х₀и точка х₀– точка экстремума,тогда f(x₀)=0

Доказательсто:Заметим, чтох₀точка экстремума,то в её окрестностиf(x)– f(x₀)сохраняет знак.Запишем условие∆f(x₀)=f(x)-f(x₀)(x-x₀)+o(x-x₀)

f(x)-f(x₀)=(x-x₀)[f(x₀)+(x-x₀)]то при х – достаточноблизких к х₀знак выражениястоящего вквадратныхскобках совпадаетсо знаком f’(x₀)0(x-x₀)– меняет знакпри переходечерех точку х₀ f’(x₀)=0

Лекция№13

Ведущая:Голубева ЗояНиколаевна

Дата:вторник, 31 октября2000 г.

Тема:«Экстремумы»

Замечание:

Обратноеутверждениеневерно. Из-затого, что произведениев данной точкиравно нулю, неследует, чтоэто экстремум.

y=(x-1)³

y’=3(x-1)²

y’(1)=0

x₀=1

xO^-_(1)f(x)

xO⁺_(1)f(x)

x=1 –не точка экстремума.

Теорема(Ролля):

Пустьфункция y=f(x)непрерывнана отрезке[a,b]и дифференцируемана (a,b).Кроме того наконцах интервалаона принемаетравные значенияf(a)=f(b),тогда с(a,b):f(c)=0

Доказательство:Така как функциянепрерывнана отрезке[a,b],то по второйтеореме Вейштрассаесть наибольшееи наименьшеезначение (m,M), еслиm=M,то f(x)const(x[a,b])(const)’=0.

Пустьmf(a):c(a,b):f(c)=M,то есть точкас точка экстремумамаксимумаследовательнопо теоремеФерма f’(c)=0

Замечание:условиедифференцируемстинельзя отбросить.

непрерывнана отрезке[a,b]

Геометрическийсмысл.