Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытны

Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С.П. Королева

Кафедра прикладной математики

Расчетно-графическая работ по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Тема работы: «Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез»

Вариант № 15

Выполнил студент группы № 625
Евгений В. Репекто

Самара - 2002

Задание на расчетно-графическую работу

Дан протокол содержащий 120 пронумерованных значений:

Все эти протокольные значения считаются значениями выборки

некоторой случайной величины , а 60 из них, имеющие нечетные номера – значениями выборки

другой случайной величины

Требуется:

1. Построить вариационные ряды для случайных величин и .

2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин и .

Образец заполнения таблицы для статистического ряда.

3. Построить гистограммы распределения случайных величин и .

4. Найти выборочное среднее , и исправленные выборочные дисперсии: , случайных величин и .

5. Проверить, используя метод гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин и при уровне значимости .

6. Построить график функции плотности распределения случайной величины в одной системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания их статистические оценки и ) и вычислив значение функции в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.

7. Выполнить задание 6 для случайной величины .

8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин и , соответствующие доверительной вероятности .

9. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости .

10. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости .

Решение

1. Построить вариационные ряды для случайных величин и .

Вариационный ряд величины

Вариационный ряд величины

2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин и .

Найдем количество элементов выборок после группировки элементов

Величина :

Величина :

Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины

Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины

3. Построить гистограммы распределения случайных величин и .

Гистограммы распределения приведены на графиках с теоретическими функциями распределения.

4. Найти выборочное среднее , и исправленные выборочные среднеквадратические отклонения: , случайных величин и .

Выборочное среднее случайной величины равно

Выборочное среднее случайно величины равно

Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение случайной величины :

=14.3632

Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение случайной величины :

=13.5727

5. Проверить, используя метод гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин и при уровне значимости .

Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины .

Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле

, где - объем выборки, - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,

Построим вспомогательную таблицу:

В итоге получим = 7,2035

По таблице критических точек распределения ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы 8-3=5 находим

Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .

Для случайной величины :

Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле

, где - объем выборки, - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,

В итоге получим =8.1783

По таблице критических точек распределения ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы 7 - 3=4 находим

Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .

6. Построить график функции плотности распределения случайной величины в одной системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания и дисперсии их статистические оценки и ) и вычислив значение функции в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.

7. Выполнить задание 6 для случайной величины .

8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин и , соответствующие доверительной вероятности .

Найдем доверительный интервал для математического ожидания :

Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для выглядит следующим образом:

Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =120 находим: =1,980. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:

То есть: (20,93721;26,12946).

Найдем доверительный интервал для математического ожидания :

Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для выглядит следующим образом:

Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =60 находим: =2,001. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:

То есть: (20,043;27,056).

Известно, что если математическое ожидание неизвестно, то доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности имеет вид

Для случайной величины найдем:

.

Таким образом, имеем доверительный интервал: (162,8696; 273,8515).

Для случайной величины найдем

Таким образом, имеем доверительный интервал: (134,82; 277,8554).

(Квантили распределения найдены по таблице [3], стр. 413).

9. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости .

Рассмотрим статистику

,

где

,

которая имеет распределение Стъюдента ,

Тогда область принятия гипотезы .

Найдем s:

Найдем значение статистики :

По таблице квантилей распределения Стъюдента ([2], стр. 391)

Т. к. , то гипотеза принимается. Предположение о равенстве математических ожиданий не противоречит результатам наблюдений.

10. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости.

Рассмотрим статистику , где , т.к. . Эта статистика имеет распределение Фишера . Область принятия гипотезы

Найдем значение статистики :

По таблицам найдем . Т.к. , то гипотеза принимается. Предположение не противоречит результатам наблюдений.

Библиографический список

1. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под. ред. А.В. Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. , 1990. – 428 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. М.: Высш. Шк., 1997. – 400 с.: ил.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977.

4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: 1969, 576 с.