Операции на графах

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра информатики

РЕФЕРАТ

На тему:

«Операции на графах»

МИНСК, 2008

Операции на графах позволяют образовывать новые графы из нескольких более простых. В этом параграфе будут рассмотрены операции на графах без параллельных ребер (дуг).

Объединение графов.

Пусть G₁(X₁,E₁) и G₂(X₂,E₂) – произвольные графы. Объединением G₁ÈG₂ графов G₁ и G₂ называется граф с множеством вершин X₁ÈX₂, и с множеством ребер (дуг) E₁ÈE_2.

Рассмотрим операцию на примере графов G₁(X₁,E₁) и G₂(X₂,E₂), приведенных на рис. 4.1. Множества вершин первого и второго графов соответственно равны X₁ = {x₁, x₂, x₃} и X₂ = {x₂, x₃, x₄}, а множество вершин результирующего графа определится как X = X₁ÈX₂ = {x₁, x₂, x₃, x₄}. Аналогично определяем множества дуг графа:

E₁ = {(x₁, x₂), (x₁, x₃), (x₂, x₁), (x₃, x₃)}. E₂ = {(x₂, x₄), (x₃, x₂)_, (x₄, x₂)}.

E = {(x₁, x₂), (x₁, x₃), (x₂, x₁), (x₃, x₃), (x₂, x₄), (x₃, x₂)_, (x₄, x₂)}.

Результирующий граф G(X,E) = G₁(X₁,E₁)ÈG₂(X₂,E₂) также приведен на рис. 1.

Операция объединения обладает следующими свойствами, которые следуют из определения операции и свойств операций на множествах:

G₁ÈG₂ = G₂ÈG₁ – свойство коммутативности;

G₁È(G₂ÈG₃) = (G₁ÈG₂)ÈG₃ – свойство ассоциативности.

Операция объединения графов может быть выполнена в матричной форме. Для графов с одним и тем же множеством вершин справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть G₁ и G₂ – два графа (ориентированные или не ориентированные одновременно) с одним и тем же множеством вершин X, и пусть A₁ и A₂ – матрицы смежности вершин этих графов. Тогда матрицей смежности вершин графа G₁ÈG₂ является матрица A = A₁ÈA₂, образованная поэлементным логическим сложением матриц A₁ и A₂.

Рассмотрим выполнение операции объединения графов, множества вершин которых не совпадают. Пусть G₁(X₁,E₁) и G₂(X₂,E₂) – графы без параллельных ребер и множества X₁ и X₂ вершин этих графов не совпадают. Пусть A₁ и A₂ – матрицы смежности их вершин графов. Для таких графов операция объединения может быть выполнена следующим образом.

В соответствии с определением операции объединения графов найдем множество вершин результирующего графа как X₁ÈX₂. Построим вспомогательные графы G’₁ и G’₂, множества вершин которых есть множество X₁ÈX₂, а множество ребер (дуг) определяется множествами E₁ для графа G^’₁ и E₂ для графа G^’₂. Очевидно, что матрицы A’₁ и A’₂ смежности вершин этих графов могут быть получены из матриц A₁ и A₂ путем добавления в них дополнительных столбцов и строк с нулевыми элементами.

Применив к графам G’₁ и G’₂ теорему 4.1, найдем матрицу смежности вершин графа G’₁ÈG’₂ как A’₁ÈA’₂. Очевидно, что полученной матрице смежности вершин соответствует граф, множество вершин которого равно X₁ÈX₂, а множество ребер определяется, как E₁ÈE₂, что соответствует операции объединения графов.

Пример 1. Выполнить в матричной форме операцию объединения графов G₁ и G₂, представленных на рис. 1.

Составим матрицы смежности вершин графов.

Множество вершин результирующего графа X₁ÈX₂ = {x₁, x₂, x₃, x₄}. Составим матрицы смежности вершин вспомогательных графов G’₁ и G’₂.

Матрица A = A’₁ÈA’₂ имеет вид

Полученная матрица смежности вершин A’₁ È A’₂ соответствует графу G₁ÈG₂, изображенному на рис.1.

Пересечение графов

Пусть G₁(X₁,E₁) и G₂(X₂,E₂) – произвольные графы. Пересечением G₁ÇG₂ графов G₁ и G₂ называется граф с множеством вершин X₁ÇX₂ с множеством ребер (дуг) E = E₁ÇE₂

Операция пересечения обладает следующими свойствами, которые следуют из определения операции и свойств операций на множествах:

G₁ÇG₂ = G₂ÇG₁– свойство коммутативности;

G₁Ç (G2ÇG3) = (G1ÇG2) Ç G₃ – свойство ассоциативности.

Для того чтобы операция пересечения была всеобъемлющей, необходимо ввести понятие пустого графа. Граф G(X,E) называется пустым, если множество X вершин графа является пустым (X=Æ). Заметим, что в этом случае и множество E ребер (дуг) графа также пустое множество (E=Æ). Пустой граф обозначается символом Æ. Такой граф может быть получен в результате выполнения операции пересечения графов, у которых X₁ÇX₂=Æ. В этом случае говорят о непересекающихся графах.

Рассмотрим выполнение операции пересечения графов, изображенных на рис. 2. Для нахождения множества вершин результирующего графа запишем множества вершин исходных графов и выполним над этими множествами операцию пересечения:

X₁ = {x₁, x₂, x₃}; X₂ = {x₁, x₂, x₃, x₄};

X = X₁ÇX₂ = {x₁, x₂, x₃}.

Аналогично определяем множество E дуг результирующего графа:

E₁ = {(x₁, x₂), (x₁, x₃), (x₂, x₁), (x₂, x₃), (x₃, x₂)};

E₂ = {(x₁, x₃), (x₂, x₁), (x₂, x₃), (x₂, x₄), (x₃, x₁)};

E = E₁ÇE₂ = {(x₁, x₃), (x₂, x₁)}.

Графы G₁(X₁,E₁), G₂(X₂,E₂) и их пересечение приведены на рис 4.2.

Операция пересечения графов может быть выполнена в матричной форме.

Теорема 2. Пусть G₁ и G₂ – два графа (ориентированные или неориентированные одновременно) с одним и тем же множеством вершин X, и пусть A₁ и A₂ – матрицы смежности вершин этих графов. Тогда матрицей смежности вершин графа G1ÇG2 является матрица A = A₁ÇA₂ образованная поэлементным логически умножением матриц A₁ и A₂.

Рассмотрим выполнение операции пересечения для графов с несовпадающим множеством вершин.

Пусть G₁(X₁,E₁) и G₂(X₂,E₂) – графы без параллельных ребер, множества X₁ и X₂ вершин графов не совпадают, а A₁ и A₂ – матрицы смежности вершин графов. Для таких графов операция пересечения может быть выполнена так.

В соответствии с определением операции пересечения графов найдем множество вершин результирующего графа как X₁ÇX₂. Построим вспомогательные графы G’₁ и G’₂, множества вершин которых есть множество X₁ÇX₂, а множество ребер (дуг) определяется множествами E’₁ и E’₂ всех ребер (дуг), инцидентных этим вершинам. Очевидно, что матрицы A’₁ и A’₂ смежности вершин этих графов могут быть получены из матриц A₁ и A₂ путем удаления из них столбцов и строк, соответствующих вершинам, не вошедшим во множество X1ÇX2.

Применив к графам G’₁ и G’₂ теорему 2, найдем матрицу смежности вершин графа G’₁ÇG’₂ как A’₁ÇA’₂. Очевидно, что полученной матрице смежности вершин соответствует граф, множество вершин которого равно X₁ÇX₂, а множество ребер определяется, как E₁ÇE₂, что соответствует операции пересечения графов.

Пример 2. Выполнить в матричной форме операцию пересечения графов G₁ и G₂, представленных на рис. 2.

Составим матрицы смежности вершин исходных графов.

Находим множество вершин X результирующего графа.

X = X₁ÇX₂ = {x₁, x₂, x₃}.

Составим матрицы смежности вершин вспомогательных графов G’₁ и G’₂.

Найдем матрицу смежности вершин A = A₁ Ç A₂

Полученная матрица смежности вершин A’₁ Ç A’₂ соответствует графу G₁ÇG₂, изображенному на рис.2.

Композиция графов

Пусть G₁(X,E₁) и G₂(X,E₂) — два графа с одним и тем же множеством вершин X. Композицией G₁(G₂) графов G₁ и G₂ называется граф с множеством вершин E, в котором существует дуга (x_i,x_j) тогда и только тогда, когда существует дуга (x_i,x_k), принадлежащая множеству E₁, и дуга (x_k,x_j), принадлежащая множеству E₂.

Рассмотрим выполнение операции композиции G₁(G₂) на графах, изображенных на рис.3. Для рассмотрения операции составим таблицу, в первом столбце которой указываются ребра (x_i, x_k), принадлежащие графу G₁, во втором — ребра (x_k, x_j), принадлежащие графу G₃, а в третьем — результирующее ребро (x_i, x_j) для графа G₁(G₂).

Заметим, что дуга (x₁,x₃) результирующего графа в таблице встречается дважды. Однако, поскольку рассматриваются графы без параллельных ребер (дуг), то в множестве E результирующего графа дуга (x₁,x₃) учитывается только один раз, т.е. E = {(x₁,x₁), (x₁,x₃), (x₂,x₁), (x₂,x₃)}

На рис. 3 изображены графы G₁ и G₂ и их композиции G₁(G₂). На этом же рисунке изображен граф G₂(G₁). Рекомендуется самостоятельно построить граф G₂(G₁) и убедиться, что графы G₁(G₂) и G₂(G₁) не изоморфны.

Пусть А₁ и A₂ – матрицы смежности вершин графов G₁(X,E₁) и G(X,E₂) соответственно. Рассмотрим матрицу A₁₂ элементы a_ij которой вычисляется так:

_n

a_ij = Úa_1ikÙa_2kj (1)

^k=1

где a_1ik и a_2kj – элементы матрицы смежности вершин первого и второго графов соответственно. Элемент a_ij равен 1, если в результирующем графе G₁(G₂) существует дуга, исходящая из вершины x_i и заходящая x_j, и нулю – в противном случае.

Пример 3. Выполнить операцию композиции для графов, пред­ставленных на рис. 3.

Составим матрицы смежности вершин графов:

Вычислив элементы матрицы согласно (1), получаем:

Нетрудно убедиться, что полученным матрицам смежности вершин соответствуют графы G₁(G₂) и G₂(G₁), представленные на рис. 3.

Декартово произведение графов. Пусть G₁(X,E₁) и G₂(Y,E₂) — два графа. Декартовым произведением G₁(X,E₁)´G₂(Y,E₂) графов G₁(X,E₁) и G₂(X,E₂) называется граф с множеством вершин X´Y, в котором дуга (ребро), идущая из вершины (x_iy_j) в (x_ky_l), существует тогда и только тогда когда существует дуга (x_ix_k), принадлежащая множеству дуг E₁ и j = l или когда существует дуга (y_j,y_l), принадлежащая множеству E₂ и i = k.

Выполнение операции декартова произведения рассмотрим на примере графов, изображенных на рис. 4. Множество вершин Z результирующего графа определяется как декартово произведение множеств X´Y. Множество Z содержит следующие элементы: z₁=(x₁y₁), z₂₌(x₁y₂), z₃=(x₁y₃), z₄=(x₂y₁), z₅=(x₂y₂), z₆=(x₂y₃).

Определим множество дуг результирующего графа. Для этого выделим группы вершин множества Z, компоненты которых совпадают. В рассматриваемом примере пять таких групп: две группы с совпадающими компонентами из множества X, и три группы, имеющие совпадающие компоненты из Y. Рассмотрим группу вершин результирующего графа, которые имеют общую компоненту x₁: z₁=(x₁y₁), z₂₌(x₁y₁), z₃=(x₁y₃). Согласно определению операции декартова произведения графов, множество дуг между этими вершинами определяется связями между вершинами множества Y. Таким образом, дуга (y₁,y₁) в графе G2 определяет наличие дуги (z₁,z₁) в результирующем графе. Для удобства рассмотрения всех дуг результирующего графа составим таблицу, в первом столбце которой перечисляются вершины с совпадающими компонентами, во втором – дуги между несовпадающими компонентами, а в третьем и четвертом – дуги в результирующем графе.

Граф G₁´ G₂ изображен на рис. 4.

Операция декартова произведения обладает следующими свойствами.

1. G₁´G₂ = G₂´G₁

2. G₁´(G₂´G₃) = (G₁´G₂)´G₃.

Операция декартова произведения графов может быть выполнена в матричной форме.

Пусть G₁(X,E₁) и G₂(Y,E₂) – два графа, имеющие n_x и n_y вершин соответственно. Результирующий граф G₁´G₂ имеет n_x×n_y вершин, а его матрица смежности вершин - квадратная матрица размером (n_x×n_y)´ (n_x ×n_y). Обозначим через a_ab = a_(ij)(kl) элемент матрицы смежности вершин, указывающий на наличие дуги (ребра), соединяющей вершину z_a=(x_iy_j) c z_b=(x_ky_l). Согласно определению операции этот элемент может быть вычислен при помощи матриц смежности вершин исходных графов следующим образом:

a_ab = a_(ij)(kl) = K_ik×a_2,jl Ú K_jl×a_1,ik, (2)

где a_1,ik, a_2,jl – элементы матрицы смежности вершин графов G₁ и G₂ соответственно;

K_ik – символ Кронекера, равный 1, если i=k, и нулю, если i¹k .

Пример 4. Выполнить операцию декартова произведения на графах, приведенных на рис. 4.

Составим матрицы смежности вершин исходных графов.

Для построения матрицы смежности результирующего графа воспользуемся соотношением (2). В этом соотношении первое слагаемое K_ik×a_2,jl указывает на наличие дуг для вершин, у которых совпадают компоненты из множества X. Для пояснения сказанного, рассмотрим вспомогательную матрицу Axy, в которой элементы, для которых K_ik = 1, помечены символом X. Эти элементы принимают значения, равные значениям соответствующих элементов матрицы A₂ смежности вершин графа G₂, так, как это показано для матрицы A*.

Второе слагаемое K_jl×a_1,ik соотношения (2) указывает на наличие дуг для групп вершин, у которых совпадают компоненты из множества Y. В матрице Axy элементы, для которых K_jl = 1 помечены символом Y. Эти элементы принимают значения, равные значениям соответствующих элементов матрицы A₁ смежности вершин графа G₁, так, как это показано для матрицы A*.

Заметим, что в матрицах Axy и A* на главной диагонали располагаются элементы, равные логической сумме значений элементов матриц смежности вершин обоих графов. Это определяется тем, что на главной диагонали расположены элементы, для которых K_ik = K_jl = 1.

Таким образом, матрица смежности вершин результирующего графа принимает вид:

Нетрудно убедиться, что полученной матрице смежности вершин соответствует граф G₁´G₂, представленный на рис. 4

Операция произведения графов. Пусть G₁(X,E₁) и G₂(Y,E₂) - два графа. Произведением G₁×G₂ графов G₁ и G₂ называется граф с множеством вершин X´Y, а дуга из вершины (x_i,y_j) в вершину (x_k,y_l) существует тогда и только тогда, когда существуют дуги (x_i,x_k) Î E₁ и (y_j,y_l) Î E₂.

Выполнение операции произведения рассмотрим на примере графов, изображенных на рис. 5. Множество вершин Z результирующего графа определяется как декартово произведение множеств X´Y. Множество Z содержит следующие элементы: z₁=(x₁y₁), z₂₌(x₁y₂), z₃=(x₁y₃), z₄=(x₂y₁), z₅=(x₂y₂), z₆=(x₂y₃).

Определим множество дуг результирующего графа. Для удобства рассмотрения составим таблицу, в первом столбце которой указываются дуги графа G₁, во втором – дуги графа G₂, а в третьем и четвертом – дуги результирующего графа.

Результирующий граф G_1×G₂ изображен на рис.5.

Операция произведения обладает следующими свойствами.

1. G₁×G₂ = G₂×G₁.

2. G₁×(G₂×G₃) = (G₁×G₂)×G₃.

Рассмотрим выполнение операции произведения графов в матричной форме.

Пусть G₁(X,E₁) и G₂(Y,E₂) – два графа, имеющие n_x и n_y вершин соответственно. Результирующий граф G₁×G₂ имеет n_x×n_y вершин, а его матрица смежности вершин - квадратная матрица размером (n_x×n_y)´ (n_x ×n_y). Обозначим через a_ab = a_(ij)(kl) элемент матрицы смежности вершин, указывающий на наличие дуги (ребра), соединяющей вершину z_a=(x_iy_j) c z_b=(x_ky_l). Этот элемент может быть вычислен при помощи матриц смежности вершин исходных графов следующим образом:

a_ab =a_(ij)(kl) = a_1,ik Ù a_2,jl, (3)

де a_1,ik, a_1,ik – элементы матрицы смежности вершин графов G₁ и G₂ соответственно.

Пример 5. Выполнить операцию произведения на графах, приведенных на рис. 5.

Составим матрицы смежности вершин исходных графов.

Построим матрицу A смежности вершин результирующего графа, каждый элемент которой вычисляется согласно соотношению (4.3).

Для удобства рассмотрения разделим матрицу A на четыре квадратные подматрицы. Заметим, что каждая подматрица может быть получена путем логического элементов матрицы умножения A₂ на один из элементов a_1,ij матрицы A₁. С учетом этого матрицу A можно представить так:

Таким образом, матрица смежности вершин графа G₁×G₂ имеет вид:

Нетрудно убедиться, что полученной матрице смежности вершин соответствует граф G₁×G₂, представленный на рис. 5.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика: Учебник для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 744 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып XIX).

2. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика.– М.: Наука, Физматлит, 2000.– 544 с.– ISBN 5-02-015238-2.

3. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: Учеб. для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 496 с. (Сер. Математика в техническом университете; вып. XXI, заключительный).