Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Вы нашли то, что искали?

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

0%

Нет, пока не нашел

0%

Узнайте стоимость индивидуальной работы

это быстро и бесплатно

Получите скидку

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!


Бимедианы четырехугольника

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
1366
Размер файла
211 б
Поделиться

Ознакомительный фрагмент работы:

Бимедианы четырехугольника

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей № 43»

Исследовательская работа

Бимедианы четырехугольника

Выполнила:
ученица 11 класса

МОУ «Лицей № 43»

Павлова Виктория

Научный руководитель:
учитель математики
МОУ «Лицей № 43»

Лобанова Ольга Евгеньевна

Саранск, 2007

Содержание

Введение………………………………………………………………………………3

1. Основные теоретические сведения

1.1. Определение……………………………………………………………………4

1.2. Теорема Вариньона…………………………………………………………….4

1.3. Следствия из теоремы Вариньона

1.3.1. Следствие 1………………………………………………………………...4

1.3.2. Следствие 2………………………………………………………………...5

1.3.3. Теорема Эйлера…………………………………………………………….6

1.3.4. Теорема о бабочках……………………………………………………......7

2. Разбор задач

2.1.Задачи из школьного курса геометрии…………………………………...…8

2.2. Конкурсные задачи…………………………………………………………..8

Литература…………………………………………………………………………….13

Введение.

«Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и, по крайней мере, столь же обширной, как анализ, геометрия в большей степени чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться».

Е. Т. Белл.

Тема работы посвящена бимедианам четырехугольника и теореме Вариньона. Эти замечательные понятия не входят в программу по геометрии для средней школы. Однако при решении целого класса задач эти понятия позволяют легко получить решение, в то время когда традиционные подходы приводят к громоздким и утомительным преобразованиям.

Актуальность темы:

1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств.

2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

3. Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам и успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах.

4. Данная работа может быть использована для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному Экзамену и поступлению в ВУЗ.

Цель работы:

Изучить теорию вопроса и исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее.

1. Основные теоретические сведения.

Определение.

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

Одна из основных теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит французскому механику и инженеру Пьеру Вариньону (1654 – 1722), написавшему учебник по элементарной геометрии (издан в 1731 г.), в котором эта теорема впервые и появилась.

1.2.Теорема Вариньона.

Формулировка:

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Доказательство:

1. рассмотрим (рис. 1) одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. Так как KL является средней линией треугольника ABC, то KLAC. По тем причинам MNAC. Следовательно, KLNM и KL=MN=AC/2. таким образом, - параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.

2. средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников (см. рис.1) равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMNсоставляет половину площади четырехугольника ABCD

Теорема доказана.

1.3. Следствия из теоремы.

1.3.1. Следствие 1.

1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны (см. рис. 2,а);

б) бимедианы перпендикулярны(см. рис. 2,б).

Доказательство.

Рис. 2 а)
Рис. 2 б)

а) Так как диагонали исходного четырехугольника равны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм Вариньона является ромбом (по признаку ромба).

б) Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

2. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали перпендикулярны(см. рис. 3,а);

б) бимедианы равны(см. рис. 3,б).

Доказательство.

Рис. 3 а)
Рис. 3 б)

а) Так как диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

б) Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

3. Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны и перпендикулярны(см. рис. 4,а);

б) бимедианы равны и перпендикулярны (см. рис. 4,б).

Доказательство.

Рис. 4а)
Рис. 4 б)

а) Так как диагонали исходного четырехугольника равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является квадратом (по признаку квадрата).

б) Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

1.3.2. Следствие 2.

Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство.

Пусть KM и LN – бимедианы ABCD, PQ– отрезок, соединяющий середины диагоналей АС и BD.

То, что бимедианы KM и LN точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам (рис.5, а и б; обращаем внимание на то, что в невыпуклом четырехугольнике одна из диагоналей расположена вне четырехугольника).

Рис. 5 а)
Рис. 5 б)

Используя теорему о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем:

LQ║CD║PNиPL║AB║NQ.

Тем самым, PLQN– параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

1.3.3. Следствие 3.(теорема Эйлера).

Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть.

Доказательство.

Рис.6

Уже было отмечено что LPNQ – параллелограмм (рис.6).

Поэтому

;

В последнем равенстве мы дважды воспользовались теоремой о средней линии треугольника. Аналогично для параллелограмма KPMQимеем:

.

Кроме того,

,

Так как KLMN– параллелограмм Вариньона четырехугольника ABCD. Складывая первые два равенства и учитывая последнее, получаем соотношение Эйлера.

1.3.4.Следствие 4.(теорема о бабочках).

Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LNи KM выпуклого четырехугольника ABCD равны (рис. 7).

Доказательство.

Рис.7

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем:

.

Что и требовалось доказать.

2. Разбор задач.

2.1.задачи из школьного курса геометрии.

Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые встречаются в школьном курсе геометрии.

Задача 1.

Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Доказательство.

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см.следствие 1, 1, а);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1, 1, б).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 1, 2, а);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 1, 2, б).

Задача 2.

У четырехугольника диагонали равны aи b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение.

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.

Задача 3.

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение.

См. теорему Вариньона.

2.2. Конкурсные задачи.

Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые взяты нами с различных математических конкурсов и олимпиад.

Задача 4.

Пусть K,L,M,N– середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD(см. рис. 8). Докажите, что

а) , где – угол между бимедианами четырехугольника;

б) ,где – угол между диагональю AC и бимедианой LN.

Решение.

Рис. 8

а) Так как ABCD- параллелограмм Вариньона, а KMи NL– бимедианы, то , где O – точка пересечения бимедиан (см. следствие 2), (см. теорему Вариньона).

Задача 5.

Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника (рис.9).

Решение.

Рис. 9

;

Так как AMOL, MONB, CKON, DKOL - параллелограммы, то .

Отсюда получаем, что , что и требовалось доказать.

Задача 6.

Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n= 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток» (рис.10).

Решение.

Рис. 10

Из следствия 2 следует, что точки пересечения отрезков на этой доске делят каждый на равные части.

Тогда в любом «маленьком» четырехугольнике (рис.10),куда входят ровно две белые и две черные клетки, выполняются условия теоремы о бабочках. Нужное равенство установлено.

Задача 7 .

На продолжениях сторон выпуклого четырехугольника ABCDвыбраны точки так, что и точка A находится между и B, точка B– между и C, точка C – между и D, точка D– между и A. докажите, что (рис.11).

Решение.

Рис. 11

;

;

;

;

;

;

Отсюда получаем, что .

Задача 8.

Пусть L и N – середины противоположных сторон BC и AD четырехугольника ABCD(рис. 12). Доказать, что площадь четырехугольника LPNQравна сумме площадей треугольников ABP и CQD.

Рис. 12

Решение.

Покажем, что

.

В треугольникеACDмедиана CN делит его на два треугольника равной площади, а в треугольнике ABC медиана ALделит его на два равновеликих треугольника. Так как ,то . аналогично устанавливается нужное равенство и для четырехугольника NBLD .

Теперь утверждение задачи следует из того, что четырехугольники ALCN и NBLDпокрывают внутри четырехугольника ABCD два раза четырехугольник LPNQи не покрывают треугольники ABPиCQD, а их сумма их площадей равна площади четырехугольника ABCD. Площадь четырехугольника, с другой стороны, равна сумме площадей шести треугольников (в том числе и треугольников ABPи CQD) и интересующего нас четырехугольника LPNQ.

Задача 9.

Пусть K, L, M, N– середины сторон (рис. 13) выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что площадь четырехугольника, образованного прямыми CK, AM, BN, DL, равна сумме площадей четырех треугольников, отмеченных на рисунке 6.

Рис. 13

Решение.

Так как , то из этого следует, что четырехугольники AKCMи BLDN покрывают внутри четырехугольника ABCD два раза четырехугольник, образованный прямыми CK, AM, BN, DL, и не покрывают четыре треугольника, а сумма их площадей равна площади четырехугольника ABCD. Отсюда следует, что площадь четырехугольника, образованного прямыми CK, AM, BN, DL, равна сумме площадей четырех треугольников, отмеченных на рисунке 6.

Задача 10.

Противоположные стороны четырехугольника ABCDразделены на три равные части и точки деления попарно соединены (рис.14). Доказать, что одна из площадей получившихся трех четырехугольников равна.

Рис. 14

Решение.

Докажем, что площадь среднего четырехугольника равна трети площади исходного четырехугольника. Другими словами докажем, что

.

Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить, что

.

А последнее равенство есть следствие того, что основания AE, EF, FD всех трех треугольников в этом равенстве равны, а высота треугольника EHF является средней линией трапеции с основаниями, равными высотам треугольников AGEи FCD.

Задача 11.

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника ABCD,перпендикулярны (Рис.15) . Известно, что

.

Найдите площадь четырехугольника ABCD и сравните её с числом .

Решение.

Рис. 15

Так как бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом (см.следствие1,1,б).

Так как KNявляется средней линией треугольника ADC, то по теореме о средней линии треугольника KN=0,5AC=2;

;

;

;

Площадь ABCDменьше, чем 2.

Задача 12.

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника ABCD,перпендикулярны (Рис.15) . Известно, что

.

Найдите квадрат длины отрезка PRи сравните его с числом 4.

Решение.

Пусть KLMN – параллелограмм Вариньона четырехугольника ABCD.

Так как бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом (см. следствие1,1,б).

;

;

.

Литература.

1. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. сред. шк.- М.: Просвещение,1990.- 384 с.

2. Штейнгауз Г.Математический калейдоскоп. – М.:наука,1981.

3. Прасолов В.В. задачи по планиметрии. – Т.1, 2. – М.: Наука,1995.

4. Коксетер Г. С. М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука,1978.

5. В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 - №22.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Математика
История
Экономика
icon
147648
рейтинг
icon
3129
работ сдано
icon
1352
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
142374
рейтинг
icon
5881
работ сдано
icon
2654
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
95355
рейтинг
icon
2031
работ сдано
icon
1273
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
54 249 оценок star star star star star
среднее 4.9 из 5
СПБГУ
Вероника очень понравилась как исполнитель, сделано все в срок и хорошо! рекомендую!
star star star star star
ГУАП
доброжелательный исполнитель , замечания исправлены. спасибо за работу. рекомендую данног...
star star star star star
ДВФУ
Работа супер! Огромное спасибо, вы угодили очень дотошному преподавателю!!
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Задания

Тест дистанционно, Физика

Срок сдачи к 20 сент.

только что

решить 1-2 задача Только 26 вариант

Решение задач, Высшая математика

Срок сдачи к 20 сент.

1 минуту назад

подготовка к поступлению в мед вуз

Онлайн-репетитор, химия и биология

Срок сдачи к 2 окт.

5 минут назад

Сделать 2 доклада + презентации к ним

Доклад, История мосто и тонелестроения

Срок сдачи к 27 сент.

6 минут назад

Помощь в написании рецептов

Онлайн-помощь, Фармакология

Срок сдачи к 20 сент.

7 минут назад
10 минут назад

Помочь на экзамене

Онлайн-помощь, строительство

Срок сдачи к 21 сент.

10 минут назад

Ответить на вопросы по небольшому видео

Онлайн-помощь, Педагогика

Срок сдачи к 20 сент.

11 минут назад

Ответить на вопросы по небольшому ролику

Эссе, Педагогика

Срок сдачи к 20 сент.

11 минут назад

Мониторинг

Решение задач, Конституционное право

Срок сдачи к 20 сент.

11 минут назад

Написать статью по Общей гигиене. М-02215

Статья, медицина

Срок сдачи к 26 сент.

11 минут назад

Методы лучевой диагностики заболеваний молочных желез

Курсовая, Рентгенология, медицина

Срок сдачи к 6 окт.

11 минут назад

Решить задачи

Контрольная, Физика

Срок сдачи к 20 сент.

11 минут назад

Индивидуальный проект на тему влияние СМИ на социализацию подростков.

Курсовая, Введение в специальность

Срок сдачи к 5 окт.

11 минут назад

Научные работы по кардиологии

Статья, медицина

Срок сдачи к 30 нояб.

11 минут назад

Сделать презентацию и доклад на тему "Роль Ивана 3 в становлении...

Презентация, История России

Срок сдачи к 26 сент.

11 минут назад

Решить второй вариант

Решение задач, теплофизика

Срок сдачи к 30 сент.

11 минут назад

Храм Богоявления Господня г. Петухово

Статья, историческое краеведение

Срок сдачи к 24 сент.

11 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно