Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Вы нашли то, что искали?

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

0%

Нет, пока не нашел

0%

Узнайте стоимость индивидуальной работы

это быстро и бесплатно

Получите скидку

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!


Универсальная тригонометрическая подстановка

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
894
Размер файла
168 б
Поделиться

Ознакомительный фрагмент работы:

Универсальная тригонометрическая подстановка

Контрольная работа

Дисциплина:

«Высшая математика»

Тема:

«Универсальная тригонометрическая подстановка»

1. Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассмотрим интегрирование выражений полностью зависящих от тригонометрических функций, над которыми выполняются лишь арифметические операции. Такие выражения называются рациональными функциями от тригонометрических функций и в данном случае обозначаются . Например,

, , .

В то же время функция рациональной не является.

Теорема. Интеграл вида с помощью подстановки преобразуется в интеграл от рациональной дроби.

Для доказательства выразим , и через :

;

;

.


В результате проведенных преобразований , и превратились в рациональные дроби от . Подставляя их в исходный интеграл, получаем:

.

В данном выражении рациональные дроби подставлены в рациональную функцию. Так как над ними выполняются лишь арифметические операции, то в результате получается также рациональная дробь. Итак, рациональную функцию от тригонометрических функций можно проинтегрировать, превратив ее в рациональную дробь.

Подстановка

, , ,

называется универсальной тригонометрической подстановкой.

2. Частные случаи интегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции

Рассмотренная в п. 11 универсальная тригонометрическая подстановка позволяет вычислить любой интеграл от функции вида . Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям, интегрирование которых представляет значительную трудность. Есть целый ряд интегралов от тригонометрических функций, которые можно вычислить значительно проще.

1. Интегралы типа удобно вычислять с помощью подстановки . Тогда и получаем простой интеграл .

2. Интегралы типа удобно вычислять с помощью подстановки . Тогда и интеграл приводится к виду .

3. Если подынтегральная функция зависит только от (), то удобна замена . В этом случае и . В результате получаем .

4. Если подынтегральная функция является рациональной относительно четных степеней и , то есть , то в этом случае также удобна замена . При этом:

;

;

.

Данная подстановка в этом случае дает более простую рациональную дробь, чем с использованием универсальной тригонометрической подстановки.

Пусть дан интеграл , где и при этом хотя бы одно из этих чисел нечетное. Допустим, что . Тогда


.

Далее делается замена , и получаем .

6. Пусть дан интеграл , где и неотрицательные и четные. Положим, что , . Тогда

; .

Данная замена позволяет в два раза понизить степень тригонометрических функций. Раскрывая скобки в интеграле , получаем снова случаи 5 или 6.

7. Пусть дан , где и – четные и хотя бы одно из этих чисел отрицательно. Тогда удобна та же замена, что и в случае 4.

8. В случае используется тригонометрическая формула

и интеграл превращается в два табличных интеграла.

9. В случае используется тригонометрическая формула

.

10. В случае используется тригонометрическая формула


.

3. Тригонометрические подстановки для интегралов вида

Рассмотрим тригонометрические подстановки для вычисления таких интегралов, которые сводят подынтегральную функцию к функции, рационально зависящей от и . Вначале выполняется выделение полного квадрата в трёхчлене (и соответствующей линейной замены переменной), в результате этого интеграл сводится, в зависимости от знаков и дискриминанта трёхчлена, к интегралу одного из следующих трёх видов:

, , .

Следующий шаг:

1) рационализируется подстановкой x = a sin t (или x = a cos t). Замена переменной в неопределённом интеграле.

2) рационализируется подстановкой (или , или ).

3) рационализируется подстановкой x = a tg t (или x = a ctg t, или x = a sh t).

Пример 1. . Интеграл вида , из возможных подстановок наиболее удобной оказывается x = ctg t.


,

поэтому

или

.

Пример 2.

3. Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей

Рассмотрим теперь интегрирование функций, содержащих радикалы. Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Однако в наиболее простых случаях, когда над радикалами выполняются рациональные действия, это удается сделать. Необходимо отметить, что все такие иррациональные функции интегрируются посредством их рационализации, то есть избавления от корней.

1. Пусть дан интеграл

,

где , ,…, , . Найдем общий знаменатель дробей ,…, . Пусть это число . Сделаем подстановку , . В этом случае все дробные степени становятся целыми и подынтегральная функция становится рациональной относительно .

2. Рассмотрим общий случай подобных интегралов:

,

где , ,…, , .

Чтобы получить рациональную функцию, находят общий знаменатель дробей ,…, (обозначим его ) и делают замену переменной . В этом случае


.

Очевидно, если и , то случай 2 переходит в случай 1. Кроме того, необходимо иметь в виду, что в обоих случаях основания всех степеней должны быть одинаковы: в первом случае , во втором – .

4. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок

Рассмотри снова интегралы, содержащие квадратный трехчлен:

.

Выделив полный квадрат под корнем, получим один из трех интегралов: , , . Все они вычисляются с помощью тригонометрических подстановок.

1.

.

2.


.

3.

.

Во всех трех случаях после проведенных подстановок интегралы пришли к виду, рассмотренному в п. 2.

5. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

В п. 1 была сформулирована теорема о том, что любая непрерывная функция имеет первообразную. Однако необходимо иметь в виду, что не всегда первообразная выражается в конечном виде через элементарные функции.

К таким интегралам следует отнести

, , , ,

().

Во всех подобных случаях первообразная представляет собой некоторую новую функцию, которая не сводится к комбинации конечного числа элементарных функций.

Например, та из первообразных , которая обращается в нуль при , называется функцией Гаусса и обозначается . Эта функция хорошо изучена, составлены подробные таблицы ее значений. То же самое можно сказать и о других подобных функциях.

Литература

1. Александров В.В., Потапов М.К., Пасиченко П.И., Потапов М.К. Александров В.В., Потапов М.К и др. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции. Учебник. М: Высшая школа, 2001. – 736 с.

2. Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. – 208c.

3. Макарычев Юрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. – 360 с.

4. Потапов Михаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями. Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. – 160 с.

5. Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. – 200 с.

6. Шахмейстер А.Х. ТРИГОНОМЕТРИЯ 1-е изд. МГУ, 2006. – 672 с.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Математика
История
Экономика
icon
147595
рейтинг
icon
3128
работ сдано
icon
1351
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
142374
рейтинг
icon
5881
работ сдано
icon
2654
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
95355
рейтинг
icon
2031
работ сдано
icon
1273
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
54 207 оценок star star star star star
среднее 4.9 из 5
Санкт-Петербургский институт ФСБ России
После проверки работы, изменю отзыв по ситуации. Но пока что ставлю все на 5.
star star star star star
Сургутский государственный университет
Спасибо, Анастасия! Очень быстро и качественно выполнили работу! Советую всем!
star star star star star
СПбГМУ
Реферат сделан досрочно, все конкретно и по делу с указанными заданиями. Антиплагиат выпол...
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Практические задания

Контрольная, Инфокоммуникационные технологии

Срок сдачи к 21 окт.

1 минуту назад

Решить задачи

Решение задач, Право

Срок сдачи к 18 сент.

3 минуты назад

Решить задачи

Решение задач, трудовое право

Срок сдачи к 18 сент.

4 минуты назад

Сделать чертеж

Чертеж, Аэрология Горных Предприятий

Срок сдачи к 20 сент.

7 минут назад

Написть статью для конференции

Статья, строительство

Срок сдачи к 20 сент.

7 минут назад

Сделать контрольную

Контрольная, Старославянский язык

Срок сдачи к 6 окт.

8 минут назад

сделать по примеру

Курсовая, Логистика

Срок сдачи к 22 сент.

8 минут назад

180-230

Решение задач, Математика

Срок сдачи к 18 сент.

9 минут назад

Помощь на вступительном экзамене

Онлайн-помощь, Вступительный экзамен (Магистратура)

Срок сдачи к 20 сент.

9 минут назад

Отчет по лабораторной работе

Лабораторная, Физика

Срок сдачи к 22 сент.

10 минут назад

Отредактировать задания по госту и решить задачи

Решение задач, накс

Срок сдачи к 20 сент.

10 минут назад

Сделать по госту

Курсовая, оперативно-розыскная деятельность

Срок сдачи к 1 нояб.

10 минут назад

Выполнить самостоятельную по информатике. С-01223

Контрольная, Информатика

Срок сдачи к 19 сент.

10 минут назад

Решить задачу по варианту

Решение задач, Логистика

Срок сдачи к 24 сент.

10 минут назад

Нет

Реферат, Математика

Срок сдачи к 18 сент.

10 минут назад

Выполнить задания

Контрольная, Банковское дело

Срок сдачи к 23 сент.

10 минут назад

Задание в указано в файле

Курсовая, Детали мехатронных модулей, роботов и их конструирование

Срок сдачи к 30 сент.

11 минут назад

Диплом по предмету «Юриспруденция»

Диплом, Юриспруденция

Срок сдачи к 29 сент.

11 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно