Розв язання раціональних рівнянь

Розв’язання

раціональних

рівнянь

2002

Для нашого часу характерна інтеграція наук, прагнення отримати найточніші уявлення про загальну будову світу. Ці ідеї знаходять своє відображення і в концепції освіти. Сучасна педагогічна наука стверджує, що для продуктивного засвоєння учнями знань і для їхнього інтелектуального розвитку важливо встановлювати зв’язки як між різними розділами курсу, так і між різними дисциплінами в цілому. Для чого потрібно вміти розв’язкувати рівняння? Так, щоб за їх допомогою розв’язувати задачі. Рівняння називають “мовою алгебри”. Але їх використовують не тільки в алгебрі, а й в інших науках, наприклад хімії та фізиці.

Вступ

Різновиди рівнянь не вичерпуються трьома видами, які ми вміємо розв’язувати. Для математиків важливо було навчитися розв’язувати рівняння третьогопорядку (кубічні). Найпростіші кубічні рівняння, якщо в них вдало підібрані коефіцієнти, розв’язуються легко.

Чи обмежуються всі види рівнянь третього порядку такими простими способами розв’язання? Першим, хто поставив це питання, був Омар Хайям – перський учений і поет. Одним із методів розв’язання рівнянь Хайям пропонує геометричний.

Висновок:

Ми переконалися, що математика, як і будь-яка інша наука не розвивається сама, всі відкриття в ній роблять люди. Так свій внесок у розвиток вчення про рівняння зробили Евклід, Діщфант, аль-Хорезмі, О.Хайям, Ф.Вієт та інші вчені. Ці люди не обмежувалися лише математикою, вони були високо освіченими і всебічно розвиненими, до чого повинна прагнути кожна людина.

Раціональні рівняння

Основними раціональними рівняннями з однією змінною являються лінійні і квадратні рівняння. Їх розв’язування нам відомі.

Всі інші раціональні рівняння проводяться за допомогою різних перетворень до цих основних рівнянь, тобто до лінійних і квадратних.

Ці перетворення є слідуючи ми:

1) Якщо рівняння дробове, то спочатку перетворюють його до цілого виду, помноживши обидві частини рівняння на спільний знаменник всіх дробів.

При цьому потрібно пам’ятати, що згідно правила І.З ми отримаємо лиш наслідок вихідного рівняння.

2) Якщо рівняння ціле, то використовують два способи перетворень:

а) заміну змінних (введення нових змінних);

б) розкладання лівої частини рівняння на множники, коли права частина рівна нулю.

Покажемо на прикладі використання цих перетворень:

Задача 1. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Дане рівняння дробове. Щоб привести його до цілого виду, помножимо обидві частини на спільний знаменник всіх дробів:

(так як ). Будемо пам’ятати, що отримаємо лиш наслідок вихідного рівняння:

.

Після розкриття дужок і зведення подібних членів в кожній частині рівняння отримаємо:

.

Перенесемо тепер всі члени в ліву частину і зробимо зведення подібних членів, отримаємо:

.

Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

.

На основі правила У.н. отримаємо сукупність лінійних рівнянь:

і , звідси , .

Так як в процесі розв’язання ми використовували перетворення, які приводять до наслідків рівнянь, то необхідна перевірка. Підстановка до вихідного рівняння показує, що х = 0 являється по стороннім коренем (так як 0 не входить в область визначення рівняння), а задовольняє рівнянню:

Відповідь:

Задача 2. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Очевидно, що приведення лівої частини до стандартного виду многочлена лиш ускладнює рівняння. Тому необхідно шукати інші способи розв’язання.

1-й спосіб: Він оснований на розкладанні лівої частини рівняння на множники. Ліва частина рівняння дуже нагадує квадрат суми виражений х²+х+4 і 4х. Але тоді третій доданок повинен бути на 15х², а 16х².

Це легко зробити слідуючим чином

На основі правила У.н. отримаємо сукупність двох квадратних рівнянь:

;

Розв’язавши їх знайдемо множину коренів:

х₁= - 2; х_2,3= .

2-й спосіб заснований на підстановці

Тоді вихідне рівняння приймає вид:

Цей квадратний тричлен легко розкласти на множники:

Звідси знаходимо, щоy = -5x або у = -3х.

Підставляємо отримані вирази замість ув (1) отримаємо ті ж два квадратні рівняння.