Рынок вторичного жилья

Исходные данные о продаже квартир на вторичном рынке жилья

Табличные значения стандартных функций распределения:

t_0.05,14 = 2.145 F_0.05,1,14 = 4.6

c²_0.025,14 =26.1 c²_0.975,14 =5.63

1. Парная регрессия yна x₁.

а) Найти уравнение линейной регрессии для x₁.

Таким образом, выборочные средние значения = 32,3; = 18,2; = 605,9;

выборочная дисперсия = 34,3;

выборочная ковариация cov(x,y) = = 605,9-32,3*18,2 = 18,04;

Коэффициенты регрессии b₁== = 0,53

= 18,2 – 0,53*32,3 = 1,08

При увеличении жилой площади на 1 кв.м цена квартиры в среднем возрастает на 0,53 тыс.$.

Уравнение регрессии = 1,08 + 0,53 * x.

б) рассчитать коэффициент корреляции

Между величиной жилой площади квартиры и ценной квартиры наблюдается умеренная положительная зависимость.

в) определить среднюю величину yпри x₁=35.

Средняя цена квартиры при жилой площади 35 кв.м составляет 19.63 тыс.$. Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице.

г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.

С учетом значений из обеих таблиц:

Остаточная дисперсия

Дисперсия среднего значения

= 0.920

Стандартное отклонение

Дисперсия индивидуального значения y₀

Стандартное отклонение y₀

Для доверительной вероятности g=0,95 уровень значимости a = 1-g = 0,05.

Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости a = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16-2 =14 составляет t_0.05,8 = 2,31.

Доверительный интервал для среднего значения

19.63 – 2.145×0.96 £y£ 19.63 + 2.145×0.96

17.57£y£ 21.69

Доверительный интервал для индивидуального значения

19.63 – 2.145×3.61 £y₀£ 19.63 + 2.145×3.61

11.89 £y₀£ 27.37

С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с площадью 35 кв.м с вероятностью 95% лежит в пределах от 17,57 до 21,69 тыс.$; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 11,89 до 27,37 тыс.$.

д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии b₁ и дисперсии возмущений s².

Дисперсия коэффициента регрессии == 0.022

Стандартное отклонение

Доверительный интервал для коэффициента регрессии b₁

0.53–2.145×0.148 £b₁£ 0.53+ 2.145×0.148

0.21 £b₁£ 0.85

С надежностью 0,95 увеличение площади квартиры на 1 кв.м приводит к увеличению цены квартиры на величину от 0,21 до 0,85 тыс.$.

Табличные значения распределения c² Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют

;

Доверительный интервал дисперсии возмущений

7,42 £s²£ 34,42

Интервал для стандартного отклонения 2,72 £s£ 5,87.

С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 7,42 до 34,42, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 2,72 до 5,87.

Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.

Общая сумма квадратов отклонений y= 281,27

Остаточная сумма квадратов = 169,59

Сумма квадратов, объясненная регрессией = 281,27–169,59 = 111,68

Величина F-критерия

= 9,23,

где m – число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.

Табличное значение F-распределения Фишера для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m-1=1 составляет F_0,05,1,14=4,6.

Так как расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии yпо x₁ следует признать значимым, т.е. заслуживающим доверия.

Определим коэффициент детерминации.

0,40

Вариация зависимой переменной (цены квартиры) на 40% определяется фактором x –площадью квартиры.

2. Парная регрессия yна x₂.

а) Найти уравнение линейной регрессии для x₂.

Таким образом, выборочные средние значения = 13,1; = 18,2; = 232,025;

выборочная дисперсия = 32,9;

выборочная ковариация cov(x,y) = = 232,025-13,1*18,2 = -6,4;

Коэффициенты регрессии b₁== = -0,19

= 18,2 – (-0,19)*13,1 = 20,7

При увеличении времени пути до метро на 1 мин. цена квартиры в среднем снижается на 0,19 тыс.$.

Уравнение регрессии = 20,7 – 0,19 * x.

б) рассчитать коэффициент корреляции

Между временем пути до метро от квартиры и ценной квартиры наблюдается слабая отрицательная зависимость.

в) определить среднюю величину yпри x₂=12.

Средняя цена квартиры при времени пути до метро 12 минут составляет 19.63 тыс.$.

Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице

г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.

С учетом значений из обеих таблиц:

Остаточная дисперсия

Дисперсия среднего значения

= 1,21

Стандартное отклонение

Дисперсия индивидуального значения y₀

Стандартное отклонение y₀

Для доверительной вероятности g=0,95 уровень значимости a = 1-g = 0,05.

Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости a = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16-2 =14 составляет t_0.05,8 = 2,31.

Доверительный интервал для среднего значения

18,42 – 2,145×1,1 £y£ 18,42 + 2,145×1,1

16,06£y£ 20,78

Доверительный интервал для индивидуального значения

18,42 – 2,145×4,46 £y₀£ 18,42 + 2,145×4,46

8,85 £y₀£ 27,99

С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с временем пути до метро 12 минут с вероятностью 95% лежит в пределах от 16,06 до 20,78 тыс.$; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 8,85 до 27,99 тыс.$.

д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии b₁ и дисперсии возмущений s².

Дисперсия коэффициента регрессии == 0.035

Стандартное отклонение

Доверительный интервал для коэффициента регрессии b₁

-0,19–2,145×0,187 £b₁£ -0,19 + 2,145×0,187

0,59£b₁£ 0,21

С надежностью 0,95 увеличение времени пути до метро на 1 минуту приводит к увеличению цены квартиры на величину от – 0,59 до 0,21 тыс.$.

Табличные значения распределения c² Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют

;

Доверительный интервал дисперсии возмущений

11,44 £s²£ 53,03

Интервал для стандартного отклонения 3,38 £s£ 7,28.

С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 11,44 до 53,03, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 3,38 до 7,28.

Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.

Общая сумма квадратов отклонений y= 281,27

Остаточная сумма квадратов = 261,27

Сумма квадратов, объясненная регрессией = 281,27–261,27 = 20

Величина F-критерия

= 1,07,

где m – число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.

Табличное значение F-распределения Фишера для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m-1=1 составляет F_0,05,1,14=4,6.

Так как расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии yпо x₁ следует признать значимым, т.е. заслуживающим доверия.

Определим коэффициент детерминации.

квартира стоимость регрессия вариация

0,07

Вариация зависимой переменной (цены квартиры) на 7% определяется фактором x –временем пути до метро.