Численный расчет диода Ганна

ДиодГанна

Методика расчета

Введение

Диоды Ганна, как твердотельные генераторы токов вдиапазоне СВЧ находят очень широкое применение в разнообразнейших устройствахблагодаря своим несомненным преимуществам: легкости, компактности, надежности,эффективности и др.

Со времен своего появления диоды Ганна неоднократносовершенствовались. Шло повышение рабочих частот, приводящее к соответственномууменьшению размеров кристалла; принимались различные меры по увеличению КПДдиодов и их выходной мощности.

Все это время рассчет диодов Ганна представлял собойочень длительный и трудоемкий процесс, даже с использованием компьютеров первыхпоколений. Однако, в наше время, в век стремительного роста материально-научнойбазы компьютерной техники становится возможным построить программноеобеспечение, позволяющее произвести рассчет диода Ганна легко и просто.

Теоретические сведения

Эффект, применяемый в диодах Ганна, проявляетсяв особом классе полупроводниковх веществ – многодолинных полупроводниках. Чащевсего диоды Ганна изготавливаются на основе арсенида галлия (GaAs),поэтому в данной работе он и берется за основу. Арсенид галлия – двухдолинныйполупроводник, имеющий разность энергий между долинами в 0,36 Эв. При этом,из-за различия эффективных масс в разных долинах, зависимость скоростиэлектронов от величины приложенного поля такова:

Это происходит в силу того, что электроны, набираяначальную скорость, находятся в нижней долине, где их эквивалентная масса мала.При некотором значении энергии электроны начинают попадать во вторую долину,теряя при этом 0,36 Эв энергии. Кроме того, в верхней долине их эквивалентнаямасса велика, поэтому они ускоряются полем значительно медленнее, чем в нижней.

Диод Ганна работает в импульсном режиме, когдаактивизируется его отрицательное дифференциальное сопротивление. Для этого втеле полупроводника возле катода создается область повышенного легирования,излучающая порции (сгустки) электронной плазмы. При этом электроныконцентрируются благодаря эффекту Ганна, и сгусток устремляется к аноду,вызывая во внешней цепи импульс тока.

Температурная модель диодов Ганна

Исследования данной проблемы методом Монте-Карлопоказали, что основным недостатком применяемых до сих пор методов (например,локально-полевого) является то, что они не учитывают конечность времениразогрева электронов в нижней долине и конечность времени междолинногоперехода, что делает их непригодными в диапазоне миллиметровых волн. Болееперспективными в этом случае являются различные модификации гидродинамических илитемпературных моделей, в которых имеется четкое разделение электронов по нижнейи верхней долинам, и конечность времени разогрева учитывается уравнениемсохранения энергии.

Существуют различные гидродинамические модели. Мырассмотрим так называемую двухтемпературную модель, в которой энергияэлектронов характеризуется максвелловской функцией распределения с различнойтемпературой электронов в разных долинах, причем в верхней долине температураэлектронов предполагается равной температуре решетки. Эта модель относительнопроста и достаточно оправдана физически.

Уравнения двухтемпературной модели доидов Ганна можноопределить следующим образом.

Уравнение Пуассона.

Тут n_1,2– концентрация свобоных электронов внижней и верхней долине соответственно; Е – напряженность электрического поля; n₀ – концентрация неподвижных доноров.

Уравнения сохранения заряда для нижней и верхнейдолины соответственно:

Тут u_1,2– скорость потока электронов в верхней инижней долинах соответственно; t₁₂и t ₂₁ – времяперехода из нижней долины в верхнюю и из верхней в нижнюю соответственно.Уравнение сохранения энергии для нижней долины можно переписать следующимобразом:

В данной формуле E₁ – средняя энергия электронов в нижней долине; аиндекс «ст» означает скорость изменения энергии электрона в нижней долиневследствие столкновения с фононами; индекс «1-2» означает скорость измененияэнергии вследствие междолинного перехода; n₁u ₁E – скорость разогрева электронов полем.

Скорость изменения энергии электронов вследствие столкновенийи междолинных переходов может быть представлена в виде

где Е₀ – энергия, соответствующаятемпературе решетки; t_e1– время релаксации электронов по энергии.

Появление в данной формуле Δ связано с тем, чтоиз нижней долины в верхнюю могут попасть только высокоэнергетичные электроны сэнергией, большей Δ.

Если предположить, что распределение электроновв нижней долине характеризуется статистикой Максвелла, когда

и обозначить в качестве температуры (в вольтах)величину

то окончательно уравнение закона сохраненияэнергии в нижней долине примет вид:

В верхней долине температура электронов принимаетсяравной Т₂=Т₀.

Статическая температурная модель

Недостатком температурной модели является тот факт,что величины t₁₂,t₂₁ и t_e1 не являются такими четко измеряемымихарактеристиками, как пороговое поле эффекта Ганна, пороговая скорость,скорость насыщения. Поэтому, для определения параметров модели необходимоопределить их соответствие измеряемым характеристикам, прежде всего –характеристики скорость-поле. Для этого надо вычислить статическуюхарактеристику скорость-поле по температурной модели и подобрать параметрымодели так, чтоб она соответствовала измеряемой характеристике.

Для этого в уравнениях динамической модели необходимоприравнять нулю производные по времени и пространственной координате. Крометого, требуется учесть еще несколько физических моментов.

Рассмотрим скорость перехода электронов издолины в долину. В стационарном режиме скорости этих переходов равновероятны. Внижней долине переход могут совершить только электроны с энергией, большей, чемширина междолинного зазора. Вероятность иметь эту энергию:

где А зависит от общего количества электронов в долинеи плотности состояний в верхней долине. В верхней долине вероятность (скорость)перехода пропорциональна количеству электронов в верхней долине и плотностисостояний в нижней. В итоге должно выполняться равенство:

При этом R=P₂/P₁ – отношение плотности состояний в верхней долине кплотности состояний в нижней долине определяется соотношением эффективных масси количеством долин. Для арсенида галлия R составляетоколо 60. Соответственно:

Из принципа детального равновесия, т.е. условияравенства скоростей перехода, должно выполняться:

Что и дает соотношение между временами миждолинногоперехода.

Рассмотрение баланса импульса следует проводить впредположении, что после перехода из долины в долину средний импульс перешедшихэлектронов равен нулю, и они должны будут набирать характерный импульс m_iV_i.

Тогда в нижней долине баланс импульса запишетсяв виде:

В данной формуле t_m1 –среднее время релаксации по импульсу в нижней долине. Отсюда для соотношениямежду скоростью и полем, т.е. подвижностью в нижней долине можно получить такоесоотношение:

Таким образом получается, что подвижностьзависит от интенсивности междолинных переходов. Аналогично для верхней долиныможно записать

В итоге для статической характеристики в рамкахдвухтемпературной модели получаем систему трансцендентных уравнений

Решая эту систему, можно получить зависимость:

Сравнивая данную зависимость, полученную теоретически,с экспериментальной зависимостью скорость-поле, можно подобрать значенияпостоянных времени. Расчеты показывают, что оптимальными являются параметры:

t₂₁=2,0·10^-12 сек,

t_e1=0,8·10^-12 сек,

t_m1=0,4·10^-12 cек.

Динамическая двухтемпературная модель

Основные уравнения двухтемпературной модели имеют вид:

Уравнение Пуассона

Уравнения сохранения заряда для нижней и верхнейдолин

Уравнение сохранения энергии для нижней долины

Кроме того, необходимы граничные условия,имеющие вид

Два последних граничных условия являются неточными идля снижения погрешности от этой неточности необходимо в приконтактной областизадавать область повышенного легирования.

Начальные условия точно заданы быть не могут. Однако,если метод решения уравнения выбран правильно, то независимо от начальныхусловий через некоторое время счета задача сойдется к правильному решению.Типичным видом записи начальных условий является запист в виде:

Е=V_D/L,n₁=n₀, n₂=0, T₁=T₀.

Уравнения, описывающие процессы в кристалле, должныбыть дополнены уравнениями внешней схемы. Наиболее простыми и распространеннымивариантами задания внешней схемы являются такие подходы:

1.    Решение самосогласованной задачи свнешней схемой в виде колебательного контура;

2.    Метод заданного напряжения.

В первом случае в явном виде записываютсядифференциальные чравнения внешней схемы и решаются совместно с уравнениями,описывающими процессы в кристалле. Этот метод называется также решением вовременной области и используется, как правило, для исследования переходныхпроцессов.

Во втором случае, называемом также решением вчастотной области, параметры внешней схемы задаются в виде напряжения,приложенного к кристаллу, например, в виде

Перебирая значения V₀,V_≈,Ω, точно так же, как и параметры кристалла, можнополучить полную информацию о величине отрицательного дифференциальногосопротивления и его зависимости от параметров внешней схемы и структурыкристалла, и, как следствие, об энергетических характеристиках.

Суть метода в том, что задав внешнее напряжениена кристалле путем решения уравнений, описывающих процессы в кристалле, находимполный ток через кристалл:

Разложив его в ряд Фурье, получим:

Тогда активная проводимость кристалла определяетсякак:

 В то же время реактивная проводимостьопределяется по формуле:

Выходная мощность и коэффициент полезногодействия могут при этом быть вычислены по формулам:

В последних двух записях предполагается, что токнаходится в противофазе к приложенному напряжению и проводимость кристаллаотрицательна.

Использование программы-модели

К данному курсовому проекту прилагается специальнаяпрограмма, предназначенная для расчета диода Ганна, а также ее исходные коды наязыке «Object Pascal» («Delphi4.0»). Данная программа предназначенатолько для учебного использования и не должна использоваться для любыхсерьезных исследований, так как она не имеет должной защиты от ошибокпользователя и системных сбоев. Герантировать нормальную работу производительможет только при условии внимательного прочтения данных рекомендаций.

При запуске программы не ее окне может отсутствоватьокно графиков. Это не является признаком ее неправильной работы. Окнопоявляется после первого расчета.

Допустимые значения, вводимые в поля программы,таковы:

1.   «Длина кристалла» - не рекомендуется вводить значения, меньшие 0,1 мкм.

2.   «Число шагов по длине» - неследует вводить числа, меньшие 3 и большие 5.000 (хотя работоспособностьпрограммы может сохраниться и при вводе чисел до 3.000.000).

3.   «Начало переходной области» -участок, где легирование начинает уменьшаться, поэтому это число не должно бытьбольше п.2.

4.   «Конец переходной области» -участок, где уровень легирования достигает уровня легирования тела кристалла.

5.   «Частота внеш. напряжения» - неособенно критичный параметр, может принимать любые разумные значения.

6.   «Амплитуда внешнего напряжения» - V_≈ должна быть в перделахнескольких десятков вольт.

7.   «Смещение нуля» -напряжение V_0, имеет смысл только в пределах нескольких десятковвольт.

8.   «Время наблюдения» - время, закоторое производится наблюдение. При его увеличении заметно расплывание доменаи изменение его свойств. Очень критичный параметр как по устойчивостипрограммы, так и по времени нахождения решения. Не стоит без особой надобностиустанавливать этот параметр менее 0,01 пс или более 10 нс. В первом случаезадача расходится, а во втором – время работы может быть очень значительным.

Работа с графиками. Данная программа отображаетграфики характеристик только после очередного цикла работы. Предустановленнымиявляются не все характеристики, поэтому может потребоваться включить их вручную– установив птички в соответствующих клеточках. При этом изменения вступят всилу после очередного цикла работы. Все характеристики названы так, как переменныев программе, что призвано облегчить понимание ее исходного кода.

Пример расчета диода Ганна. Выберем параметры такими:

Длина кристалла – 3 мкм;

Число шагов по длине – 200;

Начало переходной области – 10;

Конец переходной области – 20;

Частота внеш. напряжения – 35 ГГц;

Амплитуда внеш. напряжения – 2 В;

Смещение нуля – 4 В;

Время наблюдения – 4 пс.

На иллюстрации приведены некоторые графики,расчитанные программой. Тут хорошо заметны процессы разогревания электроновэлектрическим полем и образование доменов. График салатного цвета – импульстока, движущийся от катода к аноду. Если наблюдать эти процессы в динамике,станет видно, что сначала скорость электронов и сила тока растут, и домен,уплотняясь, движется к аноду. Достигнув своей максимальной плотности но еще недойдя до анода, домен начинает распадаться, «втягиваясь» в анод. Потом процессповторяется циклически.