Расчёт на прочность, стойкость и устойчивость элементов

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине «Сопротивление материалов»

Расчёт на прочность, стойкость и устойчивость элементов

Объектами расчета являются стержни, балки.

Цели работы: практический расчет на прочность и жесткость элементов конструкции, работающих на растяжение и сжатие, изгиб. В процессе работы из условия прочности и жесткости определяются требуемые размеры различных вариантов поперечного сечения элементов конструкций и выбираются наиболее рациональные с точки зрения минимального веса поперечного сечения.

Содержание

Введение

Задача 1. Расчет статически не определимых систем, работающих на растяжение сжатие

Задача 2. Определение геометрических характеристик поперечного сечения бруса

Задача 3. Расчет на прочность и жесткость статических определимых балок при плоском изгибе

Задача 4. Расчет на прочность и жесткость статических определимых балок при плоском изгибе

Задача 5. Расчет на прочность и жесткость статических определимых балок при плоском изгибе

Введение

Все твердые тела в той или иной мере обладают свойствами прочности и жесткости, то есть, способны в определенных пределах воспринимать воздействие внешних сил без разрушения и без существенного изменения геометрических размеров.

Сопротивление материалов, с одной стороны, - наука о прочности и жесткости элементов конструкции. Методами сопротивления материалов ведутся практические расчеты и определяются необходимые, надежные размеры деталей машин и различных строительных сооружений. С другой стороны сопротивление материалов – вводная учебная дисциплина, дающая основы расчета на прочность.

Основные положения сопротивления материалов опираются на законы и теоремы общей механики и в первую очередь на законы статики, без знаний которых изучение курса сопротивления материалов бессмысленно.

Задача сопротивления материалов заключается не только в том, чтобы выявить внутренние особенности изучаемых объектов, но также и в том, чтобы в дальнейшем можно было дать полученным закономерностям правильное толкование при оценке работоспособности и практической пригодности рассматриваемой конструкции. В математической теории упругости этот вопрос совершено не затрагивается.

Методы сопротивления материалов не остаются постоянными. Они изменяются с возникновением новых задач и новых требований практики. При внедрении инженерных расчетов методы сопротивления материалов следует применять творчески и помнить, что успех практического расчета лежит не столько применение сложного математического аппарата, сколько в умение вникать в существо исследуемого объекта, найти наиболее удачное упрощение предложения и довести расчет до окончательного числового результата.

Задача №1

Расчёт статически неопределимых систем, работающих на растяжение и сжатие

Цель: из условий прочности и жесткости подобрать безопасные диаметры ступеней жестко защемленного стержня переменного сечения, нагруженного сосредоточенными силами.

Дано:

Р₁= 8Кн.

Р₂= 6 Кн.

Р₃= 6 Кн.

ℓ₁= 0,6 м.

ℓ₂= 0,8 м.

ℓ₃ 0,4 м.

ℓ₄= 0,5 м.

G_Т=140 мПа.

Е=1.010⁵ мПа.

Порядок расчета:

1. Вычертить в масштабе расчетную схему.

2. Раскрыть статическую неопределимость стержня.

3. Составить уравнение совместности деформации.

4. Вычислить нормальные силы N_i и построить их эпюру.

5. Вычислить приведенные нормальные напряжения σ_i и построить их эпюру.

6. Вычислить диаметр стержня d_пр из условия прочности.

7. Определить F стержня.

8. Определить напряжения σ_i.

9.Найти величину продольной деформации на каждом участке и построить эпюру перемещений.

2. Раскрываем статическую неопределимость стержня

∑Z=0, -R_A+8+6+6 =0

ССИ=3-1=2.

3. Составим уравнение совместимости деформации.

Δℓ₁+Δℓ₂+Δℓ₃+Δℓ₄=U₍₄₎ – расписываем по закону Гука.

4. Вычислим нормальные силы N_i.

Для чего составим совместное решение уравнение статики и динамики:

R_A=x-8-6-6=x-20

N₁= R_A=x-20

N₂= R_A-8=x-28

N₃= R_A-8-6=x-34

N₄= R_A-8-6-6=x-40

Тогда УСД:

R_A=9,6 кН

N₁=9,6 кН

N₂=1,6 кН

N₃=-4,4 кН

N₄=-10,4 кН

5. Вычислим приведенные нормальные напряжения.

6. Определяем диаметр из условия прочности.

7. Определяем площадь поперечного сечения стержня.

8. Определяем напряжение.

9. Найдем смешение сечений.

Задача №2

Определение геометрических характеристик поперечного сечения бруса

Цель: определить основные моменты сопротивления (при изгибе) составного поперечного сечения с одной осью симметрии.

Дано:

К₁ = 3

К₂ = 3

в = 3

h = 3

Порядок расчета:

1. Вычертить в масштабе поперечное сечение

2. Разбить сечение на элементарные части и пронумеровать их. Вычислить главные моменты инерции поперечного сечения Yxo, Yyo

3. Выбрать вспомогательную ось и вычислить относительно этой оси расстояние до центра тяжести сечения Ус.

4. Определяем главные моменты инерции заданного сечения бруса относительно главных центральных осей

5. Вычислить моменты сопротивления при изгибе

1. Вычерчиваем в масштабе поперечное сечение бруса

2. Разбиваем сечение на элементарные части и пронумеровываем их.

3. Определяем центр тяжести заданного сечения:

4. Определяем главные моменты инерции заданного сечения бруса относительно главных центральных осей

оси Х

, где

оси У

5. Определяем моменты сопротивления при изгибе

Задача №3

Расчёт на прочность и жёсткость статически определимых балок при плоском изгибе

Цель: Построить эпюры поперечных сил Qи М изгибающего момента балки. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать для балки двутавровое, круглое, кольцевое (d/D=0,8), прямоугольное (h/b=2). Сравнить веса балок с подобранными поперечными сечениями.

Дано:

М=80 кНм

q=20 кНм

P=30 кНм

Материал Сталь 3

мПа

мПа

1. Находим реакции опор.

Проверка.

2. Составим математические выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента М на каждом участке и вычислим их значения.

I участок.

II участок.

III участок.

3. Подбираем сечения из условия прочности.

1. Прямоугольное сечение:

2. Круглое сечение:

3. Кольцевое сечение:

4. Двутавровое сечение:

Выбираем двутавр № 33 с W_x=597 мм³.

F=53,8 мм².

5. Сравниваем веса балок с подобранным поперечным сечениями:

Так как балки имеют одинаковую длину т материал, то сравнение весов аналогично сравнению поперечного сечения.

Наиболее экономичным является прямоугольное поперечное сечение , так как меньше по сравнению с остальными поперечными сечениями

Задача №4

Расчёт на прочность и жёсткость статически определимых балок при плоском изгибе

Цель: Построить эпюры поперечных сил Qи М изгибающего момента балки. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать для балки двутавровое поперечное сечение.

Дано:

Р=30 кН

М=80 кНм

q=20 кН/м

Материал Сталь 3

мПа

мПа

В данном случае удобнее рассматривать силы действующие справа от сечения, тогда опорные реакции в выражениях Q_y и M_x не войдут, и для построения эпюр Q_y и M_x отпадает необходимость в определении реакции.

1. Составим математические выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента М на каждом участке и вычислим их значения.

I участок.

II участок.

3. Подбираем сечения из условия прочности.

Двутавровое сечение:

Выбираем двутавр №60 с W_x=2800х10³ мм³.

Из условий прочности по касательным напряжениям проверяем размеры двутавра:

Вывод: балка с двутавровым сечением №60 соответствует условию прочности по касательным напряжениям.

Задача №5

Расчёт на прочность и жёсткость статически определимых балок при плоском изгибе

Цель: Построить эпюры поперечных сил Qи М изгибающего момента балки. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать для балки двутавровое поперечное сечение.

Дано:

М=60 кНм

q=15 кН/м

Материал Сталь 3

мПа

мПа

1. Находим реакции опор.

Проверка.

2. Составим математические выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента М на каждом участке и вычислим их значения.

I участок.

II участок.

3. Подбираем сечения из условия прочности.

Двутавровое сечение:

Выбираем двутавр №18 с W_x=1430х10³ мм³.

Определяем перемещение балок при изгибе методом начальных параметров по формуле

При z=6

При z=2

Определяем угол поворота по формуле

Определяем прогиб балки по формуле

При Уz=2

При Уz=6

Следовательно, условие выполняется