Определение оптимального плана перевозок

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА ПЕРЕВОЗОК

(ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА)

Цель работы

1. Познакомиться с общей постановкой транспортной задачи.

2. Решить задачу методом северо-западного угла

3. Решить задачу методом потенциалов

4. Дать анализ результатов расчетов

Постановка транспортной задачи

Пусть в пунктах А₁, А₂,…,А_mпроизводится некоторая однородная продукция. Таким образом, имеется mпоставщиков А_i, где =. Объем производства в пункте А_iсоставляет a_i единиц. Величину a_iназывают мощностью поставщика, а - суммарной мощностью всех поставщиков. Допустим, что выпускаемая продукция потребляется в пунктах В₁, В₂, …, В_n, причем в пункте В_j, составляет b_jединиц продукции. Величина b_j называется емкостью (спросом) потребителя В_j , где . Общий объем потребления (суммарная емкость) составляет .

В практике встречаются два типа транспортных задач.

1. Объем производства совпадает с объемом потребления, то есть

=.

Такой тип задач называется закрытыми транспортными задачами.

2. Объем производства не совпадает с объемом потребления, то есть

.

Такой тип задач называется закрытыми транспортными задачами.

Рассмотрим принцип решения закрытой транспортной задачи (1 тип).

При этом предполагается:

- от каждого поставщика возможна перевозка к любому потребителю;

- стоимость перевозки единицы продукции от поставщика А_i к потребителю В_j известна и составляет C_ijденежных единиц. ( В некоторых случаях вместо стоимости перевозки может быть указано расстояние от А_i до В_j .)

Условия задачи могут быть записаны в виде таблицы 1.

Таблица 1.

В задаче требуется разработать план перевозок, обеспечивающий с наименьшими транспортными затратами запросы всех потребителей при условии, что предложения и спрос будут сбалансированы.

Пусть объем перевозок из пункта А_i в пункт В_j ( от i– го поставщика к j– му потребителю) будет равен Х_ij. Тогда целевая функция будет равна

Z= (1)

В то же время должны выполняться условия (ограничения):

, i=; (2)

, j=; (3)

; (4)

X_ij0, i=, j=. (5)

В равенствах (2) и (3) имеется m+n уравнений с mn неизвестными, причем одно из них есть следствие других в силу того, что . Следовательно, в равенствах (2) и (3) будет m+n-1 линейно независимых уравнений и каждая программа (план0 перевозок должна содержать не более чем m+n-1 положительных перевозок.

Принимаем условие, что клетки табл. 1. в которых объем перевозок Х_ij не равен нулю, называть базисными, а в которых Х_ij=0 – свободными. Элементы таблицы перевозок C_ij называть показателями критерия оптимальности, а совокупность C_ijХ_ij – планом перевозок.

Транспортная задача относится к задачам линейного программирования, ее решение может быть осуществлено различными методами, наиболее распространенными из них являются: метод «северо-западного угла», распределенный метод и метод потенциалов.

Решение транспортной задачи методом потенциалов

Метод потенциалов решения транспортной задачи основан на выборе некоторого исходного варианта прикрепления поставщиков к потребителям и последовательном его преобразовании вплоть до получения оптимального варианта.

Рассмотрим применение метода потенциалов на конкретном производственном примере составления оптимального плана перевозок. Пусть имеется три оптовых базы, которые поставляют сырье для пяти производственных предприятий. Условия задачи представлены в табл.2. Себестоимость перевозки сырья представлена в условных единицах.

Требуется найти такой план перевозок, чтобы общая стоимость транспортных затрат была минимальной.

Таблица 2.

Руководствуясь здравым смыслом, прикрепим поставщиков к потребителям следующим образом.

Таблица 3.

В клетках, в которых записаны поставки (базисные клетки), показатели критерия оптимальности обведены кружком, чтобы облегчить ориентацию в таблице. Получившийся план перевозок отвечает одному из условий – вся мощность поставщиков (оптовых баз) полностью распределена, весь спрос потребителей (предприятий) полностью удовлетворен.

Стоимость транспортных работ:

Z=224+381+73+202+82+104+304=363 у.е.

Этот план является допустимым, однако является ли он оптимальным, насколько оправдал себя здравый смысл, утверждать трудно.

При перераспределении поставок составляются цепи, для которых характерны следующие особенности:

1. цепь является замкнутым многоугольником;

2. вершинами цепи являются клетки таблицы, причем одна из вершин –свободная, а все остальные базисные;

3. все углы цепи являются прямыми, каждый отрезок цепи, ограниченный двумя вершинами, принадлежит к одному столбцу или к одной строке таблицы;

4. цепь всегда имеет четное число вершин;

5. отрезки цепи могут проходить через базисные клетки, не являющимися вершинами данной цепи, при этом объемы перевозок в таких клетках не изменяются.

Вершины, в которых поставка при распределении увеличиваются, отмечают плюсом и называют положительными вершинами, а если поставка уменьшается, отмечают минусом и считают отрицательными.

На рисунке 1 представлен пример составления элементарной цепи, где три базисные клетки обозначены кружками, а одна свободная – квадратом. При перераспределении поставок по данной цепи получается следующий результат.

Пусть А₂ будет поставлять 1 т сырья в пункт В₁ , тогда необходимо уменьшить поставки на 1 т из А₁в В₁ и из А₂ в В₂ и увеличить из А₁ в В₂ , чтобы выполнялось условие равенства запаса сырья в базах и спроса предприятий. Уменьшая или увеличивая поставки, тем самым уменьшаем или увеличиваем значение целевой функции Z. Цепь дает возможность установить, насколько изменится стоимость транспортировки при записи поставки в 1 т , в ту клетку цепи, которая была свободной.

Рисунок 1. Пример построения цепи к свободной клетке А₂ - В₁

Алгебраическую сумму показателей C_ij в вершинах цепи называем характеристикой цепи. Следовательно, в представленном примере

Е= – 4 +2 +1 – 3= – 4.

Следовательно, изменение поставок по данной цепи на 1 т уменьшает значение Zна 4 у.е.

Суть метода потенциалов заключается в том, что проверки допустимого плана на оптимальность особым образом определяются числа, называемые «потенциалами», при помощи которых достаточно просто вычисляются характеристики цепей к свободным клеткам. Единственное требование к потенциалам – каждый показатель критерия оптимальности базисной клетки должен быть равен алгебраической сумме потенциалов строки и столбца.

Потенциалы строк и столбцов определяются следующим образом. В табл. 3 произвольно принимается потенциал строки А₁ равным 3 (может быть принято и любое другое число). В строке А₁ находятся две базисные клетки, показатели C_ij, которых равны 4 и 1. Тогда потенциал столбца В₁ равен 4-3=1, а В₂ 1 – 3 = – 2. В столбце В₂ находится еще одна базисная клетка, в которой C_ij=3, следовательно, потенциал строки А₂ равен 3 – (–2) =5, тогда потенциалы столбцов В₃ и В₄ равны соответственно 2 – 5 = – 3, строки А₃ = 7 и столбца В₅ = – 3 .

Обозначив потенциалы строк через u_i , потенциалы столбцов v_j, а показатели оптимальности в базисных клетках через C_ij , можно записать

C_ij= u_i+v_j; u_i= C_ij - v_j; v_j = C_ij - u_i (6)

Характеристики цепей к свободным клеткам обозначимЕ_ij. Зная потенциалы их строк и столбцов,

Е_ij = C_ij– (u_i+v_j) . (7)

Если показатель C_ij меньше алгебраической суммы потенциалов строки и столбца, то характеристика Е_ij будет отрицательной. Перераспределение поставок по цепи к этой клетке уменьшает целевую функцию на величину характеристики (в расчете на единицу перераспределяемой продукции). Наоборот, если показатель C_ij больше алгебраической суммы потенциалов строки и столбца, то характеристика Е_ij будет положительной и перераспределение по цепи к этой клетке увеличит значение целевой функции.

Если же характеристик Е_ij будет равна нулю, то перераспределение поставок по данной цепи не изменит значения целевой функции. Для базисных клеток характеристики равны нулю.

Продолжая решение задачи, условие которой представлено в табл.3, определим характеристики свободных клеток:

Е₁₃ = 3; Е₁₄ = 4; Е₁₅ = 4; Е₂₁ = – 4; Е₂₅ = 3 –(5+( – 3)) =1;

Е₃₁ = – 5; Е₃₂ = 0; Е₃₃ = – 2.

Видно, что отрицательных характеристик три: А₂ - В₁ , А₃ - В₁ и А₃ – В₃ . Наибольшая по абсолютной величине отрицательная характеристика в А₃ - В₁ , которая составляет – 5. перераспределим поставки по цепи к этой клетке. Для этого составим цепь с вершинами: А₁ - В₁,А₁ – В₂,А₂ – В₂ ,А₂ – В₄, ,А₃ – В₄ ,

А₃ - В₁. Положительными вершинами в этой цепи будут А₃– В₁, ,А₁ – В₂, ,А₂ – В₄ (так как увеличение поставок в этих клетках приводит к уменьшению значения целевой функции), а остальные отрицательными.

Наименьшая по величине поставка в отрицательных вершинах цнпи равна 7 (в А₂ – В₂). Прибавляем по 7 к объемам поставки в положительных вершинах и вычитаем из поставок в отрицательных также по 7. Получившийся план перевозок записываем в таблицу 4 и определяем новые потенциалы, произвольно приняв потенциал строки А₁ равным 1. Значение целевой функции при новом плане поставок будет на 75=35 у.е. меньше, т.е.:

Z=363 – 35=328 у.е.

Характеристики свободных клеток для вновь созданного плана будут следующими:

Е₁₃ = -2; Е₁₄ = -1; Е₁₅ = -1; Е₂₁ = 1; Е₂₂ =5; Е₂₅ =1;

Е₃₂ = 5; Е₃₃ = – 2.

В таблице 4 отрицательных характеристик свободных клеток четыре: А₁ – В₃,А₁ – В₄,А₁ – В₅ ,А₃ – В₃. Перераспределим поставки по цепи к любой из этих клеток, допустим к А₁ – В₅, по цепи: А₁ – В₅, А₃ – В₅, А₃ – В₁, А₁ – В₁. Положительные вершины цепи А₁ – В₅ и А₃ – В₁, а отрицательные А₃ – В₅ и А₁ – В₁, минимальная поставка равна 15 от поставщика А₁ к потребителю В₁, т.е. А₁ – В₁ (таблица 4/1).

Таблица 4.

Таблица 4/1.

Прибавляем по 15 к поставкам в положительных вершинах и отнимаем по 15 в отрицательных вершинах цепи. Получившийся план перевозок представлен в таблице 5.

Значение целевой функции при новом плане:

Z=328 – 151 =313 у.е.

Аналогично определяем потенциалы строк и столбцов и рассчитываем характеристики цепей к свободным клеткам:

Е₁₁ = 1; Е₁₄ = 0; Е₁₃ = -1; Е₂₁ = 1; Е₂₂ =4; Е₂₃ =1;

Е₃₂ = 4; Е₃₃ = – 2.

Таблица 5.

Принимаем перераспределение поставок по цепи к А₃ – В₃, т.к. характеристика данной клетки отрицательная и наибольшая по абсолютному значению. Составляем цепь перераспределения: А₃ – В₃, А₂ – В₃ , А₃ – В₄ , А₃ – В₄ (таблица 5/1).

Таблица 5/1.

Минимальная поставка в отрицательных вершинах (А₃ – В₄) равна 3. Получившийся план перевозок представлен в таблице 6.

Значение целевой функции при новом плане:

Z=313 – 32=307 у.е.

Аналогично определяем потенциалы строк и столбцов и рассчитываем характеристики цепей к свободным клеткам:

Е₁₁ = 1; Е₁₄ = 2; Е₁₃ = 1; Е₂₁ = -1; Е₂₂ =2; Е₂₅ = -1;

Е₃₂ = 4; Е₃₄ = 2.

Отрицательными характеристиками обладают две клетки: А₂ – В₁ и А₂ – В₅. Произведем поставку 17 т из А₂в В₁ (таблица 7).

Таблица 6.

Таблица 7.

При таком плане перевозок значение целевой функции:

Z=307 – 17=209 у.е.

Характеристики цепей к свободным клеткам:

Е₁₁ = 1; Е₁₄ = 2; Е₁₃ = 1; Е₂₂ = 3; Е₂₃ =2; Е₂₅ = 0;

Е₃₂ = 4; Е₃₄ = 1.

Таким образом, в данном плане перевозок нет ни одной отрицательной характеристики. Нулевая оценка клетки А₂ – В₅ указывает на то, что данную программу можно изменить так, что эта клетка станет базисной, но при этом получится равноценный план с той же величиной затрат.

Отсутствие отрицательных характеристик свидетельствует о том, что нельзя построить цепей, перемещение поставок по которым уменьшит значение целевой функции. Значит, распределение является оптимальным. Задача решена.

Оптимальный план перевозок даст снижение стоимости перевозок по сравнению с исходным:

%.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №2

Таблица 1.

Таблица 2.