Матрицы. Дифференциальные уравнения

ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Определение. Вектором называется направленный отрезок прямой. Точка называется началом вектора , а точка – его концом (рис. 1).

Обозначения: , .

Определение. Длина вектора называется его модулем и обозначается , .

Определение. Координатами вектора называются координаты его конечной точки. На плоскостиOxy; в пространствеOxyz.

Определение. Суммой и разностью векторов и являются соответственно векторы

;

;

произведение вектора на число l есть вектор

.

Определение. Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

(на плоскости);

(в пространстве).

Определение. Расстояние d между двумя точками A и Bможно рассматривать как длину вектора , т.е.

(на плоскости);

(в пространстве).

Определение. Если два вектора и перпендикулярны, то

(на плоскости);

(в пространстве).

Определение Вектор Xназывается собственным вектором линейного оператора A(матрицы A), если найдется такое число l, что AX=lX.

Число l называется собственным значением оператора A, заданного матрицей A, т.е. собственные значения находятся из характеристического уравнения .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение Обыкновенное дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее искомую функцию одной переменной и производные различных порядков данной функции.

Определение Порядок старшей производной – порядок дифференциального уравнения.

Определение Решение дифференциального уравнения – такая функция y=y(x), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Определение Задача нахождения решения дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения.

Определение Общее решение дифференциального уравнения n- го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменной x и n постоянных. Частное решение при конкретных значениях .

Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

.

Определение Д.у. первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде

.

(Для решения используется замена t=y/x)/

Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

(линейное неоднородное).

(Сначала решаем уравнение - линейное однородное, находим y и подставляем в исходное).

Определение Уравнение вида

называется уравнением Бернулли.

(Для решения используется замена ).

Линейные однородное д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами

ОпределениеЛинейные однородные д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

=0

(Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение ).

Теорема 1) Пусть характеристическое уравнение имеет действительные корни l₁ и l₂, причем . Тогда общее решение уравнения имеет вид

(С₁, С₂ – некоторые числа).

2) Если характеристическое уравнение имеет один корень l (кратности 2),то общее решение имеет вид

(С₁, С₂ – некоторые числа).

3) Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то общее решение имеет вид

, где

, С₁, С₂ – некоторые числа.

НЕОБХОДИМЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О КАСАТЕЛЬНОЙ

Общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y=kx+b

(k=tgj коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой)

Если две прямые y=k₁x+b₁ и y=k₂+b₂ параллельны, то k₁=k₂.

Если две прямые y=k₁x+b₁ и y=k₂+b₂ перпендикулярны, то k₁*k₂=-1.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении(известен коэффициент k):

Пусть прямая проходит через точку M₁(x₁;y₁) и образует с осью Ox угол

y-y₁=k(x-x₁)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M₁(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂):

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x₀ примет вид

y-f(x₀)=f¢(x₀)(x-x₀)

Геометрический смысл производной:

f¢(x₀)=k=tga

(производная f¢(x₀) есть угловой коэффициент(тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x₀)

МАТРИЦЫ

Определение: Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрица размера mn:

.

Виды матриц

Определение: Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)- столбцом.

Пример:

; .

Определение: Матрица называется квадратнойn-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Пример:

- квадратная матрица третьего порядка.

Определение: Элементы матрицы a_ij, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

Определение: Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Пример:

- диагональная матрица третьего порядка.

Определение: Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицейn-го порядка, она обозначается буквой E.

Пример:

- единичная матрица второго порядка;

- единичная матрица третьего порядка.

Определение: Матрица любого размера называется нулевой, если все элементы равны нулю.

Операции над матрицами

1. Умножение матрицы на число

Каждый элемент матрицы умножается на это число.

Пример:

, 0,5.

2. Сложение матриц

!!! Можно складывать матрицы только одинаковых размеров.

Матрицы складываются поэлементно.

Пример:

.

3. Вычитание матриц

!!! Можно вычитать матрицы только одинаковых размеров.

Матрицы вычитаются поэлементно.

Пример:

.

4. Умножение матриц

!!! Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением матрицы называется такая матрица , каждый элемент которой c_ijравен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

5. Возведение в степень

Целой положительной степенью А^m (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц равных А, т.е.

.

Пример:

, найти А².

6. Транспонирование матрицы

Транспонированная матрица – матрица, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Обозначается .

Пример:

.

Обратная матрица

Определение: Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица, т.е.

.

!!! Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (т.е. определитель матрицы отличен от нуля).

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Находим определитель матрицы, т.е..

2. Находим транспонированную матрицу , т.е..

3. Находим присоединенную матрицу, т.е (матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы).

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле .

5. Проверяем правильность вычисления, исходя из определения обратной матрицы.

Ранг матрицы

Определение: Ранг матрицы – это наивысший порядок, отличных от 0, миноров матрицы.

!!! Чтобы найти ранг матрицы нужно сначала привести матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду (все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны 0).

Элементарными называются следующие преобразования матриц:

1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами строк (столбцов) матрицы;

4) отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

На практике часто сталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей.

Пусть зависимость между двумя переменными xи y выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.

Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными xи y, т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости yот x, исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы y=f(x) – эмпирическая формула.

Задача нахождения эмпирической формулы разбивается на два этапа:

- устанавливается вид зависимости y=f(x), т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой (в нашей задаче зависимость линейная - y=ax+b);

- определение неизвестных параметров этой функции по методу наименьших квадратов, согласно которому, в качестве неизвестных параметров функции f(x) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов отклонений «теоретических» значений f(x_i), найденных по эмпирической формулеy=f(x), от соответствующихопытных значений была минимальной, т.е.

(в нашей задаче ).

В результате решения такой экстремальной задачи с помощью частных производных:

,

получаем систему нормальных уравнений, из которой находим параметры aиbлинейной зависимости:

.

НЕОБХОДИМЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка F¢(x)=f(x).

Определение: Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается , т.е.

.

Формула Ньютона-Лейбница (для вычисления определенных интегралов):

Формула для вычисления дифференциала функции y=f(x):

dy=f¢(x)dx.

Некоторые свойства неопределенного и определенного интегралов:

Н.и. , где с – некоторое число,

О.и., где с – некоторое число;

Н.и.,

О.и..

!!! Неопределенный интеграл находится приведением интеграла к табличному (сумме табличных) с помощью этих двух свойств или с помощью таких приемов, как методы интегрирования заменой переменных и по частям.

Формула замены переменной в неопределенном интеграле:

, где - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Формула замены переменной в определенном интеграле:

, где - функция имеет непрерывную производную на отрезке [a,b].

Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле:

,

где u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции переменной х.

При этом

Постоянную С в выражении для v в формуле интегрирования по частям полагают равной 0.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:

,

где u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие непрерывные производные на отрезке [a,b].

Табличные интегралы

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Определение. Пусть дана квадратная матрица второго порядка

.

Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое по правилу:

.

Определение. Пусть дана квадратная матрица третьего порядка

.

Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называют число, получаемое по правилу:

.

Для того, чтобы запомнить, какие произведения в правой части соотношения следует брать со знаком “+”, какие – со знаком “–”, полезно следующее графическое правило, называемое правилом треугольников:

– со знаком “+”; – со знаком “–”.

ПРЕДЕЛЫ

Основные понятия и определения

Определение: Функция называется бесконечно малой величиной (БМВ) при или при , если ее предел равен нулю:

.

Свойства бесконечно малых величин:

- алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;

- произведение БМВ на ограниченную функцию есть БМВ;

- частное от деления БМВ на функцию, предел которой отличен от 0, есть БМВ.

Определение: Функция называется бесконечно большой величиной (ББВ) при или при , если ее предел равен бесконечности.

!!! Если - БМВ при или при , то функция является ББВ при или при . Верно и обратное утверждение.

Свойства бесконечно больших величин:

- сумма ББВ и ограниченной функции, есть ББВ;

- произведение ББВ на функцию, предел которой отличен от 0 есть ББВ;

- частное от деления ББВ на функцию, имеющую предел, есть ББВ.

Основные теоремы о пределах

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций.

3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.

4. Предел постоянной величины равен этой постоянной.

5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен 0).

6. Если .

Виды неопределенностей

.

!!! Основной задачей при вычислении пределов является устранение неопределенностей с помощью алгебраических преобразований.

1) для неопределенности вида :

- Если в числителе и знаменателе сложные степенные или показательные функции и . Вычисление пределов в случае отношения степенных функций производится путем вынесения за скобку в числителе и знаменателе дроби переменной xв наибольшей степени среди всех слагаемых дроби (неопределенность устраняется после сокращения дроби и применения основных теорем о пределах); в случае показательных функций за скобку выносится наибольшее слагаемое.

- Правило Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле, т.е.

.

2) для неопределенности вида :

- Если возможно, то числитель и знаменатель разложить на множители. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.

- Числитель и знаменатель дроби домножить на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.

Формулы сокращенного умножения:

(a-b)(a+b)= a²-b²

(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³

- Правило Лопиталя.

3) для неопределенности вида [0]:

- Выражение, представляющее собой произведение функций, нужно преобразовать в частное (не меняя смысла). После чего неопределенность преобразуется к виду или .

4) для неопределенности вида []:

- Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой сумму или разность дробей, то неопределенность или устраняется, или приводится к типу после приведения к общему знаменателю.

- Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой разность или сумму иррациональных выражений, то неопределенность или устраняется, или приводится к типу путем домножения и деления функции на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.

5) для неопределенности вида []:

- Выражение, стоящее под знаком предела представляет собой степенно-показательную функцию (в основании которой необходимо выделить целую часть дроби). Неопределенность устраняется при помощи выделения второго замечательного предела.

Формула второго замечательного предела:

; .

ПРОИЗВОДНАЯ

Определение: Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к 0 (если этот предел существует):

Если функции u(x) и v(x) дифференцируемые, то справедливы следующие правила дифференцирования:

(u+v)¢=u¢+v¢

(u-v)¢=u¢-v¢

(uv)¢=u¢v+uv¢

(cu)¢=cu¢

Производные основных элементарных функций:

(c)¢=0; (x)¢=1

СУММЫ ПРОГРЕССИЙ,

ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Арифметическая прогрессия

,где d – разность;

.

Геометрическая прогрессия

;

.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

;

Значения тригонометрических функций

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ y=f(x) И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА

Схема исследования:

1. Найти область определения функции (ООФ – значения переменной х, при которых функция существует).

2. Исследовать функцию на четность – нечетность:

Если f(-x)=f(x), то функция четная (график симметричен относительно оси Оy).

Если f(-x)=-f(x), то функция нечетная (график симметричен относительно начала координат).

3. Найти вертикальные асимптоты.

!!! Вертикальные асимптоты х=х₀ следует искать в точках разрыва функции y=f(x) или на концах ее области определения (a,b), если aиb - конечные числа.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х®х₀-0 (слева) или х®х₀+0 (справа) – равен бесконечности, т.е. limf(x)=или limf(x)=. Тогда прямая х=х₀является вертикальной

х®х₀-0 х®х₀+0

асимптотой графика функции y=f(x).

4. Найти горизонтальные асимптоты (исследовать поведение функции в бесконечности).

Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции limf(x)=b.

Тогда прямая y=b есть Х

горизонтальная асимптота графика функции y=f(x).

Замечание. Если конечен только один из пределов limf(x)=b_л

или Х

limf(x)=b_п, то функция имеет левостороннююy=b_л

или правостороннюю Х

y=b_п горизонтальную асимптоту.

5. Найти наклонную асимптоту.

Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы функции limи lim[f(x)-kx]=b

Х Х

Тогда прямая y=kx+b является наклоннойасимптотой графика функции y=f(x).

!!! Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.

6. Найти экстремумы (максимум, минимум) и интервалы монотонности (возрастание, убывание) функции.

- найти производную функции (разложить ее на множители) и приравнять ее к 0, т.е. ;

- найти корни этого уравнения и точки, в которых производная не существует (критические точки);

- исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции (найти ординаты точек экстремума!);

- на промежутке, где - функция возрастает; на промежутке, где - функция убывает.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

!!! Уравнение оси Ох: y=0.

Уравнение оси Oy: х=0.

8. Используя результаты исследования, построить график функции.