Решение задачи о кратчайшем маршруте

Решение задачи о кратчайшем маршруте методом Форда

1. Постановка сетевой транспортной задачи.

На практике часто встречается задача определения кратчайшего маршрута по заданной сети из начального пункта до конечного пункта маршрута. Транспортная сеть может быть представлена в виде графа (рис.1), дуги которого - транспортные магистрали, а узлы - пункты отправления и назначения. Графически транспортная сеть изображается в виде совокупности n пунктов P₁,P₂,...,P_n, причем некоторые упорядоченные пары (P_i,P_j) пунктов назначения соединены дугами заданной длинны r(P_i,P_j)=l_ij. Некоторые или все дуги могут быть ориентированы, т.е. по ним возможно движение только в одном направлении, указанном стрелками.

На рис.1 построена ориентированная транспортная сеть, содержащая шесть пунктов P₁,P₂,...,P₆, которые связаны между собой восьмью транспортными путями.

Необходимо определить кратчайший маршрут из пункта P₁в P₆. Определение кратчайшего маршрута состоит в указании последовательности прохождения маршрута через промежуточные пункты и суммарной длинны маршрута.

Например маршрут из пункта P₁в пункт P₆: P₁P₂P₄P₆; L=l₁₂+l₂₄+l₄₆=10.

Постановка задачи приобретает смысл в том случае, если имеется несколько вариантов маршрута из начального пункта в конечный. В этом случае физический смысл функции цели задачи состоит в минимизации общей длинны маршрута, т.е. в определении кратчайшего пути из P₁в P_n.

2. Описание метода и алгоритма решения.

Метод Форда бал разработан специально для решения сетевых транспортных задач и основан, по существу, на принципе оптимальности.

Алгоритм метода Форда содержит четыре этапа (схема 1). На первом этапе производится заполнение исходной таблицы расстояний от любого i-го пункта в любой другой j-й пункт назначения. На втором этапе определяются для каждого пункта некоторые параметры l_iи l_j по соответствующим формулам. Далее на третьем этапе определяются кратчайшие расстояния. Наконец, на четвертом этапе определяются кратчайшие маршруты из пункта отправления Р₁ в любой другой пункт назначения Р_j, j=1,2,...,n.

Рассмотрим подробнее каждый из этих четырех этапов.

2.1 Первый этап: Составление исходной таблицы расстояний.

Данная таблица содержит n+1 строк и такое же количество столбцов; P_i- пункты отправления; P_j - пункты назначения. Во второй строке и втором столбце проставляется значения параметров l_iиl_j, определение значений которых производятся на втором этапе решения задачи. В остальных клетках таблицы проставляются значения расстояний l_ijиз i-го пункта в j-й пункт. Причем заполняем клетки таблицы, лежащие выше главной диагонали. Если пункт P_i не соединен отрезком пути с пунктом P_j, то соответствующая клетка таблицы не заполняется.

2.2 Второй этап: Определение l_i и l_j.

Определяется значение параметров в соответствии с формулой:

l_j=min(l_i+l_ij); i=1,2,...,n; j=1,2,...,n, (1)

где l₁=0.

Эти значения заполняются во второй строке и во втором столбце.

2.3 Третий этап: Определение длинны кратчайших путей.

Возможны два случая определения длинны кратчайших путей из пунктов Pi в пункты P_j, i=1,2,...,n; j=1,2,...,n.

В первом случае, если выполняются неравенство:

l_j - l_i£ l_ij; l_ij¹0; j=1,2,...,n; j=1,2,...,n, (2)

то значения параметров l₁,...,l_n удовлетворяют условиям оптимальности. Каждое значение l_j есть не что иное, как кратчайшее расстояние от пункта P_i до пункта P_j, j=2,3,...,n.

Во втором случае, если для некоторых клеток (i,j) таблицы имеет место неравенство:

l_j - l_i > l_ij; i=1,...,n; j=1,...,n, (3)

то значения l_jиl_iмогут быть уменьшены.

Если справедливо (3), тогда исправим значение l_j0, пересчитав его по формуле:

l¢_j0=l_i0+l_i0j0. (4)

2.4 Четвертый этап: Нахождение кратчайшего пути.

Определения последовательности пунктов кратчайшего маршрута. С этой целью для каждого столбца определяют величину:

l_r1,j = l_j - l_r1, (5)

где l_r1,jберется из таблицы, причем l_r1 выбирается так, чтобы выполнилось равенство (5). Таким образом определим r1. Далее продолжим ту же операцию, но будем считать, последней не P_n, а P_r1. Будем продолжать до тех пор, пока r_n=1.

Таким образом кратчайший маршрут проходит через P_r1,P_r2,...,P_rn, а длинна маршрута Lmin=l_r2,r1+l_r3,r2+...+l_rn-1,rn.

3. Описание программы.

Программа “FORD” написана на языке высокого уровня - Pascal, в интегрированной среде разработки “Turbo Pascal 7.0” фирмы Borland Inc.

Программа предназначена для нахождения кратчайшего пути в сетевом графе по методу Форда. Программа легка в использовании, что достигается за счет использования дружественного интерфейса и иерархического меню. Вначале программы производится ввод данных, затем нахождение кратчайшего маршрута и вычисление его длинны, далее выводится результат. Вывод результатов возможен как в файл, так и на экран.

В программе предусмотрена возможность повторного решения задачи с другими исходными данными.

4. Описание подпрограмм и процедур.

Подпрограммы и функции.

4.2 Таблица идентификаторов.

5. Примеры решения контрольных задач.

Исходная таблица расстояний для одного из вариантов ранжированного графа:

После обработки таблицы с заданными исходными данными, программа выдает следующие результаты:

- кратчайший маршрут: 1-2-4-6

- длинна кратчайшего маршрута: 10

Исходная таблица расстояний для одного из вариантов не ранжированного графа:

После обработки таблицы с заданными исходными данными, программа выдает следующие результаты:

- кратчайший маршрут: 1-5-4-2-6

- длинна кратчайшего маршрута: 8

Программа работоспособна при любых других вариантах исходных данных.

6. Выводы.

Анализ алгоритма операций, необходимых при решении сетевой транспортной задачи методом Форда в заданной постановке подтверждает:

Достижение конечного результата производится в четыре этапа.

Каждый этап описывается простыми математическими операциями и может быть записан на одном из языков программирования.

Составлена программа на алгоритмическом языке высокого уровня “Pascal”, позволяющая решать задачу в диалоговом режиме, удобном для пользователя не программиста.

Алгоритм решения транспортной задачи методом Форда является универсальным, что позволяет производить расчёты как с ранжированными, так и с не ранжированными графами (примеры решения задачи приведены на странице 11).

Возможность реализаций для удобства работы пользователя в программе сервисной части.

Возможность неоднократного решения задачи методом Форда при различных исходных данных.

PROGRAM ford;

uses crt,graph;

const menu:array[0..4,1..6] of string =

(('Ввод данных','Решение задачи','Вывод результата',

'О методе','О программе','Выход'),

('Ввод данных','Просмотр данных','Назад','','',''),

('Экран','Файл','Назад','','',''),

('Клавиатура','Файл','Назад','','',''),

('Да','Нет','','','',''));

menuof:array[0..4] of byte =(6,3,3,3,2);

menugo:array[0..4,1..6] of byte = ((1,0,2,0,0,4), (3,0,0,0,0,0), (0,0,0,0,0,0), (0,0,1,0,0,0), (0,0,0,0,0,0));

name1='input.dat';

name2='output.dat';

xxx=140;

yyy=20;

xx1=10;

yy1=140;

messize=3;

col:array[16..31] of byte=(0,186,113,4,40,41,41,42,42,43,44,69,15,15,15,15);

title:array[0..messize] of string = ('АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ',

' ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ ', ' ', ' Метод Форда ');

type matr = array[0..20,0..20] of real;

coord = array [1..20,1..2] of real;

var mas:matr;

coord_point:coord;

i,j,t,m,n,z,x1,y1,x2,kk,iii,y2,x,y,lenth,chrus,z1,z2:integer;

k:array[1..20] of real;

result:array[1..20] of integer;

error_code:array[1..5] of byte;

fire1:array[1..yyy,1..xxx] of byte;

fire2:array[1..yyy,1..xxx] of byte;

mask:array[1..6] of byte;

starx:array[1..500] of word;

stary:array[1..500] of word;

starc:array[1..500] of byte;

aa,cc,pi1,s:real;

l,inputdata,calculatedata,move:boolean;

o:string;

temp,cursor,lastcursor,menulevel,nline,step:byte;

pressed:char;

f1,f2:text;

FUNCTION min:real;

begin

s:=0;

for i:=1 to n do

if (s=0) and (k[i]<>-1) then s:=k[i]

else if(k[i]<s) and (k[i]<>-1)

then s:=k[i];

min:=s;

end;

PROCEDURE set_graph_mode;

begin

z1:=installuserdriver('svga256',nil);

initgraph(z1,z2,'');

cleardevice;

end;

PROCEDURE pixel(x:word;y,col:byte);

begin

asm

mov bx,x

mov cl,y

mov dl,col

mov ax,0a000h

mov es,ax

mov al,0a0h

mul cl

add ax,ax

add bx,ax

mov [es:bx],dl

end;

end;

PROCEDURE install_firewall;

begin

for i:=1 to yyy do

for j:=1 to xxx do

begin

fire1[i,j]:=0;

fire2[i,j]:=0;

end;

end;

PROCEDURE fire;

begin

for i:=1 to yyy-1 do

for j:=1 to xxx do

begin

pixel(j*2+xx1,i*3+yy1,col[fire1[i,j]]);

pixel(j*2+xx1,i*3+yy1-1,col[fire1[i,j]]);

pixel(j*2+xx1,i*3+yy1-2,col[fire1[i,j]]);

end;

for j:=1 to xxx do

begin

kk:=random(8);

if kk<3 then fire1[yyy,j]:=16

else fire1[yyy,j]:=round(31-kk);

end;

for i:=yyy-1 downto 1 do

for j:=2 to xxx-1 do

begin

fire2[i,j]:=round((fire1[i+1,j]+fire1[i+1,j-1]+fire1[i+1,j+1]-random(4))/3);

if (fire2[i,j]<16) or (fire2[i,j]>31) then fire2[i,j]:=16;

end;

for i:=1 to yyy do

for j:=1 to xxx do

fire1[i,j]:=fire2[i,j];

end;

PROCEDURE ok;

begin

cleardevice;

setcolor(1);

rectangle(120,100,520,220);

rectangle(100,120,540,200);

setcolor(14);

outtextxy(180,130,'Опeрация произведена');

outtextxy(250,160,'корректно.');

repeat until keypressed;

end;

PROCEDURE notok;

begin

cleardevice;

setcolor(4);

rectangle(120,100,520,220);

rectangle(100,120,540,200);

setcolor(14);

outtextxy(180,130,'Опeрация произведена');

outtextxy(230,160,'не корректно.');

repeat until keypressed;

end;

PROCEDURE check_input_data;

begin

inputdata:=true;

for i:=1 to 5 do

error_code[i]:=0;

for i:=0 to n do

begin

if mas[i,1]<>-1 then error_code[1]:=1;

if mas[n,i]<>-1 then error_code[2]:=1;

if mas[i,i]<>-1 then error_code[3]:=1;

end;

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

if (mas[i,j]<>-1) and (mas[j,i]<>-1) then error_code[4]:=1;

if (mas[i,j]<0) and (mas[i,j]<>-1) then error_code[5]:=1;

end;

clrscr;

if error_code[1]<>0 then

writeln('Ошибка: Не существует истока.');

if error_code[2]<>0 then

writeln('Ошибка: Не существует стока.');

if error_code[3]<>0 then

writeln('Ошибка: Существует дуга из одной вершины в ту же вершину.');

if error_code[4]<>0 then

writeln('Ошибка: Существует две дуги из одной вершины в другую.');

if error_code[5]<>0 then

writeln('Ошибка: Существует дуга с отрицительной нагрузкой.');

for i:=1 to 5 do

if error_code[i]<>0 then inputdata:=false;

if (z<>0) or (round(n)<>n) or (n<2) or (n>20) then inputdata:=false;

calculatedata:=false;

end;

PROCEDURE keyboard_input;

begin

z:=0;

closegraph;

clrscr;

write('Введите колличество пунктов(2-20): ');

readln(o);

val(o,n,z);

if (z<>0) or (round(n)<>n) or (n<2) or (n>20) then check_input_data;

writeln(' Введите нагрузку. Если дуга не существует, то нажмите Enter.');

writeln;

for i:=1 to n-1 do

for j:=i to n do

if i<>j then

begin

write(' Введите нагрузку от ',i,'-й вершины до ',j,'-й вершины:');

readln(o);

if o<>'' then val(o,mas[i,j],z)

else mas[i,j]:=-1;

if z<>0 then exit;

end;

check_input_data;

set_graph_mode;

settextstyle(chrus,0,2);

if inputdata=true then ok

else notok;

end;

PROCEDURE ramka;

begin

cleardevice;

setcolor(1);

rectangle(30,10,610,470);

rectangle(10,30,630,450);

end;

PROCEDURE save;

begin

assign(f2,name2);

rewrite(f2);

write(f2,'Кратчайший маршрут: ');

for i:=1 to lenth do

write(f2,result[lenth-i+1]);

writeln(f2,'');

write(f2,'Длинна кратчайшего маршрута: ');

write(f2,round(mas[0,n]));

close(f2);

ok;

end;

PROCEDURE about_program;

begin

ramka;

settextstyle(chrus,0,5);

setcolor(14);

outtextxy(160,30,'О программе');

settextstyle(chrus,0,1);

setcolor(12);

outtextxy(40,100,'Программа: ');

outtextxy(40,150,'Версия: ');

outtextxy(40,175,'Назначение: ');

outtextxy(40,240,'Автор: ');

outtextxy(40,265,'Дата: ');

setcolor(8);

outtextxy(200,100,'Решение задачи о кратчайшем');

outtextxy(200,120,'маршруте методом Форда.');

outtextxy(200,150,'v1.0');

outtextxy(200,175,'Курсовой проект по дисциплине');

outtextxy(200,195,'"Алгоритмические методы иссле-');

outtextxy(200,215,'дования опираций"');

outtextxy(200,240,’’);

outtextxy(200,265,'декабрь 1998 года');

setcolor(11);

outtextxy(50,395,'для большей информации смотрите README.TXT');

repeat until keypressed;

end;

PROCEDURE about_metod;

begin

ramka;

settextstyle(chrus,0,5);

setcolor(14);

outtextxy(130,30,'О методе Форда');

settextstyle(chrus,0,1);

setcolor(8);

outtextxy(40,90,'Метод Форда был разработан специально для');

outtextxy(50,110,'решения сетевых транспортных задач и осно-');

outtextxy(50,130,'ван, по существу на принципе оптимальности.');

outtextxy(40,150,'Алгоритм метода Форда содержит четыре этапа.');

outtextxy(50,170,'На первом этапе производится заполнение ис-');

outtextxy(50,190,'ходной таблицы расстояний от любого i-го');

outtextxy(50,210,'пункта в любой другой j-й пункт назначения');

outtextxy(50,230,'На втором этапе определяются для каждого');

outtextxy(50,250,'пункта некоторые параметры Ai и Aj по соот-');

outtextxy(50,270,'ветствующим формулам и правилам. Далее на');

outtextxy(50,290,'третьем этапе определяется кратчайшее рас-');

outtextxy(50,310,'стояние. Наконец, на четвертом этапе опре-');

outtextxy(50,330,'деляются кратчайшие маршруты из пункта');

outtextxy(50,350,'отправления Р1 в любой пункт назначения Рj,');

outtextxy(50,370,'j=2,3,...,n.');

repeat until keypressed;

end;

PROCEDURE output_graph;

begin

settextstyle(chrus,0,1);

for i:=1 to n do

begin

setcolor(10);

fillellipse(round(coord_point[i,1]),round(coord_point[i,2]),15,15);

setcolor(15);

str(i,o);

if i>9 then outtextxy(round(coord_point[i,1]-12),

round(coord_point[i,2]-12),o)

else outtextxy(round(coord_point[i,1]-7),

round(coord_point[i,2]-12),o);

end;

repeat until keypressed;

end;

PROCEDURE draw_ways;

begin

settextstyle(chrus,0,2);

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if mas[i,j]<>-1 then

begin

x1:=round(coord_point[i,1]);

y1:=round(coord_point[i,2]);

x2:=round(coord_point[j,1]);

y2:=round(coord_point[j,2]);

setcolor(15);

line(x1,y1,x2,y2);

temp:=round(mas[i,j]);

str(temp,o);

setcolor(2);

outtextxy(round((x1+x2)/2+5),round((y1+y2)/2+5),o);

end;

end;

PROCEDURE draw_short_way;

begin

for i:=1 to lenth-1 do

begin

setlinestyle(0,0,3);

setcolor(red);

x:=result[i];

y:=result[i+1];

x1:=round(coord_point[x,1]);

y1:=round(coord_point[x,2]);

x2:=round(coord_point[y,1]);

y2:=round(coord_point[y,2]);

line(x1,y1,x2,y2);

end;

settextstyle(chrus,0,1);

setcolor(14);

outtextxy(50,370,'Кратчайший маршрут: ');

for i:=1 to lenth do

begin

str(result[lenth-i+1],o);

outtextxy(300+i*15,370,o);

end;

outtextxy(50,400,'Длинна кратчайшего маршрута: ');

str(round(mas[0,n]),o);

outtextxy(420,400,o);

end;

PROCEDURE count_point_coord;

begin

pi1:=(2*pi)/n;

m:=0;

aa:=3*pi/2;

for i:=1 to n do

begin

coord_point[i,1]:=(cos(aa)*150)+300;

coord_point[i,2]:=(sin(aa)*150)+200;

aa:=aa+pi1;

end;

end;

PROCEDURE set_font;

begin

chrus:=installuserfont('fn03');

settextstyle(chrus,0,2);

end;

PROCEDURE calculate;

begin

for i:=1 to n do

k[i]:=0;

clrscr;

mas[0,1]:=0;

mas[1,0]:=0;

{3}

for j:=2 to n do

begin

for i:=1 to n do

if (mas[0,i]<>-1) and (mas[i,j]<>-1)

then k[i]:=mas[0,i]+mas[i,j]

else k[i]:=-1;

mas[0,j]:=min;

mas[j,0]:=mas[0,j];

end;

{4}

repeat

l:=true;

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if (mas[0,j]-mas[0,i]>mas[i,j]) and (mas[i,j]<>-1) then

begin

l:=false;

mas[0,j]:=mas[0,i]+mas[i,j];

end;

until l;

{5}

j:=n;

m:=1;

t:=0;

for i:=1 to n do

result[i]:=-1;

result[1]:=n;

repeat

inc(m);

for i:=1 to j do

begin

if (mas[i,j]<>-1) and (i<>j) and (mas[i,j]=mas[0,j]-mas[0,i])

then

begin

t:=i;

break;

end;

end;

result[m]:=t;

j:=t;

lenth:=m;

until j=1;

calculatedata:=true;

ok;

end;

PROCEDURE stars;

begin

for i:=1 to 500 do

begin

starx[i]:=round(random(640));

stary[i]:=round(random(480));

starc[i]:=round(31-random(16));

end;

end;

PROCEDURE draw_menu;

begin

cleardevice;

for i:=1 to 500 do

putpixel(starx[i],stary[i],starc[i]);

cursor:=1;

lastcursor:=cursor;

for i:=1 to 260 do

begin

setcolor(8);

line(210+i,110,210+i,110);

setcolor(4);

line(200+i,100,200+i,100);

end;

for j:=1 to nline*30+10 do

begin

setcolor(8);

line(210,110+j,470,110+j);

setcolor(4);

line(200,100+j,460,100+j);

end;

setcolor(0);

for j:=1 to nline do

outtextxy(220,110+(j-1)*25,menu[menulevel,j]);

end;

PROCEDURE redraw_menu;

begin

for j:=nline*30+10 downto 1 do

begin

setcolor(0);

line(210,110+j,470,110+j);

line(200,100+j,210,100+j);

setcolor(8);

if j<10 then

begin

setcolor(0);

line(210,100+j,470,100+j);

end

else

line(210,100+j,470,100+j);

end;

for i:=260 downto 0 do

begin

putpixel(210+i,110,0);

putpixel(200+i,100,0);

end;

cleardevice;

end;

PROCEDURE main_menu;

begin

settextstyle(chrus,0,2);

draw_menu;

repeat

setcolor(0);

outtextxy(220,110+(lastcursor-1)*25,menu[menulevel,lastcursor]);

setcolor(7);

outtextxy(220,110+(cursor-1)*25,menu[menulevel,cursor]);

pressed:=readkey;

if pressed=#0 then

begin

pressed:=readkey;

move:=false;

if (pressed=#80) and (cursor=nline) then

begin

lastcursor:=nline; cursor:=1;

move:=true;

end;

if (pressed=#72) and (cursor=1) then

begin

lastcursor:=1;

cursor:=nline;

move:=true;

end;

if (pressed=#80) and (cursor<nline) and not(move) then

begin

lastcursor:=cursor;

inc(cursor);

end;

if (pressed=#72) and (cursor>1) and not(move) then

begin

lastcursor:=cursor;

dec(cursor);

end;

end;

until pressed=#13;

redraw_menu;

if cursor=5 then about_program;

if cursor=4 then about_metod;

if (cursor=1) and (menulevel=3) then keyboard_input;

if (cursor=1) and (menulevel=4) then

begin

closegraph;

halt;

end;

if (cursor=2) and (menulevel=1) and (inputdata=false) then notok;

if (cursor=2) and (menulevel=1) and (inputdata=true) then

begin

count_point_coord;

draw_ways;

output_graph;

end;

if (cursor=2) and (menulevel=0) and (inputdata=true) then calculate;

if (cursor=2) and (menulevel=0) and (inputdata=false) then notok;

if (cursor=1) and (menulevel=2) and (calculatedata=false) then notok;

if (cursor=1) and (menulevel=2) and (calculatedata=true) then

begin

count_point_coord;

draw_ways;

draw_short_way;

output_graph;

end;

if (cursor=2) and (menulevel=2) and (calculatedata=true) then save;

if (cursor=2) and (menulevel=2) and (calculatedata=false) then notok;

if (cursor=2) and (menulevel=3) then notok;

menulevel:=menugo[menulevel,cursor];

nline:=menuof[menulevel];

main_menu;

end;

PROCEDURE welcomescreen;

begin

settextstyle(chrus,0,1);

randomize;

install_firewall;

for i:=0 to messize do

begin

setcolor(4);

outtextxy(10,iii*step+i*30,title[i]);

end;

repeat

fire;

until keypressed;

end;

BEGIN

for i:=0 to 20 do

for j:=0 to 20 do

mas[i,j]:=-1;

stars;

inputdata:=false;

calculatedata:=false;

menulevel:=0;

nline:=menuof[menulevel];

z2:=0;

set_graph_mode;

set_font;

welcomescreen;

closegraph;

z2:=2;

set_graph_mode;

main_menu;

repeat until keypressed;

END.