Многомерные и многосвязные системы

Контрольная работа

«Многомерные и многосвязные системы»

Задание

Для многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить:

1. Передаточную функцию ;

2. Частотную передаточную функцию ;

3. Годограф;

4. Импульсную характеристику ;

5. Переходную характеристику ;

6. ЛАЧХ ;

7. ФЧХ .

Составить структурную схему системы.

Дано:

;

;

.

Решение:

1. Передаточная функция

Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:

,

.

Преобразуем по Лапласу матричные уравнения:

; (1)

, (2)

где

; ;

– лапласовы преобразования координат состояния , выходных и входных сигналов.

Преобразуем уравнение (1):

Выносим за скобки:

где

– единичная матрица.

Умножаем слева на обратную матрицу:

Откуда получаем:

.

Подставляем в уравнение (2):

Получаем:

Выражение называют передаточной функцией системы.

Находим её:

Находим обратную матрицу:

Подставляем:

.

2. Частотная передаточная функция

Для получения частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции :

,

получаем:

.

Выделим действительную и мнимую части:

,

для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно – сопряжённый знаменатель:

;

;

;

.

3. Годограф

Годограф – это график частотной передаточной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности.

Изменяя частоту, производим расчёт действительной и мнимой частей частотной передаточной функции.

Результат расчёта записываем в таблицу 1.

Таблица 1. Расчёт годографа

Можно построить график на комплексной плоскости – рис. 1.

Рис. 1. Годограф

4. Импульсная характеристика

Импульсная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

.

Найдём полюса передаточной функции:

Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию на простые дроби:

.

Используя табличные значения, находим:

,

.

Таким образом, получаем:

.

Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 2.

Таблица 2. Импульсная характеристика

Строим график импульсной характеристики – рис. 2.

Рис. 2. Импульсная характеристика

5. Переходная характеристика

Переходная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, делённой на р:

.

Найдём полюса передаточной функции:

; .

Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию, делённую на р, на простые дроби:

.

Приводим к общему знаменателю:

.

Приравниваем коэффициенты при равных степенях р:

,

,

.

Откуда находим:

,

,

.

Используя табличные значения, находим:

,

,

.

Таким образом, получаем:

.

Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 3.

Таблица 3. Переходная характеристика

Строим график переходной характеристики – рис. 3.

6. ЛАЧХ

Для получения ЛАЧХ найдём модуль частотной передаточной функции:

.

далее находим 20 десятичных логарифмов от найденного модуля:

.

Это и есть выражение для ЛАЧХ.

Расчёт значений ЛАЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 4. Размерность ЛАЧХ – децибелы (дБ).

Таблица 4. ЛАЧХ

Строим график ЛАЧХ – рис. 4.

Рис. 4. ЛАЧХ

7. ФЧХ

ФЧХ – угол поворота вектора на комплексной плоскости в зависимости от частоты:

.

Расчёт значений ФЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 5. Размерность ФЧХ – радианы (рад).

Таблица 5. ФЧХ

Строим график ФЧХ – рис. 5.

Рис. 5. ФЧХ

8. Структурная схема системы

Записываем матричные уравнения системы:

;

.

Подставляем исходные данные:

;

.

Производим умножение матриц:

,

,

.

Получили систему уравнений, на основе которой строим структурную схему – рис. 6.

Рис. 6. Структурная схема системы

Часть 2:

Осуществить синтез замкнутой системы с собственными числами

{–1; –4; ± 5 j }.

Построить наблюдатель полного порядка.

Дано:

,

,

.

Решение:

1. Синтез замкнутой системы

Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:

,

.

Пусть управление линейно зависит от координат состояния системы:

,

где

– входной командный сигнал,

К – матрица коэффициентов обратной связи.

После замыкания эта система имеет структуру, изображённую на рис. 7.

Рис. 7. Структура исходной системы

Движение системы описывается линейным дифференциальным уравнением:

.

Таким образом, динамические свойства системы полностью определяются матрицей А – ВК, её характеристическими числами.

Характеристический многочлен исходной системы равен:

.

Спектр характеристических чисел (корни характеристического многочлена):

.

Желаемый характеристический многочлен замкнутой системы по условию имеет 4 собственных числа, но наша исходная система имеет третий порядок, поэтому одно из собственных чисел необходимо убрать, убираем собственное число (–1), тогда:

.

Пусть матрица коэффициентов обратной связи , тогда характеристический полином замкнутой системы:

.

Приравниваем коэффициенты при равных степенях многочленов и :

,

,

,

.

Решая полученную систему уравнений, получаем:

,

,

.

Искомое управление принимает вид:

.

Структура синтезированной системы представлена на рис. 8.

Она построена по уравнениям:

,

,

,

,

.

Рис. 8. Структура синтезированной системы

2. Построение наблюдателя полного порядка

Система

называется асимптотическим наблюдателем полного порядка, если для любого начального состояния х(0) и всех оценка с ростом времени асимптотически приближается к вектору состояния .

Найдём структуру асимптотического наблюдателя, для чего определим ошибку восстановления и найдём модель её изменения:

.

Затем потребуем, чтобы при всех и .

Это равенство возможно при:

,

.

Таким образом, структура асимптотического наблюдателя полного порядка определяется моделью вида:

.

На рис. 9 изображена структура системы и её наблюдателя.

Рис. 9. Структура системы с наблюдателем

Задача синтеза наблюдателя системы состоит в том, чтобы найти матрицу . Это можно сделать, исходя из условия асимптотической сходимости оценки к вектору состояния при любых начальных состояниях наблюдателя и системы.

Пусть ошибка восстановления , тогда

.

Ошибка восстановления описывается линейным однородным дифференциальным уравнением с матрицей и ненулевыми начальными условиями, а поэтому асимптотическая сходимость ошибки к нулю возможна тогда и только тогда, когда собственные числа матрицы , которые называют полюсами наблюдателя, располагаются в левой полуплоскости.

Пусть матрица

,

тогда матрица

.

Полюса наблюдателя определяются уравнением:

.

Переходные процессы в наблюдателе будут несравнимы с процессами в системе, если полюса наблюдателя будут значительно левее полюсов системы. Поскольку характеристические числа замкнутой системы равны:

{– 4; ± 5 j },

то расположим полюса наблюдателя в точках:

.

Желаемый характеристический полином наблюдателя принимает вид:

,

что будет иметь место тогда, когда:

,

,

.

Решая полученную систему уравнений, получаем:

;

;

.

Находим матрицу:

Модель асимптотического наблюдателя системы принимает вид:

,

,

,

.

Структура системы со своим асимптотическим наблюдателем полного порядка представлена на рис. 10.

Она построена по уравнениям:

,

,

,

,

,

,

.