Расчет показателей надежности простейшей системы электроснабжения вероятностными методами

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра: «Электроснабжение железнодорожного транспорта»

Дисциплина: «Основы теории надёжности»

Курсовая работа

«Расчет показателей надежности простейшей системы электроснабжения вероятностными методами»

Выполнил:

студент группы ЭНС-04-2

Иванов А. К.

Проверил:

канд. техн. наук, доцент

Герасимов Л. Н.

Иркутск 2008

Введение

Термины и определения, используемые в теории надежности, регламентированы ГОСТ 27.002-89 «Надежность в технике. Термины и определения».

Надежность – свойство объекта выполнять заданные функции, сохраняя во времени и в заданных пределах значения всех эксплуатационных параметров.

Надежность объекта характеризуется следующими основными состояниями и событиями:

· Исправность – состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям, установленным нормативно-технической документацией.

· Работоспособность – состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения основных параметров, установленных НТД.

· Предельное состояние – состояние объекта, при котором его применение (использование) по назначению недопустимо или нецелесообразно.

· Повреждение - событие, заключающееся в нарушении исправного состояния объекта при сохранении его работоспособного состояния.

· Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта.

· Критерий отказа – отличительный признак или совокупность признаков, согласно которым устанавливается факт возникновения отказа.

Для некоторых объектов предельное состояние является последним в его функционировании, т.е. объект снимается с эксплуатации, для других – определенной фазой в эксплуатационном графике, требующей проведения ремонтно-восстановительных работ. В связи с этим объекты могут быть разделены на два класса:

· невосстанавливаемые, для которых работоспособность в случае возникновения отказа не подлежит восстановлению, или по каким-либо причинам нецелесообразна;

· восстанавливаемые, работоспособность которых может быть восстановлена, в том числе и путем замены элементов.

К числу невосстанавливаемых объектов можно отнести, например, электронные и электротехнические детали (диоды, сопротивления, конденсаторы, изоляторы и другие элементы конструкций). Объекты, состоящие из многих элементов, например, трансформатор, выключатель, электронная аппаратура, являются восстанавливаемыми, поскольку их отказы связаны с повреждениями одного или нескольких элементов, которые могут быть отремонтированы или заменены. В ряде случаев один и тот же объект в зависимости от особенностей, этапов эксплуатации или назначения может считаться восстанавливаемым или невосстанавливаемым.

Введенная классификация играет важную роль при выборе моделей и методов анализа надежности.

Надежность является комплексным свойством, включающим в себя, в зависимости от назначения объекта или условий его эксплуатации, ряд

Составляющих (единичных) свойств, в соответствии с ГОСТ 27.002-89:

· безотказность;

· долговечность;

· ремонтопригодность;

· сохраняемость.

Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторой наработки или в течение некоторого времени.

Долговечность – свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонтов.

Ремонтопригодность – свойство объекта, заключающееся в его приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, поддержанию и восстановлению работоспособности путем проведения ремонтов и технического обслуживания.

Сохраняемость – свойство объекта непрерывно сохранять требуемые эксплуатационные показатели в течение (и после) срока хранения и транспортирования.

В зависимости от объекта надежность может определяться всеми перечисленными свойствами или частью их.

Наработка – продолжительность или объем работы объекта, измеряемая в любых неубывающих величинах (единица времени, число циклов нагружения, километры пробега и т. п.).

Показатель надежности количественно характеризует, в какой степени данному объекту присущи определенные свойства, обусловливающие надежность.

Задание на расчёт

Система электроснабжения, представленная на рис.1, включает в себя два энергорайона, питающихся от одного источника Г. Второй энергорайон получает питание по воздушной ЛЭП.

Первый энергорайон подключен через две подстанции А и Б, соединенные параллельно по низкой стороне. Каждая подстанций способна обеспечить питание данного энергорайона, поэтому нарушение электроснабжения наступает только при одновременном обесточивании подстанций А и Б.

Второй район имеет одну подстанцию В и отключается при всех отказах, ведущих к обесточиванию этой подстанции.

Требуется найти аналитическим методом и методом статистических испытаний (методом Монте-Карло)

· вероятность безотказной работы (показатель безотказности) системы, зная вероятности безотказной работы отдельных ее элементов

· абсолютную и относительную погрешности оценки искомого показателя надежности статистическим методом при разном числе испытаний.

Исходные данные

По результатам испытаний, или обработки статистики, получены вероятности

Р_Г = 0.95; Р_Т = 0.985; Р_ВЛ = 0.89;

Так же определены вероятности безотказной работы трансформаторов подстанций

Р_А = Р_Б = Р_В = 0.96.

Расчёт надёжности

Безотказная работа рассматриваемой части системы электроснабжения будет тогда, когда в соответствии с принятыми условиями в работоспособном состоянии находятся

· все подстанции А и Б и В,

· одна из подстанций А или Б, и подстанция В.

Одновременное обесточивание подстанций А и Б, или обесточивание подстанции В, так же как и одновременное обесточивание всех трех подстанций является отказом системы.

Для решения задачи требуется знать вероятности обесточивания подстанций. Подстанции обесточиваются, если повреждается (выходит из работы) хотя бы один из элементов системы в цепи, соединяющей соответствующую подстанцию (А и Б, или В) с источником генерируемой мощности, а также при отказе самого источника Г , или устройств подстанции.

Вероятности обесточивания подстанций могут быть вычислены по данным о надежности элементов цепи соединения, либо могут быть получены в результате обработки статистики (опытных данных) о функционировании подстанций в прошлом. Так, если за K лет собрана статистика о числе случаев обесточивания n_j каждой j- ой подстанции и длительностях пребывания τ_i их в таком состоянии при i-ом обесточивании (i = 1.. n_j ), то можно определить среднее время пребывания подстанций в обесточенном состоянии - τ_oi по формуле

τ_oi = , {часгод} (1)

Соответственно, среднее время пребывания подстанций в работоспособном состоянии T_0j определиться по формуле

T_0j = T_год - τ_{oi ,} (2)

где T_0j - календарное число часов в расчетном периоде – в данном случае, это один расчетный год, равный 8760 час.

Параметры T_0j и τ_oi можно использовать для определения других показателей надежности подстанции. Так, вероятность безотказной работы подстанции вычисляется по формуле

P_j = T_0j / T_{год ,} , здесь j = {Г, Т, А, Б, ВЛ, В} (3)

Определив по заданной статистике значения P_j,, рассчитаем функцию надежности системы в целом, которая, как показатель безотказности, соответствует вероятности ее безотказной работы.

Аналитический метод

Из большого числа применяющихся аналитических методов воспользуемся вероятностными, основанными на теоремах сложения и умножения для групп совместных и несовместных событий. В соответствии с этими теоремами, на первом этапе решения данной задачи определяются вероятности бесперебойного электроснабжения каждой из подстанций по вероятностям безотказной работы элементов, образующих последовательные цепочки связей подстанции с источником питания Г. Допустим, что по результатам испытаний, или обработки статистики, получены эти вероятности.

По вероятностям безотказной работы элементов из исходных данных найдём вероятности работоспособного состояния V_j для каждой из подстанций по формулам:

Полученные результаты показывают, что вероятность работоспособного состояния для подстанции В ниже, чем для А или Б, так как в цепочке связи от Г к В имеется дополнительный элемент - ВЛ, - надежность которого отражается на состоянии подстанции В. Подстанции А и Б находятся в одинаковых условиях , поэтому V_А = V_Б.

По полученным значениям V_А, V_Б, V_В вычисляются вероятности безотказного электроснабжения энергорайонов - V_№1 и V_№2 . Для энергорайона №1 схема замещения по надежности показана на рис. 2.

Для данной схемы вероятность V_№1 определиться как:

V_№1 = Р_Г ^.Р_Т ^.(1-(1- Р_А)(1- Р_Б)) = 0.95 ^.0.985 ^.(1-(1- 0.96)(1- 0.96)) = 0 .934.

Для энергорайона №2 схема замещения по надежности линейна, поэтому

V_№2 = V_В = 0.8.

Вероятность безотказной работы системы в целом определиться в соответствии с теоремой умножения для совместных событий

V_sys = V_№1 ^. V_№2 = 0.934 ·^·0.8 = 0.7472.

Метод статистических испытаний

Для решения данной задачи методом Монте-Карло предполагается использовать датчик случайных чисел v с равномерным распределением в интервале [0..1]. Эти числа сравниваются со значениями V_{А ,} V_Б, V_В . Сформулируем решающее правило:

если значение случайного числа v не больше вероятности работоспособного состояния каждой из подстанций

v ≤ V_j , , j { А, Б, В }, (4)

то соответствующая подстанция находится в рабочем состоянии, иначе – в обесточенном состоянии.

На этом принципе строятся «испытания» по оценке состояний системы. Если в результате разыгрывания «состояний подстанций» отказов в электроснабжении не будет, то испытание признается положительным, в противном случае – отрицательным. Вероятность безотказной работы системы U_sys в этом методе определяется по формуле:

U_sys = N⁺/ N = 1 - N^-/ N , (5)

где N – общее число испытаний, N⁺ - число положительных, N^- - число отрицательных испытаний, N = N⁺ + N^- .

Результат каждого испытания удобно представить значением двоичной (бинарной) переменной b_j , принимающей значение 1, если выполнен критерий (4) и 0 в ином случае:

если v ≤ V_j то b_j = 1 иначе b_j = 0.

Из рис. 1 и выражений (4) и (5) следует:

b_sys = (b_A+b_Б)·b_В , (6)

где b_sys – состояние системы.

Тогда, после N испытаний, значение N⁺ можно определить как

N⁺

В таблице №1 показана реализация данной методики (подготовлена в Excel) и приведены результаты разыгрывания случайных состояний системы методом Монте-Карло при числе испытаний N = 10.

По данным из таблицы №1 получаем статистическую оценку вероятности работоспособного состояния системы: число значений b_sys = 0 равно трем, то есть

N^- = 3, N⁺ = 7, U_sys = 7/10 = 0.7.

Абсолютная погрешность этого результата по сравнению с аналитическим методом равна

= | U_sys - V_sys | = 0.7- 0.7472 = 0.0472. (7)

Относительная погрешность

= ( / V_sys ) 100% = 0.0472/0.7472 = 6.3%. (8)

В соответствии с заданием, увеличим число испытаний вдвое. Для этого достаточно модифицировать данные в Excel – таблице, снова подсчитать число значений b_sys = 0 и, сложив с прежним, получим (показан фрагмент таблицы)

N^- = 3+2, N⁺ = 20 – 5 = 15, U_sys = 15/20 = 0.75.

Абсолютная погрешность этого результата по сравнению с аналитическим методом равна

= | U_sys - V_sys | = 0.75 - 0.7472 = 0.0028.

Относительная погрешность

= (/ V_sys ) 100% = 0.0028/0.7472 = 0.4%.

Дополнительные замечания о методе Монте-Карло

1. Известно, что точность оценки искомых характеристик тем выше, чем больше число испытаний. Для того чтобы выбрать величину N для конкретных испытаний, задаются вероятностью (доверительной) получения правильного решения, обычно принимаемого равной 0.997, что соответствует диапазону ± 3σ для нормального распределения, где σ = √D - с.к.о. исследуемой случайной величины. Тогда необходимое число испытаний определится из формулы

где δ' – заданная погрешность определения искомой величины.

Для получения более точного результата число испытаний согласно (9), должно быть равно

N = (0.675· σ / δ' )²

Допустим, мы хотим иметь погрешность на уровне 0.001 (0.1%), т.е. быть уверенными что при решении данной задачи методом статистического моделирования значение U_sys будет находится в диапазоне

0.7472 ^.( 1 ± 0.001) = [0.7464, 0.7479].

Исходя из правила «три сигма», зададим величину σ как крайний возможный случай:

σ = ( 1- V_sys ) / 3 = (1-0.7472)/3 = 0.084.

Тогда требуемое число испытаний будет равно

N = (0.675·0.084/0.001) = 3215.

2. В приведенных выше расчетах принята упрощенная модель статистических испытаний с использованием расчетных вероятностей безотказной работы подстанций, а не отдельных элементов системы, с целью сокращения размерности задачи. Не учитывались также вероятности одновременного отказа нескольких элементов, что необходимо для получения правдоподобных результатов.

3. Датчик случайных чисел с равномерным распределением используется при отсутствии каких-либо сведений о фактическом законе распределения. Достоинство равномерного распределения – простота применения, так как нет необходимости в определении его параметров. Но оценки, полученные в численных экспериментах, оказываются «пессимистическими», если реальный закон существенно отличается от равномерного. Кроме того, датчики случайных чисел с равномерным распределением плохо «работают» при очень малых или очень больших значениях вероятности. Поэтому при выборе модели статистических испытаний большое внимание уделяется обоснованию использования того или иного закона распределения.

Таблица 1

Анализ надежности методом Монте-Карло

Фрагменты модифицированной таблицы:

Заключение

В курсовой работе был произведён расчёт показателей надежности простейшей системы электроснабжения двумя вероятностными методами: аналитическим и методом статистических испытаний. Абсолютная погрешность результата, полученного методом Монте-Карло по сравнению с аналитическим методом равна 0.0028. Относительная погрешность составила 0.4%. Также была проведена оценка количества испытаний.

Литература

1. Надежность и диагностика систем электроснабжения железных дорог: учебник для ВУЗов жд транспорта / А.В. Ефимов, А.Г. Галкин.- М: УМК МПС России, 2000. - 512с.

2. Китушин В.Г. Надежность энергетических систем: учебное пособие для электроэнергетических специальностей вузов.- М.: Высшая школа, 1984. – 256с.

3. Ковалев Г.Ф. Надежность и диагностика технических систем: задание на контрольную работу №2 с методическими указаниями для студентов IV курса специальности «Электроснабжение железнодорожного транспорта». – Иркутск: ИРИИТ, СЭИ СО РАН, 2000. -15с.

4. Дубицкий М.А. Надежность систем энергоснабжения: методическая разработка с заданием на контрольную работу. – Иркутск: ИрИИТ, ИПИ, СЭИ СО РАН, 1990. -34с.

5. Пышкин А.А. Надежность систем электроснабжения электрических железных дорог. – Екатеринбург: УЭМИИТ, 1993. - 120 с.

6. Шаманов В.И. Надежность систем железнодорожной автоматики и телемеханики: учебное пособие. Иркутск: ИрИИТ, 1999. 223с.

7. Гук Ю.Б. Анализ надежности электроэнергетических установок. - Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отд., 1988. – 224с.

8. Маквардт Г.Г. Применение теории вероятностей и вычислительной техники в системе энергоснабжения.- М.: Транспорт, 1972. - 224с.

9. Надежность систем энергетики. Терминология: сборник рекомендуемых терминов. - М.: Наука, 1964. -Вып. 95. – 44с.