Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

Интеграл покомплекснойпеременной.

Определение1: Кривая Г называетсягладкой ,еслиона имеет непрерывноизменяющуюсякасательную.

Определение2: Кривая называетсякусочно-гладкой,если она состоитиз конечногочисла гладкихдуг.

Основныесвойства : Пустьна комплекснойплоскости Zзадана кусочно-гладкаякривая С длиной ,используя параметрическоезадание кривойС зададим tи(t), где иявляютсякусочно-гладкимикривыми отдействительной переменнойt. Пусть причемимогутбыть бесконечнымичислами .

Пустьи удовлетворяютусловию : [‘(t)]²+ [‘(t)]²0. Очевидно,что заданиекоординат =tи(t), равносильнозаданию комплекснойфункции (t)= (t)i(t).

Пустьв каждой точке(t) кривойС определенанекотораяфункция f(). Разобьемкривую С на n– частичныхдуг точкамиделения ₀, ₁, ₂, …, _n-1соответствующиевозрастающимзначениямпараметра t,т.е. t₀,t₁,…, t_i+1 >t _i.

_i =_i –_i-1.Составиминтегрируемуюфункцию S= f(*)_i . (1)
где*–производнаяточки этойдуги.

Еслипри стремленииmax |_i |0 существуетпредел частныхсумм не зависящийни от способаразбиениякривой С начастичные дуги,ни от выбораточек _i , то этот предел называетсяинтеграломот функции f() по кривой С.

(2)

f(_i*) = u(P_i*)+ iv (P_i*) (3)

где_i =(t)i(t) ((t)и(t)- действительныечисла)

Подставив(3) в (1) получим :

(4)

Очевидно,что (4) состоитиз суммы двухчастных сумм,криволинейныхинтеграловдействительнойпеременной.Переходя в (4)к пределу прии 0и предполагая,что данныепределы существуют,получаем :

(5)

Заметим,что для существованиякриволинейногоинтегралов,входящих в (5),а тем самым идля существованияинтеграла (2)достаточнокусочнойнепрерывностифункций uи v. Этоозначает, что(2) существуети в случаенеаналитичностифункции f().

Сформулируемнекоторыесвойства интегралаот функциикомплекснойпеременной.Из равенства(5) следуют свойства:

О
ограниченностиинтеграла.

П
риэтом z = ().

7.)Пусть Cp –окружностьрадиуса ,с центром вточке Z₀.Обход вокругконтура Cpосуществляетсяпротив часовойстрелки. Cp: = Z₀ +e^i, 0 2, d= ie^id.

К
усочно-гладкуюзамкнутуюкривую будемназывать замкнутымконтуром, аинтеграл позамкнутомуконтуру – контурныминтегралом.

ТЕОРЕМАКОШИ.

Вкачествеположительногообхода контуравыберем направлениепри которомвнутренняяобласть, ограниченнаяданным замкнутымконтуром остаетсяслева от направлениядвижения :

Д
лядействительнойпеременнойимеют местоформулы Грина.Известно, чтоесли функцииP(x, y) и Q(x, y)являютсянепрерывнымив некоторойзаданной областиG, ограниченныкусочно-гладкойкривой С, а ихчастные производные1-го порядканепрерывныв G, то имеетместо формулаГрина:

(8 )

ТЕОРЕМА: Пусть в односвязнойобласти Gзаданааналитическаяфункция f(Z),тогда интегралот этой функциипо замкнутомуконтуру Г целикомлежащему в G, равен нулю.

Доказательство: из формулы(5) следует:

Т
.к.f() аналитическаявсюду, то U(x,y), V(x, y) - непрерывныв области,ограниченнойэтим контуроми при этомвыполняютсяусловия Коши-Римана.Используясвойствокриволинейныхинтегралов:

А

налогично:

Поусловию Коши-Риманав последнихравенствахскобки равнынулю, а значити оба криволинейныхинтеграла равнынулю. Отсюда:

ТЕОРЕМА2 (Вторая формулировкатеоремы Коши): Если функцияf()являетсяаналитическойв односвязнойобласти G,ограниченнойкусочно-гладкимконтуромC, и непрерывнав замкнутойобласти G,то интегралот такой функциипо границе Собласти Gравен нулю.

TEOPEMA3 (Расширениетеоремы Кошина многосвязнуюобласть) :

Пустьf ()являетсяаналитическойфункцией вмногосвязнойобласти G,ограниченнойизвне контуромС₀, а изнутриконтурами С₁,С₂, .. ,С_n(см. рис.). Пустьf ()непрерывнав замкнутойобласти G,тогда :

, гдеС – полная границаобласти G,состоящаяиз контуровС₁, С₂, .. , С_n.Причем обходкривой С осуществляетсяв положительномнаправлении.

Неопределенныйинтеграл.

С
ледствиемформулы Кошиявляется следующееположение :пусть f(Z)аналитичнав односвязнойобласти G,зафиксируемв этой областиточку Z₀и обозначим:

интегралпо какой-либокривой, целикомлежащей в областиG, содержащейZ₀ и Z, в силу теорииКоши этот интегралне зависит отвыбора кривойинтегрированияи являетсяоднозначнойфункцией Ф(Z).Аналитическаяфункция Ф(Z)называетсяпервообразнойот функции f(Z)в области G,если в этойобласти имеетместо равенство: Ф(Z) = f( Z).

Определение:Совокупностьвсех первообразныхназываетсянеопределенныминтеграломот комплекснойфункции f(Z).Так же как ив случае с функциейдействительногопеременногоимеет месторавенство :

( 9)

Этоаналог формулыНьютона-Лейбница.

Интеграл Коши.Вывод формулыКоши.

Ранеебыла сформулированатеорема Коши,которая позволяетустановитьсвязь междузначениямианалитическойфункции вовнутреннихточках областиее аналитичностии граничнымизначениямиэтой функции.

П
устьфункция f(Z)– аналитическаяфункция в односвязнойобласти G,ограниченнойконтуром С.Возьмем внутриэтой областипроизвольнуюточку Z₀и в областиG вокругэтой точкипостроим замкнутыйконтур Г. Рассмотримвспомогательнуюфункцию (Z). Этафункция аналитичнав области Gвсюду, крометочки Z=Z₀.Проведемконтур с достаточнымрадиусом,ограничивающийточку Z₀,тогда функциябудет аналитичнав некоторойдвусвязнойобласти, заключенноймежду контурамиГ и .Согласно теоремеКоши имеем :

Посвойстваминтегралов:

(2 )

Таккак левый интегралв (2) не зависитот выбора контураинтегрирования,то и правыйинтеграл такжене будет зависетьот выбора контура.Выберем в качествеокружность_с радиусом . Тогда:

(3)

Уравнениеокружности_:  = Z₀+ e^i(4)

Подставив(4) в (3) получим :

(5 )

( 6 )

(7)

Устремим _0, т.е. 0.

Тогдат.к. функция f()аналитичнав точке Z=Z₀и всюду в областиG, а следовательнои непрерывнав G, то длявсех >0существует>0,что для всех из–окрестноститочки Z0 выполняется| f()– f(Z₀)| .

(8)

Подставив( 7) в ( 6) с учетом( 8) получаем :

П
одставляяв ( 5) и выражаяf(Z0) имеем :

(9)

Этоинтеграл Коши.

Интеграл,стоящий в (9) вправой частивыражает значениеаналитическойфункции f()в некоторойточке Z₀через ее значениена произвольномконтуре , лежащем в областианалитичностифункции f()и содержащемточку Z₀внутри.

Очевидно,что если быфункция f()была аналитичнаи в точках контураС, то в качествеграницы в формуле (9) можнобыло использоватьконтур С.

Приведенныерассужденияостаютсясправедливымии в случаемногосвязнойобласти G.

Следствие: Интеграл Коши,целиком принадлежащийаналитическойобласти Gимеет смыслдля любогоположения Z₀на комплекснойплоскости приусловии, чтоэта точка естьвнутреннейточкой областиГ. При этом еслиZ₀принадлежитобласти с границейГ, то значениеинтеграла равно(9), а если т.Z₀принадлежитвнешней области,то интегралравен нулю :

П
риZ₀Г указанныйинтеграл несуществует.

Интегралы,зависящие отпараметра.

Рассматриваяинтеграл Коши,видим, чтоподинтегральнаяфункция зависитот 2-х комплексныхпеременных: переменнойинтегрирования иZ₀.Таким образоминтеграл Кошиможет бытьрассмотренкак интеграл,зависящий отпараметра, вкачестве котороговыбираем точкуZ₀.

Пустьзадана функциядвух комплексныхпеременных (Z, ), причем Z= x + iy вточке, принадлежащейнекоторойкомплекснойплоскости G. =+ i С. (С - граница G).

Взаимноерасположениеобласти и кривойпроизвольно.Пусть функция (Z, ) удовлетворяетусловиям : 1) Функциядля всех значенийС являетсяаналитическойв области G.2) Функция (Z,  ) и ее производнаяявляются непрерывнымифункциями посовокупностипеременныхZ и при произвольномизмененииобласти Gи переменныхна кривой С.Очевидно, чтопри сделанныхпредположениях:

И
нтегралсуществуети являетсяфункцией комплекснойпеременной.Справедливаформула :

(2)

Этаформула устанавливаетвозможностьвычисленияпроизводнойот исходногоинтеграла путемдифференцированияподинтегральнойфункции попараметру.

ТЕОРЕМА. Пусть f(Z)являетсяаналитическойфункцией вобласти Gи непрерывнойв области G(G включая граничныеточки ), тогдаво внутреннихточках областиG существуетпроизводнаялюбого порядкаот функции f(Z)причем дляее вычисленияимеет местоформула :

(3)

Спомощью формулы(3) можно получитьпроизводнуюлюбого порядкаот аналитическойфункции f (Z) в любой точкеZ областиее аналитичности.Для доказательстваэтой теоремыиспользуетсяформула (2) исоответственныерассуждения,которые привелик ее выводу.

ТЕОРЕМАМОРЕРА. Пустьf(Z) непрерывнав односвязнойобласти Gи интегралот этой функциипо любому замкнутомуконтуру, целикомпринадлежащему G равен0. Тогда функцияf (Z) являетсяаналитическойфункцией вобласти G.Эта теоремаобобщаетсяи на случаймногосвязнойобласти G.

Разложениефункции комплексногопеременногов ряды.

Еслифункция f(x,y) определенаи непрерывнавместе с частнымипроизводными(до n-го порядка), то существуетразложениеэтой функциив ряд Тейлора:

Итак,если заданафункция f (z) комплексногопеременного,причем f (z) непрерывнаявместе с производнымидо n-го порядка,то:

(2) –разложениев ряд Тейлора.

Формула(2) записана длявсех Z принадлежащихнекоторомукругу | Z-Z₀ |

Функцияf (z), котораяможет бытьпредставленав виде ряда (2)являетсяаналитическойфункцией.Неаналитическаяфункция в рядТейлора нераскладывается.

(3)

(4)

(5)

Причем| Z | .

Формулы ЭЙЛЕРА.

Применимразложение(3) положив, чтоZ = ix и Z= - ix;

(6)

Аналогичновзяв Z = - ix получим :

(7)

Из(6) и (7) можно выразитьт.н. формулыЭйлера :

(8)

Вобщем случае:

(9)

Известно,что :

(10)

Тогдаиз (9) и (10) вытекаетсвязь междутригонометрическимии гиперболическимикосинусамии синусами:

Ряд ЛОРАНА.

Пустьфункция f(z) являетсяаналитическойфункцией внекотором кругерадиусом R, тогдаее можно разложитьв ряд Тейлора(2). Получим тотже ряд другимпутем.

ТЕОРЕМА1.

Однозначнаяфункция f(Z) аналитическаяв круге радиусом |Z-Z₀| 0.

Опишемв круге радиусомR окружностьr, принадлежащуюкругу с радиусомR.

Возьмемв круге радиусаr точку Z,а на границеобласти точку,тогда f(z) будетаналитичнавнутри кругас радиусом rи на его границе.Выполняетсяусловие длясуществованияинтеграла Коши:

(13)

(11)

Поскольку

,то выражениеможно представитькак сумму бесконечноубывающейгеометрическойпрогрессиисо знаменателем,т.е. :

(12)

Представимравномерносходящимсярядом в кругерадиуса r,умножая (12) на1/(2i)и интегрируяпо L прификсированном Z, получим: слева интеграл(13) который равенf (Z), а справабудет суммаинтегралов:

Обозначая,получим : (14)

Эторазложениефункции f(Z) в круге R в рядТейлора. Сравнивая(14) с рядом (2) находим,что (15)

ТЕОРЕМА2.

Еслиоднозначнаяфункция f(Z)аналитичнавне круга срадиусом r сцентром в точкеZ₀ для всех Zвыполняетсянеравенствоr 0 |, то онапредставляетсярядом :

(16)

где h - ориентированнаяпротив часовойстрелкиокружностьрадиуса r(сколь угоднобольшое число).Если обозначить (17) , получим :

(18)

ТЕОРЕМА3.

Еслиоднозначнаяфункция f(Z)аналитическаяв кольце Z0|Z, то она раскладываетсяв сходящийсястепенной ряд:

(19)

f₁и f₂можно представитьв виде двухрядов :

(20)

(21)

Ряд(19) – ряд Лорана,при этом ряд(20) сходится вкруге радиусаR, ряд (21) сходитсявне круга радиусаR функцииf₂(Z). Общая областьсходимостиряда – кольцомежду r и R.

f₁(Z)– правильнаячасть.

f₂(Z)– главная частьряда Лорана.

РядТейлора – частныйслучай рядаЛорана приотсутствииглавной егочасти.

Классификацияизолированныхособых точек.Вычеты.

Определение1. Особой точкойфункции f(Z) определеннойв области (замкнутой)G, ограниченнойЖордановойкривой, называетсяточка Z=Z₀ G в которойаналитичностьфункции f1(Z) нарушается.Рабочая точкаZ=Z₀ функцииf(Z), ограниченнойв круге |Z-Z0|0.В зависимостиот поведенияфункции f(Z)в окрестностиизолированныхособых точекпоследниеклассифицируютсяна :

1. Устранимыеособые точки.Ими называютсяособые точки,для которыхсуществует,где А – конечноечисло.

2. Еслидля особойточки существуетпредел ,то такая особаяточка называетсяполюсом.

3. Еслине существует,то точка Z=Z₀называетсясущественнойособой точкой.

ЕслиС_-n=0,то особаяточка естьустранимаяособая точка.

Пустьf(Z₀)=C₀и C_-n длявсех n=1,2,3,..,m отличногоот 0, а для всех n  m+1 C_-n=0, тогдаZ=Z₀ будетявляться полюсомпорядка m.

Приm>1 такой полюсбудет называтьсяпростым.

,если m , то в этом случаев точке Z=Z₀имеем существеннуюособенность.

Определение2. Вычетом функцииf(Z) в круге |Z-Z₀|0.Вычет существуеттолько дляизолированныхособых точек.Очевидно, чтовычет функцииf(z) при Z=Z₀равен первомукоэффициентуряда главнойчасти Лорана:

Еслиполюс имееткратность m1, то дляопределениявычетов используетсяформула :

(3)

приm=1 :

Основнаятеорема о вычетах.

Пустьf(z) аналитическаяв области Gкроме конечногочисла полюсовZ = a₁,a₂,…, a_k.–произвольный,кусочно-гладкийзамкнутыйконтур содержащийвнутри себяэти точки ицеликом лежащийвнутри областиG. В этомслучае интегралравенсумме вычетовотносительноa₁,a₂,…, a_kи т.д. умноженныйна 2i:

(5)

Пример:

Найтивычет

Особыеточки : Z₁=1,Z₂=- 3.

Определимпорядок полюсов– все полюсыпервого порядка.

Используемформулу (3) :

Интегральныепреобразования.

Операционноеисчислениеи некоторыеего приложения.

Пусть заданафункция действительногопеременногоt, котораяудовлетворяетусловиям :

2. Функция f(t)кусочно-непрерывная(имеет конечноечисло точекразрыва первогорода).

3. Для любогозначения параметраt>0 существуетM>0 и S00такие, чтовыполняетсяусловие : |f(t)|S^0t

Рассмотримфункцию f(t)e^-pt, где р – комплексноечисло р = ( а +i b).

(1)

Применим кэтому соотношениюформулу Эйлера:

Проинтегрировавэто равенствополучим :

(2)

Оценим левуючасть равенства(2) :

А согласносвойству (3) |f(t)|S^0t

В случае еслиa>S₀имеем :

Аналогичноможно доказать,что существуети сходитсявторой интегралв равенстве(2).

Таким образомпри a>S₀интеграл, стоящийв левой частиравенства (2)также существуети сходится.Этот интегралопределяетсобой функциюот комплексногопараметра р:

(3)

Функция F(p)называетсяизображениемфункции f(t)по Лапласу,а функция f(t)по отношениюк F(p) называетсяоригиналом.

f(t) F(p), где F(p) – изображениефункции f(t)по Лапласу.

- это операторЛапласа.

Смыслвведения интегральныхпреобразований.

Этот смыслсостоит в следующем: с помощью переходав область изображенияудается упроститьрешение многихзадач, в частностисвести задачурешения многихзадач дифференциального,интегральногои интегро-дифференциальногоуравнения крешению алгебраическихуравнений.

Теорема единственности:если две функцииtиtимеют одно ито же изображениеF(p), то этифункции тождественноравны.

Смысл теоремы: если при решениизадачи мы определимизображениеискомой функции,а затем поизображениюнашли оригинал,то на основаниитеоремы единственностиможно утверждать,что найденнаяфункция являетсярешением вобласти оригиналаи причем единственным.

Изображениефункций ₀(t),sin (t), cos (t).

Определение:называетсяединичнойфункцией.

Единичнаяфункция удовлетворяеттребованиям,которые должныбыть наложенына функцию длясуществованияизображенияпо Лапласу.Найдем этоизображение:

Изображениеединичнойфункции

Рассуждаяаналогичнымобразом получимизображениедля функцииsin(t) :

интегрируяпо частям получим:

т.е.

Аналогичноможно доказать,что cos (t) переходитв функцию вобласти преобразований.Откуда :

Изображениефункции с измененныммасштабомнезависимогопеременного.

гдеа – константа.

Таким образом:

и

Свойствалинейностиизображения.

Теорема :изображениесуммы несколькихфункций умноженноена постоянныеравны суммеизображенийэтих функцийумноженныхна те же постоянные.

Если ,то ,где

Теорема смещения: если функцияF(p) это изображениеf(t), то F(+p)являетсяизображениемфункции e^-tf(t) (4)

Доказательство:

Применим операторЛапласа к левойчасти равенства(4)

Что и требовалосьдоказать.

Таблицаосновных изображений:

Изображениепроизводных.

Теорема. Если,то справедливовыражение :

(1)

Доказательство:

(2)

(3)

Подставляя(3) в (2) и учитываятретье условиесуществованияфункции Лапласаимеем :

Что и требовалосьдоказать.

Пример: Решитьдифференциальноеуравнение :

Если x(0)=0 и x’(0)=0

Предположим,что x(t)– решение вобласти оригиналови ,где -решение в областиизображений.

Изображающееуравнение :

Теорема оинтегрированииоригинала.Пусть находится вобласти оригиналов,,тогда такжеоригинал, а егоизображение.

Таким образомоперацииинтегрированияв области оригиналовсоответствуетоперация деленияв областиизображений.

Теорема оинтегрированииизображений: Пусть – функцияоригинал, котораяимеет изображениеитакже оригинал,а -является сходящимсяинтегралом,тогда .

Толкованиетеоремы : операцияделения нааргумент вобласти оригиналовсоответствуетоперацииинтегрированияв пределах отр до в областиизображений.

Понятиео свертке функций.Теорема о свертке.

Пусть заданыдве функцииa(t) и b(t),удовлетворяющиеусловиямсуществованияизображенияпо Лапласу,тогда сверткойтаких функцийназываетсяследующаяфункция :

(1)

Свертка обозначаетсяследующимобразом :

(1’)

Равенства (1) и(1’) идентичны.

Свертка функцииподчиняетсяпереместительномузакону.

Доказательство:

Теорема оумноженииизображений.Пусть и,тогда произведениеизображенийпредставляетсясверткой оригиналов.

Доказательство:

Пусть изображениесвертки

(1)

Интеграл (1)представляетсобой повторныйинтеграл относительнопеременныхt и . Изменим порядокинтегрирования.Переменныеt и входят в выражениесимметрично.Замена переменнойпроизводитсяэквивалентно.

Если в последнеминтегралесделать заменупеременной,то после преобразованийпоследнийинтегралпреобразуетсяв функцию F₂(p).

Операция умножениядвух функцийв пространствеизображенийсоответствуетоперации сверткиих оригиналовв области оригиналов.Обобщениемтеоремы о сверткеесть теоремаЭфроса.

Теорема Эфроса.Пусть функциянаходится вобласти оригиналов,,а Ф(р) и q(р)– аналитическиефункции в областиизображений,такие, что ,тогда .

В практическихвычисленияхважную рольиграет следствиеиз теоремы освертке, наз.интеграл Дюамеля.Пусть все условиятеоремы выполняются,тогда

(2)

Соотношение(2) применяетсяпри решениидифференциальныхуравнений.

ОбратноепреобразованиеЛапласа.

- Это прямоепреобразованиеЛапласа.

Обратноепреобразованиеесть возможностьполучитьфункцию-оригиналчерез известнуюфункцию-изображение:

,где s– некотораяконстанта.

Пользоватьсяформулой дляобратногопреобразованияможно приопределенномвиде функцииF(p), либо длячисленногонахожденияфункции-оригиналапо известномуизображению.

Теоремыразложения.

Известнаяметодика разложениядробно-рациональныхфункций насумму элементарныхдробей (1)-(4) можетбыть представленав виде двухтеорем разложения.

Первая теоремаразложения.Пусть F(p) –изображениенекоторойфункции, тогдаэта функцияпредставляетсяв виде , k – постоянная,может бытьсколь угоднобольшим числом,,то возможенпочленныйпереход впространствооригиналовс помощью формулы: .

Вторая теоремаразложения.Если изображениепредставляетсядробно-рациональнойфункцией .Степень числаs меньшестепени знаменателяn, знаменательимеет корни₁,₂,…, _nсоответствующийкратности k₁,k₂, …,k_n ,при этом k₁+k₂ +…+k_n =n. В этом случаеоригинал функцииопределяетсяпо формуле :

(3)

Например :

Связьмежду преобразованиямиФурье и Лапласа.

ПреобразованиеЛапласа имеетвид :

(1)

На f(t)наложеныусловия :

1. f(t) определенаи непрерывнана всем интервале:(- ;)

2. f(t)0 , t (- ;0)

3. При M,S₀ >0, для всех t> 0 выполняетсяусловие |f(t)|S^0t

Если отказатьсяот условий 2 и3, и считать, чтоf(t) принимаетпроизвольноезначение приt

(2)

Формула (2) –двустороннеепреобразованиеЛапласа.

Пусть в (1) и (2) p =a + in,где aи n– действительныечисла.

Предположим,что Re(p)= a = 0, т.е.

(4)

(5)

4. и (5) соответственноодносторонниеи двусторонниепреобразованияФурье.

Для существованияпреобразованияФурье, функциядолжна удовлетворятьусловиям :

1. Должна бытьопределенана промежутке(- ;) , непрерывнавсюду, за исключениемконечногочисла точекразрыва первогорода.

2. Любой конечныйпромежутокоси t можноразделить наконечное числопромежутков,в каждом изкоторых функциялибо кусочно-гладкая,либо кусочно-монотонная.

3. Функция абсолютноинтегрируема: ,это условиевыполняется,если |f(t)|S^0t

Из существованияпреобразованияЛапласа неследует преобразованиеФурье. ПреобразованияФурье существуютдля более узкогокласса функций.ПреобразованияФурье не существуютдля постояннойи ограниченнойфункции : f(t)= C

АналогичнопреобразованияФурье не существуюти для гармоничныхфункций :

т.к.

Если f(t)= 0 при t>0и преобразованиедля этой функциисуществует,то оно можетбыть полученоиз таблицыоригиналови изображенийдля преобразованияЛапласа путемзамены параметраt на iu,но при этомнеобходимоубедиться, чтоF(p) необращаетсяв число справаот мнимой оси.

Если f(t) 0, t

(6)

Обозначим

Очевидно, что (6’)

Функция (6) называетсяспектральнойплотностью

В связи с изложеннымможно указатьдва пути отысканияспектральнойплотности :

1. Вычислениеинтеграла (5)

2. ИспользованиепреобразованияЛапласа илиФурье.

Непосредственноевычислениеспектральнойплотности дляабсолютноинтегрируемойфункции.

Функция F(iu)может бытьпредставлена,как комплекснаяфункция действительнойпеременной

(7)

|F(iu)| -амплитудноезначение спектральнойплотности, (u) – фазовыйугол.

В алгебраическойформе : F(iu) =a(u) +ib(u)

(8)

(9)

Для непосредственноговычисленияспектральнойплотностивычисляетсяинтеграл (6), азатем по формулам(8) и (9) определяетсяамплитудноезначение |F(iu)| и фазовый угол(u).

Пример.

Найти спектральнуюплотностьимпульса :

откуда ,далее

Отысканиеспектральнойплотности длянеабсолютноинтегрируемыхфункций.

Прямое преобразованиеФурье для такихфункций несуществует,существуетпреобразованиеЛагранжа.

Прямое преобразованиеФурье необходимо:

1. Для облегченияпроцесса решениядифференциальныхи интегральныхуравнений.

2. Для исследованияамплитуднойи частотнойхарактеристикспектральнойплотности,определеннойвсюду на числовойоси.

Введем следующееопределениеспектральнойплотности длянеабсолютноинтегрируемыхфункций:

Если для заданнойфункции y=f(t)существуетнепрерывноеизображениепо ЛапласуF(p), тоспектральнойплотностьюфункции называетсяизображениефункции поЛапласу приp = iu.

Спектральнойплотностью F₁(iu)неабсолютноинтегрируемойфункции называетсяпредел отспектральнойплотностиF₂(iu)абсолютноинтегрируемойфункции.