Задачи Лоповок

СЕДЬМОЙ КЛАСС

Измерение отрезков

1. Даны п прямых. Известно, что имеется 5 точек, каждая из которых является общей хотя бы для двух прямых из числа данных. Определите наименьшее возможное значение п.

2. Решите задачу 1, сопровождая решение рисунком, для числа точек 7, 9, 13.

3. Пять прямых расположены на плоскости так что име­ется 8 точек, через каждую из которых проходит не менее двух прямых из числа названных. Сколько отрезков определяют эти точки на названных прямых?

4. На прямой отмечены точки А, В, С (В между А и С). Из­вестно, что АВ ==3-см, ВС == 5 см. Пользуясь только циркулем, разделите отрезок АВ на части длиной по 1 см.

5. Точка В находится между точкам» А и С, причем АВ = Т см, ВС == 17 см. Пользуясь только циркулем, достройте на прямой АВ отрезок длиной 1 см.

6. М — середина отрезка АВ, Найдите на прямой АВ все такие точки X, которые отвечают условию: 2ХА = 3 (ХВ + ХМ).

7. От А до Р по прямолинейной дороге 35 км, остановки авто­буса расположены в точках В, С, В, Е. Зная, что АС ==12 км, ВО = 11 км, СЕ= 12 км, ВР == 16 км, найдите АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР.

8. Пункты А, В, С, D, Е, F, G, Н последовательно расположены вдоль прямолинейного шоссе. Найдите расстояния между каждыми двумя соседними пунктами из числа названных, зная, что АВ = 19 км, ВЕ = 21 км, СР = 19 км, ВО = 29 км, АР = 32 км, СН = 30 км, ЕН = 14 км.

9. На прямой последовательно отмечены точки Л.1, -Аз, -Аз, А^, ... так, что ААч== I» -Аг-Аа == 2, АзА^ == 3, .... Назовите отрезки с концами в указанных точках, имеющие длину 45.

10. По условию предыдущей задачи укажите два отрезка, расстояние между серединами которых равно 20.

Измерение углов

11. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют развернутый угол?

12. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют прямой угол?

13. Стрелки циферблата часов не совпадают, однако если поменять их местами, то они займут согласованное положение. Возможно ли это? Сколько раз в сутки может возникать такое положение стрелок?

14. Можно ли без помощи транспортира или других угломер­ных инструментов (приборов) построить угол в 1°, имея шаблон угла в 13°?

15. Решите задачу 14 при условии, что имеется шаблон угла в 17°.

16. Из точки О выходят 9 лучей, образующих углы по 40° (рис. 3). Каких углов на рисунке больше — острых или тупых?

17. Точка О — начало восьми лучей, образующих углы в 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80°. Каких углов на рисунке больше — острых или тупых?

18. Решите задачу 17 при условии, что лучи, исходящие из точки О, образуют последовательно углы в 8°, 16°, 24°, 32°, 40°, 48°, 56°, 64°, 72°.

19. По условию задачи 17 определите наличие развернутых углов.

20. В одной полуплоскости с границей АВ построены углы:

/- ВАС = 38°, ^ САВ == 68°, /- ВАЕ == 85°, ^ ЕАК == 99°. Определите градусную меру угла КАС.

21. В одной полуплоскости с границей АВ построены непе­рекрывающиеся треугольники с общей вершиной А. У всех треугольников углы при этой вершине по 24°. Сколько таких треугольников можно построить?

Смежные и вертикальные углы

22. Треть одного и три пятых другого из смежных углов дают в сумме прямой угол. Найдите эти смежные углы.

23. Один из смежных углов втрое больше разности между ними. Определите градусные меры этих углов.

24. Два угла имеют общую вершину, их соответственные стороны взаимно перпендикулярны. Могут ли эти углы оказать­ся вертикальными?

25. По условию задачи 17 определите, есть ли на рисунке вертикальные углы. Если да, то сколько пар таких углов?

26. Можно ли градусные меры двух смежных углов за­писать только нечетными цифрами; только четными цифрами?

27. А 0В и СОВ — углы с соответственно перпендикулярны­ми сторонами. Верно ли, что биссектрисы углов АОВ и ВОС лежат на одной прямой?

28. На листе бумаги изображен угол, но в пределах листа находятся его вершина и столь малые части сторон, что для его измерения нельзя воспользоваться транспортиром. Как опреде­лить градусную меру этого угла?

Перпендикуляр к прямой

29. Можно ли с помощью шаблона угла в 27° построить две взаимно перпендикулярные прямые?

30. Биссектрисы двух углов, имеющих общую сторону, взаимно перпендикулярны. Являются ли эти углы смежными?

31. Прямые а и Ь содержат биссектрисы углов, образовав­шихся при пересечении прямых о и Ь. Содержат ли прямые а и Ь биссектрисы углов, образовавшихся при пересечении пря­мых СИ И &1?

32. Через точку О прямой АВ в одной полуплоскости по­строены лучи ОС и 0В так, что /- АОС = /- ВОВ. Докажите, что биссектриса угла СОВ перпендикулярна АВ.

Первый признак равенства треугольников

33. Докажите, что две высоты треугольника, пересекаясь, не делятся пополам.

34. В концах отрезка АВ в полуплоскости с границей АВ построены АС и ВВ — равные перпендикуляры к АВ. До­кажите, что перпендикуляр к АВ, проходящий через его середину, перпендикулярен к отрезку СВ. Делит ли он пополам отрезок СВ.

35. На рисунке 4 отмечены равные отрезки и равные углы. Выясните, делит ли прямая I пополам отрезок ЕР. Перпенди­кулярны ли I и ЕР

36. Вершина А — общее начало двух лучей, соответственно перпендикулярах сторонам АВ и АС треугольника АВС и лежащих в одной полуплоскости с границей АС. На них отложены отрезки АВ и АЕ, равные названным сторонам (рис. 5). Докажите, что ВС == ВЕ.

37. Точка В находится между А и С. В одной полуплоскости построены перпендикуляры к АС: АВ == ВС и СЕ === АВ. Точ­ка О — середина ВВ, точка М — середина ВЕ (рис. 6). Докажите, что АО = СМ.

Второй признак равенства треугольников

38. На сторонах угла А взяты такие точки В и С, что АВ == = АС. Прямые ВВ -1_ АВ и СЕ А- АС пересекаются в точке О. Лежит ли она на биссектрисе угла А7

39. Как с помощью шаблона прямоугольного треугольника АВС построить биссектрису данного угла: а) острого, б) прямого?

40. Как с помощью шаблона остроугольного треугольника •АВС построить биссектрису данного угла?

41. Решите задачу 37, считая, что точки О и М не середины отрезков, а лежат на биссектрисах углов ВАВ и ВСЕ.

42. На сторонах угла А отмечены точки В, С и В, Е так, что АВ = АВ, ВС == ВЕ. Докажите, что точка О пересечения ВЕ и СВ лежит на биссектрисе угла А. Как использовать это при построении на местности биссектрисы угла без помощи угломерных инструментов?

Равнобедренный треугольник

43. Стороны. АВ и ВС треугольника АВС равны. Бис­сектрисы углов, смежных с углами. ВАС и ВСА, пересеклись в точке О. Докажите, - что она лежит на биссектрисе угла В.

44. С помощью шаблона острого угла разделите данный отрезок на 2ⁿ равных частей (n — натуральное число, большее 1).

45. Докажите, что серединный перпендикуляр основания равнобедренного треугольника проходит через вершину треугольника.

46. Серединные перпендикуляры боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС пересекли - АС в точках М и N. Докажите, что ВМ == ВN.

47. Точки А, В, С, D, Е расположены так, что АВ == ВС = СD = DЕ = ЕА, ^ ВАЕ == /- ВЕА. Равыыли ухдыАВСи ВВС?

48. Через середину отрезка ВС вострое» к нему перпенди­куляр- ОМ; тупые углы АВС и ВСВ равны- Зная,, что АВ == = ВС и ^. ВАА == А. СВВ ( ( риc. 7), докажите, что лучи АА и ВВ пересекаются на ОМ.

49. На рисунке 8 АС == 5Р, ^- САВ == ^ ДЯ4 = 90°, АМ и ДМ — биссектрисы углов САВ и ОВ-4. Лучи СМ и .ОМ пересекают прямую АВ в точках Я" и 2<. Докажите, что АЬ = 5ДГ.

50. Если биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делив пополам боковую сторону, то этот треугольник — равносторонний. Докажите.

51. Д АВС — равносторонний. Лучи АВ, ВЕ, СМ попарно пересекаются внутри треугольника, - причем углы ВАВ, СВЕ и АСМ равны (рис. 9). Являются ли точки В, Е, М вершинами равностороннего треугольника?

Третий признак равенства треугольников

52. Медианы АВ и ВО треугольника АВС, у которого АС =ВС, продолжены так, что ВЕ = АВ и ОК = ВО. Докажите, что /_ АКС = /_ ВЕС.

53. Докажите, что треугольники равны, если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника-

54. Докажите, что два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого треугольника.

55. Докажите, что треугольник, у которого равны, две высоты, равнобедренный.

66. Равны ли два треугольника, - если основание и проведенная к нему высота ;и медиана одного треугольника соответствен­но равны основанию и проведенным к нему высоте и медиане другого треугольника?

57. Если основание и высоты, проведенные к боковым сторонам одного остроугольного треугольника, соответственны основанию и высотам, проведенным к боковым сторонам друго­го остроугольного треугольника, то эти треугольники равны. Докажите.

Периметр треугольника

58. На отрезке АВ длиной -38 см .между А и В отмечены точки С, Са,Сз, ...,-Сп и построены .равносторонние треугольники с основаниями АС>, СгСа, СзСа,,..., С.пВ. Зависит ли сумма длин сторон треугольников, лежащих вне отрезка АВ, от количества отмеченных точек я их размещения на АВ (рис. 10),?

59. Периметр треугольника больше его сторон на 32, 29 и 23 см. Определите периметр треугольника.

60. Длины сторон треугольника АВС а, Ь, с. Известно, что

периметр больше а + Ь в — раза, больше а + с в -^- раза. Во сколько раз >он больше Ь -4- с?

Простейшие построения

61. Постройте угол, который на 25 % меньше данного угла.

62. Постройте угол, который вдвое меньше разности двух

данных углов.

63. Опустите из данной точки перпендикуляр на данную

прямую с помощью шаблона острого угла.

64. Разделите данный отрезок пополам с помощью линейки и циркуля постоянного раствора, меньшего половины длины отрезка.

65. Разделите данный отрезок на 8 равных частей с помощью шаблона острого угла.

Построения с помощью циркуля и линейки

66. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне .и медиане, проведенной к этой стороне.

67. Постройте треугольник по основанию, углу при основа­нии я сумме боковых сторон.

68. Постройте треугольник по основанию, медиане, проведен­ной к основанию, и высоте, проведенной к боковой стороне.

69. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности двух других .'сторон.

70. Ввв 'отрезка АВ построены такие точки С и О, что АС == == ВС и АВ == ВВ. Верно ли, что прямая СВ перпендикуляр на АВ? Как воспользоваться этой задачей при построении серединного перпендикуляра отрезка, выполняя построение в одной полуплоскости?

71. Точки А и В находятся на сторонах угла. Построить

отрезок, перпендикулярный АВ и имеющий середину на А1, а концы на сторонах угла.

72. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к боковой стороне.

73. Постройте треугольник по основанию, углу при основа­нии и разности боковых сторон.

74. Как опустить из точки М перпендикуляр на прямую I, ес­ли обычное построение невозможно, так как перпендикуляр проходит близко к краю доступной части плоскости?

75. Точки А и В находятся по разные стороны прямой I. Найдите такую точку М, чтобы биссектриса угла АМВ находилась | на I.

76. Постройте треугольник АВС по вершине А и прямым ! 1 и 1г, на которых лежат биссектрисы углов В и С треугольника.

Признаки параллельности прямых

77. При пересечении прямых АВтя. СВ прямой I образовались 8 углов, из которых 4 — равные тупые углы. Параллельны ли прямые АВ и СО?

78. Докажите, что два перпендикуляра к сторонам угла, который меньше развернутого, пересекаются.

79. На рисунке 11 даны величины углов В, С, О, Е. Парал­лельны ли прямые АВ и ЕР?

80. Две прямые параллельны. Две другие параллельные прямые пересекают их в точках А та В, С та О. Равны ли треуголь­ники АВС и ОСВ?

81. Прямые АВ и СО параллельны. Прямая пересекает их в точках Е и К. Общий перпендикуляр параллельных прямых делит пополам угол между ЕК и биссектрисой угла ВЕК. Найдите /- СКЕ.

82. Как с помощью шаблона прямого угла разделить попо­лам данный отрезок?

83. Как с помощью шаблона острого угла построить перпен­дикуляр к данной прямой в данной точке?

84. Края линейки параллельны, ее ширина меньше отрезка АВ. Как с помощью этой линейки разделить пополам отрезок АВ?

85. Как с помощью линейки с параллельными краями построить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку этой прямой?

86. Даны три параллельные прямые и точка М. Постройте прямую, проходящую через точку М так, чтобы разность длин отрезков, отсекаемых на этой прямой данными параллельными прямыми, была равна а.

Сумма углов треугольника

87. На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ и АС. Из В и С опущены перпендикуляры на стороны угла. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров лежит на биссектрисе

угла А.

88. По данным рисунка 12 определите, есть ли там парал­лельные прямые.

89. Равны ли равнобедренные прямоугольные треугольники, периметры которых равны?

90. Стороны двух треугольников соответственно перпенди­кулярны. Равны ли углы этих треугольников?

91. ВМ и СМ — биссектрисы внешних углов при основании равнобедренного треугольника АВС. Точки А и А-г симмет­ричны А относительно названных биссектрис. Докажите, что А АААу.—равнобедренный.

92. Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Докажите, что этот треуголь­ник — прямоугольный.

93. Отношение двух внутренних углов треугольника 2:3, а внешних углов при тех же вершинах —11:9. Найдите величи­ну третьего внешнего угла.

94. Точка М находится внутри треугольника АВС. Найдите сумму углов АМВ, АМС и ВМС.

95. Равнобедренные треугольники равны, их высоты, прове­денные к основаниям, совпадают. Как делятся, пересекаясь, их боковые стороны?

96. Постройте треугольник по двум углам и разности сторон, лежащих против этих углов.

97. В треугольнике АВС АС == ВС. На этих сторонах отме­чены такие точки В, Е, Р, что ВВ == ВЕ = ЕР == РС'== АВ (рис. 13). Найдите углы треугольника АВС.

98. Биссектрисы внешних углов треугольника АВС попарно пересекаются в точках 0, Оч, Оз. Докажите, что А С^ОгОз остро­угольный, и выразите его углы через углы треугольника АВС.

99. Биссектрисы двух внутренних углов остроугольного треугольника пересекают противолежащие стороны под углами 63° и 81°. Найдите углы треугольника.

100. Биссектриса угла при основании равнобедренного тре­угольника АВС отсекает равнобедренный треугольник. Опреде­лите градусные меры углов треугольника АВС.

101. Один из углов треугольника равен полу сумме двух Других, его стороны относятся, как 1:2. Найдите величины углов треугольника.

102. В треугольнике АВС АВ == АС, /- ВАС = 80°. Внутри треугольника взята такая точка М, что /- МВС = 10°, /- МСВ== == 30°. Найдите /.АМВ.

103. В треугольнике АВС АВ = ВС, /-В = 20°. На стороне АВ взята такая точка М, что ВМ == АС. Найдите /- МСА.

104. В равнобедренном треугольнике АВС /- В == 100 . Внутри треугольника взята такая точка М, что ^- МАВ == 10°, ^_ М&А = 20°. Найдите ^. ВМС.

105. Может ли пластинка иметь форму такого равнобедренно­го треугольника, чтобы ее можно было разрезать на 5 треуголь­ных частей с такими же углами, как у начального треугольника?

Прямоугольный треугольник

106. Высота, проведенная к боковой стороне равнобедрен­ного треугольника, делит пополам угол между основанием и биссектрисой угла при основании. Найдите углы равнобедрен­ного треугольника.

107. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.

108. Если острые углы прямоугольного треугольника относя­тся, как 1:3, то биссектриса наибольшего угла равна одному е з катетов. Докажите.

109. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и сумме гипотенузы с проведенной к ней медианой.

110. В треугольнике АВС /- А = 15°, ^ В == 30°. Докажите, что перпендикуляр СМ к АС делит сторону АВ на такие частя АМ и МВ, что АМ = 2 ВС (рис. 14).

111. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на три части. Найдите углы треугольника.

112. На прямой отложены отрезки АВ == 2, ВС == СВ =- 1, ВЕ = 2. Из точки М, находящейся вне этой прямой, все названные отрезки видны под равными углами. Определите градусные меры этих углов.

113. Желая доказать, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета, ученик построил из вершины прямого угла ВАС такой луч АМ, что ^- ВАМ = — ^- С (рис. 15). Как он хотел доказать теорему?

114. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника Шар толкнули по биссектрисе острого угла. Отразившись отбортов в точках В, Е, К, шар вернулся по пройденному пути (рис. 16). Найдите острые углы треугольника.

115. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольник? АВС. Шар толкнули по биссектрисе прямого угла С. Отразившись от бортов в точках К, Е, М, шар вернулся по пройден ному пути. Найдите острые угль! треугольника.

116. Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раз;

больше проведенной к ней высоты. Найдите острые углы треугольника.

117. Д АВС — прямоугольный, биссектрисы его острых углов — ВВ и СЕ, отрезки ВК и ЕМ — перпендикуляры к ВС (рис. 17). Найдите /- КАМ.

11в. Из города М по двум прямолинейным дорогам выехали одновременно велосипедист и мотоциклист. Через 20 мин после выезда мотоциклист прибыл в пункт В» а велосипедист в пункт А, при этом А МАВ оказался прямоугольным. Еще через 30 мин путешественники были в таких пунктах С и О, что А МСВ оказался равносторонним. Через сколько часов после этого они окажутся » таких пунктах Р и Т, что А МРТ будет прямоугольным?

119. В прямоугольном треугольнике АВС АВ == Асг Внутри треугольника взята такая точка М, что /- МАВ == ^- МВА == == 15°. Найдите А. ВМС.

Окружность

120. Докажите, что из двух пересекающихся хорд, не проходящих через центр окружности, хоть одна не делится пополам.

121. Докажите, что из центра вписанной окружности каждая сторона треугольника видна под тупым углом.

122. Окружность касается гипотенузы и продолжений катетов. Докажите, что диаметр окружности равен периметру прямоугольного треугольника.

123. На сторонах прямого угла М отмечены такие точки А и В, С и В, что ВО == АВ 4- СВ. Докажите, что разность диаметров окружностей, вписанных в треугольники МВВ а МАС, равна АС.

124. Катеты прямоугольного треугольника а, Ь, гипотенуза

с. Докажите, что радиус вписанной окружности г == ^д ~ ^с . &

125. Постройте две окружности с центрами на данной пря­мой в касающиеся одна другой в данной точке М и касающиеся другой данной прямой Ь.

126. Окружности с центрами 0 и Оу. касаются внешним образом. Окружность с центром Оэ и радиусом 12 см касается их внутренним образом. Определите периметр треугольника 010а0з.

127. Какую фигуру образуют все точки плоскости, из которых данная окружность видна под прямым углом?

128. Даны точки А, В, С, В. Постройте окружность, которая проходит через точки А и В» а касательные к ней, проведенные из точек С и В, равной длины.

129. Даны окружность М точка М вне ее. Проведите через М прямую, пересекающую окружность в точках, расстояние между которым» равно с.

130- Постройте окружность, которая касается двух дан­ных окружностей, причем одной из них — в данной точке М.

181. Постройте треугольник АВС по основанию, высоте, проведенной к боковой стороне, и радиусу описанной окруж­ности.

132. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведенным к основанию, и радиусу описанной окружности.

133. Постройте треугольник АВС, если дана прямая, "а которой лежит биссектриса угла А, и точка касания сторон АВ и ВС вписанной в треугольник окружности.

134. Постройте две окружности, каждая из которых касается одной из равных сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Докажите, что эти окружности равны, а прямая, проходящая через их центры, параллельна основанию тре­угольника.

Вписанные углы

135. Докажите теорему о вписанных углах, пользуясь рисунком 18.

136. Треугольник АВС — остроугольный, ВМ и СМ — перпендикуляры к АВ и АС. Докажите, что точка М лежит на окружности, описанной около треугольника АВС.

137. О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Докажите, что центр окружности, проходящей через точки А, В, О, лежит на прямой СО.

138. Два угла треугольника имеют величины 52° и 58°. Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках К, Ъ, М. Определите величины углов треугольника КЬМ.

139. Один из углов треугольника 40°. Стороны этого угла видны из центра описанной окружности под углами, которые относятся, как 2 : 3. Найдите эти углы.

140. Найдите углы треугольника, две стороны которого видны из центра описанной окружности под углами: а) 122° и 104°; б) 29° и 47°.

141. 0 и Оч — центры вписанной и описанной окружно­стей треугольника АВС. Зная, что ^- АОВ = //- АОчВ, най­дите /- С.

142. АА и ВВ — высоты треугольника АВС. Постройте треугольник АВС по точкам А, В и прямой АВ.

143. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане, проведенной к одному из катетов.

144. Постройте треугольник АВС по высоте АВ, углу между ВС и медианой АЕ, радиусу описанной окружности.

145. Прямая ВЕ проходит через вершину А треугольника АВС и касается описанной около треугольника окружности. Докажите, что углы ВАВ и ЕАС равны соответствующим углам треугольника.

146. В окружность вписан равносторонний треугольник АВС, М — точка окружности, находящаяся внутри угла АСВ. Докажите, что МА+ МВ = МС.

147. Вершины треугольника АВС находятся в точках I, V, VIII циферблата часов. Построены высоты АМ и СВ и перпендикуляр ВЕ к АС. Докажите, что АЕ = СМ (рис. 19).

148. Высота, биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на 4 равные части. Найдите величины углов треугольника.

149. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили угол на части, которые относятся, как 4:7:4. Найдите величины углов треугольника.

150. В треугольнике АВС на стороне ВС есть такая точка М, что ВМ = 2 МС и А- АМВ == 60°. Зная, что ^ ВАС = 60°, най­дите величины остальных углов треугольника.

ВОСЬМОЙ КЛАСС

Четырехугольник

1. В четырехугольнике проведены его диагонали. Сколько равных отрезков могло оказаться на рисунке?

2. В четырехугольнике проведены его диагонали. Какое наибольшее число прямых углов может оказаться на рисунке?

3. Верно ли, что среди углов выпуклого четырехуголь­ника всегда найдется хоть один прямой или тупой угол?

4. Постройте четырехугольник АВСВ по углам А и. В, сторонам АВ, АВ и сумме двух других сторон.

5. У четырехугольника АВСD угол С — прямой. Постройте этот четырехугольник по длинам сторон АВ, АВ, СВ и величине угла А.

Параллелограмм

6. Придумайте и обоснуйте признаки параллелограмма, от­личные от рассмотренных в школьном пособии по геометрии.

7. Точка М находится внутри угла, вершина которого недоступна (то есть лежит за пределами доступной части плос­кости). Постройте луч с началом М, направленный на вершину угла.

8. Пластинку в виде параллелограмма разрезали на 3 части, каждая из которых является равнобедренным треугольником. На рисунке 20 отмечено, какие отрезки равны. Определите градусные меры углов параллелограмма.

9. Точка М находится внутри данного угла. Постройте отрезок, у которого концы лежат на сторонах данного угла, а середина — в точке М.

10. Точки А и С находятся внутри данного угла. Постройте параллелограмм АВСD, у которого вершины В и D находятся на сторонах данного угла.

11. АВСD — параллелограмм. Вне его построены квадраты АВРЕ и ВСКМ. Докажите, что отрезки ЕВ и ВК взаимно перпен­дикулярны.

12. Постройте параллелограмм АВСВ по положению бс] -шин Л и В и расстояниям от данной точки М до вершин С и 1,

13. Постройте параллелограмм АВСD, если дана прям; и ВТ) и основания высот, проведенных из вершины В.

14. АВС1> — параллелограмм. Вне его построены равно­сторонние треугольники АВМ и ВСТ. Докажите, что А МОТ - равносторонний.

15. Периметр параллелограмма 48 см. Биссектриса одно а из углов делит параллелограмм на две части, разность периметров которых 6 см. Найдите длины сторон.

16. Через точку М на основании данного равнобедренного треугольника проведены прямые, соответственно параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр полученного параллелограмма не зависит от выбора точки М.

17. Биссектриса угла В параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС и продолжение стороны АВ в точках М и N. Докажите, что треугольники АВН и МСВ — равнобедренные.

18. Диагональ параллелограмма делит его угол в отноше­нии 1 : 3. Зная, что длины сторон относятся, как 1 : 2, найдите углы параллелограмма.

Прямоугольник

19. Диагонали четырехугольника равны, два угла его — прямые. Является ли этот четырехугольник прямоугольником?

20. Диагонали делят прямоугольник на 4 части, периметры

9 4 т. двух из них равны —и —периметра прямоугольника. Как отно­сятся длины сторон прямоугольника?

21. На рисунке 21 изображена фигура, у которой каждые две соседние стороны взаимно перпендикулярны. Найдите ее периметр.

22. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону на части, одна из которых вдвое больше другой. Определите, на какие части диагональ делит угол прямоугольника.

23. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону на части, одна из которых равна меньшей стороне прямоугольника. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

24. АВСВ — прямоугольник. На сторонах АВ и СВ отло­жены равные отрезки ВМ и СЕ; МК — перпендикуляр, опущен­ный на АС. Найдите /- ВКЕ.

25. На стороне ВС хтрямоугольника АВСВ есть такая точка М, что /- АМВ == А. АМВ. Зная, что АВ = 2 АВ, найдите вели­чины названных углов.

Ромб

26. Точка пересечения диагоналей четырехугольника равно­удалена от всех его сторон. Установите вид четырехугольника.

27. Вне ромба АВСВ построен равносторонний треугольник АМВ. Найдите /- СМВ.

28. Решите задачу 27 для случая, когда М находится внутри ромба.

29. Биссектрисы углов ВАС и ВDС параллелограмма АВСDпересекаются под углом 45°. Найдите угол между биссектри­сами углов АВВ и АСВ.

30. Постройте ромб АВСD, если даны середина стороны и центры окружностей, описанных около треугольников АВС »АВС.

31. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и В и расстоянию от данной точки М до середины ВС.

32. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и С расстоянию от данной точки М до середины ВС.

Квадрат

33. Какую фигуру образуют все точки плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от координатных осей равна 2?

| 34. Периметр квадрата 4. Найдите на плоскости квадрата все точки, для каждой из которых сумма расстояний от сторон квадрата или их продолжений равна 6.

35. В точках А, В, С прямой построены к ней перпенди­куляры АВ, СЕ и ВР, причем АВ == ВС, СЕ = АВ, ВР == АС, первые два в одной полуплоскости, третий — в другой (рис. 22). Докажите, что В — центр квадрата со стороной ВЕ, А — центр квадрата со стороной ЕР, С — центр квадрата со сторо­ной ВР.

36. На местности был отмечен участок АВСВ квадрат­ной формы. Из-за дождей границы участка были размыты, остались веха в центре О участка и колышки М ^ АВ и N (= СВ. Можно ли по этим данным восстановить границы участка?

37. Можно ли решить задачу 36, если второй колышек нахо­дится на стороне ВС?

38. АВСВ — квадрат. На сторонах АВ и ВС отложены Равные отрезки ВК и ВМ; ВТ — перпендикуляр, опущенный на КС. Найдите /- МТБ.

39. Постройте квадрат: а) по сумме стороны с диагональю;

б) по разности длин диагонали и стороны.

40. Можно ли построить квадрат АВСВ, у которого разность Расстояний от вершины В до прямых АВ и АС равна о?

41. АВСВ — квадрат. Найдите все такие точки М, что треугольники МАВ, МВС, МСВ, МАВ будут равнобедренный •,

42. На прямой отмечены точки А, В, С, В так, что АВ = С^::), и построены квадраты со сторонами АВ, ВВ, АС, СО. Первые два находятся по одну сторону от АО, последние — по другую. Являются ли центры этих квадратов вершинами квадрат. ?

43. АВСВ, ВСЕР и РЕКМ — равные квадраты. Докажи, что ^. САМ + ^- ЕАМ + ^ КАМ == 90° (рис. 23).

44. АВ — высота остроугольного треугольника АВС, О -центр квадрата, построенного на АВ вне треугольника, М ~ центр квадрата, построенного на АС в одной полуплоскости с В (рис. 24). Лежат ли точки М, В, О на одной прямой?

Теорема Фалеса

45. На прямой отложены равные отрезки АВ и ВС. Как по­строить через точки А, В, С параллельные прямые, чтобы они отсекли на другой данной прямой отрезки длиной по а?

46. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки параллельные прямые, чтобы они отсекли на данной прямой I отрезки равной длины.

47. Точки А, В, С лежат на прямой I, причем АВ =^ ВС. По­стройте через А, В, С параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой отрезки с разностью длин Ь.

48. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой I отрезки с разностью длин Ь.

49. АО — медиана треугольника АВС. Прямая СЕ пере­секает сторону АВ в точке М и делит названную медиану по­полам. Определите СЕ '. ЕМ и АМ : МВ.

50. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты такие точки М и ^, что ВМ : АВ = ВН : ВС = 1 : 3. Точки Т) v Е делят сторону А С на три равные части. Докажите, что МО = МЕ.

51. Медиана ВМ делит высоту АВ треугольника АВС в отно­шении 3:1, считая от вершины. В каком отношении эта высота делит медиану ВМ?

52. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведенной к боковой стороне.

53. Из вершин В и D параллелограмма АВСD проведены тра высоты. Как по серединам этих высот построить паралле­лограмм АВСD7

54. Постройте параллелограмм по середине стороны АВ и серединам высот, проведенных из вершины В.

55. Постройте параллелограмм АВСD по серединам сторон ВС и СВ и основанию высоты, проведенной из В к АВ.

56. Постройте параллелограмм АВСВ, если известна сере­дина стороны АВ и основание высоты, проведенной из вершины В к АВ.

57. Постройте ромб АВСВ, если известны середина стороны АВ и точки, в которых вписанная в ромб окружность касается сторон АВ и ВС.

Средняя линия треугольника

58. Периметр параллелограмма АВСВ 80 см. Биссектрисы углов А и В пересекаются в такой точке М, что сторона ВС делит отрезок АМ пополам. Найдите длины сторон параллелограмма.

59. В параллелограмме АВСВ из вершин В и О проведены по две высоты. Докажите, что середины этих высот являются вершинами некоторого параллелограмма.

60. Дан треугольник АВС. Какая фигура образуется центра­ми всех таких параллелограммов, у каждого из которых две стороны лежат на лучах АВ и АС, а одна из вершин находится на стороне ВС?

61. В выпуклом четырехугольнике АВСD сумма углов при стороне АВ 90°, АВ == СВ. Докажите, что середины диагоналей и середины сторон ВС и АВ являются вершинами квадрата.

62. Стороны параллелограмма 17 и 23 см. Биссектрисы всех его углов ограничивают четырехугольник КЬМН. Найдите его диагонали.

63. АВ — диаметр полуокружности с центром О, в точках А и В построены перпендикуляры к АВ. Касательная к полу­окружности в точке С пересекает эти перпендикуляры в точках В и Т; АС и ВО пересекаются в точке Е, ВС и ОТ пересекаются в точке М. Параллельны ли АВ я ЕМ?

64. АВСВ — выпуклый четырехугольник, середины его сто­рон — А, В, С, В[. Середины сторон четырехугольника АВСВ — Л.2, В-г, Сч, Вч. Середины сторон четырехугольника АчВчСчВч — Аз, Вз, Сз, Оз и т. д. Укажите точку, которая нахо­дится внутри всех таких четырехугольников.

65. Средняя линия треугольника АВС образует со стороной АВ углы, вдвое большие углов треугольника при этой стороне. Найдите величины углов треугольника АВС.

66. Постройте треугольник АВС по положению точек А и В и точке, в которой продолжение медианы АВ пересекает описан­ную окружность.

67. АВ — высота прямоугольного треугольника АВС. Бис­сектрисы углов В и САВ пересекаются в точке М, а биссектрисы углов С и ВАВ — в точке N. Параллельны ли прямые МП и ВС?

Трапеция

68. Из какого наименьшего числа прямоугольных треуголь­ников можно сложить трапецию?

69. Докажите, что треугольную пластинку можно разрезать на три части, имеющие форму трапеции.

70. Докажите, что четырехугольную пластинку можно раз­резать на три части, имеющие форму трапеции.

71. Пластинка имеет форму равнобокой трапеции. Как раз­резать ее на три равные трапеции, если: а) одно основание вдвое больше другого, б) длины оснований 6 и 10 см?

72. Два противоположных угла трапеции относятся, как 2:3, а два других — как 3:5. Найдите углы трапеции,

73. Биссектрисы углов при большем основании трапеций перпендикулярны боковым сторонам. Найдите углы трапеции

74. Постройте трапецию, если даны прямые, на которых лежат ее боковые стороны АВ и СВ, середина диагонали АС и точка на прямой АВ.

75» Пластинка имеет форму трапеции, ее основания 6 .» 24 см, углы при большем основании по 60°. Как разрезать трапецию на пять равных равнобоких трапеций?

76. Пластинку в форме трапеции можно разрезать на четыре равных равнобоких трапеции. Определите величины углов этих трапеций.

77. Прямая отсекает от равностороннего треугольника тра­пецию, которая делится диагоналями на 4 равнобедренных треугольника. Найдите угол между диагоналями трапеции.

78. Три стороны трапеции равны. Окружность, построенная на большем основании, как на диаметре, делит боковую сторону пополам. Найдите градусные меры углов трапеции.

79. АВСО — трапеция. Окружность, диаметром которой является меньшее основание трапеции, касается ее большего основания и делит диагонали трапеции пополам. Найдите величины углов трапеции.

80. Как разрезать квадратную пластинку на 8 частей, каж­дая из которых имеет форму непрямоугольной трапеции?

81. Впишите в данную окружность трапецию, у которой одно из оснований проходит через данную точку, а боковые сто­роны соответственно параллельны двум данным прямым.

Средняя линия трапеции

82. Докажите, что если диагонали трапеции взаимно пер­пендикулярны и равны, то ее высота равна средней линии.

83. Докажите теорему о средней линии трапеции, используя каждый раз один из рисунков 25—31.

84. Постройте трапецию по средней линии, расстоянию между основаниями и углам при одном из оснований.

85. На окружности даны точки А и В. Постройте две парал­лельные хорды АС и ВО, у -которых: а) сумма длин о; б) разность длин Ь.

86. Расстояние между основаниями трапеции равно средней линии. Найдите угол между диагоналями трапеции.

87. Основания трапеции ВС и АО. На СВ взята такая точка М, что АМ = АВ. Через В проведена прямая, параллельная СВ, она пересекает АМ в точке Р. Докажите, что ВМ == РС.

88. Длина одного из оснований равнобокой трапеции втрое больше длины другого основания. Из середины большего осно­вания меньшее видно под углом, вдвое меньшим угла, под кото­рым большее основание видно из середины меньшего. Найдите эти углы.

89. Если боковая сторона прямоугольной трапеции равна сумме оснований, то окружность, построенная на этой стороне, как на диаметре, касается другой боковой стороны. Докажите.

90. Основания трапеции 10 и 18 см, углы при меньшем основании по 120°. Как относятся периметры фигур, на которые трапеция делится своей средней линией?

91. Докажите, что средняя линия трапеции меньше хоть одной из диагоналей трапеции.

92. „Две окружности пересекаются в точке М. Как провести через эту точку прямую, на которой названные окружности отсекают равные отрезки?

93. Окружность, построенная на большем основании тра­пеции, как на диаметре, касается меньшего основания и про­ходит через концы средней линии. Найдите градусные меры углов трапеции.

Четырехугольник и окружность

94. В окружность вписан четырехугольник АВСО. Бис­сектрисы углов А и С пересекают окружность в точках Е и Р. Окажите, что прямая ЕР проходит через центр окружности.

95. Один из углов четырехугольника АВСО равен 56°, АВ === = ВС, АО == СО. Зная, что около четырехугольника можно опи­сать окружность, найдите величину наибольшего угла четырех­угольника.

96. Докажите, что около равнобокой трапеции можно опи­сать окружность.

97. Докажите, что в трапецию можно вписать окружность только в том случае, когда окружности, построенные на боко­вых сторонах, как на диаметрах, касаются.

98. Диагонали выпуклого четырехугольника взаимно пер­пендикулярны. Из точки их пересечения опущены перпен­дикуляры на все стороны четырехугольника. Докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной окруж­ности.

99. В окружность вписан прямоугольник АВСО. Из точки М окружности опущены перпендикуляры МЕ и МР на диаго­нали прямоугольника. Докажите, что расстояние между осно­ваниями перпендикуляров не зависит от выбора точки М.

100. АА, ВВ, СС — высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что лучи АН, ВН, СН делят пополам углы треугольника АВС.

101. Внутри треугольника АВС взята такая точка М, что ^- МАС = /I МВА = /. МСВ == к. На стороны треугольника

АВС опущены перпендикуляры МА, МВ, МС. Докажите, что ? эти перпендикуляры образуют с соответствующими сторонами треугольника АВС углы по ос.

192. Две окружности пересекаются в точках атл.в.Прямая, проходящая через А, пересекает окружности в точках С и О;

прямая, проходящая через В, пересекает окружности в точках Е и Р. Докажите, что СЕ || ВР. Верно ли это утверждение, если хорды. АС и ВЕ пересекаются?

103. Три окружности проходят через точку М и попарно пересекаются в точках А, В, С. Прямая, проходящая через точку А, пересекает две окружности в точках О и Е. Докажите, что прямые ВВ и ЕС пересекаются на третьей окружности (рис. 32).

104. Из всех параллелограммов около окружности можно описать только ромб. Докажите.

105. Около окружности с центром О описан четырехугольник АВСВ. Докажите, что ^ 'АОВ + ^- СОВ = ^ ВОС + ^ АОВ.

106. Около окружности описан четырехугольник АВСВ, его стороны касаются окружности в точках К, Ь, М, N. Мож­но ли по углам А, В, С определить углы четырехугольни­ка кьмт

107. Три стороны описанного четырехугольника 23, 26 и 53 см. Определите длину четвертой стороны.

108. Точки касания делят стороны АВ, ВС, СО описанного четырехугольника в отношениях 1:2, 3:4, 3:5. В каком отно­шении делится точкой касания сторона АО'1

Прямоугольные координаты

109. Радиус окружности 3. Сколько точек с целочислен­ными координатами может оказаться внутри окружности?

110. Шахматная доска расчерчена на равные квадраты. Считая сторону квадрата равной 1 и приняв две из начерченных линий за координатные оси, определите, сколько на доске точек с целочисленными координатами.

111. Решите задачу 110 для стоклеточной доски (для между­народных шашек).

112. Тетрадный лист разграфлен на квадраты со стороной 0,5 см. Размеры листа 164 X 203 мм. Две из построенных пря­мых приняты за оси координат, в качестве единицы взят 1 см. Сколько на этом листе точек с целочисленными координатами?

113. Найдите координаты вершин треугольника, если коор­динаты середин его сторон (4; 5), (6; 4), (8; 8).

114. Если у четырехугольника АВСВ х^ + Хс == Хд + Хц ^иУл 4- Ус ==' Ув + Ув > то ^этот четырехугольник — параллело­грамм. Докажите.

115. Если у трапеции суммы абсцисс концов боковых сторон одинаковы, то средняя линия трапеции перпендикулярна оси абсцисс. Докажите.

116. Даны графики у = х² + 5 и у = х² — 5. Докажите, что можно построить отрезок, параллельный оси абсцисс, у ко­торого концы находятся на данных графиках, а длина менее 0,01.

Параллельный перенос

117. Вершины треугольника находятся в точках (—1; 1), (11; 1), (11; 6). В результате параллельного переноса центр описанной окружности переместился в точку (8; 7). В какие точки переместились вершины треугольника?

118. Какой параллельный перенос нужно выполнить, чтобы

, 4ж + 2 - , 10, вместо графика у = ———— получить график у == — —'

119. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и расстоянию между серединами двух противоположных сторон.

120. Постройте четырехугольник по трем сторонам и углам при четвертой стороне.

121. Постройте равносторонний треугольник периметра Р, имеющий две вершины на двух данных параллельных прямых, а третью — на данной окружности.

122. Постройте квадрат со стороной а, у которого концы одной стороны находятся на двух данных параллельных пря­мых, а центр — на данной окружности.

123. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных параллельных прямых, а четвертая — на данной окружности.

124. Даны две окружности и прямая I. Постройте прямую, параллельную I, на которой данные окружности отсекают рав­ные отрезки.

125. АВ — диаметр полуокружности, СО — хорда, не па­раллельная АВ. Найдите на полуокружности такую точку М, чтобы прямые М.А и МВ пересекали СО в точках, расстояние между которыми равно а.

Сложение векторов

126. Векторы ОМ и МТ равной длины взаимно перпенди­кулярны. Зная, что Т (7; 17), найдите координаты векторов.

127. Длины векторов АВ и АС равны. Докажите, что вектор АВ + АС лежит на биссектрисе угла ВАС или параллелен ей.

128. МА, МВ, МС — радиусы окружности. Известно, что МА + МВ + МС = 0. Найдите углы между радиусами.

129. Четырехугольник АВСВ вписан в окружность с цент­ром М. Зная, что МА + МВ + МС + МВ == 0, определите вид четырехугольника.

130. Докажите, что вектор а (8; 8) коллинеарен Ь -- с,

если Ъ (5; 12), с (12; 5).

131. В окружность радиуса 6 см вписан прямоугольник АВСВ, М — точка этой окружности. Найдите длину вектора

МА + МВ + МС + МВ.

132. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС. Зная, что. ОМ == 18 см, найдите длину век­тора МА + МВ + МС.

133. Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны медианам треугольника АВС.

134. На плоскости даны точки А, В, С, В, Е, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно по­строить пятиугольник, стороны которого равны АС, ВО, СЕ, АВ, ВЕ.

135. АВСВ — параллелограмм. Точка М не принадлежит ни одной прямой, содержащей сторону параллелограмма. Дока­жите, что можно построить четырехугольник, длины сторон которого МА, МВ, МС, МВ.

Умножение вектора на число

136. Шесть точек соединены последовательно отрезками АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР, РА. Середины этих отрезков — Ао, Во, Со, Во, Ео, ро.Докажите, что для любой точки Г: ТАо + ТСо + +ТЕо=~ТВо+~ТВо+ТР~о.

137. АВСВ — четырехугольник, у которого сумма рас­стояний между серединами противолежащих сторон равна ^по­ловине периметра четырехугольника. Докажите, что АВСВ — параллелограмм.

138. Докажите, что, если М — точка пересечения медиан

треугольника АВС, то СМ == ^-(са + СВ}.

139. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что для любой точки Т: ТМ = -^-(ТА + ТВ + ГС").

о

140. Точка С лежит между А и В, причем АС'.СВ = пг:п. Докажите, что для любой точки Т:

ТС = —"-— ТА + —"——ТВ.

т + п т + п

141. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС соответ­ственно взяты такие точки С, А, В, что АС '. СВ = = ВА '. АС == СВ '. ВА. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВС и точка пересечения медиан треуголь­ника Д^С! совпадают.

142. АВСВ и АВСВ — параллелограммы. Верно ли, что середины отрезков АА, ВВ., СС, ВВ являются вершинами параллелограмма?

Косинус угла

143. Докажите, что если а ф Ъ и аЪ ~> О, то существует ост-

2аЬ рыи угол, косинус которого равен —з . ^ •

144. Докажите, что при любом действительном п =И= 1 суще­ствует острый угол, косинус которого равен "

2я² — 2п + 3

Теорема Пифагора

+ 145. Докажите, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба его гипотенузы. ^ 146. Докажите, что если Ь² + с² == 2о², то существует прямо-

„ & Ч- с Ь — с угольный треугольник, длины сторон которого а, —-—, —„—

&» ^

147. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с кате-

, „ л 1 _- а² , б² „ 2

тами а, Ь и гипотенузой с: а) —^ —а——г + -тт-—г ^ т-!

А (I -{- С О -- С О

2 ^ о² , Ь² ^, ,. _<, в³ | Ь³ , 5

Й " ^- " 1 ^и ,-- 1 . ^. " 1 " ^- "

^б) Т ^ Т^ТТ- -^г- ^ч~7 ^< - ' ^В; ^Т^ + ^Т^ ^< I»

148. Докажите, что сумма катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы.

149. Сумма углов при стороне АВ выпуклого четырехуголь­ника АВСВ равна 90°. Докажите, что ВС² + АВ² == АС² + ВВ². ^ 150. Докажите, что сумма квадратов медиан прямоуголь­ного треугольника в полтора раза больше квадрата его гипо­тенузы.

151. Докажите, что квадрат наименьшей медианы прямо-

угольного треугольника в 5 раз меньше суммы квадратов двух

других медиан.

152.- Если суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите.

153. Периметр квадрата Р. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до прямой, проходящей через его центр.

154. Катет АВ == а лежит против угла в 15°. Найдите

длину, второго катета.

155. Катет АВ == а лежит против угла в 22° 30'. Найдите длину второго катета.

- 156. Длины трех сторон прямоугольной трапеции 25, 25, 32 см. Найдите длину четвертой стороны.

- 157. Отрезок АВ == 12 см служит диаметром окружности с центром О. На отрезках АО и ВО, как на диаметрах построены окружности. Найдите радиус окружности, которая касается трех названных окружностей.

158. Из точки М стороны ВС прямоугольника АВСD отрезки АВ и АD видны под равными углами. Зная, что АВ === 80 см, АD == 89 см, определите, на какие части точка М делит сто­рону ВС.

159. Меньшее основание трапеции 4 см. Высота делит ее на треугольник и квадрат. Если в них вписать окружности, то диаметр одной равен радиусу другой. Найдите периметр тра­пеции.

160. Сторона квадрата 7. Внутри него отмечены 50 точек. Докажите, что среди них найдутся две, расстояние между которыми меньше У2.

161. Катеты прямоугольного треугольника 20 и 50 см. Опре­делите радиус окружности, которая касается меньшего катета и проходит через середины двух других сторон треугольника.

162. Наблюдатель видел стену АВ из двух пунктов под углами по 30°. Расстояние между пунктами 300 м, один нахо­дится строго к югу от В, другой — строго на восток от А. Опре­делите длину стены.

163. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного прямоугольника наименьшая возможная.

Расстояние между двумя точками

164. Докажите, что каждая точка графика у = ж² + 0»25 равноудалена от оси абсцисс и от точки (0; 0,5).

165. Внутри квадрата АВСD есть такая точка М, что МА == 7, МВ = 13, МС == 17. Определите длину стороны и диа­гонали квадрата.

166. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного равностороннего треугольника,— наи­меньшая возможная.

167. Точка В находится между точками А и С. По одну сто­рону прямой АС построены равносторонние треугольники АВВ и ВСК, по другую — равносторонний треугольник АСМ. Дока­жите, что центры окружностей, описанных около этих тре­угольников, являются вершинами равностороннего треуголь­ника.

Уравнение прямой

168. Три стороны ромба лежат на прямых х == О, у == х, у == == х + 3. На какой прямой лежит четвертая сторона ромба?

169. Найдите периметр треугольника, стороны которого

лежат на оси абсцисс и на прямых у == — ж и у == — —:с+ 15.

170. Равные отрезки АВ и С^ лежат на двух взаимно пер­пендикулярных прямых 1 и 1ч. Докажите, что прямая, прохо­дящая через середины отрезков ВВ и АВ, равно наклонена к прямым 1 и 1ч.

171. На каком расстоянии от начала координат проходит прямая, имеющая уравнение Зх — 4у + 24 == О?

172. Напишите уравнения прямых, на которых лежат сто­роны треугольника с вершинами А (—3; 5), В (1; —3), С (7; 9).

173. Напишите уравнение прямой, которая параллельна оси ординат и проходит через точку пересечения прямых 5.т — 9у — — 1 == 0 и Зх -{^у — 10 = 0.

174. Докажите, что прямые ах + 2у — 6 == 0 и Ьх — у + +5=0 пересекаются, если а + 2& ф 0.

175. Вершины треугольника находятся в точках А (0; 13), В (2; —1), С (10; 3). Докажите, что его медианы ВВ и СЕ взаимно перпендикулярны.

Пересечение прямой с окружностью

176. Даны окружности х² + у² = 25 и {х — 2)² + (г/ — б)² = == 40. Найдите точки пересечения этих окружностей с прямой, проходящей через их центры.

177. Центр окружности радиуса 5 находится в точке пере­сечения прямых Зж — 4г/ — 1 == 0 и 4.х + Зг/ — 18 == 0. В каких точках эта окружность пересекает названные прямые?

178. Окружность с центром (3; 5) касается оси абсцисс. В ка­ких точках она пересекает ось ординат?

179. Три вершины прямоугольника находятся в точках (0; 5), (8; 5), (8; —2). В каких точках окружность (х — 5)² + + (у — 2)² = 25 пересекает стороны прямоугольника?

180. Какую фигуру образуют все точки, удаленные на 2 от окружности ж² + у² = 49? В каких точках эта фигура пересе­кает оси координат?

Соотношения между тригонометрическими функциями острого угла

181. Найдите зависимость между о и Ь, если а == 2 вш х + + 3 соз х, Ь == 3 зш х — 2 соз ж.

182. Известно, что ат х

с

183. Зная, что 1-е х == -I

вш³х + 4 вщ х соа²х

сое х = —. Найдите Ъ§ х.

-, вычислите: а)

2 вш х + 7 сое х

6 эш ж + соз .г '^

3 вш х соа х + 2 сов³х

184. Постройте график функции: у = -/8Ш⁴х + 4 соа²х + + -/ соа⁴х + 4 зт²х.

185. Найдите зависимость между р у. ^, если р == вт х + соз х, ^ == 8№³х + сов³ х.

186. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катетов на 1 и 8 см. Найдите тригонометрические функции наи­меньшего угла этого треугольника.

187. Гипотенуза прямоугольного треугольника меньше суммы катетов на 6 см, но больше их разности на 10 см. Найдите тригонометрические функции большего из острых углов этого треугольника.

Тригонометрические функции некоторых острых углов

188. При каких целых а, Ь, с справедливы следующие равенства:

а) а • 8Ш 60° + Ь² • соз² 45° + с • -Ье 30° = 5 уз — 1;

б о • вш³ 30° + Ь соз² 60° + с • 1;ё 45° = -^;

в) а • 8т³ 45° + Ъ соз 30° + с • 1ё 60° = 2 -^2?

189. При каких целых а, Ь, с выполняются следующие равенства:

а зш ^°--+сое ^ ^Г^

^ » _1_ ^ь 4- ——^с—— = ^{4? б}) МП 30°" ' соэ 30° ' ^ 60°

. 18(Г , 120° , . 90° о -^л- ^"а————4- ,&———=2;

Изменение тригонометрических функций острого угла

190. Докажите, что для любого острого угла х при увели­чении натурального числа п величина у == соз" х уменьшается.

191. Сравните по величине: зш 58° соз 48° ^@ 38° и зш42° соа 32° 1@ 22°.

192. Запишите в порядке возрастания: вш76⁰, соа 58°, гё48°,8т38⁰.

193. Запишите в порядке убывания: соз² 10°, сое 30°, ^45°, 1§48°, 1ё50°.

Решение прямоугольных треугольников

194. Докажите, что катеты и высота, проведенная к гипотенузе, связаны соотношением: —г == —г + -тт. и о о

195. Проверьте качество измерения учащимися размеров четырехугольного участка вычислением координат (рис. 33).

196. Проверьте качество измерения учащимися размеров пятиугольного участка вычислением координат (рис. 34).

197. Результаты измерения школьниками сторон и углов земельного участка изображены на рисунке 35. Проверьте каче­ство работы вычислением координат.

Неравенство треугольника

(198. Докажите, что если точка М находится внутри тре­угольника АВС, то каждый из отрезков МА, МВ, МС меньше хоть' одной из сторон треугольника.

199. Докажите, что если две хорды окружности пере­секаются под прямым углом, то сумма этих хорд больше диа­метра.

200. Существует ли треугольник, у которого разность любых двух сторон не меньше шестой части периметра?

201.| Докажите, что в тупоугольном треугольнике сторона, лежавшая против тупого угла, наибольшая.

202.) Докажите, что сумма расстояний внутренней точки от всех вершин параллелограмма меньше его периметра.

203 Три угла четырехугольника тупые. Докажите, что диагональ, исходящая из вершины четвертого угла, больше другой диагонали.

204.Докажите, что сумма всех медиан треугольника больше

его периметра.

205. Длины сторон треугольника а, Ь, с, длины его медиан Ото, ть, те. Докажите, что можно построить треугольник со сто­ронами 'длиной а + тпа, Ь -{- ть, с + т.е.

206. )р окружность вписан равносторонний треугольник АВС..—Диаметр АВ пересекает ВС в точке Е, а хорда АК — в точке М. Докажите, что ЕВ > КМ.

207.Шве высоты треугольника не меньше сторон, к которым они. проведены. Найдите величины углов треугольника.

Скалярное произведение векторов

208. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

209. Точка М находится внутри прямоугольника АВСО. Докажите, что МА • МС == МВ • МО. Выполняется ли это соот­ношение, если точка М находится вне прямоугольника?

210. АВСВ — прямоугольник, докажите, что для любой точки Т имеет место равенство: ТА² + ТС² = ТВ² + ТО².

211. Если для точек А, В, С имеет место равенство АС² ++ ВС² = 4- АВ², то АС + ВС = 0. Докажите. л

212. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М, докажите, что для любой точки Т: ТА² + ТВ² + ГС² == == МА² + МВ² + МС² + 3 ТМ².

213. Докажите, что высоты треугольника или их продол­жения пересекаются в одной точке.

214. Окружность диаметра А^ пересекает сторону ВС прямоугольника АВСР в точках К и М. Докажите, что ВК • КО == СМ • МА.

215. АВС^ — ромб, ВК и СЕ — его высоты, проведенные к АО; точка М — середина КО, точка Р — середина СЕ. Найдите угол между ВМ и АР.

216. Найдите величину угла при вершине В равнобедрен­ного треугольника АВС, у которого медианы -АО и СЕ взаимно перпендикулярны.

Центральная симметрия

217. Постройте квадрат с данным центром О, зная, что две параллельные стороны квадрата (или их продолжения) прохо­дят через данные точки М ц N.

218. Постройте параллелограмм АВС^ по положению вершин А. и С и расстояниям а и Ь от вершин В и О до данной точки М.

219. Постройте треугольник по середине основания и сере­динам высот, проведенных к боковым сторонам. •

220. Точка М находится внутри треугольника АВС. Точки М), Мг, Мз симметричны М относительно середин сторон ВС, АС, АВ. Докажите, что прямые АМ, ВМг, СМз пересекаются в одной точке.

221. Диагональ АС четырехугольника АВСВ является диа­метром описанной окружности, АМ и СН — перпендикуляры, опущенные на диагональ ВВ. Докажите, что ВМ == ТЖ. О 222. Прямая, проходящая через середины Е и К диагоналей четырехугольника АВСВ, пересекает его стороны в точках М и N. Зная, что ЕМ = КН, докажите, что этот четырехугольник — параллелограмм или трапеция.

Осевая симметрия

223. Найдите координаты вершин ромба, у которого диа­гонали лежат на осях координат, а середина одной из сторон находится в точке (2; —3).

224. Точки С и О симметричны относительно прямой АВ. С помощью односторонней линейки постройте через данную точку М, не лежащую на АВ, перпендикуляр к АВ.

225. Дана окружность и ее центр О. Точки А и В лежат вне окружности. Постройте, пользуясь только циркулем, точки пересечения данной окружности с прямой АВ.

226. Ось симметрии диагонали прямоугольника отсекает на большей стороне отрезок, равный меньшей стороне. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

227. Центр вписанной в треугольник окружности и центр описанной около него окружности симметричны относительно стороны треугольника. Определите величины углов треуголь­ника.

228. Центр описанной около треугольника АВС окружности и центр окружности, которая касается стороны ВС и продолже­ний двух других сторон, симметричны относительно ВС. Опре­делите величины углов треугольника АВС.

229. Постройте треугольник АВС по положению вершины ^ и прямым, на которых лежат биссектрисы углов В и С.

230. Постройте треугольник по двум сторонам и разности углов при третьей стороне.

231. Постройте треугольник АВС по прямой ВС и середин­ным перпендикулярам сторон АВ и АС. }

232. Постройте параллелограмм АВСО по вершине В и серединным перпендикулярам 1 и 1ч сторон АВ и ВС.

233. Точки А и В находятся в одной полуплоскости с границей СО. Найдите на СВ такую точку М, чтобы /. АМС — I -- /_ ВМВ == 90°.

234. Внутри угла ВАС, величина которого 45°, даны точки 1 М и N. Постройте равнобедренный треугольник, у которого

основание лежит на луче АС, вершина — на луче АВ, а боковые стороны проходят через М и N.

235. Постройте параллелограмм АВСВ по лучам ВА и ВС и центру окружности, проходящей через точки А, С, ^.

0236. Точки О), Оч, Оз симметричны центру окружности, опи­санной около треугольника АВС, относительно его сторон. Дока­жите, что А -АВС == Д 0 ч0г.

237. По условию задачи 236 постройте по точкам 0, Оч, Оз треугольник АВС.

Поворот около точки

238. Постройте квадрат АВСВ по положению вершины В и расстояниям от данной точки М до вершин А у. С.

239. Постройте квадрат по расстояниям трех его вершин от данной точки М.

240. Точка В находится между точками А и С. По одну сто­рону от АС построены равносторонние треугольники АВВ, ВСР, по другую сторону — равносторонний треугольник АСЕ. Дока­жите, что центры этих треугольников являются вершинами равностороннего треугольника.

241. Точка М находится внутри равностороннего треуголь­ника АВС. Докажите, что можно построить треугольник, сто­роны которого соответственно равны отрезкам МА, МВ, МС.

242. На сторонах АВ и АС треугольника АВС вне треуголь­ника построены квадраты АВВК и АСЕМ. Докажите, что отре­зок КМ вдвое больше медианы треугольника, причем КМ 1- АО.

243. Постройте равносторонний треугольник, у которого середина основания — данная точка О, а боковые стороны (или их продолжения) проходят через данные точки М ц N.

244. Постройте равносторонний треугольник, у которого вершины лежат на трех данных концентрических окружностях, а центр — на данной прямой, пересекающей эти окружности.

245. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных концентрических окружностях, а четвертая — на данной прямой.

246. Внутри квадрата АВСВ имеется точка М, причем /- АМВ == 90°, МА — МВ == а. Найдите расстояние от точки М до центра квадрата.

247. Внутри равностороннего треугольника АВС имеется такая точка М, что /- АМВ = 120°, МА — МВ = а. Найдите расстояние от точки М до центра описанной около треуголь­ника окружности.

248. Отрезки АВ и СВ равны. Докажите, что можно выпол­нить такой поворот около точки О, что АВ и СВ совместятся. Как определить центр и угол поворота?

249. Каждый угол треугольника менее 120°. Найдите точ­ку с наименьшей возможной суммой расстояний от вершин

треугольника.

250. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна I, На его гипотенузе вне треугольника построен квадрат. Найдите расстояние от центра квадрата до вершины прямого угла тре­угольника.

Параллельный перенос

251. Точки А и В находятся по одну сторону от прямой СВ. Найдите на СВ такие точки Е и Р, чтобы АЕ = ВР и длина отрезка ЕР равнялась а.

252. Постройте четырехугольник по длинам двух противолежащих сторон, длинам диагоналей и углу между диагона­лями.

253. Даны лучи МА, МВ, МС. Постройте прямую, которая пересекает их в таких точках А, В, С, что АВ == ВС = а.

254. Постройте трапецию по боковым сторонам и расстоя­ниям между противоположными сторонами.

255. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и разности углов при одной из сторон.

256. Постройте отрезок данной длины о, параллельно данной прямой, с концами на двух данных окружностях.

257. Постройте отрезок длины а, параллельный прямой II, концы которого лежат на прямой 1ч и на данной окружности.

258. Даны точки А, В, С, В, Е. Проведите через А такую прямую, чтобы остальные точки были от нее по одну сторона а сумма расстояний от нее до В и С была на а меньше суммы расстояний от В и Е.

259. Постройте прямую, на которой две данные окружности отсекают отрезки длиной а и I.

Равенство фигур

260. Две пересекающиеся высоты и угол между ними одног параллелограмма равны двум высотам и углу между ними дру­гого параллелограмма. Равны ли эти параллелограммы?

261. Равны ли две трапеции, если стороны одной соответ­ственно равны сторонам другой?

262. Докажите, что две трапеции равны, если основания и диагонали одной трапеции соответственно равны основаниям и диагоналям другой.

263. Докажите, что две трапеции равны, если основания и углы при большем основании одной трапеции равны основа­ниям и углам при большем основании другой.

264. Через центр квадрата проходят две взаимно перпен­дикулярные прямые. Докажите, что отрезки их, заключенные между сторонами квадрата, равны.

265. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС. Через О проходят две прямые, образующие угол в 60°. Докажите, что отрезки прямых, ограниченные сторонами треугольника, равны.

266. Докажите, что параллельный перенос можно заменить двумя осевыми симметриями с параллельными осями.

267. Два треугольника равны. Сколько потребуется осевых симметрий, чтобы эти треугольники совместились?

268. Середины противоположных сторон четырехугольника АВСВ соединили отрезками, которые пересеклись в точке О. За­тем построили параллелограмм ОКТМ так, что ОК = 20Н, ОМ = 20Е, и провели ВР \ ВС и ВР \ АВ (рис. 36). Докажите, что четырехугольник АВСВ и параллелограмм составлены из соответственно равных четырехугольников ах при положи

-

ДЕВЯТЫЙ КЛАСС

Гомотетия

1. Докажите, что фигуры у = х² и у тельном а ^= 1 гомотетичны.

2. Гомотетичны ли фигуры у = ж³ и у = 4х³? Если да, ука­жите центр и коэффициент гомотетии.

3. Гомотетичны ли относительно начала координат прямые:

а) ах + Ьу — с = О и ах + Ьу + с = 0; б) 2-е — Зг/ — 5 == О и Зх — 2у — 5 = О?

4. Гомотетичны ли треугольник АВС и треугольник, образованный его средними линиями? Если да, укажите центр и коэффициент гомотетии.

5. Впишите в треугольник АВС треугольник, стороны которого соответственно перпендикулярны: а) сторонам треугольника АВС; б) биссектрисам углов треугольника АВС.

6. Докажите, что середины всех отрезков, которые парал­лельны стороне АВ треугольника АВС и имеют концы на двух других сторонах, лежат на медиане СР.

7. Вершины треугольника недоступны (то есть лежат за пре­делами данной части плоскости). Используя результат задачи 6, определите построением длины всех сторон треугольника (рис. 37).

8. Вершины треугольника недоступны. Постройте: а) центр описанной окружности; б) точку пересечения высот треугольника (или их продолжений).

9. Постройте прямую, параллельную стороне ВС треугольника АВС и пересекающую АВ и АС в таких точках В и Е, что АВ = ЕС.

10. Постройте равносторонний треугольник, у которого медианы пересекаются в данной точке М, а концы одной из высот лежат на двух данных окружностях.

11. Постройте окружность, которая касается данной окружности и в данной точке касается данной прямой.

12. Постройте квадрат АВСВ, зная положение вершины А. и двух прямых, одна из которых проходит через точку В, а вто­рая через центр квадрата.

13. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и в точках A и B касаются: а)сторон данного угла; б) двух данных окружностей.

14. На обломке круга сохранился центр круга О и части хорды АВ без ее концов. Найдите построением величину угла АОВ.

15. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и основания АС треугольника АВС. Кроме того, одна окружность касается боковой стороны АВ треугольника АВС, а другая — боковой стороны ВС.

16. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и основания АВ треугольника АВС. Кроме того, одна из них касается продолжения стороны АВ, а другая — продолжения стороны ВС.

17. Даны прямые о и Ъ и точка М, не принадлежащая этим прямым. Постройте две окружности, которые пересекаются в точке М, касаются прямой а и имеют центры на прямой Ь.

18. АВ и АС — хорды данной окружности. Постройте окружность, которая касается данной окружности и сторон угла ВАС.

19. Даны две пересекающиеся прямые и окружность. Постройте окружность, которая касается этих прямых и данной окружности.

20. Постройте прямоугольный треугольник АВС по острому углу А и сумме катета ВС с проведенной к нему медианой.

21. Постройте трапецию по ее высоте и отношению длкт всех сторон АВ : ВС : СО : АВ (основания трапеции Ж и АВ}.

Подобие треугольников

22. Через внутреннюю точку М треугольника АВС постройте прямую, которая отсекает треугольник, подобный треугольнику АВС. Сколько решений имеет задача?

23. В угол вписаны три окружности, одна из которых касается двух других. Докажите, что их радиусы связаны соотношением: г| == Г) • Гз.

24. Стороны двух треугольников соответственно перпендикулярны. Подобны ли эти треугольники?

25. МАВ и МСВ — секущие к окружности. Докажите, что треугольники МАС и МВВ подобны.

26. Через точку пересечения диагоналей четырехугольника АВСВ проведена прямая, пересекающая две его стороны в точках М и N. Из этих точек опущены перпендикуляры на диагонали четырехугольника (рис. 38). Верно ли, что основания перпендикуляров являются вершинами трапеции или параллелограмма?

27. Два треугольника подобны. Разность их больших сторон 12 см, разность их меньших сторон 6 см, длины двух средних стопин 30 и 20 см. Определите периметры треугольников.

28. Периметры двух подобных прямоугольных треугольников относятся, как 1 : 8. У одного треугольника гипотенуза больше большего катета на 16 см, у другого — сумма гипотенузы с меньшим катетом имеет ту же величину. Найдите длины сторон этих треугольников.

29. Два треугольника не равны. Могут ли 5 основных элементов одного треугольника равняться пяти основным элементам другого?

30. Треугольники со сторонами а, Ъ, с и Ь, с, и подобны. Может ли коэффициент подобия равняться 2; 1,6; 0,б?

31. Длины катетов и гипотенузы двух подобных треуголь­ников а, Ь, с и а, Ь, с. Докажите, что аа + ЬЬ == сс.|

32. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что АН вдвое больше расстояния от центра | описанной окружности до стороны ВС.

33. О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника АВС, ОА + 0В + ОС == ОМ. Докажите, что

Точка М находится внутри треугольника АВС.

34. АА и ВВ — высоты треугольника АВС, у которого ^С = 60°. Докажите, что точки А, В и середина стороны АВ — вершины равностороннего треугольника.

35. Докажите, что треугольник можно разрезать на любое натуральное число п > 5 подобных ему треугольников.

36. Даны две непараллельные прямые 1 и 1ч и точки А и В вне этих прямых. Постройте через А и В две параллельные прямые, которые отсекают на 1 и 1ч отрезки с отношением Длин 2 : 3.

_37. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметьте такие точки D и Е, чтобы АВ == DЕ == ЕС.

38. Из вершины ромба проведены две высоты, расстояние между основаниями которых вдвое меньше диагонали ромба. Найдите величины углов ромба.

39. АВ — диаметр полуокружности. Хорды АС и ВD (или их продолжения) пересекаются в точке М. Докажите, что АС • АМ + ВD • ВМ = АВ².

40. Диагональ ВВ ромба АВСВ равна его стороне. Точка М находится на луче ВА вне ромба. МС пересекает АВ в точке О. Под каким углом пересекаются прямые МВ и ВО (рис. 39)?

41. Точка М находится внутри треугольника АВС, причем АМ = ВМ. На сторонах АС и ВС вне треугольника АВС по строены треугольники АСР и ВСК, подобные треугольнику АВМ, причем их равные стороны лежат вне треугольника АВС. Докажите, что четырехугольник МРСК — параллелограмм

42. АВСВ — четырехугольник, M1, M2, M3, M4 — центры масс треугольников АВС, ВСВ, СВА, ВАВ. Докажите, что четырехугольники АВСВ и M1M2M3M4подобны.

43. Длины оснований трапеции 6 и 12 см. Середину каждого основания соединили с концами другого основания, построенные отрезки пересеклись в точках М и N. Найдите расстояние между М и N.

44. Основания трапеции 12 и 36 см. Середину меньшего основания соединили с концами второго основания. Эти отрезки пересекли диагонали трапеции в точках М и N. Найдите расстояние между М и N.

45. В окружность вписан выпуклый четырехугольник АВСD. Докажите, что АС • ВD = АВ • СВ + ВС • АВ.

46. Две хорды пересекаются внутри окружности. Докажите что произведения отрезков этих хорд равны.

47. Две хорды взаимно перпендикулярны. Докажите, чтосумма квадратов отрезков этих хорд равна квадрату диаметр окружности.

48. Окружность проходит через вершину А параллелограмма АВСВ и пересекает прямые АВ, АС, АВ в точках Е С|, г>1. Докажите, что АВ • АВ + АВ • АВ^ == АС • АС (Рис. 40).

Ломаная

49. Ломаная состоит из 7 звеньев, угол между каждыми двумя смежными звеньями 150°. Докажите, что эта ломан;

имеет два звена, которые лежат на одной прямой или параллельны.

50. Даны п > 2 точек, не все из которых лежат на одной при мой. Докажите, что можно построить простую замкнутую ломаную, на звеньях которой размещаются все данные точки.

51. Сторона квадрата 12 см. Внутри его помещена ломаная длиной 51 см. Докажите, что эта ломаная имеет не менее четы­рех звеньев.

52. На сторонах треугольника АВС вне его построены квад­раты с центрами 0, Оч, Оз. Точки Ао, Во, Со — середины сто­рон треугольника АВС, СцАоОдВ — параллелограмм (рис. 41). Докажите, что ломаные 0ВСоОз и О^ВцСоВ равны.

53. Используя результат задачи 52, докажите, что отрез­ки 0 у. и О^В равны и взаимно перпендикулярны. Выве­дите отсюда один из путей построения треугольника по центрам квадратов, построенных на его сторонах вне тре­угольника.

54. Замкнутая ломаная состоит из 1989 звеньев и не имеет самопересечений. Докажите, что прямая, не проходящая ни через одну вершину ломаной, не пересекает всех звеньев этой ломаной.

55. Турист двигался по ломаной, все звенья которой имели одинаковую длину, и записывал повороты, которые делал в ее вершинах: вправо 15°, 30°, 90°, 105°, влево 120°, вправо 75°, 30°, 90°. Был ли его маршрут замкнутым?

Многоугольник

56. У выпуклого многоугольника 1000 вершин, внутри него даны 2000 точек. Среди этих 3000 точек (вершин и данных) никакие три не лежат на одной прямой. Многоугольник разбит на треугольники, вершинами которых являются только точки из числа названных. При этом треугольники не перекрываются и каждая из 3000 точек является вершиной хоть одного тре­угольника. Определите общее число треугольников.

57. Докажите, что у выпуклого многоугольника имеется диагональ, которая больше, по крайней мере, двух его сторон.

58. Какое наибольшее число прямых углов может быть среди внутренних углов выпуклого многоугольника?

59. Каждая сторона п-угольника является диаметром круга. Зная, что эти круги содержат все внутренние точки много­угольника, определите возможные значения п.

60. Докажите, что пластинку в форме выпуклого пятиуголь­ника можно разрезать на три трапеции.

61. Докажите, что выпуклый га-угольник (п ~> 4) можно раз­делить на п — 2 трапеции.

62. Диагональ делит выпуклый пятиугольник на ромб АВВЕ и равносторонний треугольник ВСВ. Найдите угол АСЕ.

63. Докажите, что можно построить пятиугольник, стороны которого равны диагоналям некоторого пятиугольника.

64. Постройте пятиугольник по положению середин всех его сторон.

65. Постройте пятиугольник по положению середин всех его диагоналей.

66. АВСВЕР — шестиугольник, середины сторон которого К, Ь, М, К, О, Р. Докажите, что центры масс треугольников КМО и ШР совпадают.

67. В окружность вписан выпуклый семиугольник, у кото­рого градусные меры трех углов равны по 120°. Докажите, что среди сторон этого семиугольника есть две равные.

68. Стороны треугольника 5, 6, 10 см. Три прямые, соответ­ственно параллельные сторонам треугольника, попарно пере­секаются вне треугольника. Эти прямые пересекают стороны треугольника так, что образуется равносторонний шестиуголь­ник. Найдите его периметр.

69. Все углы выпуклого шестиугольника равны. Докажите, что разности длин его параллельных сторон одинаковы.

Площадь прямоугольника

70. Меньшая из боковых сторон прямоугольной трапеции а. Другая боковая сторона равна сумме оснований. Найдите пло­щадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям названной трапеции.

71. Диагонали ромба 30 и 40 см. Вписанная в ромб окруж­ность касается его сторон в точках А, В, С, В. Найдите площадь четырехугольника АВСВ.

72. Длины сторон прямоугольника а и Ь. Как разрезать его на две части, из которых можно сложить квадрат, если:

а) о = 8 см» Ъ = 18 см; б) о == 9 см, Ь === 16 см?

73. Длины сторон прямоугольника выражаются целыми числами в сантиметрах, причем периметр (в сантиметрах) и пло­щадь (в квадратных сантиметрах) выражены одинаковыми числами. Найдите площадь прямоугольника.

74. Расстояния внутренней точки М от трех вершин квадра­та АВСВ такие: МА == 7 см, МВ = 17 см, МС == 23 см. Найдите площадь квадрата.

75. Даны три параллельные прямые, средняя из которых удалена от двух других на о и Ь. Найдите площадь квадрата, три вершины которого находятся на этих прямых.

76. В окружность радиуса Д вписан прямоугольник пери­метра Р. Найдите площадь прямоугольника.

Площадь параллелограмма

77. Найдите площадь параллелограмма по его периметру Р и двум высотам — Н и Н<г.

78. Отрезок ВМ лежит вне треугольника АВС, но его продол­жение пересекает сторону АС. Построены параллелограммы АВМВ и СВМЕ. Докажите, что сумма площадей этих параллело­граммов равна площади четырехугольника АВЕС.

79. На двух параллельных прямых отложены равные отрез­ки АВ и СВ, затем построены 4 параллелограмма (рис. 42).

Докажите, что сумма площадей двух первых параллелограммов равна сумме площадей двух других.

80. На рисунке 43 построены 6 параллелограммов аналогич­но задаче 79. Докажите, что 8 + 82 + 8з = 6ч + 85 + 8е.

81. Найдите площадь параллелограмма, у которого острый угол та, а расстояния от центра параллелограмма до сторон равны т и ге.

82. Найдите площадь параллелограмма, у которого пери­метр Р = 65 см, а точка пересечения диагоналей удалена от сто­рон на 4 и 6 см.

83. Площадь ромба вдвое меньше площади квадрата, имею­щего такой же периметр, как ромб. Найдите углы ромба.

84. Площадь равностороннего треугольника АВС равна 8. Из точки М на ВС проведены прямые, параллельные АВ и АС. Какую наибольшую площадь может иметь площадь получен­ного параллелограмма?

Площадь треугольника

85. Докажите, что в каждом треугольнике аЪ + ас + &с > 6 8.

86. Найдите углы треугольника, у которого 8 (о² + Ь²).

87. Докажите, что в каждом треугольнике

— аЬ + Ь²).

88. Верно ли, что в треугольнике со сторонами а, Ь, с и высотами На, Ъ.ь, Нс: (а + Ь + с)

•+ь+

89. Длины двух сторон треугольника а и Ь, биссектрисы углов при третьей стороне пересекаются под углом 15°. Найдите площадь треугольника.

90. Два равных прямоугольника имеют общую диагональ, докажите, что площадь их общей части больше половины пло­щади каждого прямоугольника.

91. Докажите, что площадь четырехугольника не больше произведения полу сумм длин противоположных сторон.

92. Около квадрата АВСВ описана окружность. Найдите на ней такую точку М, чтобы произведение МА • МВ • МС • МВ имело наибольшую возможную величину.

93. Площадь параллелограмма АВСВ равна О. Вершина М параллелограмма АМКВ делит ВС так, что ВМ : МС ===3:5. Найдите площадь общей части параллелограммов.

94. Площадь четырехугольника <?, длины его сторон а, Ь, с, <1, внешние углы ос., (3, у, 6 (рис. 44). Найдите (аЬ зш та + + Ьс аш р + сд. вш -у + а<1 зш 6) : О.

95. У выпуклого четырехугольника АВСВ стороны АВ и СВ равны и лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых. Докажите, что его площадь в 4 раза меньше раз­ности квадратов сторон АТ) и ВС.

96. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямо­угольного треугольника в 8 раз больше площади треугольника. Найдите градусные меры острых углов треугольника.

97. АВСВ — параллелограмм, М — середина АВ, К — сере­дина ВС; АК и ВМ пересекаются в точке О. Найдите отношение площадей треугольника АОВ и параллелограмма АВСВ.

98. Две высоты треугольника делят его на две пары равно­великих частей. Найдите величины углов треугольника.

99. Разность двух сторон треугольника равна разности высот, проведенных к этим сторонам. Докажите, что эти сторо­ны лежат против острых углов.

100. Площадь остроугольного треугольника равна О. Из середины каждой стороны опущены перпендикуляры на другие стороны. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами (рис. 45).

101. Существует ли равнобокая трапеция, которая делится своей диагональю на части с отношением периметров 1 : 2 и отношением площадей 1 : З?

102. Найдите площадь прямоугольного треугольника, у ко­торого наибольшая медиана имеет длину т и образует с боль­шим катетом угол в 15°.

103. Из точки М, находящейся внутри равностороннего треугольника, опущены перпендикуляры на его стороны. Зная, что длины перпендикуляров 1, 4 и 7 см, найдите площади полученных четырехугольников.

104. Высота АВ и медиана АЕ == т треугольника АВС об­разуют со стороной АВ углы по <х. Найдите площадь треугольни­ка АВС (рис. 46).

105. Длины сторон треугольника 30, 30, 36 см. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окруж­ностей.

106. Докажите, что в прямоугольном треугольнике про­изведение радиуса вписанной окружности на радиус описанной

окружности больше -д- площади треугольника.

107. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на части а и Ъ. Докажите, что площадь тре­угольника 8 == аЬ.

108. Длины сторон треугольника в сантиметрах выражены последовательными целыми числами. Найдите длины его сторон, зная, что радиус вписанной окружности 4 см.

109. Длины сторон треугольника в сантиметрах выражают­ся последовательными натуральными числами. Найдите эти стороны, зная, что площадь треугольника равна 1170см².

110. Три прямые параллельны. Средняя из них удалена от двух других на 4 и 7 см. Найдите площадь равностороннего треугольника, вершины которого лежат на этих трех прямых.

Площадь трапеции

111. Треугольник разделен на три трапеции, общей верши­ной которых является центр масс треугольника. Сравните площади названных трапеций.

112. Площадь квадрата, построенного на диагонали равнобокой трапеции, в 4 раза больше площади трапеции. Найдите угол между диагоналями трапеции.

113. Сумма площадей квадратов, построенных на диагона­лях трапеции, в 4 раза больше площади трапеции. Докажите, что диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны.

114. Основания трапеции ВС и АВ, диагонали пересекаются в точке О. Площади треугольников АВО и ВСО равны 50 и 20 см². Найдите площадь трапеции.

115. Угол между диагоналями равнобокой трапеции равен 60° (два случая). Как разрезать эту трапецию на возможно меньшее число частей, из которых можно сложить равносторон­ний треугольник?

116. Диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендику­лярны. Продолжения боковых сторон АВ и СВ пересекаются в точке М под углом в 30°. Зная, что площадь треугольника ВМС равна О, найдите площадь трапеции.

117. В полукруг радиуса 2 см вписана трапеция, периметр которой равен 10 см. Найдите площадь трапеции.

Площади подобных фигур

118. Площадь треугольника равна 8. Каждую его сторону продлили на своей длины в обе стороны. Найдите площадь шестиугольника, который получился, когда соединили концы указанных отрезков.

119. В равносторонний треугольник АВС вписали треуголь­ник ВЕР, стороны которого соответственно перпендикулярны сторонам треугольника АВС. Найдите отношение площадей треугольников ВЕР и АВС.

120. Площадь треугольника АВС равна 120 см². Каждую его сторону разделили в отношении 1:2:1. Через точки деле­ния провели три прямые, которые отсекли от треугольника три треугольника (рис. 47). Определите площадь оставшегося шестиугольника.

121. На высотах ВК и ВМ ромба АВСВ построили ромб. Зная, что его площадь вдвое меньше площади ромба АВСВ, найдите величины углов ромба.

122. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 24 см. Прямая, параллельная наименьшей медиане, разделила тре­угольник на части, площади которых относятся, как 1 : 7. Найдите длину отрезка этой прямой, ограниченного сторонами треугольника.

123. В прямоугольный треугольник, две большие стороны которого 8 и 10 см, вписана окружность. Построив касательные к ней, соответственно параллельные сторонам треугольника, получили шестиугольник. Найдите его площадь.

124. Основания трапеции 7 и 17 см. Прямая, параллельная основаниям, разделила трапецию на равновеликие части. Най­дите длину отрезка прямой, ограниченного боковыми сторонами трапеции.

125. Через внутреннюю точку М треугольника АВС проведе­ны три прямые, соответственно параллельные сторонам тре­угольника АВС. Площади образовавшихся треугольников с вер­шиной М равный), иг, <5з Найдите площадь треугольника АВС.

Правильные многоугольники

126. На сколько областей делят плоскость прямые, на кото­рых лежат все стороны данного правильного: а) шестиугольни­ка; б) восьмиугольника?

127. Треугольник АВС — равносторонний. Вне его построе­ны квадраты АВВА, АССАч, ВССчВч. Прямые АА и ССа, ВВ1 и СС, АА-г и ВВг пересекаются в точках К, Ь, М (рис. 48). Докажите, что шестиугольник АКСЬВМ — правильный.

128. Постройте правильный шестиугольник с центром в дан­ной точке О, зная, что концы одной малой диагонали лежат на двух данных прямых.

129. Постройте правильный восьмиугольник, у которого центр находится в данной точке О, а концы двух апофем, про­веденных к смежным сторонам, находятся на данной окружно­сти и данной прямой.

130. Как изменится решение задачи 129, если концы назван­ных апофем лежат на данной окружности, центр которой не О?

131. На сторонах квадрата АВС^ вне его построены равно­сторонние треугольники АВК, ВСМ, СОР, ВАТ. Докажите, что середины отрезков КМ, МР, РТ, ТК, АК, ВК, ВМ, СМ, СР, ОР, ОТ, АТ являются вершинами правильного двенадцати­угольника.

132. Останется ли верным заключение задачи 131, если названные треугольники построены внутри квадрата?

133. Точка М находится в плоскости правильного шести­угольника АВСВЕР. Докажите, что можно построить шести­угольник, длины сторон которого равны расстояниям от точки М до вершин А, В, С, ^, Е, Р.

134. Известно, что некоторый пятиугольник имеет не менее двух осей симметрии. Является ли он правильным?

135. Выпуклый шестиугольник вписан в окружность и име­ет 3 оси симметрии. Является ли он правильным?

136. Выпуклый двенадцатиугольник вписан в окружность. Известно, что он имеет 3 оси симметрии. Является ли он пра­вильным?

137. Докажите следующие утверждения о разности диагона­лей правильного многоугольника ААчАз..Ап'- а) при га = = 9 АА^—ААг равна стороне многоугольника; б) при га = 18 ААд — ААч == АА^.

138. Квадрат вписан в окружность. Через середины каждых двух смежных сторон квадрата построена прямая. Докажите, что точки пересечения этих прямых с окружностью и вершины квадрата являются вершинами правильного двенадцатиуголь­ника.

139. Прямая проходит через центр равностороннего тре­угольника АВС и пересекает сторону ВС. Под каким углом к ВС нужно строить эту прямую, чтобы ее отрезок, ограниченный двумя сторонами треугольника, имел наименьшую возможную длину?

140. Через центр квадрата проходят прямые. Докажите, что для всех этих прямых сумма квадратов их расстояний от вер­шин данного квадрата одинакова.

141. Останется ли верным утверждение задачи 140, если вместо квадрата дан равносторонний треугольник; правильный шестиугольник?

142. Отрезки, соединяющие середину каждой стороны квад­рата с концами параллельной стороны, ограничили выпуклый восьмиугольник (рис. 49). Является ли он правильным?

143. В треугольник вписан квадрат так, что две вершины его лежат на основании треугольника, а две — на боковых сторо­нах. Докажите, что сторона квадрата больше радиуса, но мень­ше диаметра окружности, вписанной в этот треугольник.

144. Постройте правильный шестиугольник с центром в дан­ной точке, зная, что концы одной из больших диагоналей шести­угольника лежат на данной прямой и на данной окружности.

145. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного правильного многоугольника наимень­шая возможная.

146. а.п и Ьп — стороны вписанного и описанного правиль­ных многоугольников с числом сторон п. Докажите, что а|п =--^-а Ъ

— о ^п^п.

147. Впишите в данный правильный шестиугольник наи­больший возможный квадрат.

Площадь многоугольника

148. Середины сторон выпуклого шестиугольника после­довательно соединены отрезками. Докажите, что площадь по­лученного шестиугольника больше половины площади началь­ного шестиугольника.

149. Выполнив возможно меньшее число разрезов, сложите из трех равных правильных шестиугольников один правильный шестиугольник.

150. Решите задачу 149 для четырех правильных шести­угольников.

151. Докажите, что сумма расстояний от всех сторон выпук­лого равностороннего многоугольника (или их продолжений) у всех внутренних точек многоугольника одинакова.

152. Площадь правильного шестиугольника равна — про­изведения длин двух неравных диагоналей. Докажите.

153. Площадь правильного двенадцатиугольника равна квадрату его диагонали. Какой именно?

154. АВ и СВ — параллельные стороны правильного две­надцатиугольника, АС и ВО не пересекаются. Докажите, что АС и ВВ делят двенадцатиугольник на три равновеликие части.

155. На школьном вечере среди вопросов математической викторины был предложен такой: «Выразите площадь правиль­ного восьмиугольника АА•^А^А^А^А!,А^Ау. через его линейные элементы». Поступили следующие ответы: 1) 2Д² У2; 2) про­изведение наименьшей диагонали на наибольшую; 3) ААз Х X АА^, 4) кубический корень из удвоенного произведения длин стороны и всех диагоналей, исходящих из одной вершины;

5) удвоенное произведение стороны на диагональ АА^;

6) произведение двух неравных параллельных диагоналей. Какие из этих ответов правильны?

156. Уголки квадрата срезаны так, что получился правиль­ный восьмиугольник. На сколько процентов уменьшилась пло­щадь фигуры?

157. Сторона правильного шестиугольника равна а. Через вершину шестиугольника проведена прямая, разделившая его на части, площади которых относятся, как 1 : 3. Найди­те длину отрезка прямой, ограниченного сторонами шести­угольника.

158. Вычислите площадь многоугольника по координатам всех его вершин.

159. Четырехугольник АВСВ разделен на три части отрезка­ми, которые не пересекаются и делят стороны -АО и ВС на три равные части (рис. 50). Докажите, что площадь средней части равна трети площади четырехугольника АВСВ.

Длина окружности

160. Одна окружность построена на катете прямоугольного треугольника, как на диаметре. Другая окружность проходит через середины всех сторон треугольника. При каком условии обе окружности равны?

161. Сторона квадрата АВСВ равна 8см. Найдите длину окружности, которая проходит через точки А v. В ти касается стороны СО квадрата.

162. В окружность радиуса Л вписан правильный двена­дцатиугольник. Его малые диагонали пересекаются в точках, лежащих на некоторой окружности. Определите ее длину.

163. В окружность радиуса Д вписан равносторонний тре­угольник АВС. Найдите длину окружности, которая касается данной окружности и продолжений сторон АВ и АС треуголь­ника.

164. Радиус окружности 2 см. Две окружности с радиусами по 1 см касаются одна другой и внутренним образом касаются большей окружности. Найдите длину окружности, касающей­ся этих трех окружностей.

165. Периметр равностороннего треугольника АВС равен Р. Найдите длину окружности, которая касается стороны АВ и ме­диан АВ и ВЕ.

166. Длина отрезка равна половине длины окружности. Существуют разные способы его построения:

а) Герона Александрийского:

б) А. Коханского: АВ — диаметр окружности, СВ — каса­тельная, проходящая через точку В; А- СОВ == 30°, СВ == ЗЛ. Искомый отрезок — АВ (рис. 51);

в) X. Гюйгенса: искомый отрезок равен 8012 В;

г) Если катеты прямоугольного треугольника 8 и 9, то по­ловина длины окружности единичного радиуса равна разности между гипотенузой и 8, 9. Проверьте точность построения отрезка этими способами.

. 167. Как относятся длины окружностей, одна из которых описана около равностороннего треугольника, а другая про­ходит через центры вневписанных окружностей.

Длина дуги окружности

168. Хорды АВ и СВ окружности параллельны. Докажите, что дуги АС и ВВ равны.

169. Докажите, что если две хорды окружности равны, то равны и дуги, стягиваемые этими хордами.

170. Каждая сторона треугольника 6 см. По сторонам тре­угольника вне его катится круг радиуса 2 см. Определите длину пути центра круга за один оборот вокруг треугольника.

171. На стороне АВ == а правильного шестиугольника АВСВЕР вне его построен квадрат. Этот квадрат перемещается вокруг шестиугольника так, что все время одна из вершин квадрата совпадает с вершиной шестиугольника. Определите длину пути центра квадрата за один оборот вокруг шести­угольника.

172. Каждая вершина квадрата со стороной а является центром окружности радиуса а. Найдите периметр криволиней­ного четырехугольника, ограниченного названными окружно­стями.

173. Вершины прямоугольника делят описанную окруж­ность на части, длины двух из которых относятся, как 1 : 5. Найдите радианные меры углов, которые диагональ прямо­угольника образует с его сторонами.

174. Радианные меры двух углов треугольника -^- и -^ .

Найдите отношение длин сторон треугольника, лежащих про­тив названных углов.

175. Вершина А равностороннего треугольника АВС являет­ся центром окружности, проходящей через точки В и С. Бис­сектрисы углов В и С пересекают окружность в точках М и Р. Определите радианную меру центральных углов, соответствую­щих дугам РВ, ВС, СМ, МР.

Площадь круга и его частей

176. Периметр равностороннего треугольника Р. На высоте треугольника, как на диаметре, построена окружность. Опреде­лите площадь части круга, находящейся внутри треугольника.

177. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треуголь­ника о. На катете, как на диаметре, построена окружность. Найдите площадь той части круга, которая находится внутри

треугольника.

178. АВ — основание полукруга, точка М находится на окружности. Построены полукруги с диаметрами АМ и ВМ. До­кажите, что сумма площадей луночек (то есть частей полу­кругов, находящихся вне большого полукруга) равна площади

треугольника АМВ.

179. АВ — диаметр полукруга, С — точка этого диаметр" СО — перпендикуляр к АВ, причем точка В находится на ок­ружности. Построены полуокружности диаметров АС та ВС внутрь полукруга. Докажите, что площадь фигуры, ограничен­ной тремя названными полуокружностями (она называется арбелоном) равна площади круга диаметра СВ (рис. 52).

180. На диаметре полукруга АВ отложены равные отрезки АВ и СО. На АВ и СО, как на диаметрах, построены полукруги внутри большого полукруга, на ВС — вне большого полукруга. Радиусы ОЕ и ОР проходят через середину ВС перпендикулярно ВС. Докажите, что площадь фигуры, закрашенной желтым на рисунке 53, равна площади круга диаметра ЕР.

Теорема косинусов

181. Найдите периметр треугольника, у которого длины сторон (в сантиметрах) выражаются последовательными не­четными числами, а один из углов вдвое больше суммы

остальных.

182. Вычислите величины углов вписанного в окружность

четырехугольника, у которого длины сторон 14, 30, 40, 48.

183. Докажите, что в треугольнике АВС: аЬ сое С +

+ ас соз В + Ьс соа А ^ — Р^2.

^•"ж"

' •'.

184. Медианы АО и ВД треугольника АВС взаимно перпен­ дикулярны, докажите, что 5 АВ² == АС²' + ВС².

185. Вычислите (аЪ соа С + ас соа В + Ьс сов А) : (а² + Ь'^г+

-(- с²), где а, Ь, с, /- А, /- В, /- С — элементы одного треуголь­ ника.

186. На диаметре АВ окружности взята точка М; хорда СО параллельна АВ. Докажите, что величина МС² + МО² не

1 зависит от выбора точки С.

187. На сторонах треугольника с длинами сторон 5, 6, 7 вне треугольника построены квадраты. Найдите сумму квадра­тов сторон шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, находящиеся вне треугольника.

188. Квадрат произведения длин диагоналей параллело­грамма равен сумме четвертых степеней длин двух смежных сторон. Найдите величины углов параллелограмма.

189. Точка М находится на стороне ВС треугольника АВС. Докажите, что АМ² • ВС = АВ² • СМ + АС² ' ВМ — ВС • ВМ X X СМ.

190. Окружности радиусов 1 и 2 касаются одна другой внешним образом и касаются окружности радиуса 3 внутрен­ним образом. Найдите радиус окружности, которая касается всех трех названных окружностей.

191. Внешние углы треугольника при вершинах А, В, С соответственно а, (3, у, докажите, что аЬ (1 — сое у) -- ас (1 —

- С08 Р) + ЬС (1 - С08 и) == 4- Р²-

л

192. Докажите, что в треугольнике АВС'. ^аа ' ^с ~ ' =

о (6 + с — в)

_ 1 — сов А ~~ 1 — соа В '

193. Докажите, что треугольник АВС — остроугольный, если:

а) его периметр 17 см, а длина наибольшей стороны 7 см; б) его периметр 99 см, а длина наименьшей стороны 29 см.

194. Центр вписанной в прямоугольный треугольник окруж­ности удален от концов гипотенузы на 7 и 5 -л/2 см. Найдите длины сторон треугольника.

195. Докажите правильность формул для вычисления

площади треугольника: 8 =^ — -/4 а^Ь² — (о² + Ь² —• с²)² =

= -1- -узГ^Ь² + оУ + Ь^с²) - (а⁴ + Ь⁴ + с⁴).

196. Докажите, что в треугольнике АВС:

& С08 А+ Ъ С08 В + С С08 С __ Г

о + Ь + с Л

197. Докажите, что в четырехугольнике АВСВ: АВ² == == 4В² + ВС² + СО² - 2 АВ • ВС . сое В - 2 ВС • СО • сов С+ + 2АВ • СО • соз (А + О).

8 9-12« 65

198. Если сумма квадратов диагоналей выпуклого четырех­угольника равна сумме квадратов двух противолежащих сторон, то продолжения двух других сторон пересекаются по, р прямым углом. Докажите.

Теорема синусов

199. Площадь треугольника АВС равна О. Определите величину а² вт 2В + Ь² ат 2А.

200. Точка М находится внутри треугольника АВС. Лучи АМ, ВМ, СМ делят углы треугольника на части ои и оса, ?1 и {За, vi и у-г- Докажите, что вт а • вт р) • аш vi ==- ет К2 X

X 8Ц1 ?2 8Ш •У2.

201. Если лучи, исходящие из вершин треугольника, обра­зуют со сторонами при этих вершинах такие углы ои, »2, Рь

^2, vi» 72, ЧТО ЯШ ОЦ 8Ш ?! 81п ^1 == В™ Й2 8П1 ?2 8Ш 72, ТО ЭТИ ЛуЧИ

пересекаются в одной точке. Докажите.

202. Верно ли утверждение задачи 200 для четырехуголь­ника?

203. Докажите, что биссектриса внутреннего угла треуголь­ника делит сторону на части, обратно пропорциональные синусам углов треугольника, прилежащих к отрезкам стороны.

204. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что АН == -——.

205. Диагонали выпуклого четырехугольника АВСВ пере­секаются в точке О. М и Мч — центры масс треугольников ВОС и АОВ, Н и Й2 — ортоцентры треугольников АВО и СОО. Используя результат задачи 204, докажите, что прямые ММч и Й1Й2 взаимно перпендикулярны.

206. АВ и АС — хорды окружности. На продолжении АВ отмечена точка N на расстоянии АВ от АС и на продолжении АС отмечена точка М на расстоянии АС от АВ. Докажите, что МН равен диаметру данной окружности.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

207. Докажите, что в треугольнике Тоа == — "л/26² + 2с² — о².

А

208. Используя результат задачи 207, установите, что".

а) т1 + т1 + от? = -|-(о² + Ь² + с²); б) от⁴ + т1 + те⁴ =

-^(о⁴+&⁴+с⁴).

209. Докажите, что з четырехугольнике сумма квадратов диагоналей меньше суммы квадратов сторон на учетверенный квадрат расстояния между серединами диагоналей.

210. Докажите, что четырехугольник, у которого сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон, является параллелограммом.

211. Диагонали параллелограмма АВСВ пересекаются в точке О. Периметры треугольников АВО, ВСО и параллело­грамма соответственно 28, 30 и 48 см. Найдите диагонали параллелограмма.

212. Как по длинам сторон и углу между диагоналями параллелограмма найти длины диагоналей?

213. Как по длинам диагоналей и углу параллелограмма найти длины сторон параллелограмма?

ДЕСЯТЫЙ КЛАСС

Аксиомы стереометрии

и следствия из них

1. На двух плоскостях отмечены по две точки. Сколько различных плоскостей определяют эти точки?

2. Сколько различных плоскостей могут определять 5 точек? Подтвердите свой ответ перечислением плоскостей (обозначив точки буквами).

3. Сколько различных плоскостей могут определять 5 данных параллельных прямых? Обоснуйте ответ перечислением этих плоскостей.

4. Окружность имеет общую точку с каждой стороной четырехугольника. Можно ли утверждать, что обе эти фигуры лежат в одной плоскости?

5. Сколько существует плоскостей, каждая из которых содержит, по крайней мере, три вершины данного куба?

6. На сколько областей разбивают пространство плоскости всех граней куба?

7. На каждом из трех параллельных ребер куба отмечено по 2 точки. Сколько различных плоскостей могут определять эти точки?

8. Плоскость б пересекает плоскости ос и Р. Докажите, что если линии пересечения плоскостей пересекаются, то точка их пересечения находится на прямой, по которой пересекаются а и р.

9. Середины всех диагоналей пятиугольника лежат в одной плоскости, причем никакие две из них не совпадают. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости.

10. Середины всех сторон многоугольника с нечетным числом вершин лежат в одной плоскости. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости.

11. Даны п > 4 точек, каждые 4 из которых лежат в одной плоскости. Докажите, что все эти точки лежат в одной плос­кости.

Параллельность прямых в пространстве

12. Докажите, что две прямые параллельны тогда и только тогда, когда любая плоскость, пересекающая одну из них, пере­секает и другую.

13. Точки А, В, С, В лежат вне плоскости параллелограм­ма К^МN, причем К — середина АВ, Ь — середина ВС, М — середина СО. Является ли N серединой отрезка А07

14. Середины пяти сторон шестиугольника находятся в од­ной плоскости. Докажите, что середина шестой стороны находится в той же плоскости.

15. На двух пересекающихся плоскостях 6 и о дано по точке. Как построить через эти точки прямые, которые не пере­секают ни одной из названных плоскостей?

16. Через прямую I проходят две плоскости а и а. Две параллельные прямые пересекают эти плоскости: одна в точках А и В, другая — в точке С и еще одной, которую требуется построить.

17. Точки А, В, С, О не лежат в одной плоскости. Дока­жите, что середины шести отрезков с концами в этих точках являются серединами трех параллелограммов.

18. Точка М лежит вне плоскости правильного шести­угольника АВСОЕР. Верно ли, что прямая, проходящая через середины отрезков МВ и МС, параллельна: а) АО; б) СО?

19. По условию задачи 18 определите, каким сторонам или диагоналям шестиугольника параллельна прямая, проходящая через середины отрезков МА и МС.

20. Точка М находится вне плоскости правильного пяти­угольника АВСОЕ. Каким сторонам или диагоналям пятиуголь­ника параллельна прямая, проходящая через центры масс тре­угольников МАВ и МАЕ7

21. М и N—центры граней АВВА и ВССВ куба АВСОАВС