Аксиоматика теории множеств

Содержание стр. Введение………………………………………………………………………….3

§1.Системааксиом…………………………………………………………….....4

1. Аксиомаобъемности…………………………………………………6

2. Аксиомапары…………………………………………………………6

3. Аксиомапустогомножества…………………………………………6

4. Аксиомысуществованияклассов……………………………………8

5. Аксиомаобъединения……………………………………………….14

6. Аксиомамножества всехподмножеств……………………………14

7. Ак­сиомавыделения………………………………………………….15

8. Аксиомазамещения…………………………………………………16

9. Аксиомабесконечности……………………………………………..16

§2.Аксиома выбора.Лемма Цорна…………………………………………….19

Заключение………………………………………………………………………22 Списоклитературы……………………………………………………………...23

Введение

Значениематематическойлогики в нашеми прошлом столетиисильно возросло.Главной причинойэтого явилосьоткрытие парадоксовтеории множестви необходимостьпересмотрапротиворечивойинтуитивнойтеории мно­жеств.Было предложеномного различныхаксиоматическихтеорий дляобоснова­ниятеории множеств,но как бы онине отличалисьдруг от другасвоими внешнимичертами, общеедля всех нихсодержаниесостав­ляютте фунда­ментальныетеоремы, накоторые в своейповседневнойработе опираютсяматематики.Выбор той илииной из имеющихсятео­рий являетсяв основномделом вкуса;мы же не предъявляемк системе, которойбудем пользоваться,никаких требований,кроме того,чтобы она служиладостаточнойосновой дляпостроениясовременнойматематики.

§1.Система аксиом

Опишем теориюпервого порядкаNBG,которая в основномявля­етсясистемой тогоже типа, что исистема, предложеннаяперво­начальнофон Нейманом[1925], [1928], а затем тщательнопере­смотреннаяи упрощеннаяР. Робинсоном[1937], Бернайсом[1937—1954] и Гёделем[1940]. (Будем в основномследоватьмонографииГёделя, хотяи с некоторымиважными от­клонениями.)Теория NBGимеет единственнуюпредикатнуюбукву и не имеет ниодной функциональнойбуквы или предметнойконстанты.Чтобы бытьближе к обозначениямБернайса [1937—1954]и Гёделя [1940], мыбу­дем употреблятьв качествепеременныхвместо x₁,x₂,… прописныелатин­скиебуквы X₁,Х₂,... (Какобычно, мы используембуквы X,Y,Z,... дляобо­значенияпроизвольныхпеременных.)Мы вве­дем такжесокращенныеобо­значенияХYдля(X,Y)и XYдля (X,Y).Содержательнознак пони­маетсякак символотношенияпринадлежности.

Следующимобразом определимравенство:

Определение.Х=Yслужит сокращениемдля формулы.

Таким образом,два объектаравны тогдаи только тогда,когда они со­стоятиз одних и техже элементов.

Определение.служит сокращениемдля формулы(включение).

Определение.XYслужит сокращениемдля Х Y& X ≠Y(соб­ствен­ноевключение).

Из этих определенийлегко следует

Предложение 1.

(а)Х= Y(X Y&YX);

(b)Х= Х;

(с)Х= YY=Х;

(d)Х= Y(Y= ZХ= Z);

(е)Х= Y(ZXZY).

Теперь приступимк перечислениюсобственныхаксиом теорииNBG,перемежаяформулировкисамих аксиомразличнымиследствиямииз них и некоторымидополнительнымиопределениями.Предварительно,од­нако, отметим,что в той «интерпретации»,которая здесьподразумевается,значениямипеременныхявляются классы.Классы — этосовокупности,со­ответствующиенекоторым,однако отнюдьне всем, свойствам(те свойства,которые фактическиопределяютклассы, будутчастично указаныв аксиомах. Этиаксиомы обеспечиваютнам существованиенеобхо­ди­мыхв математикеклассов и являются,достаточноскром­ными,чтобы из нихнельзя быловы­вести противоречие).(Эта «ин­терпретация»столь же неточна,как и понятия«совокупность»,«свойство»и т. д.)

Назовем классмножеством,если он являетсяэлементомкакого-ни­будькласса. Класс,не являющийсямножеством,назовем собственнымклас­сом.

Определение.M(X)служит сокращениемдля Y(XY)(X есть множе­ство).

Определение.Pr(X)служит сокращениемдля M(X)(Xесть собствен­ныйкласс).

В дальнейшемувидим, чтообычные способывывода парадоксовприводят теперьуже не к противоречию,а всего лишьк результату,состоя­щемув том, что некоторыеклассы не являютсямножествами.Множествапредназначеныбыть теми надежными,удобными классами,которыми мате­матикипользуютсяв своей повседневнойдеятельности;в то время каксоб­ственныеклассы мыслятсякак чудовищнонеобъят­ныесобрания, которые,если позволитьим быть множествами(т. е. быть элементамидругих классов),порождаютпротиворечия.

Система NBGзадумана кактеория, трактующаяо классах, а нео пред­метах.Мотивом в пользуэтого послужилото обстоятельство,что мате­матикане нуждаетсяв объектах, неявляющихсяклассами, вродекоров или молекул.Все математическиеобъекты и отношениямогут бытьвыражены втерминах однихтолько классов.Если же радиприложенийв других наукахвозникаетнеобходимостьпривлечения«неклассов»,то незначительнаямо­дификациясистемы NBGпозволяетпри­ме­нитьее равным образомкак к классам,так и к «неклассам»(Мостовский[1939]).

Мы введемстрочные латинскиебуквы x₁,x₂,… в качествеспециаль­ных,ограниченныхмножествами,переменных.Иными словами,x₁A(x₁)бу­дет служитьсокращениемдля X(M(X)A(X)), что содержательноимеет следующийсмысл: «Aистинно длявсех множества,и x₁A(x₁)будет служитьсокращениемдля X(M(X)A(X)),что содержательноимеет смысл:«A истинно длянекоторогомножества».Заметим, чтоупот­ребленнаяв этом определениипеременнаяXдолжна бытьотлич­ной отпе­ременных,входящих в A(x₁).(Как и обычно,буквы х,y,z,... будутупотреб­лятьсядля обозначенияпроизвольныхпеременныхдля множеств.)

П р и м е р.ВыражениеХхyZA(X, х, y,Z)служит сокра­щениемдля

ХX_j(М(X_j)Y(M(Y)&ZA(X,X_j,Y,Z))).

Ак с и о м а Т. (Аксиомаобъемности.)Х = Y(XZYZ).

Предложение 2. СистемаNBGявляетсятеорией первогопорядка с равенством.

А к с и о м а Р. (Аксиомапары.) xyzu(uzu= xu= y), т. е.для любых множествх и усуществуетмножество zтакое, что хи уявля­ютсяединственнымиего элементами.

А к с и о м а N. (Аксиомапустого множества.)хy(у х), т. е.су­ществуетмножество, несодержащееникаких элементов.

Из аксиомыN и аксиомыобъемностиследует, чтосуществуетлишь единственноемножество, несодержащееникаких элементов,т. е.

₁xy(у х). Поэтомумы можем ввестипредметнуюконстанту 0,подчи­няв ееследующемуусловию.

Определение.y(y0).

Так как выполненоусловие единственностидля неупорядоченнойпары, то можемввести новуюфункциональнуюбукву g(х,y)для обозна­чениянеупорядоченнойпары хи у.Впрочем вместоg(х,y)мы будемписать {х,у}. Заметим,что можно однозначноопределитьпару {X, Y}для любых двухклассов Хи Y,а не только длямно­жеств хи у.Положим {X,Y}= 0, если одиниз классов X,Y не яв­ляетсямножеством.Можно доказать,что

_NBG1Z((M(X)&M(Y)&u(uZu= Xu= Y))

((M(X)M(Y))&Z=0)).

Этимоправдановведение пары{X, Y}:

Определение.(М(Х)& М(Y)&u(и{X,Y}u= Xu= Y))

((M(X)M(Y))& {X,Y}= 0).

Можнодо­казать, что_NBGxyu(u{х,у}u= xu= y)и _NBGxy(M({х,у})).

Определение.= {{Х}, {X, Y}}.называетсяупорядоченнойпа­ройклассов Хи Y.

Никакоговнутреннегоинтуитивногосмысла этоопределениене имеет. Оноявляется лишьнекоторымудобным способом(его предложилКу-ратовский)определитьупорядоченныепары такимобразом, чтобыможно былодоказать следующеепредложение,выражающеехарактеристическоесвойствоупорядоченныхпар.

Предложение 3.

_NBGxyuv().

Доказательство. Пусть = .Это значит,что {{x},{x,y}}= {{u},{u,v}}.Так как {х}{{x},{x,y}},то {x}{{u},{u,v}}.Поэтому{x}= ={u}или {х}= {u,v}.В обоихслучаях х= и. С другойстороны, {u,v}{{u},{u,v}}и, следовательно,{u,v}{{x},{x,y}}.Отсюда{u,v}= {x}или {u,v}= ={x,y}.Подобным жеобразом {x,y}= {u}или {х, у}={и,v}.Если или {u,v}= ={x}и {х,y}= {u},то х = и= у = v,в про­тивномслучае {и,v}= {х, у} и, сле­довательно,{и, v}= {u,у}. Если приэтом v≠ u,то y= v,если же v= u,то тоже y= v.Итак, в любомслучае, y= v.

Мы теперьобобщим понятиеупорядоченнойпары до понятияупо­ря­доченнойn-ки.

Определение

=Х,

Так, например,

и

В дальнейшеминдекс NBGв записи _NBG опускается.

Нетруднодока­затьследующееобобщениепредложения3:

Аксиомысуществованияклассов.

Эти аксиомыутвер­ждают,что для некоторыхсвойств, выраженныхформулами,сущест­вуютсоответствующиеклассы всехмножеств, обладаю­щихэтими свойствами.

А к с и о м аВ1. Xuv(Xuv) (-отношение).

А к с и о м аВ2. XYZu(uZuX& uY)

(пересечение).

А к с и о м аВ3. XZu(uZuX) (дополнение).

А к с и о м аВ4. XZu(uZv(X)) (область

определения).

А к с и о м аВ5. XZuv(ZuX).

А к с и о м аВ6. XZuvw(ZX).

А к с и о м аВ7. XZuvw(ZX).

С помощьюаксиом В2—В4можно доказать

XY₁Zu(u Z u X & u Y),

X₁Zu(u Z u x),

X₁Zu(uZv(X)).

Эти результатыоправдываютвведение новыхфункциональныхбукв ∩, −, D.

Определения

u(uX∩ YuX& uY) (пересечениеклассовХ и Y).

u(uuX) (дополнениек классуX).

u(uD(X)v(X)) (об­ластьопределениякласса X).

(объединениеклассовХ и Y).

V= (универсальныйкласс).

X− Y= X∩

Общая теоремао существованииклассов.

Предложение 4. Пусть φ(X₁,…,X_n,Y₁,…,Y_m)– формула,перемен­ныекоторойберутсялишь из числаX₁,…,X_n,Y₁,…,Y_m. Назовёмтакую фор­мулупредикативной,если в ней связнымиявляются толькопеременныедля множеств(т.е. если онаможет бытьприведена ктакому видус помощью принятыхсокращений).Для всякойпредикативнойформулы φ(X₁,…,X_n,Y₁,…,Y_m)

Zx₁…x_n(Zφ (x₁,…,x_n,Y₁,…,Y_m)).

Доказательство.Мы можем ограничитьсярассмотрениемтолько та­кихформул φ,которые несодержат подформулвида Y_iW,так как всякаята­кая подформуламожет бытьзаменена наx(x= Y_i & xW),что в своюоче­редь эквивалентноформуле x(z(zxzY_i)& xW).Можно такжепредполагать,что в φне содержатсяподфор­мулывида XX,которые могутбыть замененына u(u= X& uX),последнее жеэквивалентно u(z(zuzX)& uX).Доказа­тельствопроведем теперьиндук­циейпо числу kлогическихсвязок и кванторов,входящих вформулу φ(за­писаннуюс ограниченнымипере­меннымидля множеств).

1. Пусть k= 0. Формула φимеет вид x_ix_j,или x_jx_i,или x_iY_i,где 1 ≤ ij≤ n.В первом случае,по аксиоме В1,сущест­вуетнекоторый классW₁такой, что

x_ix_j(W₁x_ix_j).

Во второмслучае, по тойже аксиоме,существуеткласс W₂такой, что

x_ix_j(W₂x_jx_i),

и тогда, всилу

XZuv(ZX),

существуеткласс W₃такой, что

x_ix_j(W₃x_jx_i).

Итак, в любомиз первых двухслучаев существуеткласс W₃такой, что

x_ix_j(Wφ (x₁,…,x_n,Y₁,…,Y_m)).

Тогда, заменивв

XZv₁…v_kuw(Z X)

X на W,получим,что существуетнекоторый классZ₁такой, что

x₁…x_i-1x_ix_j(Z₁φ(x₁,…,x_n,Y₁,…,Y_m)).

Далее, наосновании

XZv₁…v_mx₁…x_n(

ZX)

там же приZ₁= X,заключаем, чтосуществуеткласс Z₂такой, что

x₁…x_ix_i+1…x_j(Z₂φ(x₁,…,x_n,Y₁,…,Y_m)).

Наконец,применяя

XZv₁…v_mx₁…x_n(Z X)

(1)

там же приZ₂= Х,получаем, чтосуществуеткласс Zтакой, что

x₁…x_n(Zφ (x₁,…,x_n,Y₁,…,Y_m)).

Для остающегосяслучая x_iY_iтеоремаследует из (1)и

XZxv₁…v_m(Z x X).

2. Предположим,что теоремадоказана длялюбого ksи что φсо­держит sлогическихсвязок и кванторов.

(a)φ естьψ.По индуктивномупредположению,существуеткласс Wтакой, что

x₁…x_n(Wψ (x₁,…,x_n,Y₁,…,Y_m)).

Теперь остаетсяположитьZ = .

(b)φ естьψ θ.По индуктивномупредположению,существуютклассы Z₁и Z₂такие, что

x₁…x_n(Z₁ψ(x₁,…,x_n,Y₁,…,Y_m))и

x₁…x_n(Z₂θ(x₁,…,x_n,Y₁,…,Y_m)).

Искомымклассом Z в этом случаебудет класс.

(c)φ естьxψ. По индуктивномупредположению,существуеткласс Wтакой, что

x₁…x_nx(W ψ (x₁,…,x_n,x,Y₁,…,Y_m)).

Применимсперва

XZx₁… x_n(Zy(X)).

при X= и получим классZ₁такой, что

x₁… x_n(Z₁xψ(x₁,…,x_n,x, Y₁,…,Y_m)).

Теперь положимокончательноZ= ,замечая, чтоxψ эквивалентно

xψ.

Примеры. 1.Пусть φ(X,Y₁,Y₂)есть формулаuv(X= & uY₁& vY₂).Здесь кванторысвязываюттолько перемен­ныедля множеств.Поэтому, в силутеоремы осуществованииклассов, Zx(xZuv(x= & uY₁& vY₂)),а на основанииаксиомы объемности,₁Zx(xZuv(x= & uY₁& vY₂)).Поэтомувозможно следующееопределение,вводящее новуюфункциональнуюбукву:

Определение. x(xY₁Y₂uv(x= & uY₁& vY₂)).(Декартовопроизведениеклассов Y₁ и Y₂).

Определения.

X²обозначаетXX(в частности,V²обозначаеткласс всехупо­рядоченныхпар).

…………………………………………………………………………………………………

XⁿобозначаетX^n-1X(в частности,Vⁿобозначаеткласс всехупо­рядоченныхn-ок).

Rel(X)служит сокращениемдля Х V²(X естьотношение).

2. Пусть φ(X,Y)обозначаетХ Y.По теоремео существованииклассов и наоснованииаксиомы объемности,₁Zx(xZxY).Таким образом,существуеткласс Z,элементамикоторого являютсявсе подмножествакласса Y.

Определение. x(xP(Y)xY).(P(Y):класс всехпод­множествкласса Y.)

3. Рассмотримв качестве φ(X,Y)формулу v(Xv& vY).

По теоремео существованииклассов и наоснованииаксиомы объем­ности,₁Zx(xZv(xv& vY)),т.е. существуетедин­ственныйкласс Z,элементамикоторого являютсявсе элементыэлемен­товкласса Yи только они.

Определение. x(x(Y)v(xv& vY)). ((Y):объединениевсех элементовкласса Y)

4. Пустьφ (X)есть u(X= ).По теоремео существованииклассов и наоснованииаксиомы объемности,существуетединственныйкласс Zтакой, чтоx(xZu(x= )).

Определение. x(xIu(x= )).(Отношениетож­дества.)

Следствие. Для всякойпредикативнойформулыφ(X₁,…,X_n,Y₁,……, Y_m)

₁W(W Vⁿ &x₁…x_n(W

φ (x₁,…,x_n,Y₁,…,Y_m)).

Доказательство.В силу предложения4, существуеткласс Z,для которого x₁…x_n(Zφ (x₁,…,x_n,Y₁,…,Y_m)).Очевидно,искомым классомWявляется классW= Z∩ Vⁿ;его един­ственностьвытекает изаксиомы объемности.

Определение. Для всякойпредикативнойформулы φ(X₁,…,X_n,Y₁,……, Y_m)через φ(x₁,…,x_n,Y₁,…,Y_m))обозначаетсякласс всех n-ок, удовлетворяющихформуле φ(x₁,…,x_n,Y₁,…,Y_m)),т. е. u(uφ (x₁,…,x_n,Y₁,…,Y_m)x₁…x_n(u= & φ(x₁,…,x_n,Y₁,……, Y_m))).Следствиеоправдываеттакое определение.В частности,при n= 1 получим u(uφ (x,Y₁,…, Y_m)φ (u,Y₁,…,Y_m))(иногдавместо φ(x₁,…,x_n,Y₁,…,Y_m)применяютзапись {|φ (x₁,…,x_n,Y₁,…,Y_m)}).

Примеры. 1.Пусть φесть Y.Обозначим(Y)сокращенночерез ,тогда V² &x₁x₂(YY).Назовемобратнымотношениемкласса Y.

2. Пустьφесть v(Y).Обозначимчерез R(Y)выражение (v(Y)).Тогда u(uR(Y)v(Y)).Класс R(Y)называетсяобластьюзначенийкласса Y.Очевидно, R(Y)= D().

Заметим, чтоаксиомы В1 — В7являются частнымислучаями теоремыо существованииклассов, т. е.предложения4. Иными словами,вместо того,чтобы выдвигатьпредложение4 в качествесхемы аксиом,можно с тем жерезультатомограничитьсялишь некоторымконечным числомего частныхслучаев. Вместес тем, хотяпредложение4 и позволяетдоказыватьсуществованиебольшого числасамых разнообразныхклас­сов, нам,однако, ничегоеще не известноо существованиикаких-либомножеств, кромесамых простыхмножеств таких,как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д.Чтобы обеспечитьсуществованиемножеств болеесложной структуры,введем дальнейшиеаксиомы.

А к с и о м аU.(Аксиомаобъединения.)

xyu(u y v(u v & v x)).

Этааксиома утверждает,что объединение(х)всех элементовмно­жествахявляется такжемножеством,т. е. x(M((х))).Множествои (х)обозначаюттакже черези v.

Средствомпорожденияновых множествиз уже имеющихсяявляется образованиемножества всехподмножествданного множества.

А к с и о м аW.(Аксиомамножества всехподмножеств.)

xyu(u y u x).

Эта аксиомаутверждает,что класс всехподмножествмножества хесть такжемножество; егобудем назы­ватьмножествомвсех подмножествмножествах. В силуэтой аксиомы,x(M(P(х))).

Примеры.

P(0)= {0}.

P({0})= {0, {0}}.

P({0,{0}})= {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}.

Значительноболее общимсредствомпостроенияновых множествявляется следующаяак­сиомавыделения.

А к с и о м а S.

xYzu(u z u x & u Y).

Таким образом,для любогомножества хи для любогокласса Yсу­ществуетмножество,со­стоящееиз элементов,общих для хи Y.Следо­вательно,xY(M(x∩ Y)),т. е. пересече­ниемножества склассом естьмножество.

Предложение 5. xY(YxM(Y)) (т. е. подклассмноже­стваесть множество).

Доказательство.x(YxY∩ x= Y)иx(M(Y∩ x)).

Так как всякаяпредикативнаяформула A(у)порождаетсоответ­ст­вующийкласс (предло­жение4), то из аксиомыSследует, чтодля любогомножества хкласс всех егоэлементов,удовлетворяющихдан­ной предика­тивнойформуле A(у),есть множество.

Однако дляполного развитиятеории множествпотребуетсяак­сиома, болеесильная, чемаксиома S.Введем предварительнонесколькооп­ределений.

Определения

Un(X)означает xyz(X& Xy= z).

(X однозначен.)

Fnc(X)означает XV²& Un(X). (X естьфункция.)

Y1XозначаетX∩ (YV).(Огра­ничениеХ областьюY.)

Un₁(X)означаетUn(X)& Un(). (Xвзаимнооднозначен.)

X‘Y

Если существуетединственноеzтакое, чтоX,то z= X‘y;в про­тивномслучае X‘y= 0. Если Хесть функция,а у —множество изобласти определенияX, то X‘yесть значе­ниеэтой функции,примененнойк у (Вдальнейшембудем по меренеобходимостивводить новыефунк­циональныебуквы и предметныеконстанты, кактолько будетясно, что соот­ветствующееопределениеможет бытьобоснованотеоремой оединственности.В настоящемслучае происходитвведение неко­торойновой функциональнойбуквы hс сокращеннымобозначениемХ‘Yвместо h(X, Y)).

X‘‘Y= R(Y1X).(Если Хесть функция,то X‘‘Yесть об­ластьзначений классаX, ограниченногообластью Y.)

А к с и о м а R.(Аксиомазамещения.)

x(Un (X) yu(u y v(X & v X))).

Аксиомазамещенияутверждает,что если классХ однозначен,то класс вторыхкомпонент техпар из X,первые компонентыкоторых принадлежать,является множеством(эквивалент­ноеутверждение:M(R(x1X)))Из этой аксиомыследует, чтоесли Хесть функция,то об­ластьзначений результатаограниченияХ посредствомвсякой области,являющейсямножест­вом,также естьмножество.

Следующаяаксиома обеспечиваетсуществованиебесконечныхмно­жеств.

А к с и о м а I. (Аксиомабесконечности.)

x(0x & u(u x u {u}x)).

Аксиомабесконечностиутверждает,что существуеттакое множествох, что0 x,и если и x,то и{и}также принадлежитх. Длятакого множествах, очевидно,{0} x,{0, {0}} x,{0, {0}, {0, {0}}} x и т. д. Еслитеперь положим1 = {0}, 2 = {0, 1}, … , n= {0, 1, … , n– 1}, то для любогоцелого п≥ 0 будетвыполнено пх, и приэтом 0 ≠ 1, 0 ≠ 2, 1 ≠ 2, 0 ≠ 3,1 ≠ ≠ 3, 2 ≠ 3, …

Список аксиомтеории NBGзавершен. Видно,что NBGимеет лишьконечное числоаксиом, а именно:аксиому Т(объемности),акси­ому Р(пары), аксиомуN (пустого множества),аксиому S(выделения),аксиому U(объединения),аксиому W(множества всехподмножеств),аксиому R(замещения),аксиому I (бесконечности)и семь аксиомсуще­ствованияклассов В1—В7.

Убедимсятеперь в том,что парадоксРассела невыводимв NBG.Пусть Y= (xx),т. е. х(х Yх х). (Такойкласс Yсуще­ствует,в силу теоремыо существованииклассов (предложение4), так как формула х х предикативна.)В первоначальной,т. е. не сокра­щенной,символике этапоследняяформула записываетсятак: X(M(X)(XYXX)).ДопустимM(Y).Тогда YYYY,что, в силутавтологии(AA)A& & A,влечет YYYY.Отсюда по теоремедедукции получаем M(Y)(YYYY),а затем, в силутавтологии(B(A& A))B, получаеми М(Y).Таким образом,рассуждения,с помощью которыхобычно выводитсяпарадокс Рассела,в теории NBGприводят всеголишь к томурезультату,что Yесть собственныйкласс, т. е. немножество.Здесь имеемдело с типичнымдля теории NBGспособом избавленияот обычныхпара­доксов(например, парадоксовКантора иБурали-Форти).

Определения

XIrrYозначаетy(yYX)& Rel(X).

(X естьиррефлексивноеотношение наY.)

XTrYозначаетRel(X)& uvw(uY& vY& wY&

& X&X& X X).

(X естьтранзитивноеотношениенаY.)

XPart Yозначает (XIrr Y) & (X Tr Y).

(XчастичноупорядочиваетY.)

XConYозначаетRel(X)& uv(uY& vY& u≠ v

XX).

XTotYозначает(XIrrY)& (XTrY)& (XConY).

(X упорядочиваетY.)

XWeYслужитобозначениемдля Rel(X)& (XIrrY)& Z(ZY&

& Z≠ 0 y(yZ& v(vZ& v≠ yX &

& X))).

(XвполнеупорядочиваетY,т. е. отношениеХ иррефлексивнона Y,и всякий непустойподкласс классаY имеетнаименьшийв смысле отношенияХ элемент.)

§2. Аксиомавыбора. ЛеммаЦорна.

Аксиома выбораявляется однимиз самых знаменитыхи наиболееоспариваемыхутвержденийтеории множеств.

Следующиеформулы эквивалентны:

А к с и о м а в ы б о р а (АС): Длялюбого множествах существуетфункция f такая, что длявсякого непустогоподмножествау множествах f‘yy(такая функцияназываетсяв ы б и р а ю щ ей ф у н к ц и е йдля х).

М у л ь т и пл и к а т и в н ая а к с и о м а(Mult):Для любогомно­жествах непустыхи попарнонепересекающихсямножеств, сущест­вуетмножество у(называемоев ы б и р а ю щ им м н о ж е с т во м для х),котороесодержит вточности поодному элементуиз каждогомножества,являющегосяэлементом х.

u(u x u ≠ 0 & v(v x & v ≠ u v∩ u = 0))

yu(u x ₁w(w u ∩ y)).

П р и н ц и п в п о л н е у п ор я д о ч е н и я(W.O.):Всякоемно­жествоможет бытьвполне упорядочено.xy(y We x).

Т р и х о т ом и я (Trich):xy(xyyx).

Л е м м а Ц ор н а (Zorn):Если в частичноупорядоченноммно­жествех всякаяцепь (т. е. всякоеупорядоченноеподмножество)имеет верхнююгрань, то в хсуществуетмаксимальныйэлемент.

xy((y Part x) & u(u x & y Tot u v(v x &w(w u w=

= vy)))v(vx&w(wxy))).

Доказательство.

1. (W.O.)Trich.Пусть данымножества хи у.Согласно (W.O.),х и умогут бытьвполне упорядочены.Поэтому существуюттакие порядковыечисла α и β, чтох α и y β. Но таккак α β или β α, то либоxy,либо yx.

2. Trich(W.O.).Пусть даномножество х.Согласно теоремеХартогса, существуеттакое порядковоечисло α, котороене равномощноникакому подмножествумножества х.Тогда, в силуTrich,х равномощнонекоторомуподмножествуу порядковогочисла α, и вполнеупо­рядочениеЕ_умножества упорождаетнекотороевполне упорядочениемножества х.

3. (W.O.)Mult.Пусть хесть некотороемножествонепустых, попарнонепересекающихсямножеств. Согласно(W.O.),существуетотношение R,вполне упорядочивающеемножество (х).Следовательно,существуеттакая определеннаяна хфункция f,что f‘uдля любогои х естьнаименьшийотносительноRэлемент и.(Заметим, чтои (х).)

4. MultAC.Для любогомножества хсуществуетфункция gтакая, чтоесли иесть непустоеподмножествох, тоg‘и= u{и}.Пусть х₁—областьзначении функцииg.Легко видеть,что х₁являетсямножествомнепустых попарнонепересекающихсямножеств. Наоснова­нииMult,для х₁существуетвыбирающеемножество у.Отсюда, если0 ≠ uи uх, то и {и}х₁ и усодержит ипритом единственныйэлементиз и {и}.Функция f‘u= vявляетсяискомой выбираю­щейфункцией длях.

5. АС Zorn.Пусть участичноупорядочиваетнепустое мно­жествох такимобразом, чтовсякая y-цепьв х имеетв хверхнюю грань.На основанииАС, для хсуществуетвыбирающаяфункция f.Рассмотримпроизвольныйэлемент bмножества х,и потрансфинитнойиндукции определимфункцию Fтакую, чтобывыпол­нялосьF‘0= bи F‘α= f‘uдля любого α,где uесть множествовсех такихверхних гранейvмножества F‘‘α относительноупорядоченияу, чтоvх и vF‘‘α. Пустьβ есть наименьшеепорядковоечисло, которомусоответствуетпустое множествоверхних гранейvмно­жестваF‘‘β относительноупорядоченияv,принадлежащихxи не при­надлежащихF‘‘β. (Порядковыечисла, обладающиетаким свойством,существуют;в противномслучае функцияFбыла бы взаимнооднознач­нойс областьюопределенияОп ис некоторымподмножествоммно­жествах вкачестве областизначений, откудапо аксиомезамещения Rследовало бы,что Опесть множество.)Пусть g= β1 F.Функция gвзаимно однозначнаи что если α 0γ 0 β,то g‘α,g‘γy.Поэтому множествоg‘‘βявляется y-цепьюв x.Согласно условию,и xсуществуетверхняя граньwмножества g‘‘β.Так как множествоверхних гранеймножества F‘‘β (= g‘‘β),не содержащихсяв g‘‘β,пусто, то wg‘‘β,и, следовательно,wявляетсяединственнойверхней граньюмножества g‘‘β(ибо всякоемножество можетсодер­жатьв себе не болееодной своейверхней грани).Отсюда следует,что wесть максимальныйотносительноупорядоченияyэлемент множествах. (Действительно,если yи zх,то zдолжно бытьверхней граньюg‘‘β,что невозможно.)

6. Zorn(W.O.).Пусть zесть множество,а Xесть класс всехвзаимно однозначныхфункций fтаких, что D(f)Опи R(f)z.Из теоремыХартогса следует,что Xесть множество.Очевидно также,что 0 X. ОтношениечастичноупорядочиваетX.Каковы бы нибыли две функции,принадлежащиеодной и той жецени в X,одна из нихявляется продолжениемдругой. Поэтомудля любой цепив Хобъеди­нениевсех принадлежащихей функций естьснова взаимнооднозначнаяфункция, принадлежащаятой же цепи.Следовательно,на основанииZorn,в Xимеется максимальныйэлемент g,представляющийсобой взаимнооднозначнуюфункцию, определеннуюна некоторомпорядковомчисле я и принимающуюзначения изz.Допустим, что z- g‘‘α≠ 0. Пусть bz- g‘‘α,и положим f= g{}.Тогда fXи gf,что противоречитмаксимальностиg.Следовательно,g‘‘α= z,т. е. α z.Посредствомфункции gотношение Е_α,вполне упорядочи­вающеемножество α,преобразуетсяв некотороеотношение,вполне упорядочивающееz.

Заключение

Система аксиомтеории множествбыла созданадля решениязадачи обоснованиябазовых положенийсовременнойматематики.Таким образомсуществующиеразделы математикиможно считатьaprioriнепротиворечивыми,поскольку всеих доказанныевысказываниялогически могутбыть сведенык аксиомам. Вэтом отношенииаксиоматикавыполнила своепредназначение.

Список литературы

1. МендельсонЭ. Введение вматематическуюлогику. – М.: Наука,1984.

2. Ляпин Е. С.Полугруппы.– М.: Физматгиз,1960.

3. Стол РобертР. Множества.Логика. Аксиоматическиетеории. Пер. сангл. Ю.А. Гастаеваи И.Х. Шмаина.Под ред. Ю.А.Шихановича.М.: «Просвещение»,1968.

23