Задачи по теории вероятности 2

Работа №1

Случайные события

6 вариант.

Задача 1.1. Бросают три монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится ''герб''.

Исследуемое событие А – только на двух монетах из трех будет герб. У монеты две стороны, значит всего событий при бросании трех монет будет 8. В трех случаях только на двух монетах будет герб. Вероятность события А вычислим с помощью формулы :

Р(А) = m/n = 3/8.

Ответ: вероятность 3/8.

Задача 1.2. Слово СОБЫТИЕ составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова СОБЫТИЕ. Элементарные события являются перестановками из 7 букв, значит, по формуле имеем n= 7!

Буквы в слове СОБЫТИЕне повторяются, поэтому не возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно 1.

Таким образом,

Р(А) = 1/7! = 1/5040.

Ответ: Р(А) = 1/5040.

Задача 1.3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является слова АНТОНОВ ИЛЬЯ.

Эта задача решается аналогично предыдущей.

n= 11!; M = 2!*2! = 4.

Р(А) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Ответ: Р(А) =1/9979200.

Задача 1.4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 3 белых шаров;

б) меньше, чем 3, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

8 ч Испытанием будет случайное вынимание 5 шаров. Элементарными

6 б событиями являются всевозможные сочетания по 5 из 14 шаров. Их число равно

а) А₁ - среди вынутых шаров 3 белых. Значит, среди вынутых шаров 3 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

Р(А₁) = 560/2002 = 280/1001.

б) А₂ - среди вынутых шаров меньше чем 3 белых. Это событие состоит из трёх несовместных событий:

В₁ - среди вынутых шаров только 2 белых и 3 черных шара,

В₂ - среди вынутых шаров только один белый и 4 черных шара

В₃ - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 5 шаров черные:

А₂ = В₁ В₂ В_3.

Так как события В₁, В₂ и В₃ несовместимы, можно использовать формулу:

Р(А₂) = Р(В₁) + Р(В₂) + Р(В₃);

Р(А₂) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.

в) - среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае:

Р(А₃) = 1 - Р() = 1 - 28/1001 = 973/1001.

Ответ: Р(А₁) = 280/1001, Р(А₂) = 483/1001, Р(А₃) = 973/1001.

Задача 1.6. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй урне 6 белых и и 4 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 2 шара, а из второй - 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только три белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

1 урна 2 урна Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями

5 б 6 б являются извлечение двух шаров из первой урны и двух шаров

7 ч 4 ч из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания

_____ ______ по 2 или 2 из 12 или 10 шаров соответственно.

2 2 а) А₁ - все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые,

или все черные.

Определим для каждой урны всевозможные события:

В₁ - из первой урны вынуты 2 белых шара;

В₂ - из первой урны вынуты 1 белых и 1 черный шар;

В₃ - из первой урны вынуты 2 черных шара;

С₁ - из второй урны вынуты 2 белых шара;

С₂ - из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

С₃ - из второй урны вынуты 2 черных шара.

Значит, А₁ = , откуда, учитывая независимость и несовместимость событий, получаем

Р(А₁) = Р(В₁) * Р(С₁) + Р(В₃) * Р(С₃).

Найдем количество элементарных событий n₁ и n₂ для первой и второй урн соответственно. Имеем:

Найдем количество каждого элемента событий, определяющих следующие события:

В₁ : m₁₁ = C₁ : m₂₁ =

B₂ : m₁₂ =C₂ : m₂₂ =

B₃ : m₁₃ =C₃ : m₂₃ =

Следовательно,

Р(А₁) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.

б) А₂ - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае

А₂ = (В₁ С₂ (В₂ С₁);

Р(А₂) = Р(В₁) * Р(С₁) + Р(В₂) * Р(С₂)

Р(А₂) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.

в) А₃ - среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

- среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара. Тогда

Р() = Р(В₃) * Р(С₃) = 21/66 * 6/45 = 7/165;

Р(А₃) = 1 - Р() = 1 - 7/165 = 158/165.

Ответ: Р(А₁) = 46/495, Р(А₂) = 1/3, Р(А₃) = 158/165.

Задача 1.7. В урне содержится 5 черных и белых шаров, к ним добавляют 4 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все возможные предложения о первоначальном содержании урны равновозможные.

Здесь имеют место два вида испытаний: сначала задается первоначальное содержимое урны и затем случайным образом вынимается 3 шар, причем результат второго испытания зависит от результата первого. Поэтому используется формула полной вероятности.

событие А - случайно вынимают 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, каким был первоначальный состав шаров в урне.

Рассмотрим события:

В₁ - в урне было 5 белых шара;

В₂ - в урне было 4 белых и 1 черный шар;

В₃ - в урне было 3 белых и 2 черных шара;

В₄ - в урне был 2 белый и 3 черных шара;

В₅ - в урне было 1 белый и 4 черных шара.

В₆ - в урне было 5 черных шара;

Общее число элементарных исходов

Найдем условные вероятности события А при различных условиях.

Р(А/В₁) = 1.

Р(А/В₂) = 56/84 = 2/3.

Р(А/В₃) = 35/84 = 5/12.

Р(А/В₄) = 5/21.

Р(А/В₅) = 5/42.

Р(А/В₆) = 1/21.

Р(А) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.

Ответ: Р(А) = 209/504.

Задача 1.9. В пирамиде стоят 11 винтовок, их них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 87/100, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 52/100. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем и соответственно (для В₁) и (для В₂); таким образом Р(В₁) = 3/ 11, Р(В₂) = 8/11.

Условные вероятности заданы в условии задачи:

Р(А/В₁) = 0,87 и Р(А.В₂) = 0,52.

Следовательно,

Р(А) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.

Ответ: Р(А) =0,615.

Задача 1.10. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве М₁=13, М₂=12, и М₃=17 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно 0,91, 0,82, и 0,77. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом - изготовителем.

Условные вероятности заданы в условии задачи: Р(А/В₁) = 0,91, Р(А/В₂) = 0,82, Р(А/В₃) = 0,77.

Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:

Р(В₁) = 13/42 = 0,3095; Р(В₂) = 12/42 = 0,2857; Р(В₃) = 17/42 = 0,4048;

Р(А) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.

По формуле Байеса (1.8.) вычисляем условные вероятности событий (гипотез) В₁:

Р(В₁/А) =

Р(В₂/А) =

Р(В₃/А) =

Ответ: Р(В₁/А) = 0,3403, Р(В₂/А) = 0,2831, Р(В₃/А) = 0,3766

Работа №2

Случайные величины.

6 - вариант.

Задача 2.1. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,36. Вычислить все вероятности р_k, k = 0, 1, 2, ..., 11, где k частота события А. Построить график вероятностей р_k. Найти наивероятнейшую частоту.

Задано:n = 11, p = 0,36, q = 1 - p = 0,64.

Найти: р₀, р₁, р₂ , ..., р₁₁ и k.

Используя формулу Бернулли. Значение р₀ вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности р_k - по второй.

Для формулы вычисляем постоянный множитель

р/q = 0,36/ 0,64 = 0,5625, р₀ = *0,36⁰ * 0,64¹¹ = 0,0073787.

Результаты вычислений запишем в таблице 1. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство

По найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1).

Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:

np - q knp + p,

np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32.np + k = 4,32

Значит, наивероятнейшая частота k = 4 и, было получено ранее, значение р₃ является максимальным.

Таблица 1

Рисунок 1 График вероятностей р_k

Задача 2.2. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,47. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно 330 раз;

б) меньше чем 330 и больше чем 284 раз;

в) больше чем 330 раз.

а) Задано: п = 760, р = 0,47, М = 330.

Найти: Р₇₆₀(330).

Используем локальную теорему Муавра - Лапласа . Находим:

Значение функции j(x) найдем из таблицы :

j(1,98) = 0,0562, P₇₆₀(330) = 0,0562/ 13,76 = 0,00408.

б) Найти: Р₇₆₀(284<k<330).

Используем интегральную теорему Муавра - Лапласа .

Находим:

Значение функции Ф(х) найдем из таблицы :

Р₇₆₀(284<k<330) = Ф(-1,98) - Ф(-5,32) = Ф(5,32) - Ф(1,98) = 0,5 – 0,4761 = 0,0239.

в) Найти: Р₇₆₀(330<k).

Имеем: х₁ = -1,98,

Р₇₆₀(330<k) = Р₇₆₀(330<k<760) = Ф(29,3) + Ф(1,98) = 0,5 - 0,4761 = 0,9761.

Задача 2.4. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/800. Найти вероятность того, что среди 5600 соединений имеет место:

а) точно 2 неправильных соединений;

б) меньше чем 3 неправильных соединений;

в) больше чем 8 неправильных соединений.

а) Задано: n = 5600, p = 1/800, k = 2.

Найти: Р₈₀₀(2).

Получаем:

l = 5600 * 1/800 = 7.

Р₈₀₀(2) = .

б) Задано k<3.

Найти: Р₂₀₀(k<3).

Имеем:

l= 7.

Р₈₀₀(k<3) = Р₈₀₀(0) + Р₈₀₀(1) + Р₈₀₀(2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296.

в) Заданоk > 8.

Найти: Р₈₀₀(k > 8).

Находим

l= 7.

Эту задачу можно решить проще, найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем

Р₈₀₀(k>8) = 1 – Р₈₀₀(k8) = 1 - Р₈₀₀(k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709.

Задача 2.6. Случайная величина Х задана рядом распределения.

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить ее график. Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DXи моду Мо.

R = 4

Построим график функции распределения F(x) . Среднее значение ЕХ вычисляем по формуле:

ЕХ = 8*0,11 + 12*0,14 + 16*0,5 + 24*0,25 = 16,56.

Дисперсия: Е(Х²) = 8²*0,11 + 12²*0,14 + 16²*0,5 + 24²*0,25 = 299,2

DX = 299,2 – 16,52² = 26,2896.

График функции распределения

Задача 2.7. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

f(x) =

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить график функции f(x) и F(x). Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DX, моду Мо и медиану Ме. К = 8, R = 12.

Функцию распределения F(х) непрерывной случайной величины найдем по формуле:

Поэтому

Построить графики функций f(x) и F(x). Среднее значение Х вычисляем по формуле:

ЕХ =

Для нахождения дисперсии Х воспользуемся формулами:

Е(Х²) =

DX = 40,5 – (4,5)².

Из графика видно, что f(x) достигает максимума в точке х = 1/2 и, значит, Мо = 12. Для нахождения медианы Ме нужно решить уравнение х²/ 256 = 1/2, или х² = 128. Имеем х = ± 11,31, Ме = 11,31.

3

6 12 х

График функции плотности вероятности f(x).

6

3

6 12 х

График функции распределения F(х).

Работа №3.

Задача 3.1

По выборкам А и В

- составить вариационный ряд;

- вычислить относительные частоты (частости) и накопленные частости;

- построить графики вариационного ряда (полигон и гистограмму);

- составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

- вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

среднее арифметическое ,

дисперсию ,

стандартное отклонение ,

моду Мо,

медиану Ме.

Задача 3.2.

Вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности ,S², Sпо

выборкам А и В (используя результаты, полученные в задаче 3.1.), а также по первому столбцу выборки В.

Выборка А6

N = 73 Начало первого интервала: 0 Длина интервала: 1

Выборка В6

N = 237 Начало первого интервала: 285 Длина интервала: 7

Решение задач.

Задача 3.1.

Сначала решим задачу по выборке А. Находим: х_min= 0 и х_max = 11. Размах (11 - 0 + 1 = 12) довольно мал, поэтому составим вариационный ряд по значениям (табл. 1).

Таблица 1

Все относительные частоты вычисляем с одинаковой точностью. При построении графиков изображаем на оси х значения с 0 по 11 и на оси n_i/n - значения с 0 по 0,25 (рис.1 и 2).

Рис. 1. Полигон вариационного ряда выборки А

Рис. 2. Гистограмма вариационного ряда выборки А.

Эмпирическую функцию распределения F^*(x) находим, используя формулу и накопленные частости, из табл. 1. Имеем:

При построении графика F^*(x) откладываем значения функции в интервале от 0 до 1,2 (рис. 3).

Рис.3. График эмпирической функции распределения выборки А.

Вычисление сумм для среднего арифметического и дисперсии по формулам и по вариационному ряду (см. табл. 1) оформляем в табл. 2. По максимальной частоте определяем с = 7, а шаг таблицы k = 1.

Далее по формуле вычисляем среднее арифметическое и дисперсию

Таблица 2

Стандартное отклонение Модой Мо является значение с максимальной частотой, т.е. Мо = 7. Медианой Ме служит 37-е значение вариационного ряда: Ме = 7.

Теперь по выборке В найдем х_min = 288 и х_max= 350. Размах (350 - 288 + 1 = 63) достаточно большой, поэтому составим вариационный ряд по интервалам значений, используя при выборке заданные начало первого интервала и длину интервала (табл.3).

Таблица 3

Рис. 4. Полигон вариационного ряда выборки В.

Рис. 5. Гистограмма вариационного ряда выборки В.

При построении графиков откладываем по оси х значения с 285 по 355 и по оси n_i/n - значения с 0 по 0,3(рис. 4 и 5).

Далее учитываем, что в качестве представителя каждого интервала взят его конец. Принимая за координаты точек концы интервалов и соответствующие накопленные частости (см. табл. 3) и соединяя эти точки прямыми, построим график эмпирической функции распределения (рис. 6).

Рис. 6. График эмпирической функции распределения выборки В.

Для вычисления среднего арифметического и дисперсии по формулам и по табл. 3 определим с = 316 и k = 7. Суммы вычислим с помощью табл. 4 (табл. 4).

По формулам вычисляем среднее арифметическое и дисперсию

Стандартное отклонение Моду находим по формуле:

Мо = 313 + 7×= 317,8.

Таблица 4

Медиану находим по формуле: Ме =.

Задача 3.2.

По формуле находим несмещенные оценки дисперсии и стандартного отклонения:

n = 73, S^-2= 5,8143,S² = 73/72×5,8143 = 5,8951, S = = 2,43.

Для выборки В имеем

= 393,92, = 177,47, n = 237, S² = 237/236×177,47 = 178,222, S = 13,35.

Несмещенные оценки для первого столбца выборки В получаются аналогично (если эта выборка содержит мало повторяющихся элементов, вариационный ряд можно не составлять).