Задачи по Математике

ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задачи № 1-10. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.

9)

Решение

Задача № 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.

1-й способ (метод Крамера).

По формулам Крамера, найдем решение:

2 способ (решение с помощью обратной матрицы).

Перепишем систему уравнений в виде AX = B, где

, , .

Решение матричного уравнения имеет вид X = A^-1B. Найдем обратную матрицу A^-1. Имеем следующий главный определитель системы:

Вычислим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы:

, , , ,

, , , ,

.

Тогда обратная матрица имеет вид:

, следовательно,

.

Ответ: x = 2; y = -1;z = 3.

3 способ (метод Гаусса).

.

Из последнего уравнения имеем z = 3; подставляя это значение во второе уравнение, получаем y = -1 и тогда из первого уравнения находим x = 2.

Задачи № 11 - 20. Найти производные функций:

15) а) ; б) .

Решение

Задачи № 21-30. Найти общее и частное частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, соответствующего начальным условиям:

при , , .

21) ;

Решение

Составим характеристическое уравнение имеет вид:

Следовательно, общее решение уравнения без правой части таково:

Так как n=1 не является корнем характеристического уравнения, то ищем частное решение уравнения с правой частью в виде

Подставляя эти выражения в наше неоднородное уравнение, получим

Итак, частное решение уравнения с правой частью есть

Общее же решение этого уравнения на основании предыдущей теоремы имеет вид:

Найдем частные решения:

Задачи № 31-40

38) В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрываются 5 путевок. Найти вероятность того, что среди обладателей путевок окажутся две девушки.

Решение

Задача решается с помощью классической формулы для вычисления вероятностей:

Ответ:

Задачи № 41-50

Закон распределения дискретной случайной величины Х задан в таблице. Найти: 1)математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 2) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины , пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии.

Решение

Расчет ведем по формулам для числовых характеристик дискретных случайных величин.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Для вычисления характеристик случайной величины Y=3X+20 воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии:

Ответ:

Аудиторная контрольная работа по дисциплине «Математика»

Вариант № 1

1. Решить систему уравнений: .

Решение

Ответ: х=1, у=-1.

Найти производную: .

Решение

В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажутся 5 отличников.

Решение

Задача решается с помощью классической формулы для вычисления вероятностей:

Ответ:

4. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение

Расчет ведем по формулам для числовых характеристик дискретных случайных величин.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Ответ: