Обробка результатів прямих багатократних рівно точних статистичних вимірювань

Обробка результатів прямих багатократних рівно точних статистичних вимірювань

Хід роботи

I. Схема вимірювань та початкові дані.

1) Схема вимірювань:

2) Початкові дані:

– номінальне значення частоти генератора – 270 Гц;

– точність установки частоти генератора – ± 1,5%;

– початковий статистичний ряд:

Табл. 1

II. Обчислення оцінок основних статистичних характеристик.

Найчастіше на практиці описують оцінки таких характеристик:

1) оцінка середнього значення Ā:

Гц

Ā – характеризує найбільш очікуване значення фізичної величини.

2) оцінка середнього квадратичного відхилення результатів вимірювання від середнього значення:

Гц

S – міра розсіювання (розкиду) результатів вимірювань від середнього значення.

3) оцінка дисперсії розсіювання результатів вимірювань:

Гц²

4) оцінка коефіцієнта асиметрії:

A – характеризує несиметричність розподілу результатів вимірювань відносно середнього значення.

5) оцінка коефіцієнта асиметрії:

E – характеризує плосковершинність кривої розподілу.

Всі обчислення подаємо у вигляді таблиці:

Табл. 2

На практиці оцінюється значущість коефіцієнтів вимірювань.

Для цього обчислюємо дисперсії коефіцієнтів A і E:

,

Якщо виконується умова, що

і ,

то робиться висновок, що коефіцієнти незначущі, а значить ними можна знехтувати. В протилежному випадку коефіцієнти є значущі, а значить вони повинні бути враховані при виборі математичної моделі для опису розподілу результатів вимірювань.

Висновок: для нормального закону розподілу результатів вимірювань коефіцієнти A і E рівні нулю, тому якщо на практиці ми отримали А0 і Е0 або ними можна знехтувати, то з великою достовірністю можна говорити, що наші результати розподіляються за нормальним законом. В нашому випадку А і Е не дорівнюють нулю, тому, що ми маємо дуже мало вимірювань проте вони є незначущі (0,2271,049 і 0,7173,277), а значить ними можна знехтувати. Звідси слідує, що дійсно наші результати розподіляються за нормальним законом розподілу.

Грубі похибки та промахи повинні бути виявленні і відкинуті з результатів вимірювань. З цією метою використовується спеціальний статистичний критерій – критерій Стьюдента.

В роботі використовуємо критерій – правило трьох у.

Початковий статистичний ряд представимо у вигляді такого графіка:

статистичний коефіцієнт середній стьюдент

На графік наносимо середнє значення і межі (границі):

– верхню Ā+3S;

– нижню Ā-3S.

Висновок: грубих похибок і промахів не виявлено; початковий ряд є однорідним; приведемо його характеристики: n=45, Ā=269.517 Гц, S=0.055 Гц

Додатково перевіримо наявність грубих похибок використовуючи коефіцієнти Стьюдента. Для цього знаходимо на графіку максимальне і мінімальне значення і обчислюємо квантиль t₁ і t_2:

Для n = 45 при p = 0.98 t_доп. = 2,4

t₁ t_доп., t₂ t_доп.

За допомогою коефіцієнтів Стьюдента ми ще раз підтвердили, що грубі похибки і промахи відсутні, статистичний ряд є однорідним.

Експериментальний розподіл отримують у вигляді гістограми.

Порядок побудови гістограми:

1) однорідний ряд розміщуємо в порядку зростання;

2) обчислюємо розмах значень:

;

3) відрізок розділяємо на рівних інтервалів:

;

4) обчислюємо ширину інтервалу гістограми:

;

5) обчислюємо межі кожного інтервалу, результати записуємо у таблицю 3.

Табл. 3

6) підраховуємо число попадання результатів вимірювань в кожен інтервал n_j;

7) обчислюємо імовірності попадань результатів вимірювань в кожен інтервал ;

8) будуємо гістограму:

Для цього на кожному інтервалі будуємо прямокутник площа якого дорівнює p_j.

Гістограма – це експериментальний аналог густини розподілу.

Крім гістограми є ще інші варіанти представлення експериментальних розподілів:

– у вигляді полігону розподілу;

– у вигляді функції накопичених частот.

Вибір математичної моделі проводиться з урахуванням:

Враховуючи сказане і вигляд гістограми вибір математичної моделі розпочинаємо з функції Гауса:

.

На практиці використовують нормований варіант задання нормального закону розподілу.

Умови нормування:

- m = 0;

- у = 1.

Після нормування функція Гауса має такий вигляд:

Гістограму також треба представити у нормованому вигляді. Тобто і.

,

Для вирішення цієї задачі використаємо критерій, який так і називається, критерій узгодженості.

Серед них найчастіше використовуються:

- критерій Пірсона (критерій ч²);

- критерій Колмогорова;

- критерій щ² та інші.

В роботі використовуємо критерій Пірсона.

Величина служить мірою розбіжності експериментального розподілу і вибраної математичної моделі.

Вибираємо довірчу імовірність .

Обчислюємо рівень значимості .

Обчислюємо число вільності , де k – кількість інтервалів гістограми .

За цими даними із таблиці розподілу Пірсона .

Висновок: математична модель (функція Гауса) не описує експериментальний розподіл, потрібно вибрати наступну математичну модель, наприклад, якщо експериментальний розподіл є симетричним трикутноподібну, або іншу.