Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Вы нашли то, что искали?

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

0%

Нет, пока не нашел

0%

Узнайте стоимость индивидуальной работы

это быстро и бесплатно

Получите скидку

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!


Невласні інтеграли Поняття та різновиди невласних інтегралів

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
1157
Размер файла
166 б
Поделиться

Ознакомительный фрагмент работы:

Невласні інтеграли Поняття та різновиди невласних інтегралів

Невласні інтеграли

Поняття та різновиди невласних інтегралів

Згідно з теоремою існування визначеного інтеграла цей інте­грал існує, якщо виконані умови:

1) відрізок інтегрування [а, b] скінчений;

2) підінтегральна функція f(x) неперервна або обмежена і має скінченну кількість точок розриву. Якщо хоч би одна із умов не виконується, то визначений інтеграл називають невласним.

Якщо не виконується перша умова, тобто b = ∞ або а = ∞ або а = -∞ таb = ∞, то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченними межами.

Якщо не виконується лише друга умова, то підінтегральна функція f(x)має точки розриву другого роду на відрізку інтегрування [а, b]. В цьому випадку називають невласним інтегралом від розривної функції або від функції, необмеженої в точках відрізку інтегрування.

1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першого роду).

Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a; +∞) і інтегрована на будь-якому відрізку [а, b], де — ∞ < a< b< +∞. Тоді, якщо існує скінченна границя

(51)

її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так:

(52)

Таким чином, за означенням

(53)

У цьому випадку інтеграл (52) називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x)— інтегровною на проміжку [а; +∞).

Якщо ж границя (51) не існує або нескінченна, то інтеграл (52) називається також невласним, але розбіжним, а функція f(х) — неінтегровною на [a; +∞).

Аналогічно інтегралу (53) означається невласний інтеграл на проміжку (-∞; b]:

(54)

Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю

(55)

де с — довільне дійсне число. Отже, інтеграл зліва у формулі (55) існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл, визначений формулою (55), не залежить від вибору числа с.

З наведених означень видно, що не­власний інтеграл не є границею інтегра­льних сум, а є границею означеного ін­теграла із змінною межею інтегрування.

Зауважимо, що коли функція f(x)неперервна і невід'ємна на проміжку [а; +∞) і коли інтеграл (53) збігається, то природно вважати, що він виражає площу необмеженої області (рис. 7.12).

рис. 7.12

Приклад.

Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність:

а) б)

в) д)

а) За формулою (53) маємо

Отже інтеграл а) збігається.

б)

Оскільки ця границя не існує при а → -∞, то інтеграл б) розбіжний.

в)

Отже інтеграл в) розбіжний,

г) Якщо = 1, то

Якщо ≠ 1, то

Отже інтеграл г) є збіжним при > 1 і розбіжним при ≤ 1.

У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла грунтувалося на його означенні. Проте у деяких випадках немає необхідності обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні. Наводимо без доведення деякі ознаки збіжності.

Теорема 1. Якщо на проміжку [а; +∞) функції f(x) і g(x) неперервні і задовольняють умову 0 ≤ f(x)≤ g(x), то із збіжності інтеграла

(56)

випливає збіжність інтеграла

(57)

а із розбіжності інтеграла (57) випливав розбіжність інтеграла (56).

Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 7.13); якщо площа більшої за розмірами необмеженої області є скінченне число, то площа меншої області є також скінченне число; якщо пло­ща меншої області нескінченно велика величина, то площа більшої області є також нескінченно велика величина.

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграли:

а) ;

а) Оскільки :

і інтеграл збігається, то за теоремою і заданий інтеграл також збігається.

б) Цей інтеграл розбігається, бо :

і інтеграл розбігається.

Теорема 2. Якщо існує границя

, ,

то інтеграли (56) і (57) або одночасно обидва збігаються, або одно­часно розбігаються.

Ця ознака іноді виявляється зручнішою, ніж теорема 1, бо не потребує перевірки нерівності 0 £f(x)≤ g(х).

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл

Оскільки інтеграл збігається і

то заданий інтеграл також збігається.

В теоремах 1 і 2 розглядались невласні інтеграли від невід'єм­них функцій. У випадку, коли підінтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема.

Теорема 3. Якщо інтеграл збігається, то збігається й інтеграл .

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл .

Тут підінтегральна функція знакозмінна. Оскільки

то заданий інтеграл збігається.

Слід зауважити, що із збіжності інтеграла не випливає, взагалі кажучи, збіжність інтеграла . Ця обставина виправдовує такі означення.

Якщо разом з інтегралом збігається й інтеграл , то інтеграл називають абсолютно збіжним, а функцію f(x) — абсолютно інтегровною на проміжку [а; +∞).

Якщо інтеграл збігається, а інтеграл розбігається, то інтеграл називають умовно (або неабсолютно) збіжним.

Тепер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається .

Отже, для знакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лише абсолютну збіжність інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глибокі ознаки збіжності [II].

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл

Оскільки

то за теоремою 3 інтеграл збігається.

Отже, збігається, причому абсолютно, і заданий інтеграл, а функція f(x)= на проміжку [0; +∞) є абсолютно інтегровною.

2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).

Нехай функція f(x)визначена на про­міжку [а, b). Точку х = bназвемо особливою точкою функції f(х), якщо f(x)∞ при х b - 0 (рис. 7.14). Нехай функція f(x)інтегровна на відрізку [а; b— ] при довільному > 0 такому, що b - > ; тоді, якщо існує скінченна границя

(58)

її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:

(59)

Отже, за означенням

У цьому випадку кажуть, що інтеграл (59) існує або збігається. Якщо ж границя (58) нескінченна або не існує, то інтеграл (59) також називають невласним інтегралом, але розбіжним.

Аналогічно якщо х = — особлива точка (рис. 7.15), то невласний інтеграл визначається так:

Якщо f(x) необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки с0 (а; b), то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають (рис. 7.16).

Нарешті, якщо а та b— особливі точки, то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають

де с — довільна точка інтервалу (а; b).

Приклад

Обчислити невласні інтеграли:

а) ; б)

а)

Отже, інтеграл а) збіжний.

б) Якщо ¹ 1, то

Якщо = 1, то

Таким чином, інтеграл б) збігається при 0 < < 1 і розбігається при ³ 1.

Бета-функція, або інтеграл Ейлера першого роду, визначається формулою

(91)

Можна довести, що для всіх (0, +∞) і (0, +∞) інтег­рал (91) збігається. Варто зазначити, що відповідний невизначений інтеграл , згідно з теоремою Чебишева (п. 1.7), виражається через елементарні функції лише в окремих випадках. Отже, бета-функція не є елементарною.

Гамма-функцією, або інтегралом Ейлера другого роду, називається інтеграл

(92)

Покажемо, що невласний інтеграл (92) при > 0 збігається. Маємо

Перший інтеграл в правій частині цієї рівності збігається, бо

Другий інтеграл також збігається. Справді, якщо n — довільне натуральне число таке, що n > — 1, то

,

в чому можна пересвідчитись, обчислюючи останній інтеграл части­нами і враховуючи, що

Отже, інтеграл (92) при > 0 збігається і визначає деяку функцію, яку і називають гамма-функцією Г().

Обчислимо значення Г() при а N. Якщо = 1, то

(93)

Нехай n + 1 інтегруючи частинами, дістанемо

звідки

Г(n +1) = nГ(n) (94)

З рівностей (93) і (94) випливає, що nN:

Г(n +1) = n!

Таким чином, гамма-функція для цілих значень n N виражається через n!. Проте вона визначена і для нецілих додатних значень аргументу, тобто продовжує факторіальну функцію з дискретних значень аргументу на неперерв­ні. Гамма-функція не є елементарною функцією. Графік цієї функції зображено на рис. 7.35. Властивості гамма-функції досить добре ви­вчені і значення її протабульовані в багатьох довідниках, наприклад в [19].

Наводимо без доведення формулу Стірлінга для гамма-функції:

де > 0 і 0 < () < 1. Якщо в цій рівності покласти = nі помножити її на n, дістанемо

(95)

Бета- і гамма-функції пов'язані між собою співвідношенням

(96)

Приклади

1. Знайти Г

Згідно з формулою (96), при = = маємо

отже, Г=.

2. Обчислити інтеграл Ейлера — Пуассона

Враховуючи результат попереднього прикладу, дістанемо

3. Виразити інтеграл через бета-функцію наближено при = 3, = .

Маємо

Зокрема, при = 3 і = згідно з формулою (96) дістанемо

Завдання для самоконтролю

1. Які інтеграли називаються інтегралами, залежними від параметра?

2. Сформулювати теореми про неперервність, диференціювання та інтегрування Інтеграла, залежного від параметра.

1. 3. Дати означення гамма-функції Г().

3. Довести, що Г(n +1) = n!, n N.

4. Дати означення бета-функції В(,). Як пов'язані між собою бета- та гам­ма-функції?

5. Довести, що

Вказівка. Скористатись підстановкою sinx=.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Математика
История
Экономика
icon
142365
рейтинг
icon
3069
работ сдано
icon
1329
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
140128
рейтинг
icon
5849
работ сдано
icon
2647
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
94278
рейтинг
icon
2018
работ сдано
icon
1266
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
52 793 оценки star star star star star
среднее 4.9 из 5
ЧКИ РУК
Реферат был сделан очень быстро, буквально за 5-10 минут. Работа была с антиплагиатом, всё...
star star star star star
Самгупс
Конечно текст был чисто из учебников, но приняли хотя бы и на этом хорошо, рада.
star star star star star
Московская международная академия
Работа сделана хорошо, очень высокая оригинальность, рекомендую исполнителя
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Написать доклад на тему "Принципы организации защищенного документооборота"

Доклад, информационная безопасность

Срок сдачи к 27 мая

только что

задачи

Решение задач, Химия

Срок сдачи к 25 мая

только что

Схема автогенератора с чм

Лабораторная, Радиопередающие устройства, электроника

Срок сдачи к 27 мая

1 минуту назад

Электродинамика

Решение задач, Физика

Срок сдачи к 30 мая

2 минуты назад

КР состоит из 5 разделов

Контрольная, Производственная стратегия, экономика

Срок сдачи к 28 мая

2 минуты назад
2 минуты назад

Расчетные упражнения

Другое, Микроэкономика

Срок сдачи к 31 мая

3 минуты назад

Доработать ВКР

Диплом, безопасность жизнедеятельности

Срок сдачи к 29 мая

3 минуты назад

Правоспособность и дееспособность субъектов...

Курсовая, Теория государства и права

Срок сдачи к 27 мая

3 минуты назад
3 минуты назад

Эссе по литературе

Эссе, Литература

Срок сдачи к 24 мая

3 минуты назад

Выбор системы элементов схемотехнического устройства

Лабораторная, Схемотехника

Срок сдачи к 31 мая

3 минуты назад

"Разработка электронной картотеки" Создать электронную картотеку

Курсовая, программирование на СИ

Срок сдачи к 28 мая

3 минуты назад

помочь и объяснить задания по лабораторным работам

Онлайн-помощь, параллельные методы и алгоритмы, математика

Срок сдачи к 27 мая

4 минуты назад

Курсовая

Курсовая, Веб дизайн

Срок сдачи к 27 мая

4 минуты назад

Ответить на вопросы и решить задачи кратко

Решение задач, административное право

Срок сдачи к 24 мая

4 минуты назад

Электродинамика

Решение задач, Физика

Срок сдачи к 30 мая

4 минуты назад

Пройти тест по английскому

Тест дистанционно, Английский язык

Срок сдачи к 25 мая

5 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно