Системы образующих. Циклические группы

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Департамент научно-технологической политики и образования

ФГОУ ВПО «Красноярский аграрный университет»

Институт экономики и финансов АПК

Системы образующих. Циклические группы

Курсовая работа

Выполнила студентка

Группы ЭК-26

Гульбис Вероника Викторовна

Руководитель: профессор Сучков

Красноярск, 2010.

Пересечение любых двух подгрупп Н и F группы G не может быт

пустым, так как всякая подгруппа группы G содержит элемент 1. Эпи

пересечение будет в действительности подгруппой группы G: если D есть

пересечение подгрупп HnF,D=H{]F,a если элементы а и Ъ принадлежат к 5, то их произведение и обратные к ним элементы содержатся как в Н, так и в F, а поэтому также принадлежат к D.

Если дано не две, а вообще произвольное конечное или даже бес-

бесконечное множество подгрупп группы G, то произведение любых двух

элементов из пересечения всех этих подгрупп лежит в каждой из них.

а поэтому и в их пересечении. Это же верно и для обратных элементов.

Пересечение любого множества подгрупп группы G само является,

следовательно, подгруппой этой группы. Так, пересечением всех под-

подгрупп группы G будет, очевидно, единичная подгруппа Е.

Пусть М — произвольное непустое подмножество группы G. Пере-

Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих все элементы множества

М,— одной из этих подгрупп является, конечно, сама группа G,—

называется подгруппой, порожденной множеством М, и обозначается

символом {М}. Она содержится, очевидно, во всякой подгруппе группы G,

содержащей целиком множество М.

Если подмножество-М состоит из одного элемента а, то порожденная

им подгруппа {а} называется циклической подгруппой элемента а. К под-

подгруппе {а} принадлежат, конечно, все степени элемента а; но эти степени

сами составляют подгруппу, так как произведение элементов ап и ат

равно ап+т, а обратным для элемента ап является элемент а~п (см. § 3).

Отсюда следует, что циклическая подгруппа {а} состоит из всех степеней

элемента а. Это показывает, что циклическая подгруппа {а} будет счет-

счетной, если а есть элемент бесконечного порядка, и конечной при конечном

порядке элемента а; в этом последнем случае порядок подгруппы {а}

равен порядку элемента а.

Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп,,

т. е. состоящая из степеней одного из своих элементов, называется

циклической группой. Элемент, из степеней которого составлена данная

циклическая группа, называется образующим элементом этой группы. Всякая

циклическая группа, очевидно, коммутативна.

Примером бесконечной циклической группы служит аддитивная

группа целых чисел — ее образующим элементом является число 1Г

примером конечной циклической группы порядка п —

мультипликативная группа корней м-й степени из единицы, п = 1, 2, ... Следующая теорема показывает, что этими примерами исчерпываются по существу

.все циклические группы.

Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой; изо-

изоморфны между собой также все конечные циклические группы данного

порядка п.

Действительно, бесконечная циклическая группа с образующим

элементом а взаимно однозначно отображается на аддитивную группу

целых чисел, если всякому элементу ah ставится в соответствие число k-r

изоморфизм этого отображения следует из того, что при перемножении

степеней элемента а показатели складываются. Аналогичным путем полу-

получается изоморфное отображение всякой циклической группы порядка п

на группу корней п-й степени из единицы.

Эта теорема позволяет говорить в дальнейшем* просто о бесконечной

циклической группе или о циклической группе порядка п.

Всякая подгруппа циклической группы сама циклическая.

Действительно, пусть G = {а} есть циклическая группа с образую-

образующим элементом а, бесконечная или конечная порядка п, и пусть Н будет

отличная от Е подгруппа из G. Пусть, далее, наименьшая

положительная степень элемента а, содержащаяся в Н, есть ah. Тогда {ah} ?= Н.

Допустим, что в Н содержится также элемент а1, I =? 0 и I не делится

на к. Тогда, если (к, I) = d, d > 0, есть общий наибольший делитель-

чисел к и I, то существуют такие целые числа и и v, что ки + lv = dr

и, следовательно, в Н должен содержаться элемент

(ah)u (а1 у = ad;

но так как d < к, то мы приходим в противоречие с выбором элемента ah.

Следовательно, Н = {ah}.

В бесконечной циклической группе с образующим элементом а в

качестве образующего элемента можно взять также элемент а-1;

циклическая подгруппа, порожденная любой другой степенью элемента а,

отлична от всей группы. В циклической группе {а} порядка п в качестве

образующего элемента можно взять элемент ak, 0<;A; < п, тогда и только

тогда, если кип взаимно просты. Действительно, если (к, п) = 1, то-

существуют такие и и v, что

ku--nv = 1.

Тогда

(ah)u = a1-nv = a-a-nv = a.

Если, с другой стороны, при некотором к будет (ak)s = а, то разность

показателей ks — 1 должна делиться на п (см. § 3):

ks— 1 =nq,

откуда ks — nq = 1, т. е. (к, п) — 1.

Если М — снова произвольное подмножество группы G, то, как

и в случае циклических подгрупп, легко указать закон, по которому

элементы подгруппы {М} изображаются через элементы множества М.

Подгруппа {М} должна содержать положительные и отрицательные-

степени всех элементов из М, а поэтому и всевозможные произведения

любого конечного числа этих степеней, взятых в произвольном порядке.

Но все элементы группы G, представимые в виде произведения конечного-

числа степеней элементов из М,— хотя бы и многими различными,

способами,— сами образуют, очевидно, подгруппу группы G, содержащую - все элементы из М. Этим доказано, что подгруппа, порожденная

множеством М, состоит из всех элементов группы, равных произведениям

конечного числа степеней элементов множества М.

Если, в частности, дано некоторое множество подгрупп группы G

и если М есть теоретико-множественная сумма этих подгрупп, т. е.

множество, состоящее из элементов группы G, входящих хотя бы в одну

из заданных подгрупп, то подгруппа {М} является минимальной под-

подгруппой группы G, содержащей все эти подгруппы. Эта подгруппа {М}

называется подгруппой, порожденной заданными подгруппами, и

обозначается символом {Аа}, a?N, если заданы подгруппы Аа, где а пробе-

пробегает некоторое множество индексов N; в частности, если заданы лишь

две подгруппы А и В, то подгруппа {М} обозначается символом {А, В},

и т. д. Из сказанного выше следует, что подгруппа, порожденная

некоторым множеством подгрупп группы G, состоит из всех элементов

группы, равных произведениям конечного числа элементов, взятых в заданных

подгруппах.

Если подгруппа {М}, порожденная в группе G некоторым ее

подмножеством М, совпадает с самой группой G, то множество М называется

системой образующих элементов или просто системой образующих этой

группы. Всякая группа обладает системами образующих — достаточно

взять множество всех элементов группы или множество всех элементов,

кроме 1. Из сказанного выше о подгруппе, порожденной некоторым

множеством, следует, что множество М тогда и только тогда будет системой

•образующих группы G, если всякий элемент из G может быть записан

хотя бы одним способом в виде произведения конечного числа степеней

элементов из М.

Пусть

•система образующих М называется неприводимой, если никакая ее истин-

истинная подсистема уже не является для G системой образующих. [См. Д.1.З.]

Примеры. 1. Всякая циклическая группа обладает системой

образующих, состоящей из одного элемента, а именно, из образующего

элемента этой группы. Обратно, всякая группа с одним образующим эле-

элементом является циклической. Заметим, что в циклической группе можно

обычно выбрать также неприводимые системы образующих, состоящие

•более чем из одного элемента. Так, систему образующих для аддитивной

группы целых чисел составляют, например, числа 2 и 3.

2. В § 4 было отмечено, что всякая подстановка п-ж степени являет-

является произведением транспозиций. Отсюда следует, что одной из систем

образующих симметрической группы и-й степени будет множество всех

транспозиций, содержащихся в этой группе. Симметрическая группа п-ш

-степени может быть порождена также двумя образующими элементами:

а = A 2), b = A 2 ... п).

Действительно,

kk —2.

Если теперь i -< / — 1, то

(/, /-1) ... (i + 2, i + l)(i, i + l)(i + l, i + 2) ... (у-1,/) = (*/),

т. е. подгруппа {а, Ь} содержит все транспозиции и поэтому совпадает

«о всей симметрической группой. 3. Числа

± ± _L _L

i, 2 , 6 , 24 , • .., л, , ...

составляют систему образующих для аддитивной группы рациональных

чисел R. Легко видеть, что всякое бесконечное подмножество этого

множества также будет системой образующих для R. Больше того, можно

доказать, что аддитивная группа рациональных чисел R не имеет ни

одной неприводимой системы образующих. Действительно, пусть М есть

некоторая система образующих для R и пусть а есть произвольный эле-

элемент из М. Обозначим через Н подгруппу, порожденную множеством М',

состоящим из всех элементов множества М, кроме а; множество М' не

может быть пустым, так как иначе все рациональные числа были бы

кратными числу а, что невозможно. Если Ъ есть произвольный элемент

из М', то из свойств рациональных чисел следует существование такого

целого числа к, отличного от нуля, что число ка будет уже кратным числу

Ь, и поэтому будет содержаться в подгруппе Н. Число -г- а, принадлежащее

гС

к группе R, может быть записано в виде суммы конечного числа

рациональных чисел, кратных некоторым числам из М, т. е. может быть пред-

представлено в виде

-г- а = sa-- h,

где s есть некоторое целое число, равное, быть может, нулю, а Л —

некоторый элемент из подгруппы Н. Отсюда

а = s (ка) --lch,

т. е. а содержится в Я и поэтому Н = R. Множество М' является,

следовательно, системой образующих для группы R.

4. Мультипликативная группа положительных рациональных чисел

обладает неприводимой системой образующих, состоящей из всех про-

простых чисел.

Если группа G обладает системой образующих, состоящей из

конечного числа элементов, то G называется группой с конечным числом

образующих. Таковы, очевидно, все конечные и все циклические группы.

Пример бесконечной циклической группы показывает, что из конечно-

конечности числа образующих не следует конечность самой группы.

Всякая система образующих группы с конечным числом образующих

содержит конечное подмножество, являющееся неприводимой системой

образующих этой группы.

Так как конечная система образующих всегда может быть сделана

неприводимой путем удаления лишних элементов, то нужно лишь дока-

доказать, что при наших предположениях всякая бесконечная система

образующих содержит конечное подмножество, также являющееся системой

образующих для рассматриваемой группы. Пусть G есть группа с

образующими аи а2, ¦ ¦ ., ап,

G = {at, а2, ..., ап),

и пусть М есть некоторая другая система образующих этой группы.

Всякий элемент at, i = 1, 2, . . ., га, записывается в виде произведения

степеней конечного числа элементов из М. Выбирая для каждого

щ одну из таких записей и собирая те элементы из М, которые входят в эти записи для i = 1, 2, . . ., га, мы получим конечное подмножество

М' из М, порожденная которым подгруппа {М'} содержит все элементы

at, а2, . . ., ап и поэтому совпадает с G.

Заметим, что различные неприводимые системы образующих группы

с конечным числом образующих могут содержать, вообще говоря, раз-

различное число элементов (см. пример 1).

Всякий гомоморфный образ группы с конечным числом образующие

сам является группой с конечным числом образующих. Действительно, если

G = {й1, а2, ¦ ¦ ., ап} и если гомоморфизм ф отображает группу G на

группу G, то элементы

ад, а2ф> • • •, а«Ф A)

составляют для G систему образующих. В самом деле, если а —

произвольный элемент из группы G и а — один из его прообразов в группе G,

то а так же записывается через степени элементов A), как а — через

степени элементов ац, а2, • ¦ •, ап. Некоторые из элементов A) могут,

конечно, совпадать, т. е. мы получим для группы G систему образующих

с повторениями. Эти повторения можно было бы исключить. Мы

условимся, однако, и в будущем допускать к рассмотрению системы образую-

образующих с повторяющимися элементами.

Всякая бесконечная группа с конечным числом образующих являет-

является счетной.

Действительно, если элементы а4, а2, . . ., ап являются образую-

образующими для группы G, то всякий элемент этой группы может быть записав

в виде произведения

а, а, а

а,1а,г ... а,*

(вообще говоря, многими различными способами); всякое i^ есть одно-

из чисел 1, 2, . . ., п, причем возможно, что ik = i; при кф1. Будем

называть длиной этого произведения сумму абсолютных величин пока-

показателей:

Легко видеть, что существует лишь конечное число произведений степе-

степеней образующих элементов а±, а2, . . ., ап данной длины h. Множество

всех произведений степеней этих элементов будет, следовательно, суммой

счетного множества конечных множеств, т. е. счетным, а поэтому и

группа G будет не более чем счетной.

Примеры 3 и 4 настоящего параграфа показывают, что существуют

счетные группы, не имеющие конечных систем образующих. Группы

с конечным числом образующих составляют, следовательно, класс групп,

промежуточный между конечными и счетными группами.

Всякая подгруппа группы с конечным числом образующих будет,

конечно, не более чем счетной. В гл. 9 мы встретим, однако, примеры

групп с конечным числом образующих, некоторые подгруппы которых

не обладают конечными системами образующих. Группы с конечным

числом образующих будут специально изучаться в гл. 10.

Заметим, что таким же путем, как выше, можно доказать, что если

группа G обладает бесконечной системой образующих {без повторений)

мощности ttt, то и сама группа имеет мощность т.

Литература:

Курош А.Г Теория групп, Наука, Москва 1967г