Дедукция и индукция

В основу всякого научного исследования, в том числе и математического, лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедукция (от латинского “deductio” - выведение) - переход от общего к частному, индукция (от латинского “inductio” - наведение) - вид обобщений, связанных с предвосхищением результатов наблюдений и экспериментов на основе данных прошлых лет. В математике дедуктивный метод мы применяем, например, в рассуждениях такого типа: данная фигура - прямоугольник; у каждого прямоугольника диагонали равны. Индуктивный подход обычно начинается с анализа и сравнения данных наблюдения или эксперимента. Многократность повторения какого-либо факта приводит к индуктивному обобщению. Индуктивный подход люди, часто сами того не замечая, применяют почти во всех сферах деятельности. Так, например, рассуждения, с помощью которых суд приходит к решению, можно сравнить с индуктивными рассуждениями. Такие сравнения уже предлагались и обсуждались авторитетами по судебной практике. На основании некоторых известных фактов выдвигается какое-либо предположение (гипотеза). Если всё вновь выявленные факты не противоречат этому предположению и являются следствием его, то это предположение становится более правдоподобным. Конечно, для практики повседневного и научного мышления характерны обобщения на основе исследования не всех случаев, а только некоторых, поскольку число всех случаев, как правило, практически необозримо. Такие обобщения называются неполной индукцией.

Если же общее утверждение удаётся доказать во всех возможных случаях, то такая индукция называется полной. Результат, полученный неполной индукцией, вообще говоря, не является логически обоснованным, доказанным. Известно много случаев, когда утверждения, полученные неполной индукцией, были неверными В математике примером такого утверждения может служить следующее. Рассматривая числа вида 2^2^n+1, французский математик П. Ферма заметил, что при n=1,2,3,4 получаются простые числа. Он предположил, что все числа такого вида простые. Однако Л. Эйлер нашел, что уже при n=5 число 2^32+1 не является простым: оно делится на 641. Вместе с тем неполная индукция является мощным эвристическим методом открытия новых истин, которые подтверждаются иногда спустя много лет. Тот же П. Ферма в 1630 г. сформулировал и другую теорему: “Для любого натурального числа n>2 уравнение x^n+y^n=z^n не имеет решений целых ненулевых числах x,y,z”. Многие математики пытались доказать или опровергнуть это утверждение, но только в 1993 году (спустя 360 лет!) американский математик из Принстонского университета Andrew Wiles (андре Вайлье) доказал эту теорему.

Интересно, что Л. Эйлеру принадлежит утверждение, которое до сих пор не доказано: “Любое целое число вида 8n=3 является суммой квадрата и удвоенного простого числа”. Сам Эйлер удовлетворился, что это утверждение верно для всех целых чисел такого вида до 200. После него такая эмпирическая работа была проведена для чисел до 1000. Доказывает ли это гипотезу Эйлера? Никоим образом. Тем не менее каждое подтверждение делает это предположение более правдоподобным.

Метод математической индукции.

Неполная индукция, как мы видели, приводит часто к ошибочным результатам. Метод полной индукции имеет лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев человек не может.

Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции. Доказательства этим методом опираются на следующую аксиому.

Принцип (аксиома) математической индукции.

Утверждение, зависящее от натурального числа n, справедливо для любого n, если выполнены два условия:

а) утверждение справедливо при n=1;

б) при любом натуральном значении k из справедливости утверждения для n=k вытекает его справедливость и для n=k+1.

Приведем примеры доказательств методом математической индукции.

Пример 1. Доказать, что при любых n?N справедливо

Sn = 1+3+5+...+(2n-1)=n^2

Решение. а) S1 = 1 = 1^2, следовательно, утверждение равно при n=1.

б) Пусть k - любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для n=k, то есть

Sk = 1+3+5+...+(2k-1)=k^2

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, то есть докажем, что

Sk+1=1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)^2

В самом деле,

Sk+1 =Sk+)2k+1)=k^2+2k+1=(k+1)^2.

Тем самым по принципу математической индукции утверждение доказано для любого натурального значения n.

Прогрессии.

1. Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это неизменное число называется разностью прогрессии. Члены арифметической прогрессии обозначают через a1, a2, ..., an, ..., разность прогрессии - через d.

Примеры.

1. Натуральный ряд чисел N={1, 2, 3, 4, 5,....} есть арифметическая прогрессия с разностью d=1.

2. Последовательность чисел 10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, ... есть арифметическая прогрессия с разностью d=-2/

Для задания арифметической прогрессии достаточно задать её первый член a1 и её разность d. Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формуле

an=a1+d(n-1) (1)

Докажем эту формулу методом математической индукции.

а) При n=1 получим a1=a1+d(1-1)=a1. Следовательно формула верна.

б) Пусть k - любое натуральное число и пусть формула справедлива при n=k, то есть

ak=a1+d(k-1).

Докажем, что тогда формула верна и для следующего натурального числа n=k+1, то есть докажем, что

ak+1=a1+d(k).

По определению арифметической прогрессии имеем

ak+1=ak+d.

Подставим в это равенство выражение для ak, которое, согласно предположению индукции, считаем верным. Получим

ak+1=ak+d=a1+d(k-1)+d=a1+d(k).

Значит, формула (1) верна для всех n.

Задача 1. Курс воздушных ванн врачи рекомендуют начинать с 15 мин в 1-й день, а за тем увеличивать время этой процедуры каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности в 1 час 45 мин?

Решение. Продолжительность приёма воздушных ванн в каждый день представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a1=15 мини разностью d=10мин. Спрашивается, в какой день продолжительность достигает 1 час 45 мин, то есть 105 мин? Воспользуемся формулой (1) общего члена арифметической прогрессии:

an=a1+d(n-1)=105.

Отсюда получим

15+10(n-1)=105 или n=10 (дней).

Основное свойство арифметической прогрессии.

Последовательность a1, a2, a3, ..., an, ... является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, то есть

an-1+an+1

an= ------------------- , n³2

2

Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии:

a1+an 2a1+(n-1)d

Sn=-------- *n = --------------- *n.

2 2

2. Геометрической прогрессией называется последовательность не равных нулю чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это постоянное число называется знаменателем прогрессии. Члены геометрической прогрессии обозначают через b1, b2, b3, ..., bn, ... , знаменатель прогрессии - через q.

Примеры.

1. Числа 5, 10, 20 ,40, ... образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q=2 (возрастающую).

2. Числа 1; 0,1; 0,01; 0,001; ... образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q=0,1 (убывающую).

3. Числа 3, -6, 12, -24, ... образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q=-2 (отметим, что знаменатель может быть любым числом, не равным 0).

Для задания геометрической прогрессии достаточно задать её первый член b1 и её знаменатель q. Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле

bn=b1*q^(n-1) (3)

Докажем эту формулу также методом математической индукции.

а) При n=1 получим b1=b1*q^0=b1. Следовательно, формула верна.

б) Пусть k - любое натуральное число и пусть формула справедлива при n=k, то есть

bk= b1*q^(k-1).

По определению геометрической прогрессии имеем bk+1=bk*q. Подставим в это равенство выражение для bk, которое, согласно предположению индукции, считаем верным. Получим

bk+1= b1*q^(k-1)*q= b1*qk.

Значит формула (3) верна для всех n.

Основное свойство геометрической прогрессии.

Последовательность не равных нулю чисел b1, b2, b3, ..., bn, ... является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов, то есть

bn^2=bn-1*bn+1, n³2.

Формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии:

bn*q-b1 b1(q^n-1)

Sn=------------ = ----------------, q¹1; (4)

q-1 q-1

Sn=b1*n, q=1.

Задача 2. Согласно древней легенде индийский царь Шерам был восхищен новой игрой - шахматами и предложил её изобретателю - мудрецу Сете любую награду. Сете попросил плату пшеницей исходя из следующего расчёта: за первую клетку доски заплатить 1 зерно, за вторую 2 зерна, за третью 4 зерна, и т.д. - за каждую следующую клетку дать в 2 раза больше зёрен, чем за предыдущую. Сколько зёрен потребовал Сете за изобретение шахмат?

Решение. Последовательность чисел, которая показывает, сколько зёрен должен был заплатить царь за каждую из 64 клеток шахматной доски, является геометрической прогрессией с первым членом b1=1 и знаменателем q=2. Чтобы найти количество зёрен, нам надо найти сумму

S64=1+2+2^2+2^3+...+2^63.

Воспользуемся формулой (4) и получим

2^64-2

S64=------------- =2^64-1.

2 - 1

Это очень большое число. Если его посчитать, то получится 18446744073709551615 (восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать !) К сожалению, при вычислении такого числа нельзя воспользоваться ни микрокалькулятором, ни персональным компьютером, так как это число содержит 20 цифр, а МК, например, даёт только восемь первых точных цифр, ПК - шестнадцать.

3. Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют геометрическую прогрессию, у которой модуль знаменателя меньше единицы, то есть q<1.

Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле

b1

S=-------, q<1

1-q

Проценты.

Процентом (от лат. “pro cento” - с сотни) числа называется сотая часть этого числа.

Три основные задачи на проценты таковы:

Задача 1. Найти указанный процент данного числа.

Для этого данное число умножается на число процентов; результат делится на 100, то есть

a*p

p% от числа a составляет -------.

100

Задача 2. Найти число по данной величине указанного его процента.

Для этого данная величина делится на число процентов; результат умножается на 100, то есть

a*100

если p% от x равно b, то x=------------.

p

Задача 3. Найти выражение одного числа в процентах другого.

Для этого умножаем первое число на 100; результат делим на второе число, то есть

b*100

a от b составляет -----------.

b

Указания. При решении задач на проценты необходимо твёрдо помнить, что:

1) при нахождении нескольких процентов от числа данное число принимается за 100%;

2) при нахождении числа по данным его процентам искомое число принимается за 100%;

3) при нахождении процентного отношения двух чисел за 100% принимается число, с которым сравнивается другое.