Спектры непериодических сигналов

1.

2. Спектры непериодических сигналов

Пусть задан сигнал в виде ограниченной во времени функции s(t), отличной от нуля в промежутке t₁t₂. Выделим произвольный отрезок времени T, включающий промежуток t₁t₂, далее продолжим аналитически s(t) на всю бесконечную ось с периодом T. Тогда мы сможем разложить такую периодическую функцию s(t) в гармонический ряд Фурье. В комплексной форме будем иметь:

Полученный ряд на участке t₁t₂ будет точно соответствовать нашей функции s(t). Однако, если нас интересуют моменты времени за участком t₁t₂, то необходимо увеличить период Т, т. е. отодвинуть повторные значения функции s(t). Производя замену переменных и переходя от суммирования к интегрированию, получим

где

- спектральная плотность сигнала s(t).

Спектр непериодического сигнала сплошной (непрерывный) и распространяется на отрицательные частоты.

Если , то - модуль спектральной плотности – амплитудно-частотная характеристика.

- фазово-частотная характеристика.

Необходимое условие существования спектральной плотности

Пример. Спектр прямоугольного сигнала

Согласно формуле Эйлера

- площадь под импульсом.

1.1 Свойства преобразования Фурье

а) Сдвиг сигнала во времениs₂(t)=s₁(t-t₀).

Сдвиг во времени функции s(t) на ±t₀приводит к сдвигу фазы спектра на ±wt₀. Это позволяет для удобства разложения в спектр сдвигать сигнал относительно начала координат.

б) Сжатие и расширение сигналаs₂(t)=s₁(nt).

При сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот при уменьшении модуля в n раз. Наоборот, при растяжении сигнала во времени имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности. Т. о. сжатие спектра импульса с целью повышения точности измерения частоты требует удлинения времени измерения. В то же время сжатие импульса по времени с целью, например, повышения точности измерения времени его появления заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства. В теории преобразования Фурье доказывается, что где

.

В реальности это проявление принципа неопределенности: При при несреднеквадратичном определении и .

в) Дифференцирование и интегрирование сигнала

Аналогично спектральная плотность интеграла равна

г) Сложение сигналов (линейность преобразования)

- из-за линейности операции интегрирования.

д) Спектр произведения двух функций

Изменяем порядок интегрирования:

Спектр произведения двух функций равен свертке их спектров (с множителем ).

Аналогично можно показать, что свертке двух функций соответствует спектр

являющийся произведением исходных спектров.

е) Взаимная обратимость s(t) и .

;

Для четного сигнала s(t)=s(-t), и в связи с симметричностью пределов интегрирования в выражении для можно поменять знак в экспоненте Тогда, если по функциональной зависимости то

1.2 Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

Найдем спектр квадрата функции s(t).

- используем свойства преобразования Фурье для произведения двух функций.

В частном случае () будем иметь:

. Переходя от к и т. к. , комплексное сопряжение .

- равенство Парсеваля.

- спектральная плотность энергии (энергия, приходящаяся на единицу полосы частот). Е - полная энергия сигнала.

Для энергии, приходящейся на конечную полосу частот, получим:

- при симметричной

Примеры.Спектр Гауссова (колокольного) импульса

, -¥ < t < ¥, а - условная половина длительности на уровне 0,606.

.

Произведем преобразование в показателях степени:

где d - определяется из условия:

откуда

.

При d - конечном т. к. .

Тогда т. е. спектр Гауссова импульса имеет Гауссову форму: ^.

Можно показать, что Гауссов импульс обладает наименьшим при среднеквадратичном их определении.

Спектр d-функции

.

В качестве d-функции может выступать сигнал любой формы с бесконечно малой длительностью и единичной площадью.

1.3 Свойства d-функции

1) - фильтрующее свойство.

2) Четность

3) Нормировка

Спектральная плотность

.

При t₀ = 0, ,

при t₀ ¹ 0, .

- это спектральное определение d-функции.

Аналогично - определение d-функции в частотной области.

Спектральная плотность гармонического колебания

Пусть Найдем спектральную плотность, формально не обращая внимания, что сигнал абсолютно не интегрируем.

Произведем замену .

Но тогда

.

Гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность на дискретных частотах ±w₀.

В частности, для постоянного напряжения w₀ = 0,

Задание 2

В соответствии с номером варианта (последняя цифра в номере списка группы) определить энтропию источника сообщений.

Задание 3

Для источника сообщений предыдущего задания построить эффективный код Хаффмена.

x2-1110001

x3-1111

x5-1110000

x6-11101

x7-010

x9-111001

Задание 4

Построить двоичный групповой помехоустойчивый код Хэмминга для исправления одиночных ошибок. Количество передаваемых сообщений – 45.

Дать описание построенного кода в виде проверочных равенств и матрицы.

k=3

m=3

n=m+k

n=6

(6,3)

Исходный код:

k₁k₂k₃

Код Хэмминга:

_m1m2k1m3k2k3

a₁a₂a₃a₄a₅a₆

Варианты разрядов в которых может возникнуть ошибка

Номера разрядов в которых может возникнуть ошибка

Значения проверочных битов

Проверочные равенства:

– проверочный синдром, указывающий номер бита с ошибкой

Проверочная матрица:

Пример:

Закодируем сообщение 101

Исходный код

Закодированный код

Найдем проверочные разряды

Получаем код

Смоделируем ошибку при передаче сообщения. Инвертируем 5 бит сообщения 101101 и получим 101111.

Представим принятый код в виде

Используя проверочные равенства найдем

Получаем проверочный синдром S(101), который указывает на ошибку в 5 бите. Для исправления ошибки необходимо проинвертировать указанный бит 101101. В результате получаем исходный закодированный код. Для его декодирования необходимо исключить из сообщения биты 1,2, и 4 биты. Получаем исходный код 101.

Литература

1. Блейтхут Р. Для теории и практики кодов, контролирующих ошибки. / Под общей редакцией К. Ш. Зигангирова . -г. Москва.: Мир, 2003.

2. Дмитриев В.И. Прикладная теория информации. – М.: Высшая школа, 1989.

3. Мсхаля Ж. Основы современных информационных технологий. Учебное пособие для вузов. М.: АСВ, 2003.

4. Методические указания к лабораторным работам по курсу "Элементы теории информации" для студентов специальности "Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем" / Составители: В.Н. Ярмолик, А.В. Литвиненко, А.И. Янушкевич. – Мн.: БГУИР, 1996.