О подвижном пространстве

Океанов Е.Н.

В неподвижном геометрическом трехмерном пространстве X Y Z, , (с прямоугольными координатами) радиус-вектор:

r( ) t = ix t( ) + jy t( ) + k z t( ) (1)

определяет кривую в пространстве (годограф), по которой перемещается эта точка, являясь началом координат подвижного трехмерного пространства X Y Z_m, _m, _m (с иными прямоугольными координатами). Это подвижное пространство определено, как известно, сопровождающим трехгранником с базисом τ ,n,b – ортами касательной, нормали и бинормали к указанному годографу, соответственно. В этом подвижном пространстве начало координат неподвижного пространства определяется радиусвектором:

r_m =τ x_m + n y_m + b z_m (2)

Представляется очевидным равенство:

r =− r_m, (3)

поскольку левая часть этого равенства выражает расстояние от начала неподвижного пространства до начала подвижного пространства, а правая часть, наоборот, расстояние от начала подвижного пространства до начала неподвижного пространства. Но это – одно и то же расстояние, и лишь в векторной интерпретации оно характеризуется разными векторами с одинаковым модулем и противоположными направлениями. Поэтому равенство (3) можно дополнить равенством:

r = r_m (4)

Орты подвижного пространства можно выразить через орты неподвижного пространства:

τ= i^{τ τ τ}_x + j _y + k _z , n = in_x + jn_y + k n_z , b = ib_x + jb_y + kb_z (5)

и тогда равенство (3) преобразуется к виду:

i( x+ ^τ_{x m}x + n y_{x m} + b z_{x m} ) + + j( y ^τ_{y m}x + n y_{y m} + b z_{y m} ) + k( z+ ^τ_{z m}x + n y_{z m} + b z_{z m} ) = 0, откуда следуют очевидные равенства:

τ z m x + n yz m + b zz m = − x

^τ_{y m}x + n y_{y m} + b z_{y m} = − y , (6)

τ z m x + n yz m + b zz m = − z

Эти равенства естественно рассматривать, как систему трех уравнений с тремя неизвестными x y z_m, _m, _m, поскольку задание радиус-вектора (1) вполне определяет значение остальных величин в этой системе. Ее определитель равен:

Δ = ^τ_x ( n b_{y z} − n b_{z y} ) + ^τ_y ( n b_{z x} − n b_{x z} ) + ^τ_z ( n b_{x y} − n b_{y x} ) , (8) которое в векторной форме принимает вид:

Δ = τ⋅ ( n b× ) (9)

Но, в силу очевидного равенства:

τ = n b× , определитель (7) принимает значение:

Δ =τ = ² 1 (10)

Первый частный определитель Δ _x системы равен:

и подвижная координата x_m принимает значение:

Δ ^x ( × ) (12) x_m = = − r n b⋅

Δ

Второй частный определитель Δ _y системы равен:

τ _x − x b_x

Δ _y = ^τ_y − y b_y= r⋅ τ× ( b) (13)

τ _z − z b_z

Соответственно, вторая подвижная координата y_m принимает значение:

y_m (14) Наконец, третий частный определитель Δ _z равен:

и третья подвижная координата z_m принимает значение: z_m (16)

Теперь необходимо принять во внимание равенства:

n b× = τ, τ× b = − n, τ× n = b , (17)

в соответствии с которыми подвижные координаты принимают вид скалярных произведений:

x_m = − r⋅τ , y_m = − r n⋅ , z_m = − r b⋅ (18)

Подстановка этих значений в уравнение (2) позволяет выразить радиус-вектор подвижного пространства через радиус-вектор неподвижного пространства:

r_m = − r⋅τ ² − r n r b⋅ ² − ⋅ ² = − r( τ ² + n b² + ² ) = − r⋅ 1 = − r, подтверждая равенство (3), если, конечно, учитывать работу [1] о сущности скаляра. Более того, полученный результат лишний раз подтверждает корректность, но – главное – актуальность этой работы. Потому, что теперь без всяких надуманных « мысленных экспериментов» можно строго математически сравнивать скорости в неподвижной и подвижной системах отсчета. Действительно, скорость vрадиусвектора (1) в неподвижной системе отсчета равна производной этого радиус-вектора по времени:

d r

v = (19) dt

В свою очередь, скорость v_mрадиус-вектора (2) равна его производной по времени:

d r^m v_m = (20) dt Но из равенства (3) следует очевидное равенство:

v = − v_m, (21)

в котором нет и не может быть даже намека на преобразования Лоренца. Следует отметить, что на подвижную и неподвижную системы отсчета никакие ограничения не накладывались в ожидании, что исследование выведет на особенности, позволяющие отличать инерциальную систему от каких-либо иных. Не вывело.

Здесь полезно обратить внимание на принципиальное отличие физической сущности скорости от ее математической сущности. Физическая сущность скорости (например, некоторого тела) состоит в том, что скорость тела есть мера того, как быстро тело меняет свое положение относительно выбранного репера (ориентира). На этом основании физическое понятие скорости тела можно полагать относительным. Математическая сущность скорости состоит в том, что скорость есть производная вектора по времени, и, коль скоро вектор всегда является абсолютной величиной, математическое понятие скорости является абсолютным. Обе сущности оказываются субъективным отображением объективной реальности, и, несмотря на различие, не являются взаимоисключающими. Поэтому они могут совпадать, или не совпадать в оценке объективной реальности. На этом основании можно говорить о наличии своеобразной интерференции понятий в сознании исследователя. Когда физическая сущность совпадает с математической сущностью, вероятность заблуждений в изучении объективной реальности становится меньше. В противном случае возникают различные паразитные учения (например, о теплороде 200 лет назад, или о так называемых торсионных полях нынче), вплоть до «философского» отрицания генетики и кибернетики.

Так вот, если скорость (тела) понимать, как непосредственную характеристику движущегося тела, то могут возникать проблемы интерференционного (в данном случае - терминологического) характера, приводящие к подмене понятий и, как следствие, к подмене решаемой задачи. Здесь скорость всегда понимается в ее строгом математическом смысле – производная вектора по времени. Это единственный способ максимально уберечься от заблуждений. Тогда физическую « скорость тела» следует понимать, как упрощение длинного определения:

– скорость тела есть производная по времени радиус-вектора из начала системы отсчета до центра масс этого тела и является не характеристикой тела, а только и исключительно характеристикой этого радиус-вектора.

Но это упрощение повлекло за собой подмену характеристики математического объекта (вектора) якобы характеристикой физического объекта (тела), а это уже – произвол, чреватый непредсказуемыми последствиями. Особенно с участием « мысленных экспериментов», которые вполне могут оказаться совсем немыслимыми, хотя и красивыми.

Орты i,j,k в качестве базиса неподвижного пространства являются векторами направлений и остаются неизменными константами в пределах своего пространства. Поэтому выражение скорости (19) в развернутом виде:

v( ) t = ^{d r} = i ^dx + j^dy + k ^dz (22)

dt dt dt dt

не требует дифференцирования этих ортов. Орты τ ,n,b в качестве базиса подвижного пространства в пределах своего подвижного пространства также являются константами, но в неподвижном пространстве они оказываются переменными векторами с неизменным единичным модулем. Поэтому выражение скорости (20) в развернутом виде:

d r^m d d d

v_m = ⁼ ( τ x_m ) ⁺ ( n y_m ) ⁺ ( b z_m ) (23)

dt dt dt dt

уже требует дифференцировать орты подвижного пространства по времени:

dτ dx^m d n dy^m d b dz^m

v_m = x_m + τ + y_m + n + z_m + b (24)

dt dt dt dt dt dt

в пределах неподвижного пространства, поскольку подвижное пространство движется в неподвижном пространстве. То есть, нет нужды « синхронизировать» какие-либо « часы» потому, что время t оказывается единственным общим параметром неподвижного и подвижного пространств, который и обеспечивает сопоставимость этих пространств. С учетом известных формул Серре-Френе представляются очевидными равенства:

dτ = nK dl , d n = − ( τ K + bT^)dl _, ^{d b} = − bT ^dl (25) dt dt dt dt dt dt

На основании равенств (18) в такой же мере очевидными представляются равенства: dx^m d r dτ dy^m d r d n dz^m d r d b

= −τ − r , = − n − r , = − b − r (26) dt dt dt dt dt dt dt dt dt

Подстановка равенств (25) и (26) в равенство (24) приводит к уравнению:

² dτ dl ² d n ² dl ² d b v_m = −τ v− τ⋅ r − b n r⋅ ⋅ T − n v n r− ⋅ + b r⋅ T − b v b r− ⋅ , dt dt dt dt dt

которое далее приводится к виду:

^{2 2 2} dτ d n d n d b v_m = − v( τ + n b+ ) − τ⋅ r − n r⋅ − n r⋅ − b r⋅

dt dt dt dt

Остается в полученное выражение подставить равенства (25):

^{2 2 2} dl dl dl ² dl

v_m = − v( τ + n b+ ) − τ⋅ ⋅ n r K + τ⋅ ⋅ n r K − n b r⋅ ⋅ T + b r⋅ T =

dt dt dt dt

(27) ^{2 2 2} dl ^{2 2 2 2}

= − v( τ + n b+ ) + rT ( b n b− ⋅ ) = − v( τ + n b+ ) = − v

dt

Здесь опять учтена работа[1], а также очевидное равенство:

b² = n b⋅ = 1

Полученное равенство (27), естественно, опять довольно сложным путем подтверждает установленное ранее простое равенство (21).

Эти неочевидные доказательства очевидных положений (3) и (21) выполнены под влиянием сомнений в знаменитой теории относительности, основанной на заблуждении о различных часах. Все дело в том, что физическая сущность времени не совпадает с его математической сущностью. Объективно время не существует. Объективно существует только последовательность неких физических состояний. Чтобы осмысленно ориентироваться в этой последовательности, Человек Разумный придумал способ неким счетным образом упорядочить в своем сознании эту последовательность, для чего придумал субъективную характеристику счета – время. Математика (в качестве субъективного средства отображения объективной реальности) формализовала эту характеристику в статусе универсального параметра tдля всех физических явлений в данной среде обитания. Таким образом, математическая сущность времени есть единая параметризация любых процессов. А физической сущности времени не существует. Но существует физическая сущность самих процессов, которой и адекватно понятие времени в части последовательности состояний в этих процессах. Необратимость времени является следствием необратимости последовательности состояний, а не причиной их. Поэтому у любых наблюдателей во Вселенной часы, если они исправны, всегда синхронизированы (точнее - когерентны). Когда « мысленный эксперимент» предполагает разные исправные часы у различных наблюдателей, он фактически по умолчанию помещает этих наблюдателей в различные несопоставимые Вселенные, из которых реально существует только одна. Так и превращается « мысленный эксперимент» в абсолютно немыслимый.

Пусть теперь в рассмотренном неподвижном пространстве, кроме первой подвижной точки, начинает двигаться вторая материальная точка, определяемая радиус-вектором r₁:

r₁( ) t = i x t₁( ) + jy t₁( ) + k z t₁( ) , (28) скорость v₁ которого равна его производной по времени:

d r¹ v₁ = (29) dt

Это означает, что вдоль годографа этого второго радиус-вектора перемещается второе трехмерное подвижное пространство X_{1 m},Y_{1 m},Z_{1 m} , в котором начало отсчета неподвижного пространства определено радиус-вектором

r_{1 m} = τ ₁x_m + n_{1 1}y _m + b_{1 1}z _m (30)

Скорость v_{1 m} этого радиус-вектора равна его производной по времени:

d r^{1 m} v_{1 m} = (31) dt

и теперь уже можно считать строго доказанным равенство: v_{1 m} = − v₁ (32)

Поскольку в геометрическом неподвижном пространстве одновременно движутся два различных геометрических подвижных пространства, например, A и B

(соответственно, для первого и второго), постольку уже можно говорить о скорости v_{A B/} первого подвижного пространства относительно второго подвижного пространства. Очевидно, что эта скорость определяется разностью: d

v_{A B/} = v_m − v_{1 m} ^{= −}( v) ( − − v₁) ⁼ ( r r₁⁻ ) (33) dt

Не менее очевидно, что скорость v_{B A/} второго пространства относительно первого равна:

d

v_{B A/} = − v_{A B/} = ( r r− ₁) (34) dt

Существенно, что подвижные пространства порождены соответствующими математическими точками, а это значит, что выражения (33) и (34) характеризуют одну и ту же абсолютную скорость одной математической точки относительно другой. Заметив, что разность R :

R = r− r₁ (35)

представляет собой расстояние между этими точками, можно сделать общее утверждение (достаточно очевидное, кстати):

– абсолютная скорость одного объекта относительно другого всегда равна производной расстояния между этими объектами по времени.

Литература.

1. Океанов Е.Н. - О сугубо математических противоречиях.