Электромагнитная масса кулоновского поля

Свободное перемещение статического электрического поля в вакууме хорошо изучено. Однако свойства электромагнитной массы (ЭМ-массы), связанной с кулоновским полем, до сих пор подвергаются обсуждению. Вследствие эквивалентности массы (M ) и энергии ( W = Mc ) можно рассматривать на равных, как массу, так и энергию. Представим некоторую конфигурацию электрических зарядов и, совершив работу, получим другую конфигурацию. Затраченная работа перейдёт в дополнительную потенциальную энергию взаимодействия зарядов. Где локализуется приобретённая энергия? Простой расчёт показывает [1], что она локализуется не в зарядах, а в поле взаимодействия зарядов. Кроме того, движущееся кулоновское поле реализует себя тем, что в каждой пространственной точке оно порождает магнитное поле. И ещё: при излучении ЭМ-волн фрагменты энергии поля проявляются самостоятельно вдали от зарядов. Таким образом, кулоновское поле будет рассматриваться ниже, как материальный объект. Однако не следует полностью отождествлять ЭМ-массу с механической массой – слишком большие различия между ними (разные формы материи, магнитное поле).

Другая дискуссионная тема: вектор Пойнтинга, правильно описывающий плотность потока энергии электромагнитной волны, терпит неудачу в применении к переносу энергии кулоновским полем.

Рассмотрение близких к данной теме вопросов можно найти в работах [2, 3].

Объектом исследования выбрана модель электрического заряда ( q ), распределённого по сфере радиусом (r ), в которой внутреннее поле отсутствует. Такое ограничение требуется для того, чтобы устранить «особую точку», и иметь конкретное электрическое поле в «чистом» виде. В то же время сохраняется возможность использовать формулы для точечного заряда. Все изменения поля происходят на этапе ускорения (торможения) заряда. Приобретённые свойства полей сохраняются во время движения с постоянной скоростью (v ). Именно этот этап перемещения заряда рассматривается в данной статье. В качестве «стартовой позиции» выбрана релятивистская формула напряжённости (E ) электрического поля точечного заряда (сферические координаты), представленная в «Берклеевском курсе физики» Э. Парселла [4], а также в «Общем курсе физики» И.В. Савельева [5]:

; β = v/c ,

c – электрическая постоянная; θ – угол между векторами v и E . Относительно координатной оси (0х) – линии движения – поле

Е симметрично, и не зависит от азимутального угла (φ).

Напряжённости Е по формуле (1) выражают в рамках специальной теории относительности (СТО) поле заряда в движущейся (собственной) системе отсчёта, измеренное неподвижным (сторонним) наблюдателем. Таким же способом интерпретируются координаты, последующие формулы и расчёты по ним.

Преобразования координат в формуле (1) написаны для одновременных событий в неподвижной и движущейся системах отсчёта в момент времени ( t = 0). Исходя из этого, «стартовая» формула (1) не зависит от времени. Очевидно, что при

v = const, формулы не изменятся и для других моментов (

t ). Одно из ранних доказательств в рамках (СТО) перемещения заряда с сохранением формы его электрического поля представлено в сборнике [6]. Вариант сохранения поля заряда при его движении с постоянной скоростью без использования «запаздывающего взаимодействия» предложен в работе [2].

При v = 0, γ = 1, формула (1) описывает кулоновское поле заряда в состоянии покоя. Величины, относящиеся к неподвижной системе отсчёта, будут отмечены подстрочным индексом «0». Изменения, происходящие при увеличении (γ), обусловлены релятивистским сокращением масштабов длины (

x ) по линиям движения,

и увеличением напряжённости ( r , θ, φ, γ), поперечной по отношению к скорости (

v ) компоненты поля Е .

Продольная составляющая поля Е , параллельная скорости, остаётся без изменения.

Явная зависимость величин без индекса «0» от (γ) для сокращения записи здесь и далее не всегда указывается, но она всегда присутствует. Именно формулы (1a, 1b, 1c) служат основанием для деформации поля

Е и сохранения его формы во время движения. Названные преобразования в реальном мире требуют энергетических затрат, и происходят под действием внешних (ускоряющих) сил.

Энергия W /2) E ( r , θ, φ, γ) по всему объёму поля.

Здесь (γ) является параметром, характеризующим скорость движения заряда. Коэффициент,

получен интегрированием в сферических (преобразованных) координатах по радиусу ( r ) и по углу (φ). Возможность такого интегрирования при одинаковых значениях (

r ) для всех (θ, φ) обусловлена направленностью векторов

E по преобразованным радиусам r .

При γ = 1,

W (1) = 2 k . Энергия заряженной проводящей сферы

W = q /2 , где

r , электроёмкость сферы радиусом (

r ), и потенциальная энергия взаимодействия двух одинаковых точечных зарядов, находящихся на расстоянии (2

r ),

W = q (2 r ), также равны 2

k . Энергия покоя кулоновского поля, определённая по формуле (2), совпадает с величиной, вычисленной разными способами. Рассмотрим подробнее напряжённости поперечного (

E ) и продольного ( E ) полей.

Из формулы (4) видно, что компоненты

и «делят» между собой одно и то же поле E . Поле

в (γ) раз сильнее, чем соответствующая составляющие классического кулоновского поля, а поле

остаётся без изменения. Это следует из формул (1a, 1b, 1c), и в дальнейшем отразится на вычислениях энергий.

Поместим заряд ( q ) в воображаемую замкнутую цилиндрическую поверхность (σ), соосную (0

х ). В результате ускорения до уровня (γ) поле (

) увеличивается в (γ) раз, а площадка (

d σ ), нормальная (

), уменьшается в (γ) раз. В тех же условиях поле (

и площадка ( d σ ), нормальная (

), остаются неизменными. Следовательно, теорема Гаусса, связывающая полный поток напряжённости с величиной заряда, остаётся неизменной во всех случаях. Только сокращение (σ

) позволяет увеличить ( ) с сохранением заряда ( q ).

Вычисление энергий (γ) и (γ) для каждого из полей и производится по формуле (2) путем замены E на или по формуле (4).

Значения энергии покоя для этих полей: (1) = (4/3) k ; (1) = (2/3) k .

Введём также функцию (γ), которая показывает, как должна измениться энергия

W (1) поля с релятивистской (механической) массой, после приобретения относительной скорости (β(γ) = (1 – γ

).

Здесь прирост энергии W (1) до величины (γ) происходит по линейному закону за счёт кинетической энергии. Структура объекта с энергией покоя

W (1) при любой скорости движения остаётся вне поля зрения. Формула (7) вошла в учебники по физике, используется в расчётах ускорителей заряженных частиц и др. Её достоверность подтверждается и теорией (СТО), и практикой. Менее известно «уплотнение» поперечного поля (формула (1b)), которая проистекает из того же источника (СТО), выражает те же свойства (7), и подтверждается расчётами электрических токов и их полей в разных (инерциальных) системах отсчёта [3, 4].

Аналогично выглядят формулы вычисления релятивистской механической энергии для компонент поля и .

Полная энергия W (γ) электрического поля заряда и её составляющие,

(γ) и (γ), вместе с их релятивистскими механическими аналогами,

(γ),

(γ),

(γ), показаны на рис. 1 при различных значениях параметра γ.

Рис. 1.

Зависимости полной энергии электрического поля заряда (формула (2)) и её составляющих (формулы (5) и (6)), а также их расчётных значений на основе механического представления ЭМ-массы (формулы (7) и (7a)), от параметра γ (без коэффициента

k ). Релятивистские механические аналоги показаны пунктиром.

Все представленные на рис. 1 функции от (γ), кроме

(γ), «растут» при увеличении (γ), однако энергия

W (γ) не следует закону (γ), а скорее подчиняется изменениям

(γ). Это связано с уменьшением

(γ) вследствие сокращения размеров поля (γ) по линиям движения. Разница в закономерностях изменения поперечной (

) и продольной составляющих ( ) энергии (и массы) кулоновского поля вытекает из формулы (1). При больших (γ) полная кулоновская энергия с увеличением скорости движения поля превращается в энергию

(γ) поперечного поля.

Структурные и инерциальные свойства ЭМ-массы электрического поля при изменении скорости движения во многом не совпадают со свойствами массы механических объектов.

Обратимся к расчёту энергии магнитного поля (γ), образование которого формула (2) в явном виде не учитывает. При перемещении статического поля

Е (γ) со скоростью ( v ) наблюдается магнитное поле с индукцией В (γ) [7].

Векторное произведение,

равно нулю, так как

v и E имеют одинаковое направление. Формула (9) совпадает с законом Био – Савара для единичного носителя тока и, в данном случае показывает, что магнитное поле создаётся исключительно поперечной составляющей кулоновского поля.

Пользуясь формулой (9), можно представить действие магнитного поля на пробный заряд в виде силы Лоренца

F .

Сила F (γ) направлена противоположно E (γ). При этом происходит ослабление электрического поля

E (γ). Суммарное поле

E Поля E и F (γ) всегда направлены перпендикулярно вектору v , что является следствием «сжатия» линейных размеров (формула (1а)) при сохранении заряда

q . Таким образом, (СТО) обладает пока монопольным правом объяснять действие магнитного поля на электрические заряды. На практике магнитное поле «свободного» заряда (

q ) воздействует на пробный заряд или другой заряд q (надо в этом случае умножить E (γ) на q ) именно в формате (12), то есть в виде ослабленного электрического поля. В пределе, β → 1, сила |

F (γ)| → | (γ)|, и кулоновское взаимодействие зарядов стремится к нулю, но в любом случае при отсутствии экранирующих зарядов с противоположным знаком силы притяжения между параллельными токами не возникнут. Например, пучок электронов в вакуумной камере не будет сжиматься в поперечном сечении, а два параллельных пучка не будут притягиваться друг к другу. Если же статическое кулоновское поле носителей тока экранировано действием зарядов с другими знаками, то останется лишь магнитное поле, и носители токов будут притягиваться, или отталкиваться, в соответствии с законом Ампера. Ещё одно следствие из формул (9) и (11): в каждой точке пространства при

v = const напряжённость E и индукция B всегда находятся в одинаковой фазе, и три вектора

v ,

E и B ориентированы между собой так же, как в электромагнитной волне.

Суммарная энергия электрического W (γ) и магнитного Wm (γ) полей.

Использование вектора Пойнтинга для вычисления количества движения P , переносимого кулоновским полем заряда [7].

Интеграл (∫ v ( )( E ) dV = 0) не даёт вклада в P , поэтому

Масса 2 (γ) в формуле (17), во-первых, относится только к поперечному полю (

) и, во-вторых, в два раза больше массы

(γ). Несовпадение массы из формулы (17) с массой

М (γ) = W (γ)/ c для всего поля (формула (2)) порождает противоречия. Как видно из рис. 1, и формулы (14), роль этих противоречий преувеличена.

Анализ получения (вывода) формулы для вектора Пойнтинга показывает, что удвоение

(γ) связано с расчётом импульса P волны, у которой объёмные плотности энергии электрического и магнитного полей равны, а колебания

E и B находятся в одинаковой фазе. В этом случае сумму плотностей энергии для

E и B можно заменить удвоенной плотностью одного из полей. Так и сделано в формуле (15). При движении кулоновского поля энергии электрического и магнитного полей различны при малых скоростях. В таких условиях коэффициент «2» надо заменить коэффициентом (1 + β

) в соответствии с формулой (14). После названной замены все «недоразумения» с электромагнитной массой снимаются. При высоких скоростях,

v → c , плотности энергии двух полей выравниваются, и вектор Пойнтинга применительно к кулоновскому полю будет давать результаты, аналогичные волновым.

Список литературы

Соколов Л.С. , 2003.

Корнева М.В., Кулигин В.А., Кулигина Г.А., гл. 3, стр. 27...40. 2008.

Andrew E. Chubykalo and Roman Smirnov-Rueda. Phys. Rev. E, vol. 53, num. 5, p. 5373...5381, 1996.

Парселл Э. Электричество и магнетизм. Берклеевский курс физики. Т. 2., стр. 165...187 / Пер. с англ. – М.: Наука, 1975.

Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – М.: Наука, стр. 111...125, 1978.

Основные формулы физики, под ред. Д. Мензела. Перевод с англ., стр. 169...174. ИИЛ, Москва, 1957.

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6. Электродинамика. Гл. 28, стр. 305...309 / Пер. с англ. – М.: Мир, 1966.