Геометрические свойства регулярного круглого конуса в пространстве

Асп. Коробова К. В.

Кафедра математического анализа.

Северо-Осетинский государственный университет

Приведены явные формулы для вычисления множеств положительных и отрицательных частей произвольного элемента в пространстве , упорядоченном круглым регулярным конусом. Определено множество элементов, на котором реализуется минимум в формуле расстояния от элемента до конуса, и исследуется вопрос о совпадении этого множества с множеством положительных частей элемента.

Введение

Теория конусов является актуальным разделом функционального анализа и находит большое применение во многих областях математики. Геометрическим свойствам пространств, упорядоченных конусами различного вида, посвящены работы Л. В. Канторовича, Б. 3. Вулиха [1,2], М. А. Красносельского [3], В. Т. Худалова [4,5]. В работе автора [6] дано общее описание регулярного круглого конуса в пространстве и описаны некоторые его свойства. Данная статья посвящена дальнейшему исследованию порядковых свойств пространства .

1. Предварительные сведения

Приведем необходимые для дальнейшего использования определения и результаты.

1.1. Пусть Е – банахово пространство над полем действительных чисел R, Е+ – конус в Е. Конус Е+ называется регулярным, если выполнены следующие условия:

±х ≤ у Þ ||х|| ≤ ||y|| для любых х, у Î Е,

для любого х Î Е и любого e > 0 существует у Î Е+ такой, что ±х ≤ у и ||у|| ≤ (1+e) ||х||.

Регулярный конус Е+ называется строго регулярным, если выполнено условие (2) при e = 0, т. е.

(2') для любого х Î Е существует у Î Е+ такой, что ±х ≤ у и ||y|| = ||х||.

Упорядоченное замкнутым строго регулярным конусом Е+ пространство Е обозначают (Е, Е+) Î (Â), см. [1,2].

1.2. Одним из наиболее общих методов построения конуса в произвольном банаховом пространстве, обладающего свойствами нормальности, несплющенности, а также другими свойствами, является следующий: пусть X – банахово пространство, f Î X* – произвольный непрерывный линейный функционал на X такой, что ||f|| = 1. Для любого aÎ (0,1] определим K(f,α):={xÎX: f(x) ≥ a||х||}.

Если Н – гильбертово пространство над R, то для любого aÎН, ||a|| = 1, конус К(а, a) имеет вид:

K(a, α) = {x Î X : (a, x) ≥ a ||x||}.

Если dim H > 1, то для любого а Î Н, ||a|| = 1, конус К (а, a) строго регулярен в Н тогда и только тогда, когда a = [5].

1.3. Отметим, что класс регулярных конусов в пространствах и l1 совпадает с классом строго регулярных конусов [5]. Данная работа опирается на следующее описание всех регулярных круглых конусов, полученных в [4].

Теорема. Конус K(f, a) является регулярным , n > l1 только при двух значениях aÎ (0,1]:

при a = 1 каждая координата вектора f = (f1, f2,..., fn) равна +1 или – 1; при этом имеется 2n конусов, порождающих упорядоченные банаховы пространства, порядково изоморфные и линейно изометричные пространству с естественным конусом положительных элементов;

при a = 0,5 одна из координат (j-я координата) вектора f = (f1, f2,..., fn) равна ±1, а все остальные – нули; при этом имеется 2n конусов, порождающих упорядоченные банаховы пространства, порядково изоморфные и линейно изометричные пространству с конусом

Kj = {х = (x1,x2,...,xn) : xj ≥ }. (1)

1.4. Пусть (Е, Е+) Î (Â). Для любого х Î Е обозначим через |Х| множество элементов у Î Е таких, что ± x ≤ у и ||x|| = ||y||. Любой элемент этого множества называется метрическим модулем элемента x.

Положим

X+ = ½ x + ½|X|, X− = −½ x + ½|X| .

Множества Х+ и Х− называются множествами положительных (соответственно отрицательных) частей элемента x. Если у Î |Х|, т.е. ±x ≤ у и ||у|| = ||x||, то положим x+ = (у + x)/2, x− = (у – x)/2, |x| = x+ + x−. Из определения следует, что |x| ≥ ± x, причем

x = x+ − x−, |x| = x+ + x−, ||x+ - x−|| = ||x+ + x−||, ||x|| = |||x|||.

1.5. Конус Е+ в упорядоченном банаховом пространстве (Е, Е+) Î (Â) называется достижимым, если для любого x Î Е существует элемент Рх Î Е+, на котором реализуется минимум в формуле расстояния от х до Е+, т. е.

d(x, E+) = inf{||а – x|| : a Î E+} = ||Рx – x||.

Множество всех таких Рх обозначается М(х).

1.6. При вычислении расстояния от точки до конуса воспользуемся следующим результатом из [5].

Пусть (Е, Е+) Î (Â) и х Î Е+. Элемент x+ Î Е+ является ближайшим к х элементом конуса Е+ тогда и только тогда, когда существует f Î Е*+, ||f|| = 1, такой, что f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||. В этом случае d(x, Е+) = ||x-||.

1.7. Пусть E – банахово пространство над R со строго регулярным замкнутым конусом Е+. Элементы x, у Î Е+ называются н-дизъюнктными или ортогональными по Роберу (обозначается x у), если ||x + λу|| = ||x – λу|| для любого λ ≥ 0.

2. Описание множеств |Х|, Х+, Х-

Рассмотрим пространство , упорядоченное регулярным круглым конусом K(f,a), где a = 0,5 и функционал f имеет первую координату, равную единице, а остальные координаты нулевые:

K1 = {x = (x1, x2, ..., xn) : x1 ≥ |x2| + … + |xn|}.

Все результаты легко перенести на общий случай (1) с помощью изометричного преобразования. В дальнейшем, если не указано иное, будем обозначать через X = .

Опишем множества |Х|, Х+, Х- для произвольного элемента x = (x1, ..., xn) Î. Заметим, что частный случай разложения элемента х на ортогональные по Роберу положительную и отрицательную части рассмотрен в [6].

2.1. Пусть x1 = 0. Найдем элемент конуса, который мажорирует элементы ± х и равен им по норме, т. е. у = (у1, …, yn) : y1 ≥ , y ≥ ± х, ||y|| = ||x||. Такой элемент описывает следующая система:

Сложив первые два неравенства, получим оценку у1 ≥ X. С другой стороны, из третьего равенства видно, что у1 ≤ X. Тогда у1 = X, = 0, следовательно yk = 0 для любого . Получаем следующее представление метрического модуля элемента х и его положительной и отрицательной части

,

,

.

2.2. Пусть x1 > 0. В этом случае система, описывающая элемент у Î |Х|, имеет вид:

Аналогичные действия позволяют утверждать, что X≤у1≤X + х1, т.е. у1 представим в виде у1 = X + λх1, где 0 ≤ λ ≤ 1. Последовательно подставляя значение у1 в систему, имеем: -|yk – xk|) ≥ ≥ х1(l – λ) = , с другой стороны, |уk| = |xk + (yk – xk)| ≥ ≥ |xk| – |yk – xk|. В итоге получаем:

|xk| = |yk| + |yk − xk| ().

Из этого равенства следует, что уk и хk – yk – одного знака, что приводит к следующим выводам:

если (xk − yk) > 0 и yk > 0, то 0 < yk < xk ;

если (xk − yk) < 0 и yk < 0, то xk < yk < 0;

если (хк – yk) = 0 и yk = 0, то хk = уk = 0.

Из чего следует, что каждая координата уk () представима в виде уk = λkхk, 0 ≤ λk ≤ 1.

Отметим равенство, используемое в дальнейшем:

.

Итак, при x1 > 0 имеем:

где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1}.

2.3. Пусть x1 < 0. Система, описывающая элемент у Î |Х|, на этот раз имеет вид:

Выполнив аналогичные пункту 2.2 действия, получим X ≤ у1 ≤ X – х1. В этом случае y1 = Х + λ|x1|, где 0 ≤ λ ≤ 1. Подставляя последовательно значение у1 в систему, получаем

и .

Откуда выводим:

|xk| = |yk| + |yk + xk| ().

Отсюда следует, что – yk и (xk + yk) – одного знака. Вновь получаем, что уk = –λkxk , 0≤λk≤1. При этом == .

Итак, при х1 < 0 имеем:

где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1}.

2.4. Общий случай. Для произвольного элемента х = (x1, ..., xn) и круглого регулярного конуса Kj (1) имеем:

где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

3. Нахождение расстояния от элемента до конуса

Пусть элемент x принадлежит конусу К1, т.е. х1 ≥ X. В этом случае d(x, K1) = 0, а ближайшим элементом конуса является он сам.

Пусть элемент х принадлежит конусу – К1, т.е. -х1 ≥ X. В этом случае очевидно d(x, K1) = ||х||, а ближайшим элементом конуса является ноль.

Пусть х1 = 0 и элемент х не принадлежит конусу ±К1. Покажем, что d(x, K1) = ||х–||, а ближайшим элементом конуса является х+. Согласно следствию 2.2.13 [5], для этого необходимо найти функционал f Î К*1 такой, что ||f|| = 1, f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||,

где x+ – x- = x, ||x+ + x-|| = ||x||.

В качестве такого функционала выберем f=(1, –sgn x2, ...,–sgn xn). Для любого элемента конуса аÎК1 справедливо f(а)=a1 –, т. е. f положительный функционал. Очевидно, что его норма равна единице. Элементы x+ и x–, вычисляемые по формулам 2.1, удовлетворяют условиям следствия 2.2.14 [5]. Кроме того,

,

.

Учитывая, что ||x–|| = || (Х, x2, ... , хn)|| = X, имеем, что f(x-) = =||x-||. Таким образом, условия следствия 2.2.14 [5] выполняются полностью, и мы приходим к выводу, что

d(x, K1) = || x-|| = =X, а x+ является ближайшим к х элементом конуса.

3.4. Пусть X > х1 > 0. Положив λ = 0 в формулах 2.2, получим:

) .

В этом случае очевидно, что x+ – x- = x, || x+ + x-|| = ||x||.

Рассматривая функционал из 3.3, находим:

,

.

Заметим, что в этих рассуждениях использован результат, полученный в 2.2, о том, что .

В итоге получаем, что d(x, K1) = ||x-|| = , a x+ является ближайшим к x элементом конуса.

3.5. Пусть х1 < 0 и – х1 > X. Если λ = 0 в формулах 2.3, то элементы

)

удовлетворяют условиям x+ – x- = x и ||x+ + x-|| = ||x||, причем f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||, где f – функционал из 3.3.

Таким образом, в этом случае d(x, K1) = ||x-|| = , a x+ – ближайший к x элемент конуса.

Аналогичные рассуждения показывают, что данные результаты справедливы и для конуса Kj.

3.6. Данные рассуждения подтверждают результат утверждения 2.3 из [6] о том, что

4. Описание множества М(х)

Элемент x принадлежит конусу К1. В этом случае расстояние d(x, K1) = ||x–|| = 0. Если а = (a1, ..., аn) Î М(x), то а Î К1 и ||а – x|| = 0, откуда следует, что а = x и M(x) = {x}.

Элемент х принадлежит конусу –К1. В этом случае x1 ≤ –X и расстояние

d(x, К1) = ||x||. Если a = (a1, ..., аn) Î М(x), то a1 = A и ||a – x|| = ||x||, что равносильно |а1 – x1| + = –x1 + +. Откуда следует, что а1 = - ≥ =A.

Получаем, что ≥ ≥ ≥ .

Равенство | xk – аk| + |аk| = |xk| для любого означает, что аk и (xk – аk) – одного знака, т. е. аk = ak xk, где 0 ≤ ak ≤ 1 для любого . Выражение для а1 имеет вид: а1 = .

В итоге получаем, что

где 0≤ak≤1,}.

4.3. x1 = 0 и элемент х не принадлежит конусу К1. Пусть а = (a1, ..., an) Î М(x). Из определения М(х) следует, что a1 ≥ А и ||а – x|| = = + |a1| = . Из последних равенств получаем: а1 = – ≥ или следующую цепочку ≥ = + + ≥ . Это равносильно + + = . В итоге вновь получаем равенство

|xk −ak| + |ak| = |xk| (),

которое равносильно утверждению, что

где 0≤ak≤1, }.

4.4. Пусть x1 > 0 и элемент x не принадлежит конусу K1. Если а = (a1, ..., аn) Î М(x), то ||a – x|| = ||x–|| = d(x, К1) = – x1

или

Так как a Î K1 , то а1 ≥ . Тогда последовательно получаем a1 ≤ |а1 – x1| + x1 = - ≤ ≤ a1 , что равносильно системе

или

Получаем, что (аk – xk) и xk – одного знака, т. е. аk = akxk, где 0 ≤ ak ≤ 1 для любого . Подставив в (*), имеем а1 + = .

Таким образом, выражение для а1 имеет вид: а1 =.

В итоге получаем, что если х1 > 0, то

где 0≤ak≤ 1, }.

4.5. Пусть x1 < 0 и элемент х не принадлежит конусу –К1, т.е. –x1 < .

Если а = (a1, ..., аn) Î М(x), то ||a-x|| = ||x–|| = d(x, К1) =–x1

или

или

Откуда a1= - ≥. В то же время ≥ + ≥ . Из последнего неравенства получаем, что (ak – xk) и (xk) – одного знака для любого k, т. е. аk = ak xk, где 0 ≤ ak ≤ 1 для любого . Тогда a1=– =. Получаем, что (4.4) верно и для этого случая.

5. Описание множества M(x)∩K1

Интересен вопрос о взаимоотношении множества положительных частей элемента и множества элементов, на которых достигается расстояние от элемента до конуса.

Пусть элемент x принадлежит конусу К1. В этом случае М(х) = {x}, а Х+ = {(Х + x1(1 + λ), x2(1 + λ2), ..., xn(1 + λn)), 0 ≤ λ, λk ≤ 1, = x1(1 – λ)}. При λk = 1 получим λ = 0 и Х+ = {x}, т.е. М(х) ∩ Х+ = {x} и М(х) Ì Х+.

Пусть элемент x принадлежит конусу –К1. Если аÎ М(x)∩Х+, то, учитывая формулы 4.2 и 2.2, получим:

(+ x1(1 – λ), x2(1 – λ2), ... , xn(1 – λn)).

Из этого равенства следует, что ) при λk Î[0,1]. Итак, для любого λk, найдется такое, что из того, что а Î Х+ следует, что а Î М(х). Обратное не всегда верно. В итоге получаем включение М(x) ∩ Х+ = X+ .

5.3. Пусть x1 = 0 и элемент x не принадлежит конусу. Воспользовавшись формулами 4.3 и 2.1, получим М(х) ∩ Х+ = Х+.

5.4. Пусть x1 > 0 и элемент x не принадлежит конусу. Если элемент принадлежит М(х) ∩ Х+ , то выполняется равенство:

(+ x1(1 + λ), x2(1 + λ2), ..., xn(1 + λn)),

что равносильно системе

Данные равенства выполняются, если λk такие, что λ = 0. В этом случае , т.е.

М(x)∩Х+=.

5.5. Пусть x1 < 0 и элемент х не принадлежит конусу –К1. Если элемент принадлежит М(х) ∩ Х+ ,то выполняется равенство:

(+ x1(1 - λ), x2(1 - λ2), ..., xn(1 - λn)),

что равносильно системе

Данные равенства выполняются, если ], т. е. М(x) ∩ Х+ = М(х).

Список литературы

Вулих Б. 3. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах. Калинин.: Изд-во КГУ, 1977.

Вулих Б. 3. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах. Калинин.: Изд-во КГУ, 1978.

Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз. 1962.

Вишняков Ю. Г., Худалов В. Т. Описание всех регулярных круглых конусов в . Вестник СОГУ. Естественные науки. 1999. № 1.

Худалов В. Т. Упорядоченные банаховы пространства и их приложения. Владикавказ: Иристон, 1999.

Коробова К. В. О геометрии регулярных круглых конусов в пространствах и l1.–Владикавказский мат. журн. 2003. Т. 5, № 3.