Сопротивление материалов при нагрузке

Вариант 37

Задача 1

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стержням с равным поперечным сечением. Площадь сечения стержней А = 2∙10^-4 м². Модуль упругости материала стержней Е = 2×10⁵ МПа, коэффициент линейного расширения a = 12×10^–6 1/град.Размеры бруса: a = 0,5 м, b = 3 м, h = 1м, с = 2 м.

Требуется:

1. Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений за допускаемое [s] = 160 МПа.

2. Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]_пр.

3. Сравнить полученные результаты.

4. Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стрежня короче номинальной на величину d₂ = 2∙10^-3 м

5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня увеличится на величину Dt₁ = -40°С.

6. Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.

1. Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений в стержнях за допускаемое [s].

Составляем расчетную схему. Под действием силы Q стержни 1 и 2 будет растягиваться. Вследствие этого появятся внутренние силы N₁ и N₂. Составим уравнение моментов относительно точки О:

При неизвестных реактивных усилиях N₁, N₂, R_ox, R_oy и трех уравнений статики (плоская система сил) заданная стержневая система является статически неопределимой, и степень статической неопределимости (ССН) определяется:

ССН = m – n,

где m – количество неизвестных реакций, n – количество уравнений. Таким образом, ССН = 4 – 3 =1, то есть для решения данной задачи необходимо составить еще одно дополнительное уравнение, называемое уравнением совместности деформаций.

Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА₁О и СС₁О имеем:

.

Считаем, что угловые деформации малы, поэтому изменением угла b пренебрегаем.

АА₁=Dl₂, , KА₁=Dl₁. То есть:

По закону Гука имеем:

; .

Длину первого стержня определяем по теореме Пифагора:

м

Подставляем значения удлинений в уравнение совместности деформаций:

.

Тогда, . Окончательно имеем: N₂ = 1,3×N₂

Из этого выражения видно, что N₁<N₂. Соответственно, напряжения в первом стержне s_I меньше, чем напряжения во втором s_II. Поэтому, максимальные напряжения по абсолютному значению будут во втором стержне: s_II= [s] и кН. Значение N₁ = 24,62 кН.

Оба стержня сжаты.

Найдем напряжения в обоих стержнях: s_II= [s] = -160 МПа; s_I= -123,1 МПа. растянуты.

Подставим значения сил N₁ и N₂ в первое уравнение и определим значение [Q]:

кН.

2. Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]_пр.

Предельное состояние будет возникать, если напряжения в стержнях будут равны предельным, то есть пределу текучести s_т: s_I= s_II= s_т

Составляем уравнение предельного равновесия:

;.

Предельные усилия в каждом из стержней:

.

Решаем относительно предельной нагрузки для системы:

.

Допускаемая нагрузка по предельному состоянию [Q]_пр определяется как:

,

где n – коэффициент запаса прочности.

С учетом, что получим [Q]_пр = 23,51 кН.

3. Сравнить полученные результаты.

Определяем погрешность между расчетами:

%.

По условию предельного состояния допускаемую нагрузку можно не менять (погрешность d < 5%).

4. Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стержня короче номинальной на величину d₂=1,5 мм.

Составляем расчетную схему. С учетом удлинения стержня 2 точка А должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 1. Сопротивление первого стержня приводит к тому, что точка А занимает положение А₁. В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N₁ и N₂. Составим уравнение статики:

;

Из этого уравнения следует, что:

Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА₁О и ВВ₁О имеем:

;

; ;

KВ₁=Dl₁.

По закону Гука:

; .

Решая совместно уравнения получим:

N₁= 29,76 кН; N₂= 41,34 кН.

2 стержень сжат; 1 – растянут.

Определим напряжения:

s_I=148,8 МПа; s_II= -206,7 МПа.

5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня уменьшится на величину Dt₁=40°.

Составим расчетную схему. С учетом удлинения стержня 1 точка В должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 2. Сопротивление второго стержня приводит к тому, что точка В занимает положение В₁. В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N₁ и N₂. Составим уравнение статики:

;

Из этого уравнения следует, что:

Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА₁О и ВВ₁О имеем:

; ; ; ; ; АА₁=Dl₂.

По закону Гука:

; .

Решая совместно получим:

N₁=5,15 кН; N₂=7,15 кН.

2 стержень сжат; 1 – растянут.

Определим напряжения:

s_I=25,75 МПа; s_II= -35,76 МПа.

5. Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.

Сведем данные расчетов в Таблицу

Таблица 1.

Из таблицы видно, что для заданной схемы для стержня 1 сочетания всех трех факторов является благоприятным фактором (напряжения значительно меньше допускаемых), а для стрежня 2 - неблагоприятным: стержень разрушится.

Задача 2

Дана двух опорная балка с приложенными к ней нагрузками М= -15кНм; F=-20 кН; q = 12 кН/м. Допускаемое напряжение [s] = 160 МПа. размеры балки a = 0,8 м; b = 0,7 м; c = 0,5 м.

Требуется:

1. Подобрать для схем (а) балку круглого, прямоугольного (отношение сторон h/b=2), кольцевого (отношение диаметров с=0,5), двутаврового сечений при заданном [s];

2. Сравнить площади поперечных сечений и сделать вывод о том, какая форма наиболее рациональна.

Решение

1. Определяем опорные реакции балки.

Проверяем правильность определения опорных реакций:

Реакции определены верно.

2. Запишем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка балки.

Участок I. О ≤ Z₁≤0,8

; кН;

; ; кНм.

Строим эпюры по вычисленным значениям.

Участок

П. 0 < Z₂ < 0,7

; кН;

; кН×м; кН×м.

Строим эпюры по вычисленным значениям.

Участок IП.

0 < Z₃ < 0,5

Q(z₃) = -R_В + q×z₃; Q(0) = 87 кH; Q(0.5) = 93 кН

M(z₃)= R_В z₃ – q×z₃×z₃×0.5; M(0) = 0; M(0.5)= -45 кH×м

3. Опасным будет сечение, в котором изгибающий момент достигает максимального значения по абсолютной величине.

В данной задаче M_max = 45 кН×м.

Вычисляем необходимый момент сопротивления поперечного сечения балки

см³.

3.1. Двутавровое поперечное сечение.

Этому моменту сопротивления соответствует двутавр №24, момент сопротивления и площадь поперечного сечения которого соответственно равны W_x=289 cм³; А= 34,8 см².

3.2. Прямоугольное сечение (h/b = 2).

см

h=15 см; b=7,5 см; А=112,5 см².

3.3. Круглое поперечное сечение:

, см

см².

3.4. Кольцевое сечение (с = 0,7).

см

см²

3. Сравниваем площади поперечных сечений А, подобранных профилей, сведя данные в Таблицу 2:

Таблица 2.

Таким образом, при изгибе оптимальным является сечение двутавра.

Задача 3

Дан стержень с опорами, закрепленными по указанной схеме, сжат силой F = 90 кН. Поперечное сечение – равносторонний треугольник. Длина стержня 1 = 0,85 м. Материал стержня - чугун. Модуль упругости Е = 1,3×10⁵ МПа, допускаемое напряжение [σ] = 130 МПа. Коэффициент закрепления опор m = 0,7

Требуется определить:

- размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на сжатие [σ];

- величину критической силы F_k;

- коэффициент запаса устойчивости n_у.

Решение.

Задача решается методом приближения. В первом приближении задаемся коэффициентом уменьшения основного допускаемого напряжения j₁ = 0,5. Из условия устойчивости определяем площадь сечения:

Из площади сечения находим сторону сечения b:

Þ= 4,3 см.

Определяем минимальный радиус инерции по формуле:

, где .

=0,88 см

Определяем гибкость стержня:

По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,36. Производим проверку на устойчивость:

МПа > [s]

Так как σ > [σ], то задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.

=6,1 см. = 1,24 см.

По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,6. Производим проверку на устойчивость:

МПа

Допускаемая погрешность не более 5%. Определяем погрешность

Погрешность больше допустимой, поэтому задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.

=5,54 см. = 1,13 см.

По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,46. Производим проверку на устойчивость:

МПа

Определяем погрешность

Погрешность не находится в допускаемых пределах.

Задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.

=5,71 см. = 1,16 см.

По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,56. Производим проверку на устойчивость:

МПа

Определяем погрешность

Погрешность не находится в допускаемых пределах.

Задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.

=5,5 см. = 1,12 см.

По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,46. Производим проверку на устойчивость:

МПа

Значения повторяются. Поэтому принимаем b = 5,71 см, А = 14,1 см².

Определяем критическую силу:

кН.

Определяем коэффициент запаса устойчивости:

Ответ: F_K=695 кН; n_у = 7,7.