Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Вы нашли то, что искали?

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

0%

Нет, пока не нашел

0%

Узнайте стоимость индивидуальной работы

это быстро и бесплатно

Получите скидку

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!


Физическое доказательство малой теоремы Ферма

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
267
Размер файла
16 б
Поделиться

Ознакомительный фрагмент работы:

Физическое доказательство малой теоремы Ферма

Физическое доказательство малой теоремы Ферма

*

Г. Гутфройнд, У. Литтл
Physics Department, Stanford University, Stanford, Calif. 94305.
В теории чисел немаловажное значение имеют простые числа, которые образуют базис, или представление, всех составных чисел. Здесь мы покажем, что существует связь между разложением целых чисел на простые множители и свойствами симметрии спиновых конфигураций в модели Изинга. Это позволит нам предложить «физическую» интерпретацию простых чисел, которую, как мы надеемся, по достоинству оценят физики, широко использующие соображения симметрии.

Так называемая малая 1 теорема Ферма — одна из наиболее известных теорем о делимости в элементарной теории чисел, сыгравшая важную роль в развитии последней. Формулируется малая теорема Ферма следующим образом: для любого числа p и положительного целого числа a, не кратного p,

ap–1 ≡ 1 (mod p),


т.е. ap–1 – 1 делится на p без остатка. Доказательство этой теоремы, приводимое обычно в учебниках по теории чисел, основано на арифметике вычетов [1]. Мы приведём доказательство малой теоремы Ферма, основанное на свойстве симметрии спиновых конфигураций в одномерной модели Изинга. Для ясности разобьём доказательство на три этапа.

Во-первых, докажем, что если p — любое простое число, то 2p – 2 делится на p без остатка. Для этого рассмотрим окружность с p узлами и каждому узлу i припишем какое-то значение спиновой переменной Изинга si = ±1. В пространстве 2p возможных конфигураций α = (s1, s2, ..., sp) зададим оператор сдвига T. Действие его на данную конфигурацию сводится к сдвигу всех спиновых переменных на один узел, скажем, по часовой стрелке. Разобьём все конфигурации на классы следующим образом: две конфигурации α и β считаются принадлежащими одному и тому же классу, если при некотором целом n выполняется равенство β = T nα. Конфигурация, в которой все спины обращены «вверх» (или все спины обращены «вниз»), сама по себе образует класс. Очевидно также, что для любой конфигурации α справедливо равенство α = T pα, поскольку T p соответствует полному повороту. Мы утверждаем, что если p — простое число, то при любой спиновой конфигурации α (отличной от двух тривиальных конфигураций, в которых все спины направлены в одну сторону)

α ≠ T nα при n<p.


Установив это, мы можем утверждать, что каждая конфигурация принадлежит какому-то классу, содержащему p различных элементов. Следовательно, число всех конфигураций за вычетом двух тривиальных конфигураций делится на p без остатка. Ясно, что равенство α = T nα может выполняться только в том случае, когда конфигурация содержит целое число повторяющихся подпериодов длиной n. При n<p отсюда следовало бы, что n — делитель числа p. Поскольку p — простое число, такое возможно только в том случае, когда n=1; это даёт две тривиальные конфигурации.

То, что число p является простым, означает, что в рассматриваемом нами случае ни одна (нетривиальная) конфигурация не имеет более высокую симметрию, чем полный поворот. Иными словами, абелева группа поворотов на угол 2π/p не имеет подгрупп.

Во-вторых, заметим, что число 2p – 2, которое делится на p без остатка, должно делиться и на 2p, так как число 2p – 2 чётно, а p, как простое число, нечётно. Таким образом, 2p–1 – 1 делится на p без остатка. Используя спиновые конфигурации в модели Изинга, мы можем получить этот результат непосредственно. Определим оператор инверсии I, который, действуя на данную конфигурацию, приводит к обращению знаков всех спиновых переменных. Разобьём, как и прежде, конфигурации на классы: две конфигурации α, β будем считать принадлежащими одному и тому же классу, если β = (TI)nα при некотором целом n. При любой конфигурации α справедливо равенство α = (TI)2pα, поскольку p, будучи простым числом, должно быть нечётным, и, следовательно, один поворот содержит нечётное число инверсий. Конфигурация переходит в самоё себя лишь после двукратного поворота. Как и прежде, мы заключаем, что каждая конфигурация (за исключением двух тривиальных, образующих класс из двух элементов) принадлежит какому-то классу из 2p различных элементов.

Наконец, обобщим соображения, приведённые выше для a = 2, на случай произвольного a, чтобы получить малую теорему Ферма в её обычной форме. Для этого рассмотрим спин j, причём 2j+1=a и каждая спиновая переменная Изинга si, совпадает с одной из 2j+1 возможных проекций спина (–j, –j+1, ..., j). Всего существует ap конфигураций, из которых необходимо вычесть a трансляционно-инвариантных конфигураций. Из приведённых выше соображений следует, что для любого a разность ap – a делится на p без остатка. Чтобы обобщить второй этап доказательства, введём оператор инверсии I, действие которого на данную конфигурацию увеличивает переменные si на единицу, за исключением того случая, когда si = j (в этом случае si под действием оператора I переходит в si = –j). Ясно, что для любой конфигурации α мы имеем a = (TI)apα. Если потребовать, чтобы a не было кратным p, то при любом n < ap имеем α ≠ (TI)nα. В противном случае мы получили бы α = (TI)aα для любого α. Следовательно, если a не кратно p, то каждая конфигурация принадлежит какому-то классу из ap различных элементов, так что (ap – a)/ap и (ap–1 – 1)/p являются целыми числами. Тем самым малая теорема Ферма полностью доказана.

Заметим, что, потребовав, чтобы a не было кратным p, мы исключили возможность симметрии, более высокой, чем произведение полных поворотов положений узлов и спиновых переменных.

Ещё одно достоинство предложенного нами метода доказательства состоит в том, что он позволяет легко обобщить малую теорему Ферма на случай некоторых составных чисел. Например, если m — произведение двух различных простых чисел p1 и p2, то можно показать, что

(am–1 –1) – (ap1–1 –1) – (ap2–1 –1)


делится на m без остатка. Члены, вычитаемые из (am–1 –1), представляют собой число конфигураций, которые попадают в классы с циклической структурой, имеющие менее чем m элементов. Малая теорема Ферма допускает обобщение и на случай более сложных составных чисел. Рассмотрим, например, число m = p1a1p2a2... pnan, где pi — простые, а ai — целые числа. Пусть a не делится на m без остатка. Тогда можно показать, что на m делится без остатка следующее выражение:

(am–1 –1) –

(am/pi –1 –1) +

(am/pi pj –1 –1) – ... + (–1)k(am/p1 p2 ... pn –1 –1).

i

i,j

Примечания

H. Gutfreund, W.A. Little. "Physicist's proof of Fermat's theorem of primes". — Amer. J. Phys., March 1982, p. 219–220. Перевод с английского Ю.А. Данилова.

1. Более известна другая (так называемая «великая» или «последняя») теорема Ферма, утверждающая, что ни при каких целых n ≥ 3 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых числах x, y, z. Ей посвящена обширная литература, из которой назовём лишь издания: Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма, изд. 2-е. — М.–Л.: Гостехтеоретиздат, 1932; Постников М. М. Теорема Ферма. — М.: Наука, 1978; Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. — М.: Мир, 1980. — Прим. перев.

Список литературы

1. Ogilvy С.S., AndersonJ.T. Excursions in Number Theory. — New York: Oxford University Press, 1966. [См. также: Виноградов И.М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1972; Оре О. Приглашение в теорию чисел. — М.: Наука, 1980. — Прим. перев.]

2. Golomb S.W.— Amer. Math. Monthly, 1956, v. 63, p. 718.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Математика
Физика
История
icon
136491
рейтинг
icon
5817
работ сдано
icon
2633
отзывов
avatar
История
Экономика
Маркетинг
icon
134849
рейтинг
icon
3017
работ сдано
icon
1323
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
89246
рейтинг
icon
1985
работ сдано
icon
1250
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
50 234 оценки star star star star star
среднее 4.9 из 5
СибГАУ
Работа пока не проверена, но я принимаю заказ. Надеюсь на ваши знания , надеюсь что не под...
star star star star star
ГУМРФ им. адм. С. О. Макарова
Спасибо большое за проделанную работу. Всё очень быстро,и качественно! Обязательно обращус...
star star star star star
РИНХ
Спасибо Вам огромное Татьяна! Я успела все сдать!!! Работа выполнена раньше срока, без за...
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Презентация + доклад

Презентация, региональная экономика

Срок сдачи к 10 мар.

2 минуты назад
4 минуты назад

тема: "Анализ пенсионной системы РФ: современное состояние страховой...

Курсовая, право социального обеспечения

Срок сдачи к 19 мар.

9 минут назад
10 минут назад
11 минут назад
11 минут назад

Написать план урока на тему: "Развитие науки, образования

Другое, методика обучения истории

Срок сдачи к 6 мар.

11 минут назад

Переделать

Отчет по практике, Информатика

Срок сдачи к 5 мар.

11 минут назад

Сделать 1 практическую работу

Отчет по практике, Метрология

Срок сдачи к 7 мар.

11 минут назад

Реферат

Реферат, Эксплуатация технологических комплексов танкеров и химовозов

Срок сдачи к 8 мар.

11 минут назад

Здравствуйте, нужно выполнить 7 вариант(10...

Решение задач, ФХМА материалов

Срок сдачи к 6 мар.

11 минут назад

Капитальные вложения

Курсовая, Экономика предприятия

Срок сдачи к 23 мар.

11 минут назад

Изучите виды правонарушений (уголовное преступление

Решение задач, Право

Срок сдачи к 4 мар.

11 минут назад

вариант 13

Контрольная, техническая механика

Срок сдачи к 6 мар.

11 минут назад
11 минут назад

«Умер в немцах»: угон населения на принудительные работы как способ...

Реферат, Великая отечественная война: без срока давности фимпис

Срок сдачи к 5 мар.

11 минут назад

Расход материалов для оштукатуривания и кладки кирпича

Решение задач, стройматериалы

Срок сдачи к 6 мар.

11 минут назад

Решить лабораторную работу.

Лабораторная, Технические измерения

Срок сдачи к 4 апр.

11 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно