Вычисление обратной матрицы

Вычисление обратной матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если её определитель отличен от нуля и вырожденной, или особенной, если её определитель равен нулю.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение

АВ= ВА=Е,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная к А, обозначается через А^-1, так что В= А^-1. Для матрицы А обратная ей матрица А^-1определяется однозначно.

Справедливы следующие равенства:

1) D(А^-1)=(DА)^-1;

2) (А^-1)^-1=А;

3) (А₁А₂)^-1=А₂^-1А₁^-1;

4) (А^Т)^-1=(А^-1)^Т.

Существую несколько способов нахождения обратной матрицы. Рассмотрим один из них – нахождение обратной матрицы путём вычисления алгебраических дополнений. Заключается он в следующем:

пусть нам дана матрица А, имеющая следующий вид:

Предположим, что DА¹0. Построим следующую матрицу С следующим образом:

где А_ij– алгебраическое дополнение элемента а_ij в определителе матрицы А. Очевидно, что для построения матрицы С необходимо сначала заменить элементы матрицы А соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.

Полученная таким образом матрица С называется присоединённой к матрице А, или союзной с А.

Чтобы получить матрицу А^-1, обратную для матрицы А, необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С поделить на DА, т.е. матрица А^-1будет иметь следующий вид:

Пусть матрица А, имеет следующий вид:

Чтобы найти матрицу А^-1, обратную для матрицы А, необходимо:

- вычислить определитель матрицы (DА= -3);

- найти алгебраические дополнения элементов а_ij в определителе матрицы А:

- составить присоединённую матрицу С по формуле (2);

- разделить все элементы матрицы С на DА.

Реализуем вышеизложенный алгоритм нахождения обратной матрицы следующим образом: вначале запишем в редакторе Word присоединенную матрицу С по формуле (2), после чего в программе Excelнайдём обратную матрицу А^-1(по формуле (3)) для матрицы А.

1. Включите компьютер.

2. Подождите пока загрузится операционная система Windows, после чего откройте окно MicrosoftWord.

3. Вставьте объект MicrosoftEquation 3.0.

4. Перепишем алгебраические дополнения в формульный редактор. Для этого:

·запишите алгебраическоедополнение А₁₂., используя шаблон нижних индексов;

·вставьте шаблон определителя 3-го порядка в формульном редакторе;

·занесите числовые значения определителя в свободные поля;

Повтором предыдущих действий, запишите в редакторе формул дополнения А₁₂-А₄₄ (см. рис. 8.1)

В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel.

5. Откройте окно MicrosoftExcel.

6. Перепишите матрицу А и формулу (4) из Word в Excel(см. рис. 8.2).

Рис. 8.1 Рис. 8.2

7. Используя функцию МОПРЕД, которая находится в мастере функций ƒ_х, посчитаем, чему будут равны все алгебраические дополнения. Для этого:

·активизируйте ячейку D9;

·выполните нажатие ЛКМ на кнопке ƒ_х в стандартной панели задач;

·в окне КАТЕГОРИЯ нажатием ЛКМ выберите МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, а в окне ФУНКЦИЯ – МОПРЕД;

·выделите область A6¸C8;

·

Аналогичные действия проделайте со всеми остальными алгебраическими дополнениями, не забывая при этом некоторые из них умножать на число (-1). В результате проделанных действий получим: А₁₁= -45, А₁₂= 20, А₁₃=1, А₁₄=-17, А₂₁=63, А₂₂= -31, А₂₃=1, А₂₄=25, А₃₁= -6, А₃₂=3, А₃₃=3,33Е-16, А₃₄= -3, А₄₁=12, А₄₂= -5, А₄₃= -1, А₄₄=5.

Как вы видите, значение дополнения А₃₃ записано в виде числа с мантиссой. Приведём это число к виду обыкновенной десятичной дроби. Для этого:

· активизируйте ячейкуL17, после чего нажатие ПКМ;

· на экране компьютера появится контекстное меню;

· выполните нажатие ЛКМ на слове ФОРМАТ ЯЧЕЕК (рис. 8.4);

Рис. 8.4

·после появления диалогового окна ФОРМАТ ЯЧЕЕК в окне ЧИСЛОВЫЕ ФОРМАТЫ нажмите ЛКМ на ДРОБНЫЙ, а в окне ТИП – на ПРОСТЫЕ ДРОБИ (рис. 8.5);

·выполните нажатие ЛКМ на кнопке ОК. После чего алгебраическое дополнение А₃₃=0 см. рис. 8.6

-Далее, в тексте задачника, если будут встречаться числа с мантиссой или бесконечные десятичные дроби, то будем пользоваться диалоговым окном ФОРМАТ ЯЧЕЕК, а данную операцию будем обозначать: поменяйте формат ячейки... на ДРОБНЫЙ.

8. Найдём в Excel матрицу А^-1, обратную для А. Для этого:

·заполните ячейки А22¸D26 значениями алгебраических дополнений, используя формулу (2), т.е., в ячейках А23¸D26 записана присоединённая матрица С (рис. 8.7).

Рис. 8.7 Рис. 8.8

·активизируйте ячейку А28 и запишите с клавиатуры в неё формулу: =А23/-3, после чего результат занесите автозаполнением в ячейки В28¸D28; А29¸А31 и В29¸D31 (рис. 8.8).

·Выделите область А28¸D31, после чего поменяйте формат выделенных ячеек на ДРОБНЫЙ (см. рис. 8.9).

Рис. 8.9 Рис. 8.10

9. Проверку проделанных вычислений произведём следующим образом:

·выделите область F28¸I31;

·воспользуйтесь функцией МОБР, которая находится в мастере функций ƒ_х (категория – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ);

·на клавиатуре одновременно нажмите следующую комбинацию клавиш: Shift+Ctrl+Enter.

В результате чего в ячейках появятся следующие значения (рис. 8.10). Полученные значения доказывают правильность произведённых вычислений.

Задания для самостоятельной работы.