Цепочка Галилея

В книге Галилея «Беседы и математические доказательства…», напечатанной впервые на итальянском языке в голландском городе Лейдене в 1638г., предлагался, между прочим, такой способ построения параболы: «Вобьём в стену два гвоздя на одинаковой высоте над горизонтом и на таком расстоянии друг от друга, чтобы оно равнялось двойной ширине прямоугольника, на котором желательно построить полупараболу; между одним и другим гвоздём подвесим тонкую цепочку, которая свешивалась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низкая точка её находиласьот уровня гвоздя на расстоянии, равном высоте прямоугольника (рис. 1). Цепочка эта, свисая, расположится в виде параболы, так что, отметив её след на стене пунктиром, мы получим параболу, рассекаемую пополам перпендикуляром, проведённым через середину линии, соединяющей оба гвоздя».

Способ этот прост и нагляден, но не точен. Это понимал и сам Галилей. На самом деле, если параболу построить по всем правилам, то между нею и цепочкой обнаружатся зазоры. Они видны на том же рис. 1, где соответствующая парабола обозначена сплошной линией.

Цепная линия.

Только через полвека после выхода книги Галилея старший из двух братьев-математиков Бернулли – Якоб нашёл чисто теоретическим путём точную формулу провисающей цепочки. Не спеша сообщать своё решение задачи, он бросил вызов другим математикам. Правильное решение опубликовали уже в следующем 1691г. Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм Лейбниц и младший брат Якоба – Иоганн Бернулли. Все они пользовались для решения задачи, во-первых, законами механики, а во-вторых, могучими средствами недавно разработанного тогда математического анализа – производной и интегралом.

Гюйгенс назвал кривую, по которой располагается цепочка, подвешенная за два конца, цепной линией.

Так как цепочки бывают разной длины, да и концы их могут подвешиваться на разных расстояниях друг от друга – то ближе, то дальше, то и цепных линий существует не одна, а много. Но все они подобны между собой, как, например, подобны между собой любые окружности.

График показательной функции.

Оказалось, что разгадка секрета цепной линии лежит в показательной функции. В XVIIIвеке она была ещё новинкой, а теперь её должен знать каждый восьмиклассник. Это функция вида y=a^x, где a – какое-либо положительное число, не равное 1. Вычисления показали, что для построения цепной линии удобнее всего принять aравным так называемому неперову числу, обозначаемому буквой e. Оно получило своё имя в честь шотландского математика Джона Непера – одного из изобретателей логарифмов. Число это почти столь же знаменито, как и число p; его приближённое значение, взятое с точностью до 0,0005:e»2,718.

На рис. 2 сплошной линией изображен график показательной функции y=e^x, а пунктиром - график другой показательной функции, тесно связанной с предыдущей.

Если воспользоваться отрицательными показателями степеней, то последнюю функцию можно представить в виде y=e^-x. Теперь ясно, что оба графика симметричны друг другу относительно оси ординат, что и обнаруживает рисунок.

Образуем теперь две новые функции, беря для каждого x либо полусумму значений наших показательных функций – получимy=¹/₂(y=e^x+e^-x), либо их полуразность: y=¹/₂(y=e^x-e^-x). Графики этих новых функций приведены на рис. 3 и рис. 4. Оказывается, что первый из них это и есть одна из цепных линий. Из него путем простых преобразований, о которых пойдет речь ниже, можно получить любую цепную линию, симметричную относительно оси ординат. Что касается графика, представленного на рис. 4, то он будет нами использован как вспомогательное средство при переходе от цепной линии рис. 3 к более общему случаю цепной линии.

Подбор длины цепочки.

Рассмотрим подробнее связь между кривой, изображенной на рис. 3, и формой висящей цепочки.Представим себе, что эта кривая вычерчена на строго вертикальной и совершенно гладкой стене и что нам разрешено забивать гвозди в разные точки кривой. Забьём их, как советовал Галилей, в точках AиBна одной горизонтали (впрочем, это условие несущественно). Подберём теперь тонкую цепочку, длина которой точно равна 2l– длине дуги AB – и концы её закрепим в A и B. Тогда цепочка провиснет строго по дуге, которую мы заранее вычертили. Никаких зазоров между ней и этой кривой не будет наблюдаться.

Подбор цепочки нужной длины можно производить путем проб. Взять цепочку подлиннее – с запасом, а потом подвешивать её за разные звенья в точках A и B, по мере надобности увеличивая или уменьшая длину провисающей части, пока не произойдёт совпадения (рис. 5). Но можно поступить и иначе: зная d (половину расстояния между гвоздями), найти путём вычисления l (половину длины дуги AB) и тогда уже брать цепочку, длина которой точно равна 2l. Такой подсчёт удаётся с помощью интеграла. Укажем здесь результат: l=1/2(e^d-e^-d).Отсюда следует, что если взять на графике функции y=1/2(e^x-e^-x) (рис. 4)x=d, то соответствующая ордината у точки E этого графика будет равна l.

Так как l=1/2(e^d-e^-d)<r=1/2(e^d-e^-d)(см. рис. 5), то получается любопытное заключение: длина дуги CB цепной линии, представленной на рис. 5 (половина длины всей цепочки) короче, чем ордината точки подвеса. С другой стороны, имеем: l>d, т.е. эта длина больше, чем абсцисса точки подвеса.

А если длина не та?

Как отыскать уравнение линии в случае, когда для данных точек подвеса Aи Bдлина цепочки2l` не совпадает с длиной 2lдугиAB, принадлежащей кривойy=1/2(e^x-e^-x)? В поисках ответа мы будем опираться на отмеченный выше факт, что все цепные линии подобны между собой.

Пусть, например, l`>l. Тогда цепочка провиснет по некоторой дугеAC`B, расположеннойпод дугой ACB(рис. 5). Мы покажем, что нужное уравнение цепной линии, которой принадлежит дугаAC`B, можно найти в три приёма. Сначала перейти от кривой (1):y=1/2(e^x-e^-x) к некоторой кривой (2): y=1/2(e^x/k-e^-x/k);эта кривая получается из (1) посредством преобразования подобия с центром в точке Oи коэффициентом подобияk (k>0). Затем перейти от кривой (2) к кривой (3):y=b+k/2(e^x/k-e^-x/k) посредством сдвига предыдущей в направлении оси ординат (в зависимости от знака bвверх или вниз).

Вся хитрость заключается в том, чтобы определить коэффициент подобия k. С этой целью отметим в плоскости вспомогательной кривой, изображённой на рис. 4, точку Fс координатами x=d иy=l`. В силу того, чтоl`>l, она не попадёт на кривую, а окажется выше неё.

Продолжим OFдо пересечения с кривой в некоторой точке G(можно доказать, что точка пересечения найдётся, помимо точки O, и притом только одна).Положим OF/OG(в нашем случае 0<k<1); тогда координатами точки Gбудут числаx=d/k, y=l`/k. Поэтому они будут связаны уравнением кривой: l`/k=1/2(e^d/k-e^-d/k). Отсюда следует, что если на кривой (1) (рис. 3) взять точки A`иB` с абсциссами–d/kи d/k, то длина дугиA`B`, их соединяющей, будет равна2l`/k.

Все цепные линии подобны.

Найденное число kиспользуем как коэффициент подобия в преобразовании кривой (1); в качестве центра подобия возьмем начало координат O. Тогда каждой точке P(x,y) кривой (1) будет соответствовать точка Q(kx,ky)преобразованной кривой (2) (рис. 6).Если ввести обозначения:X=kx, Y=ky, тоx=X/k, y=Y/k. Последние числа должны удовлетворять уравнению (1), так как точка P(x,y) лежитна ней. Получаем: Y/k=1/2(e^X/k-e^-X/k). Это и есть уравнение кривой (2), полученной в результате преобразования.Большие буквы для обозначения координат можно здесь заменить маленькими, помня, что теперь это координаты любой точки кривой (2).

Заметим, что точкам A`иB` кривой (1) с абсциссами –d/kиd/kбудут соответствовать точки A``иB`` кривой (2) с абсциссами –dи d(рис. 7). В силу подобия дуг A`B`иA``B`` длинаA``B`` будет равна2l`, т. е. равна заданной длине цепочки.В этом и состоит преимущество кривой (2) перед исходной кривой (1). Недостаток её, однако, в том, что кривая (1) проходила через заданные точки подвеса AиB, а кривая (2) может через них и не проходить. Но этот недостаток легко устранить. Если ордината точки B`` (илиA``): k/2(e^d/k+e^-d/k) не равнаr, т. е.B``не совпадает сB, то положимr-k/2(e^d/k+e^-d/k)=b.

В результате сдвига кривой (2) в направлении оси ординат на величинуb она перейдёт в кривую (3): y=b+k/2(e^d/k+e^-d/k). Последняякривая, во-первых, подобна кривой (1) и, следовательно, являетсясама цепной линией. Во-вторых, она проходит через заданные точки подвеса: A(-d,r)иB(d,r). И, в-третьих, длина дугиAB равна длине данной цепочки2l`. Эти условия и обеспечивают, как это было доказано Бернулли, Гюйгенсом и Лейбницем, что цепочка провиснет как раз по дуге AB.

На этом очерк о цепочке Галилея можно считать законченным.