Билеты по математическому анализу

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 1

1. Сформулируйтепонятие полногодифференциалафункции двухпеременныхи объяснитеего геометрическийсмысл.

2. Исследуйтена экстремумфункцию .

3. Получите оценкумодуля определенногоинтеграла.

4. Вычислитьинтеграл .

5. Что называетсядифференциальнымуравнениемс разделяющимисяпеременными?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Дайте определениеортогональнойсистемы. Приведитепример.

8. Исследоватьна абсолютнуюи условнуюсходимость.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 2

1. Что называется:переменнойвеличиной,областью значенийпеременнойвеличины? Какаяпеременнаявеличина называетсяпоследовательностью?

2. Найдите для функции.

3. Выведите формулудля вычислениядлины дугикривой в полярныхкоординатах.

4. Вычислитьдвойной интеграл,где D ―треугольникс вершинамиО(0, 0), А(2, 2), В(0, 2).

5. Какой вид имеетоднородноедифференциальноеуравнениепервого порядка?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. СформулируйтенеравенствоБесселя потригонометрическойсистеме.

8. Исследоватьсходимостьряда

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 3

1. Докажите правилодифференцирования.

2. Напишите уравнениекасательнойплоскости ксфере в точке .

3. Выведите формулудля вычисленияплощади криволинейногосектора в полярныхкоординатах.

4. Найти .

5. Что называетсяквазимногочленом?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Сформулироватьутверждениеоб оценке остатказнакочередующегосяряда.

8. Исследоватьсходимостьряда

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 4

1. Опишите задачуо касательной,приводящуюк понятиюпроизводной.

2. Каков критерийвыпуклостиграфика? Будетли график функциивыпуклым иливогнутым наинтервале ?Разъяснитегеометрическуюинтерпретациюусловия выпуклости.

3. Дайте определениесоленоидальноговекторногополя и сформулируйтекритерийсоленоидальности.

4. Вычислитьдвойной интеграл
   .

5. Что называетсядифференциальнымуравнениемБернулли?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Дайте определениезнакочередующегосяряда. Приведитепримеры.

8. Исследоватьсходимостьряда .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 5

1. Перечислитеосновные свойствабесконечномалых и докажитеодно из них(по Вашему выбору).

2. Найдите областьопределенияфункции .

3. Дайте определениепотенциальноговекторногополя и егопотенциала.Сформулируйтеусловия потенциальностивекторногополя.

4. Вычислитьинтеграл .

5. Записатьдифференциальноеуравнение дляопределителяВронскогосистемы решенийоднородноголинейногодифференциальногоуравнения.

6. Найти решениедифференциальногоуравнения ,удовлетворяющееначальнымусловиям x(0)= 0, x'(0) = 3.

7. Дайте определениегармоническогоряда. Приведитепример. Докажитерасходимостьгармоническогоряда.

8. Исследоватьсходимостьряда .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 6

1. Дайте определениефункции двухпеременных,ее областиопределенияи области значений.

2. Найдите асимптотыграфика функции.Когда у графикамогут появитьсявертикальныеасимптоты?

3. Найдите интегралот простейшейдроби 1-го типа:.

4. Найти .

5. Записатьхарактеристическоеуравнение длялинейногодифференциальногоуравненияn-го порядкас постояннымикоэффициентами.

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Докажитеэкстремальноесвойство частныхсумм ряда Фурьепо ортогональнойсистеме.

8. Исследоватьсходимостьряда .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 7

1. Сформулируйтеи докажитетеорему обинвариантностиформы дифференциала.

2. Найдите вторуюпроизводнуюфункции .

3. Какая рациональнаядробь называетсяправильной?Сформулируйтетеорему оразложенииправильнойрациональнойдроби на простейшие.

4. Найти .

5. В чем заключаетсясвойствоединственностирешения задачиКоши длядифференциальногоуравненияпервого порядка,разрешенногоотносительнопроизводной?

6. Найти решениедифференциальногоуравнения ,удовлетворяющееначальнымусловиям x(0)= 0, x'(0) = 7.

7. Докажите признаксходимостигеометрическогоряда.

8. Исследоватьсходимостьряда

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 8

1. Докажите правилоЛопиталя.

2. Исследуйтевозрастаниеи убываниефункции .Какая функцияназываетсявозрастающей,в чем состоитпризнак возрастания?

3. Дайте определениетройного интегралаи получитеформулу длявычислениямассы неоднородноготела.

4. Найти .

5. Что такое линейнонезависимаясистема ₁(t),₂(t)на (,)?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Разложитефункцию y=(1+х)^m(mR;m0)в ряд Маклорена.

8. Найти интервалсходимостистепенногоряда. Исследоватьповедение наконцах интерваласходимости.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 9

1. Что называетсяградиентомскалярногополя (в случаедвух переменных)?Перечислитеосновные свойстваградиента.

2. Найдите .

3. Сформулируйтеи докажитесвойствомонотонностиопределенногоинтеграла.

4. Найти .

5. Что такое линейнозависимаясистема ₁(t),₂(t)на (,)?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Разложитефункцию y=e^xв ряд Маклорена.

8. Исследоватьсходимостьряда

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 10

1. Дайте определениепроизводнойпо направлениюфункции (скалярногополя) двухпеременныхи выведитеформулу длянее.

2. Найдите .

3. Назовитемеханическиеприложениякратных интегралов,напишите формулыдля вычислениямассы и центратяжести тела.

4. Сходится линесобственныйинтеграл ?

5. Сформулируйтезадачу Кошидля дифференциальногоуравнениявторого порядка,разрешенногоотносительновторой производной.

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. ДокажитенеравенствоБесселя дляортогональнойсистемы.

8. Исследоватьсходимостьряда

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 11

1. Какой пределназываетсявторым замечательным?В чем его"замечательность"?

2. Найдите для функции.

3. Дайте определениедвойного интегралаи укажите егогеометрическийсмысл длянеотрицательнойфункции.

4. Вычислитьдвойной интеграл
   .

5. В чем заключаетсясвойствосуществованиярешения задачиКоши длядифференциальногоуравненияпервого порядка,разрешенногоотносительнопроизводной,в некоторойобласти D?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Разложитефункцию y=sinx в ряд Маклоренаи докажитесходимостьполученногоразложенияк порождающейфункции.

8. Исследоватьна абсолютнуюи условнуюсходимость.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 12

1. Сформулируйтетеорему Ролляи объяснитеее геометрическийсмысл.

2. Исследуйтефункцию на выпуклостьи вогнутость.Какая криваяназываетсявыпуклой?

3. Сформулируйтесвойствакриволинейногоинтеграла.

4. Найти .

5. Что называетсянеоднороднымлинейнымдифференциальнымуравнениемn-го порядка?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Исследуйтесходимостьобобщенногогармоническогоряда.

8. Исследоватьсходимостьряда

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 13

1. Дайте определениебесконечнобольшой переменнойвеличины иприведитепример такойвеличины.

2. Найдите наибольшееи наименьшеезначения функциина интервале.Надо ли исследоватьхарактерполучающихсястационарныхточек при отысканиинаибольшегои наименьшегозначений наинтервале?

3. Какие подстановкиназываютсярационализирующимиинтеграл ?Покажите, чтоуниверсальнаяподстановкаявляетсярационализирующейдля интегралаот выражений,рациональнозависящих оти .

4. Найти .

5. Сформулироватьтеорему существованияи единственностирешения задачиКоши длядифференциальногоуравненияn-го порядка,разрешенногоотносительностаршей производной.

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Дайте определениеабсолютносходящегосяряда. Приведитепример.

8. Найти областьсходимостистепенногоряда.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 14

1. В чем состоитсвязь междупонятиямипредела ибесконечномалой?

2. Найдите.

3. Напишите формулыдля вычисленияплощади криволинейнойтрапеции иправильныхобластейотносительнооси и оси .

4. Вычислитьдвойной интеграл,где D ― область,ограниченнаялиниями y= ,y = x, y= 4x (x ›0).

5. Какое уравнениеназываютхарактеристическимдля линейногодифференциальногоуравненияn-го порядкас постояннымикоэффициентами.

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Дайте определениеряда Фурье поортогональнойсистеме. Приведитепример.

8. Исследоватьсходимостьряда .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 15

1. Какие типыинтерваловна числовойоси Вы знаете?Чем они отличаютсядруг от друга?

2. Найдите наибольшееи наименьшеезначения функциив прямоугольнике,ограниченномпрямыми .

3. Напишите формулудля вычисленияплощади поверхностивращения вокругоси и сформулируйтеусловия, прикоторых онаверна.

4. Найти .

5. Что называетсядифференциальнымуравнением?Что называетсяпорядкомдифференциальногоуравнения?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Сформулируйтепризнак абсолютнойсходимостиряда. Приведитепример.

8. Найти интервалсходимостистепенногоряда. Исследоватьповедение наконцах интерваласходимости.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 16

1. Дайте определениенепрерывностифункции в точкеи докажите,что функция,дифференцируемаяв ,непрерывнав .

2. Укажите областьопределенияфункции .Какие точкиназываютсявнутренними,а какие граничнымидля области?

3. Выведите формулудля вычислениядлины дугикривой в декартовыхкоординатах.

4. Найти .

5. Какой вид имеетдифференциальноеуравнениеБернулли?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Докажите признаксравнениязнакоположительныхрядов.

8. Найти областьсходимостистепенногоряда.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 17

1. Докажите правилодифференцированияпроизведения.

2. Найдите .

3. В чем состоитгеометрическийсмысл определенногоинтеграла отнеотрицательнойфункции?

4. Найти .

5. Записать общийвид дифференциальногоуравненияпервого порядка,разрешенногоотносительнопроизводной.

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Докажите признакЛейбница сходимостизнакочередующегосяряда.

8. Исследоватьсходимостьряда .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 18

1. Дайте определениепредела переменнойвеличины.

2. Найдите производнуюпо направлениюв точке скалярногополя .

3. Укажите, какиеподстановкив частных случаяхприводят интегралк интегрированиюболее простыхрациональныхдробей, чемпри использованииуниверсальнойподстановки.

4. Найти .

5. Что называетсяопределителемВронского длясистемы решенийоднородноголинейногодифференциальногоуравнениявторого порядка?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Дайте определениеусловно сходящегосяряда. Приведитепример.

8. Решить вопросо сходимостиряда

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 19

1. Дайте определениеэквивалентныхбесконечномалых и докажитеодно из свойствтаких величин(по Вашему выбору).

2. Исследуйтена экстремумфункцию .В чем состоитдостаточныйпризнак экстремума?

3. Сформулируйтеи докажитесвойство линейностиопределенногоинтеграла.

4. Вычислитьдвойной интеграл,где D ― область,ограниченнаялиниями y= 2 – x² и y=x.

5. Записать общеерешение линейногооднородногодифференциальногоуравнениявторого порядкас постояннымикоэффициентами.

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Докажите теоремуАбеля об областисходимостистепенногоряда.

8. Исследоватьна абсолютнуюи условнуюсходимость.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 20

1. В чем состоитпервый замечательныйпредел? Опишитетакже егосодержаниес точки зрениясравнениябесконечномалых.

2. Исследуйтевозрастаниеи убываниефункции .Какая функцияназываетсяубывающей, вчем состоитпризнак убыванияфункции?

3. Укажите рационализирующуюподстановкудля интеграловвида ,где – рациональнаяфункция своихаргументов.

4. Найти .

5. Записать видчастного решениянеоднородноголинейногодифференциальногоуравнениявторого порядкав методе Лагранжавариациипостоянных.

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Сформулируйтепризнак сравнениячисловыхзнакоположительныхрядов. Приведитепример.

8. Исследоватьсходимостьряда

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 21

1. Дайте определениеполного дифференциалафункции в точке ;объясните егогеометрическийсмысл и возможностьиспользованияв приближенныхвычислениях.

2. Найдите производнуюфункции .

3. Дайте определениядифференциальныхопераций надскалярнымии векторнымиполями, циркуляциии потока векторногополя.

4. Вычислитьинтеграл .

5. Записать общийвид дифференциальногоуравненияпервого порядка.

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Докажитерадикальныйпризнак Коши.

8. Исследоватьна абсолютнуюи условнуюсходимость.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 22

1. Перечислитеосновные свойствапределов идокажите одноиз них (по Вашемувыбору).

2. Дайте определениеэкстремумафункции ,сформулируйтепризнаки экстремумаи найдитеэкстремумыфункции .

3. Сформулируйтетеоремы о сведениидвойных и тройныхинтеграловк повторным.

4. Вычислитьплощадь области,ограниченнойгиперболойy = и прямой y= 3 – x.

5. Сформулироватьтеорему существованияи единственностирешения задачиКоши длядифференциальногоуравненияпервого порядка,разрешенногоотносительнопроизводной?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Сформулируйтекомплекснуюформу рядаФурье функциис периодом2l.

8. Исследоватьна абсолютнуюи условнуюсходимость.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 23

1. Какие функциидвух переменныхназываютсядифференцируемыми?

2. Разложитечисло 10 на дваслагаемыхтак, чтобыпроизведениеих было наибольшим.Сформулируйтесвойствонепрерывнойфункции, связанноес нахождениемнаибольшегои наименьшегозначений.

3. Запишите формулуГрина и сформулируйтеусловия, прикоторых онасправедлива.

4. Найти .

5. Сформулируйтезадачу Кошидля дифференциальногоуравненияn-го порядка,разрешенногоотносительностаршей производной.

6. Найти решениедифференциальногоуравнения ,удовлетворяющееначальнымусловиям x(0)= 1, x'(0) = 8.

7. Разложитефункцию y=cosx в рядМаклорена.

8. Найти областьсходимостистепенногоряда.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 24

1. Докажите теоремуо единственностипредела переменнойвеличины.

2. Решеткой длинойнадо огородитьпрямоугольныйучасток так,чтобы он имелнаибольшуюплощадь. Каковабудет этанаибольшаяплощадь? Накаком свойственепрерывныхфункций основанонахождениенаибольшихи наименьшихзначений?

3. Дайте определениекриволинейногоинтеграла отвектор-функции.

4. Вычислитьплощадь области,ограниченнойпараболой y= x² + 1 и прямойy = 4x –2.

5. Какое дифференциальноеуравнениепервого порядканазываютоднородным?

6. Найти решениедифференциальногоуравнения ,удовлетворяющееначальнымусловиям x(0)= 0, x'(0) = -2.

7. Разложитефункцию y=arctgx в рядМаклорена.

8. Исследоватьсходимостьряда .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 25

1. Опишите задачуо скорости,приводящуюк понятиюпроизводной.

2. Найдите .

3. Напишите формулузамены переменнойв неопределенноминтеграле.Сформулируйтеусловия, прикоторых онаверна, и докажитеее справедливость.

4. Найти .

5. Сформулируйтезадачу Кошидля дифференциальногоуравненияпервого порядка,разрешенногоотносительнопроизводной.

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Разложитефункцию y=e^xв ряд Маклоренаи докажитесходимостьполученногоразложенияк порождающейфункции.

8. Исследоватьсходимостьряда .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 26

1. Дайте определениепроизводной.В чем состоитгеометрическийсмысл производной?

2. Найдите экстремумфункции .Укажите, в чемсостоит геометрическийсмысл необходимогопризнака экстремума(Ферма).

3. Получите оценкумодуля двойногоинтеграла.

4. Найти .

5. Что называетсялинейнымдифференциальнымуравнениемпервого порядка?

6. Найти решениедифференциальногоуравнения ,удовлетворяющееначальнымусловиям x(0)= 2, x'(0) = 5.

7. Сформулируйтепризнак Даламберасходимостизнакоположительногоряда.

8. Исследоватьсходимостьряда .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 27

1. Какая переменнаявеличина называетсябесконечномалой?

2. Найдите градиентфункции в точке А(2,1).

3. Выведите формулудля вычислениядлины дугиплоской кривой,заданнойпараметрическимиуравнениями.

4. Найти

5. Какой вид имеетдифференциальноеуравнение сразделяющимисяпеременными?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Докажитенеобходимыйпризнак сходимостиряда. Приведитепример.

8. Исследоватьсходимостьряда

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 28

1. Что называетсявекторнымуравнениемпространственнойкривой? Каковгеометрическийсмысл производнойвекторнойфункции?

2. Найдите .

3. Сформулируйтеи докажитесвойствоаддитивностиопределенногоинтеграла пообласти интегрирования.

4. Найти .

5. Какой вид имеетинтеграл Дюамеляи для чего егоиспользуют?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Дайте определениеряда Фурьедля функциис периодом2l.

8. Исследоватьна абсолютнуюи условнуюсходимость.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 29

1. Дайте определениечастной производнойдля функциидвух переменныхи объяснитеее геометрическийсмысл.

2. Укажите областьопределенияи семействолиний уровняфункции .Что служитгеометрическимизображением(графиком) функциидвух переменных?

3. В чем состоитметод "понижениястепени" дляинтегралов,где – целые неотрицательныечисла.

4. Вычислитьплощадь области,ограниченнойпараболамиy = x²и
   y = 2 –x².

5. Что называетсяобщим решениемдифференциальногоуравненияпервого порядка,разрешенногоотносительнопроизводной,в области D,где имеют местосвойствасуществованияи единственностирешения задачиКоши для этогоуравнения?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Дайте определениерадиуса сходимостистепенногоряда.

8. Найти областьсходимостистепенногоряда.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 30

1. Что означает,что ?

2. Найдите асимптотыграфика функции.Дайте определениеасимптоты.

3. Выведите формулуинтегрированияпо частям внеопределенноминтеграле.

4. Найти .

5. Что называетсяоднороднымдифференциальнымуравнениемпервого порядка?

6. Найти решениедифференциальногоуравнения ,удовлетворяющееначальнымусловиям x(0)= 0, x'(0) = -6.

7. Сформулируйтепризнак Дирихледля сходимостиряда Фурье.

8. Исследоватьсходимостьряда

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 31

1. Сформулируйтетеорему Лагранжаи объяснитеее геометрическийсмысл.

2. Найдите производнуюфункции .

3. В чем состоитсвязь определенногоинтеграла снеопределенным?Докажите формулуНьютона-Лейбница.

4. Найти .

5. Записать системууравнений длякоэффициентовчастного решениялинейногонеоднородногодифференциальногоуравнениявторого порядкав методе Лагранжавариациипостоянных.

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Докажите признакДаламберасходимостизнакоположительныхрядов.

8. Найти областьсходимостистепенногоряда.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 32

1. Дайте определениеточки экстремумафункции двухпеременныхи сформулируйтедостаточныйпризнак экстремума.

2. ,где .Найдите и .

3. Что понимаютпод интеграломс переменнымверхним пределом?Докажите теоремуо непрерывностии дифференцируемостиинтеграла спеременнымверхним пределом.

4. Вычислитьплощадь области,ограниченнойкубическойпараболой y= x³ и прямойy = 3x.

5. Что называетсяинтегральнойкривой дифференциальногоуравненияпервого порядка,разрешенногоотносительнопроизводной?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. СформулируйтеравенствоПарсеваля-Стекловадля тригонометрическойсистемы.

8. Исследоватьна абсолютнуюи условнуюсходимость.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 33

1. Дайте определениепредела функциив точке.

2. Исследуйтена экстремумфункцию .

3. Выведите формулуинтегрированияпо частям вопределенноминтеграле.

4. Найти .

5. Сформулироватьтеорему о структуреобщего решениянеоднородноголинейногодифференциальногоуравнениявторого порядка.

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Разложитефункцию y=ln(1+x)в ряд Маклорена.

8. Найти областьсходимостистепенногоряда.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 34

1. Дайте определениесредней кривизныи кривизны вточке для плоскойкривой.

2. Вычислите функции .Не производядальнейшихвычислений,укажите, чемуравна и объяснитепочему.

3. Выведите формулудля вычисленияплощади поверхности.

4. Найти .

5. Что называетсядифференциальнымуравнениемс разделеннымипеременными?

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Дайте определениерядов Тейлораи Маклорена.Приведитепример.

8. Исследоватьсходимостьряда .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационныйбилет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

Билет № 35

1. Дайте определениеточки экстремумафункции двухпеременныхи сформулируйтенеобходимыйпризнак экстремума.В чем геометрическийсмысл этогоусловия?

2. Найдите точкиперегиба функции.В чем состоитнеобходимоеусловие точкиперегиба?

3. Дайте определениеповерхностногоинтеграла отвектор-функциии сформулируйтеусловия егосуществования.

4. Найти .

5. Сформулироватьтеорему о структуреобщего решенияоднородноголинейногодифференциальногоуравнениявторого порядка.

6. Найти общеерешение дифференциальногоуравнения .

7. Докажите предельныйпризнак сравнениядля знакоположительныхрядов.

8. Найти интервалсходимостистепенногоряда. Исследоватьповедение наконцах интерваласходимости.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

10

примерныйпереченьэкзаменационныхвопросов

Математическийанализ

1. Какимидесятичнымидробями представляютсярациональныечисла, иррациональныечисла? Приведитепримеры техи других чисел.

2. Чтоназывается:переменнойвеличиной,областью значенийпеременнойвеличины? Какаяпеременнаявеличина называетсяпоследовательностью?

3. Какиетипы интерваловна числовойоси Вы знаете?Чем они отличаютсядруг от друга?

4. Дайтеопределенияфункции однойпеременной,ее областиопределенияи области значений.

5. Дайтеопределениепредела переменнойвеличины.

6. Дайтеопределениепредела функциив точке.

7. Чтоозначает, что?

8. Какаяпеременнаявеличина называетсябесконечномалой?

9. Перечислитеосновные свойствабесконечномалых и докажитеодно из них(по Вашему выбору).

10. Перечислитеосновные свойствапределов идокажите одноиз них (по Вашемувыбору).

11. В чемсостоит первыйзамечательныйпредел? Опишитетакже егосодержаниес точки зрениясравнениябесконечномалых.

12. Какойпредел называетсявторым замечательным?В чем его"замечательность"?

13. В чемсостоит связьмежду понятиямипредела ибесконечномалой?

14. Докажитетеорему оединственностипредела переменнойвеличины.

15. Дайтеопределениебесконечнобольшой переменнойвеличины иприведитепример такойвеличины.

16. Однаиз двух бесконечномалых имеетболее высокийпорядок, чемдругая. Объясните,что это означает?

17. Дайтеопределениеэквивалентныхбесконечномалых и докажитеодно из свойствтаких величин(по Вашему выбору).

18. Опишитезадачу о касательной,приводящуюк понятиюпроизводной.

19. Опишитезадачу о скорости,приводящуюк понятиюпроизводной.

20. Дайтеопределениепроизводной.В чем состоитгеометрическийсмысл производной?

21. Дайтеопределениепроизводнойи опишите еемеханическуюинтерпретацию.

22. Докажитеправило дифференцирования.

23. Докажитеправило дифференцированияпроизведения.

24. Докажитеправило дифференцированиясложной функции.

25. Дайтеопределениенепрерывностифункции в точкеи докажите,что функция,дифференцируемаяв ,непрерывнав .

26. Дайтеопределениеполного дифференциалафункции в точке ;объясните егогеометрическийсмысл и возможностьиспользованияв приближенныхвычислениях.

27. Сформулируйтеи докажитетеорему обинвариантностиформы дифференциала.

28. Сформулируйтетеорему Ролляи объяснитеее геометрическийсмысл.

29. Сформулируйтетеорему Лагранжаи объяснитеее геометрическийсмысл.

30. Докажитеправило Лопиталя.

31. Дайтеопределениефункции двухпеременных,ее областиопределенияи области значений.

32. Дайтеопределениечастной производнойдля функциидвух переменныхи объяснитеее геометрическийсмысл.

33. Какиефункции двухпеременныхназываютсядифференцируемыми?

34. Сформулируйтепонятие полногодифференциалафункции двухпеременныхи объяснитеего геометрическийсмысл.

35. Дайтеопределениеточки экстремумафункции двухпеременныхи сформулируйтенеобходимыйпризнак экстремума.В чем геометрическийсмысл этогоусловия?

36. Дайтеопределениеточки экстремумафункции двухпеременныхи сформулируйтедостаточныйпризнак экстремума.

37. Дайтеопределениепроизводнойпо направлениюфункции (скалярногополя) двухпеременныхи выведитеформулу длянее.

38. Чтоназываетсяградиентомскалярногополя (в случаедвух переменных)?Перечислитеосновные свойстваградиента.

39. Чтоназываетсявекторнымуравнениемпространственнойкривой? Каковгеометрическийсмысл производнойвекторнойфункции?

40. Дайтеопределениесредней кривизныи кривизны вточке для плоскойкривой.

41. Найдите.

42. Найдите.

43. Найдите.

44. Найдите.

45. Найдите.

46. Найдитеобласть определения.

47. Найдитепроизводную.

48. Найдитепроизводнуюфункции y = (3x)^3x.

49. Дайтеопределениеэкстремумафункции y = f(x),сформулируйтенеобходимыйи достаточныйпризнакиэкстремума.В чем состоитгеометрическийсмысл необходимогопризнака экстремума(Ферма). Найдитеэкстремумыфункции .

50. Исследуйтевозрастаниеи убываниефункции y = 2x³+ 18x²– 42x + 7. Какая функцияназываетсяубывающей, вчем состоитпризнак убывания?Какая функцияназываетсявозрастающей,в чем состоитпризнак возрастания?

51. Найтинаибольшуюплощадь прямоугольногоучастка, периметркоторого равен200 м.

52. Найдитенаибольшееи наименьшеезначения функцииy = x³+ 3x²– 24x + 7 на интервале[0, 3].

53. Найтиточки перегибафункции y = x⁴+ 6x²– 8. Какая криваяназываетсявыпуклой? Какаякривая называетсявогнутой? Найдитеинтервалывыпуклостии вогнутостиданной функции.

54. Дайтеопределениеасимптоты.Когда у графикамогут появлятьсявертикальныеасимптоты?Найдите асимптотыу графика функции.

55. Вычислитефункции .Не производядальнейшихвычислений,укажите чемуравна и объяснитепочему.

56. Укажитеобласть определенияфункции .Какие точкиназываютсявнутренними,а какие граничнымидля области?

57. Укажитеобласть определенияи семействолиний уровняфункции .Что служитгеометрическимизображением(графиком) функциидвух переменных?

58. Найдитеуравнениекасательнойплоскости кповерхности 4x²+ 3y²+ 5z²= 1 в точкеР₀.

59. Найдитеи ,если z= (x²+ 2x)y,а x= u+ v,y= 3u– 2v.

60. Исследуйтена экстремумфункцию .

61. Найдитенаибольшееи наименьшеезначение функцииz= x²+ y²+ 3y– 4xyв прямоугольнике,ограниченномосями координати прямыми x= 2, y= 1.

62. Найдитепроизводнуюпо направлениюв точке Р₀(-1,1, 2) скалярногополя u= x²+ 2y²+ 3xy+ z².

63. Найдитенаибольшуюскорость измененияскалярногополя u= x⁴– (y+ 1)²+(3z)² в точкеР₀(1,1, 1).

64. Дайтеопределениенеопределенногоинтеграла,сформулируйтеего основныесвойства.

65. Напишитеформулу заменыпеременнойв неопределенноминтеграле.Сформулируйтеусловия, прикоторых онаверна, и докажитеее справедливость.

66. Выведитеформулу интегрированияпо частям внеопределенноминтеграле.

67. Какаярациональнаядробь называетсяправильной?Сформулируйтетеорему оразложенииправильнойрациональнойдроби на простейшие.

68. Найдитеинтеграл отпростейшейдроби 1-го типа:.

69. Найдитеинтеграл отпростейшейдроби 2-го типапри :,где .

70. Какиеподстановкиназываютсярационализирующимиинтеграл ?Покажите, чтоуниверсальнаяподстановкаявляетсярационализирующейдля интегралаот выражений,рациональнозависящих оти .

71. Укажите,какие подстановкив частных случаяхприводят интегралк интегрированиюболее простыхрациональныхдробей, чемпри использованииуниверсальнойподстановки.

72. В чемсостоит метод"понижениястепени" дляинтегралов,где – целые неотрицательныечисла.

73. Укажитерационализирующуюподстановкудля интеграловвида ,где – рациональнаяфункция своихаргументов.

74. Дайтеопределениеопределенногоинтеграла какпредела интегральныхсумм Риманаи укажите условияего существования.

75. В чемсостоит геометрическийсмысл определенногоинтеграла отнеотрицательнойфункции?

76. Сформулируйтеи докажитесвойство линейностиопределенногоинтеграла.

77. Сформулируйтеи докажитесвойствоаддитивностиопределенногоинтеграла пообласти интегрирования.

78. Сформулируйтеи докажитесвойствомонотонностиопределенногоинтеграла.

79. Получитеоценку модуляопределенногоинтеграла.

80. Сформулируйтеи докажитетеорему о среднемдля определенногоинтеграла.

81. Что понимаютпод интеграломс переменнымверхним пределом?Докажите теоремуо непрерывностии дифференцируемостиинтеграла спеременнымверхним пределом.

82. В чемсостоит связьопределенногоинтеграла снеопределенным?Докажите формулуНьютона-Лейбница.

83. Сформулируйтеи докажитетеорему о заменепеременнойв определенноминтеграле.

84. Выведитеформулу интегрированияпо частям вопределенноминтеграле.

85. Дайтепонятия несобственныхинтеграловот непрерывнойфункции набесконечномпромежутке,их сходимостии расходимости.

86. Дайтепонятия несобственныхинтеграловот неограниченнойфункции наконечномпромежутке,их сходимостии расходимости.

87. Напишитеформулы длявычисленияплощади криволинейнойтрапеции иправильныхобластейотносительнооси и оси .

88. Выведитеформулу длявычисленияплощади криволинейногосектора в полярныхкоординатах.

89. Выведитеформулу длявычисленияобъема телавращения.

90. Выведитеформулу длявычислениядлины дугикривой в декартовыхкоординатах.

91. Выведитеформулу длявычислениядлины дугиплоской кривой,заданнойпараметрическимиуравнениями.

92. Выведитеформулу длявычислениядлины дугикривой в полярныхкоординатах.

93. Напишитеформулу длявычисленияплощади поверхностивращения вокругоси и сформулируйтеусловия, прикоторых онаверна.

94. Дайтеопределениедвойного интегралаи укажите егогеометрическийсмысл длянеотрицательнойфункции.

95. Докажитесвойство линейностидвойного интеграла.

96. Докажитесвойствомонотонностидвойного интеграла.

97. Получитеоценку модулядвойного интеграла.

98. Сформулируйтеи докажитетеорему о среднемдля двойногоинтеграла.

99. Дайтеопределениетройного интегралаи получитеформулу длявычислениямассы неоднородноготела.

100. Сформулируйтетеоремы о сведениидвойных и тройныхинтеграловк повторным.

101. Выведитеформулу длявычисленияплощади поверхности.

102. Дайтеопределениекриволинейногоинтеграла отвектор-функции.

103. Сформулируйтесвойствакриволинейногоинтеграла.

104. Запишитеформулу Гринаи сформулируйтеусловия, прикоторых онасправедлива.

105. Дайтеопределениеповерхностногоинтеграла отвектор-функциии сформулируйтеусловия егосуществования.

106. Сформулируйтетеорему овычисленииповерхностногоинтеграласведением кдвойному интегралу.

107. Сформулируйтесвойстваповерхностныхинтегралов.

108. Дайтеопределениядифференциальныхопераций надскалярнымии векторнымиполями, циркуляциии потока векторногополя.

109. НапишитеформулуОстроградского-Гаусса,укажите еефизическийсмысл и условияее применимости.

110. Дайтеопределениесоленоидальноговекторногополя и сформулируйтекритерийсоленоидальности.

111. Напишитеформулу Стокса,укажите еефизическийсмысл и условияее применения.

112. Дайтеопределениепотенциальноговекторногополя и егопотенциала.Сформулируйтеусловия потенциальностивекторногополя.

113. Назовитемеханическиеприложениякратных интегралов,напишите формулыдля вычислениямассы и центратяжести тела.

114. Заменивпеременную,найти .

115. Заменивпеременную,найти .

116. Заменивпеременную,найти .

117. Интегрируяпо частям, найти.

118. Интегрируяпо частям, найти.

119. Разложивдробь на простейшие,найти .

120. Разложивдробь на простейшие,найти .

121. Найти.

122. Найти.

123. Найти.

124. Используярационализирующуюподстановку,найти .

125. Используярационализирующуюподстановку,найти .

126. Используярационализирующуюподстановку,найти .

127. Сходитсяли несобственныйинтеграл ?

128. Вычислитьплощадь области,ограниченнойпараболой y= x²– 1 и прямой y= -x+ 1.

129. Вычислитьобъем тела,образованноговращениемвокруг оси Oxфигуры, ограниченнойx= y²и x= 3 – 2y².

130. Вычислитьдвойной интеграл,где D― область,ограниченнаяпрямыми y= x,y= -xи x= 2.

131. Чтоназываетсядифференциальнымуравнением?Что называетсяпорядкомдифференциальногоуравнения?

132. Записатьобщий виддифференциальногоуравненияпервого порядка.

133. Записатьобщий виддифференциальногоуравненияпервого порядка,разрешенногоотносительнопроизводной.

134. Чтоназываетсязадачей Кошидля дифференциальногоуравненияпервого порядка,разрешенногоотносительнопроизводной?

135. Чтоназываетсяинтегральнойкривой дифференциальногоуравненияпервого порядка,разрешенногоотносительнопроизводной?

136. В чемзаключаетсясвойствосуществованиярешения задачиКоши длядифференциальногоуравненияпервого порядка,разрешенногоотносительнопроизводной,в некоторойобласти D?

137. В чемзаключаетсясвойствоединственностирешения задачиКоши длядифференциальногоуравненияпервого порядка,разрешенногоотносительнопроизводной?

138. Сформулироватьтеорему существованияи единственностирешения задачиКоши длядифференциальногоуравненияпервого порядка,разрешенногоотносительнопроизводной?

139. Чтоназываетсяобщим решениемдифференциальногоуравненияпервого порядка,разрешенногоотносительнопроизводной,в области D,где имеют местосвойствасуществованияи единственностирешения задачиКоши для этогоуравнения?

140. Чтоназываетсядифференциальнымуравнениемс разделеннымипеременными?

141. Чтоназываетсядифференциальнымуравнениемс разделяющимисяпеременными?

142. Чтоназываетсяоднороднымдифференциальнымуравнениемпервого порядка?

143. ЧтоназываетсядифференциальнымуравнениемБернулли?

144. Чтоназываетсялинейнымдифференциальнымуравнениемпервого порядка?

145. Записатьобщий виддифференциальногоуравненияn-гопорядка, разрешенногоотносительностаршей производной.

146. Чтоназываетсязадачей Кошидля дифференциальногоуравненияn-гопорядка, разрешенногоотносительностаршей производной?

147. Чтоназываетсярешениемдифференциальногоуравненияn-гопорядка?

148. Сформулироватьтеорему существованияи единственностирешения задачиКоши длядифференциальногоуравненияn-гопорядка, разрешенногоотносительностаршей производной.

149. Чтоназываетсянеоднороднымлинейнымдифференциальнымуравнениемn-гопорядка?

150. Чтоназываетсяоднороднымлинейнымдифференциальнымуравнениемn-гопорядка?

151. Что такоелинейно независимаясистема ₁(t),₂(t)на (,)?

152. Что такоелинейно зависимаясистема ₁(t),₂(t)на (,)?

153. Сформулироватьтеорему о структуреобщего решенияоднородноголинейногодифференциальногоуравнениявторого порядка.

154. Сформулироватьтеорему о структуреобщего решениянеоднородноголинейногодифференциальногоуравнениявторого порядка.

155. ЧтоназываетсяопределителемВронского длясистемы решенийоднородноголинейногодифференциальногоуравнениявторого порядка?

156. Записатьдифференциальноеуравнение дляопределителяВронскогосистемы решенийоднородноголинейногодифференциальногоуравнения.

157. Записатьвид частногорешения неоднородноголинейногодифференциальногоуравнениявторого порядкав методе Лагранжавариациипостоянных.

158. Записатьсистему уравненийдля коэффициентовчастного решениялинейногонеоднородногодифференциальногоуравнениявторого порядкав методе Лагранжавариациипостоянных.

159. Записатьхарактеристическоеуравнение длялинейногодифференциальногоуравненияn-гопорядка спостояннымикоэффициентами.

160. Записатьобщее решениелинейногооднородногодифференциальногоуравнениявторого порядкас постояннымикоэффициентами.

161. Чтоназываетсяквазимногочленом?

162. Какойвид имеет интегралДюамеля и длячего его используют?

163. Найтиобщее решениедифференциальногоуравнения .

164. Найтиобщее решениедифференциальногоуравнения .

165. Решитьдифференциальноеуравнение сразделяющимисяпеременными.

166. Решитьоднородноедифференциальноеуравнение .

167. РешитьдифференциальноеуравнениеБернулли .

168. Найтиобщее решениедифференциальногоуравнения .

169. Найтиобщее решениедифференциальногоуравнения .

170. Найтиобщее решениедифференциальногоуравнения .

171. Найтиобщее решениедифференциальногоуравнения .

172. Найтиобщее решениедифференциальногоуравнения .

173. Найтирешение дифференциальногоуравнения ,удовлетворяющееначальнымусловиям x(0)= 0, x'(0)= 1.

174. Чтоназываетсячисловым рядом?Приведитепример.

175. Чтоназываетсячастичной(частной) суммойряда? Приведитепример.

176. Дайтеопределениесходящегосяряда.

177. Сформулируйтенеобходимыйпризнак сходимостиряда. Приведитепример.

178. Докажитенеобходимыйпризнак сходимостиряда. Приведитепример.

179. Сформулируйтепризнак сходимостигеометрическогоряда. Приведитепример.

180. Докажитепризнак сходимостигеометрическогоряда.

181. Дайтеопределениегармоническогоряда. Приведитепример.

182. Докажитерасходимостьгармоническогоряда.

183. Сформулируйтепризнак сравнениячисловыхзнакоположительныхрядов. Приведитепример.

184. Сформулируйтепредельныйпризнак сравнениядля знакоположительныхрядов.

185. Сформулируйтепризнак Даламберасходимостизнакоположительногоряда.

186. Сформулируйтерадикальныйпризнак Кошисходимостизнакоположительногоряда.

187. Сформулируйтеинтегральныйпризнак Коши-Маклоренасходимостизнакоположительныхрядов.

188. Дайтеопределениезнакочередующегосяряда. Приведитепримеры.

189. Сформулируйтепризнак Лейбницасходимостизнакочередующегосяряда.

190. Сформулироватьутверждениеоб оценке остатказнакочередующегосяряда.

191. Приведитепример сходящегосязнакочередующегосяряда и найдитеоценку остаткаряда.

192. Дайтеопределениеабсолютносходящегосяряда. Приведитепример.

193. Сформулируйтепризнак абсолютнойсходимостиряда. Приведитепример.

194. Дайтеопределениеусловно сходящегосяряда. Приведитепример.

195. Докажитепредельныйпризнак сравнениядля знакоположительныхрядов.

196. Докажитепризнак сравнениязнакоположительныхрядов.

197. Сформулируйтеопределениефункциональногоряда. Приведитепример.

198. Сформулируйтеопределениеобласти сходимостифункциональногоряда. Приведитепример.

199. Докажитепризнак Даламберасходимостизнакоположительныхрядов.

200. Докажитерадикальныйпризнак Коши.

201. Исследуйтесходимостьобобщенногогармоническогоряда.

202. Докажитепризнак Лейбницасходимостизнакочередующегосяряда.

203. Докажитеоценку остатказнакочередующегосяряда.

204. Сформулируйтеопределениестепенногоряда. Приведитепример.

205. Дайтеопределениерадиуса сходимостистепенногоряда.

206. Докажитетеорему Абеляоб областисходимостистепенногоряда.

207. Докажитеформулу длявычислениярадиуса сходимостистепенногоряда.

208. Приведитеформула Тейлорас дополнительнымчленом в формулеЛагранжа.

209. Дайтеопределениерядов Тейлораи Маклорена.Приведитепример.

210. Разложитефункцию y=e^xв ряд Маклоренаи докажитесходимостьполученногоразложенияк порождающейфункции.

211. Разложитефункцию y=sinxв ряд Маклоренаи докажитесходимостьполученногоразложенияк порождающейфункции.

212. Разложитефункцию y=cosxв ряд Маклорена.

213. Разложитефункцию y=e^xв ряд Маклорена.

214. Разложитефункцию y=(1+х)^m(mR;m0)в ряд Маклорена.

215. Разложитефункцию y=arctgxв ряд Маклорена.

216. Разложитефункцию y=ln(1+x)в ряд Маклорена.

217. Дайтеопределениеортогональнойсистемы. Приведитепример.

218. Дайтеопределениеряда Фурье поортогональнойсистеме. Приведитепример.

219. Дайтеопределениеряда Фурьедля функциис периодом2l.

220. Сформулируйтепризнак Дирихледля сходимостиряда Фурье.

221. СформулируйтенеравенствоБесселя потригонометрическойсистеме.

222. Докажитеэкстремальноесвойство частныхсумм ряда Фурьепо ортогональнойсистеме.

223. ДокажитенеравенствоБесселя дляортогональнойсистемы.

224. СформулируйтеравенствоПарсеваля-Стекловадля тригонометрическойсистемы.

225. Сформулируйтекомплекснуюформу рядаФурье функциис периодом2l.

226. Исследоватьсходимостьряда

227. Исследоватьсходимостьряда

228. Исследоватьсходимостьряда

229. Исследоватьсходимостьряда .

230. Исследоватьсходимостьряда .

231. Исследоватьсходимостьряда .

232. Исследоватьсходимостьряда .

233. Исследоватьна абсолютнуюи условнуюсходимость.

234. Исследоватьна абсолютнуюи условнуюсходимость.

235. Исследоватьна абсолютнуюи условнуюсходимость.

236. Исследоватьна абсолютнуюи условнуюсходимость.

237. Найтиобласть сходимостистепенногоряда.

238. Найтиобласть сходимостистепенногоряда.