Билеты по геометрии (11 класс)

Билет № 3

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

2. Объем призмы.

1.Три случая расположения прямой и плоскости.

1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку aÈA

2.Прямая лежит в плоскости а значит имеет с ней 2 общие точки.

1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е.a÷ïa

2.Теорема:Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Д-во: Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА₁В₁С₁с объемом V и высотой h.

Проведем такую высоту ∆АВС (ВD) кот. разделит этот ∆на 2 ∆. Поскольку ВВ₁D разделяют данную призму на 2 призмы , основания кот является прямоугольный ∆ABD и ВСD. Плэтому объем V₁и V₂соответственно равны S_ABD ·h и S_ВСD ·h. По св-ву 2⁰ объемов V=V₁+V₂т.е V= S_ABD ·h+ S_ВСD ·h= (S_ABD+ S_ВСD) h. Т.о. V=S_АВС·h

Д-во Возьмем произвольную прямую призму с высотой h и площадью основания S. Такую

призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению Sh. Теорема доказана.

Рассмотрим случай , когда призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные призмы. Так как S_пол = ^1//₂ab то S_∆=ab =>V_∆= Sh ч.т.д.

Билет №5

1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)

2. Объем цилиндра.

1.Рассмотрим пл αи т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А прямую,^ к пл α, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл α .Отрезок АН называется,^ проведенным из

т А к пл α, a т Н— основанием ^. Отметимв пл αкакую-нибудь т М,отличную от Н, и проведем отр AM.Он называется наклонной, про-вед из т А к пл α, а т М — основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл α. Сравним ^АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ∆АМН сторона АН — катет, а сторона AM - гипотенуза, поэтому АН<АМ. Итак, ^, проведенный аз данной т к пл, меньше любой наклонной, проведенной из той же т к этой пл.

=> из всех расстояний от т А до различных т пл αнаименьшим является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина ^, проведенного из т А к пл α , называется расстоянием от т A до пл α

Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

2.Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму F_nа в

эту призму впишем цилиндр Р_п . Обозначим через V и V_nобъемы цилиндров Р и Р_п, через r_п — радиус цилиндра Р_п. Так как объемпризмы F_n равен S_nh, где S_n- площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму F_n , кот в свою очередь , содержит цилиндр Р_{п ,} тоV_n<S_nh<V. Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус r_п цилиндра Р_п стремиться к радиусу r цилиндра Р(r_п=rcos180/n®r при r→∞). Поэтому V цилиндра Р_п стремиться к объему цилиндра Р: limV_n=V. Из равенства (V_n<S_nh<V) =>, что

n→∞

limS_nh=V. Но limS_n=πr² Т.о V=πr²h.т.к πr²=S ,то получим V=S_оснh.

n→∞ n→∞

Билет № 6

1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)

2. Объем конуса.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью , проходящей через другую прямую параллельную первой , называется расстояни6е между скрещивающимися прямыми.

Если две прямые скрещиваются то через каждую из них проходит плоскость параллельная другой прямой , и при том только одна.

2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высо-той h и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ). Произвольное сечение конуса пл. , ^ к оси Ох , является кругом с центром в т М₁ пересе-чения этой пл. с осью Ох. Обозначим радиус через R₁ ,а S сечения через S(х) , где х – абсцисса т М₁ . Из подобия прямоугольных ∆ ОМ₁А₁ и ОМА=> что

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=0, получим

Площадь S основания конуса равна pR², поэтому V=¹/₃Sh.

Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь оснований S и S₁вычисляется по формулеV=¹/₃h(S·S₁+√ S·S₁).

Билет №7

1. Угол между скрещивающимися прямыми

2. Площадь боковой поверхности цилиндра.

1. Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые . Возьмем произвольную т. М₁ пространства и проведем через нее прямые А₁В₁ и С₁D₁ , соответственно параллельн АВ и СD

Если ∠ между прямыми А₁В₁ и С₁D₁ =φ, то будем говорить , что∠ между скрещивающимися прямыми АВ и СD=φ. Докажем теперь, что∠ между прямыми не зависит от выбора т. М₁ . Действительно , возьмем любую т. М₂ и проведем прямые А₂В₂и С₂D₂ соответственно парал. АВ и СD Т.к А₁В₁∥ А₂D₂ , С₁D₁∥ C₂D₂, то стороны углов с вершинами в т.М₁и М₂ попарно сонаправлены( ∠А₁М₁С₁ и∠А₂М₂С₂, ∠А₁М₁D₁и∠А₂М₂D₂ ) потому эти ∠ равны, ⇒что∠ между А₂В₂и С₂D₂так же =φ. В качестве т М можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых . Например на СD отметить т М и через нее провести А'B' параллельные АВ .Угол между прямыми A'B'и CD= φ

2. Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению длинны окружности основания на высоту

Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и развернем т.о , что все образующие оказались в одной плоскости α . В результате в пл α получится прямоугольник АВВ'А' . Стороны АВ и А'В' –два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ . Это прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра . основание АА' прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра , поэтому АА'=2πr , AB-h, где г- радиус цилиндра , h- его высота . за S _бок цилиндра принято считать S её развертки . Т.к S прямоугольника АВВ'А'= АА'•ВА = 2πr•h то, для вычисления S бок цилиндра радиуса к и высоты h формула

S _бок=2πrh

Билет № 9

1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)

2. Сложение векторов. Свойства сложения.

2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b .Отложим от какой-нибудь т А вектор АВ равный а. Затем от т В отложим ВС=b. Вектор АС называется суммой векторов а и b: АС=a+b.

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. (по этому же правилу складываются и коллинеарные векторы , хотя при их сложении треугольника не получается) Сумма a+b не зависит от выбора т А, от которой при сложении откладывается вектор а. (если например заменить т А на т А₁ то вектор АС заменится равным ему вектором А₁С₁Привило треугольника можно сформулировать и в другой форме: для любых точек А,В,и С имеет место равенство АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных векторов можно пользоваться так же правилом параллелограмма.Для любых векторов а, b и с справедливы равенства:a+b=b+a (перемести-тельный з-н.);(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный з-н). Два нулевых вектора называются противоположными, если их длины равны нулю и они противоположно направлены.Вектором проти-оположным нулевому вектору , считается нулевой вектор. Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА

Билет № 10

1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.( формулировки , примеры)

2. Умножение вектора на число . Св-ва произведения вектора на число.

1. Двугранным углом называют фигуру , образованную прямой а и 2-мя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол , называются его гранями.

У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а – общая граница полуплоскостей- называется ребром двугранного угла. Для измерения двугранного угла отметим на ребре какую-нибудь т. и в каждой грани из этой точки проведем перпендикуляр к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейный угол двугранного угла. (ÐАОВ ) ОА^CD CD^ОВ, то плоскость АОВ ^ к прямой СD. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов и они равны друг другу. Рассмотрим 2 линейных ÐАОВ и ÐА₁О₁В₁ . Лучи ОА и О₁А₁ лежат в одной грани ^к ОО₁, поэтому они сонаправлены. Точно так же сонаправлены ОВ и О1В1=> Ð А₁О₁В₁ =ÐАОВ. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла . Он может быть прямым , острым, тупым ( 90°, <90°, >90°)

2. Произведение ненулвого вектора а на число k называется такой вектор b , длинна которого равно |k|·|a|, причем вектор a и b сонаправлены при k≥ 0 и противоположно направлены при k<0. Произведением ненулевого вектора на любое число нулевой вектор. Произведение вектора а на число k обозначается так : ak. Для любого числа k и вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует , что произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор. Для любых векторов а и b и любых чмсел k, l справедливы равенства:

(kl)a= k(al) (сочетательный з-н)

k(a+b)=ka+kb(Ι-ый распределительный з-н)

(k+l)a=ka+la ( II-ой распределительный з-н)

отметим, что (-1)а является вектором противоположному вектору а, т.е. (-1)а = -а. Действитель-но, длины векторов (-1)а и а равны: |(-1)a| =|(-1)|×|а|=а. Кроме того , если вектолр а ненулевой , то векторы (-1) а и а противоположно направлены. Точно так же, как в планеметрии, можно диказать, что если векторы а и b коллинеарны и а¹0 , то существует число k такое, что b= ka.

Билет № 11

1. призма (формулировки , примеры)

2. Скалярное произведение векторов.

1. Призма. Рассмотрим два равных многоугольника А₁А_2.., А_пи В₁В_2....В_п, расположенных в параллельных пл-тях а и р так, что отрезки А₁В₁ ,А₂В₂, ..., А_пВ_п,соединяющие соответственные вершины мн-

ков, параллельны.Каждый из п 4-хугольников A₁A₂B₂B₁, А₂А₃В₃В₂, .... A_nA₁B₁B_n является п-ммом, так как имеет попарно параллельные про-тивоположные стороны. Мн-к, составленный из 2 равных мн-ков А₁A₂...A_n и В₁В₂...В_п, расположенных в параллельных пл-тях, и n п-ммов наз призмой Мн-ки A₁A₂....An и B₁B₂...B_nназ основаниями, а п-ммы-бокоеыми гранялш призмы.От резки А₁В₁, А₂В₂ ..., АпВ_пназ бо-коеыми ребрами призмы. Эти ребра как противрпрложные стороны п-ммов последовательно приложенных друг к другу, равны в парал-лельны.Призму с основаниями A₁A₂....An и B₁B₂...B_nобозначают-A₁A₂....А_n В₁В₂...В_nи называют п-угольной призмой.4-ехугольная призма- параллелепипед.^, проведенный из какой-нибудь точки одного ос-нования к плоскости другого основания, называется высотой приз-мы. Если боковые ребра призмы ^к основаниям, то призма наз пря-мой, в противном случае –наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.Прямая при-зма называется пра-вильной, если ее основания — правильные мн-ки. У такой призмы все боковые грани -равные прямоугольники S полной поверхности. призмы называется сумма площадей всех ее граней, а S боковой поверхности призмы— сумма площа-дей ее боковых граней. Пло-щадь S_полн полной повер-хности выра-жается через площадь S_6osбоко-вой поверхности и пло-щадь S_осн ос-нования призмы форму S_полн =S_6oк+ 2S_осн.

2. Скакалярным произведением 2-ух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними Скал-ое произведение векторов а и b обозначают так :аb . Т. о. ab=|a|×|b|cos (ab). Скал-ое произведение вектора равно 0 тогда, когда эти векторы ^; скал-ый квадрат вектора(т.е скал-ое призведение вектора на себя) = квадрату его длинны.. Скал-ое произведение 2-ух векто-ров можно вычислить, зная координаты этих векторов:скал-ое произведение векторов а{x₁;y₁;z₁} и b{x₂;y₂;z₂}выражается формулой: аb= x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂. Косинус Ða между ненулевыми вектора-ми а{x₁;y₁;z₁} и b{x₂;y₂;z₂} вычисляется формулой.

Подставив сюда выражения для ab, |а|и|b| через координаты векторов а и b получим эту формулу. Для любых векторов а,b и c и любого числа k справедливы равенства:

1⁰.а2³) , причем а²>0 при а¹0

2⁰.ab=ba(переместительный з-н)

3⁰.(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н)

4⁰.k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н)

Утверждения 1⁰-4⁰относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть , что распределительный з-н имеет место для любого числа слагаемых( (a+b+c)d=ad+bd+cd.)

Билет № 12

1. Прямая и правильная призма(формулировки примеры)

2. Существование плоскости , проходящей через данную прямую и данную точку.

1.Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то призма нвзывается прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания- правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

2. Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и приом только одна .

Д-во. Рассмотрим пр а и не лежащую на ней т М. Отметим на прямой а 2 точки Р и Н Точки М,Р и Н не лежат на одной прямой поэтому согласно аксиоме А₁ через эти 3 точки проходит пл a. Т.к. 2 точки прямой РиН лежат в пл a., то по аксиоме А₂ пл a.проходит через прямую а.Единственность пл, проходящай через прямую а и т М, => из того, что любая пл., проходящая через пр а и т М, проходит через т М, Р и Н .=>, она совпадает с пл a., т.к по аксиоме А₁через 3 точки проходит только одна плоскость.

Билет № 13

1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры)

2. Теорема о боковой поверхности призмы.

1. Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется прямоугольник, если его боковые ребра ^к основанию, а основания представляют собой прямоугольники: коробки,

ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁.Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁a боковые ребра АА₁, ВВ₁, СС₁и DD₁ ^к основаниям. Отсюда=>, что АА₁^АВ, т. е. боковая граyь АА₁В₁В — прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали следующее свойство прямоугольного параллелепипеда:

1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники. Полупл, в кот расположены смежные грани парал-

да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами параллелепипеда.

2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.

Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного парал-да. Например, у парал­-да, можно взять длины ребер АВ, AD и АА₁.Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно сказать, что квадрат диагонали, прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.

2. Теорема:S боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Д-во. Боковая поверхность прямой призмы – прямоугольники , основания которых- стороны основания призмы, а высота равна h призмы. S боковой поверхности призмы равна сумме произведений указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания нв высоту h. Вынося множитель h за скобки получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е его периметр P. Итак S_бок=Ph

S=AB•h+BC•h+CA•h=h(AB+BC+CA)=Ph

Билет № 14

1. Пирамида(формулировка , примеры)

2. Существование прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.

1. Пирамида. Рассмотриммногоугольник А₁А₂…Аn и точку Р не лежащую в плоскости этого многоугольника . Соединив т. Р отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников РА₁А₁, РА₂А₃…,РаnА₁.

Многоугольник, составленный из n –угольника А₁А₂…Аn и n тре-угольников , называетсяпирамидой. Многоугольник А₁А₂…А_n назы-вается основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды. Т.Р называется вершиной пирамиды , а отрезки РА₁,РА₂, …, РАn– её боковыми ребрами . Пирамиду с основанием А₁А₂,…Аn и вершиной Р обозначают так: РА₁А₂…Аn –и называют n –угольной пирамидой. Треугольная пирамида называется тетраэдр. Перпендикуляр , проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания , называют высотойпирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамидыназывают сумму площадей её граней , а площадью боковой поверх-ности– сумму площадей её боковых граней

2. Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д-во. Рассмотрим прямую aи т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит

пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая через т М параллельно пря­мой а. Теорема доказана.

Билет № 15

1. Цилиндр (формулировки и примеры)

2. Признак параллельных прямых.

1. Цилиндр. Рассмотрим две параллельные плоскостиα и β и окружность L с центром О радиуса r , расположенную в пл α. Отрезки прямых заключенных между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности По построению концов образующих расположенных в пл β заполним окружность

L_1. Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L₁ , называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги - основаниями цилиндра . Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра , прямая ОО₁- осью цилиндра.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Сечение цилиндра , проходящее через ось , представляет собой прямоугольник , две стороны которого образующие , а 2 другие –диаметры оснований цилиндра , такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость ⊥к оси цилиндра , то сечение является кругом. Цилиндры так же могут быть и наклонными или иметь в своем основании параболу .

Параллельность прямых а и bобозначается так: а||b. Докажем теорему о параллельных прямых.

Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д-во. Рассмотрим прямую aи т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит

пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая через т М параллельно пря­мой а. Теорема доказана.

Билет №16

1. Конус (формулировки и примеры)

2. Признак параллельности прямой и плоскости

1.Конус. Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР , перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим с отрезом в т. Р Поверхность, образованная этими отрезками называется конической поверхностью

а сами отрезки – образующими конической поверхности. Тело, ограниченное конической поверхностью и круг-ом с границей L, называется конусом .Коническая по-верх называется боковой поверхностью конуса, а круг - снованием конуса . Т.Р называется вершиной конуса , а образующие конической поверхности – образующими конуса. Все образующие равны друг другу . ОР , прохо-дящая через центр основания и вершину , называется Осью конуса . Ось конуса ⊥ к плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.

Конус можно получить и вращением прямоуголь-ным треугольником вокруг одного из его катетов. При этом боковая поверхность образуется с помо-щью гипотенузы. Рассмотрим сечения конуса. Если секущая ось проходит через ось , то сечение пред-ставляет собой треугольник , и называется осевым сечением. Если секущая плоскость ⊥к оси ОР конуса, о сечене пред-ставляет собой круг с центром в т.О₁ , расположенным на оси конуса. R₁этогокруга равен ^РО1/_РОr , где r- радиус основания конуса , что легко усмотреть из подобия△РОМ∾△РО₁М₁

2.Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема.Если прямая , не лежащая в даннойц плоскости, палаллльна какой-нибудь прямой , лежащей в этой плоскости, то она параллнльна данной плоскости.

Д-во. Рассмотрим пл.αи 2║прямые a и b , расположенные так, что прямая b лежит в пл α, а прямая a не лежит в этой пл. Докажем, что α║a. Допустим, что это не так, тогда прямая a пересекает пл α , а значит по лемме о пересечении пл параллельными прямыми пр b так же пересекает пл α . Но это невозможно , так как пр b лежит в пл α. Итак пр a не пересекает пл α, поэтому она ║этой плоскости.

Билет № 17

1. Сфера, шар( формулировки, примеры)

2. Признак параллельности плоскостей.

Определение.Сферой называется поверхность, состоящая из всех точен. пространства, расположенных на данном расстоянии or данной точки

Данная точка называется центром сферы (т О), а данное расстояние — радиусом сферы. Радиус сфе­ры часто обозначают буквой R Люб-ой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы.Отрезок, соединяю­щий две точки сферы и проходящий через ее центр, называет­ся диаметром сферы. Очеви-дно, диаметр сферы равен 2R Отметим, что сфера может быть полу-чена вращением полуокружности вокруг ее диаметра Тело, ограни-ченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, кот. Расположены от точки О на расстоянии, не превышающем H(вклю-чая и точку О), и не содержит других точек.

2.Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, другой плоскости, то эти плоскости праллельны.

Д-во. Рассмотрим две плоскости α и β. В плоскости αлежат пересека-ющиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости β — прямые a₁и b,причем a||a₁и b||b₁. Докажвм, что a||b. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости a||β и b||β.Допустим, что плоскости α и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость a проходит через прямую а, па-раллельную плоскости β, и пересекает плоскость по прямой с. Отсюда следует, что a||с.

Но плоскость a проходит также через прямую b, параллель­ную плоскости β. Поэтому b||c. Т.о, через т М проходят две прямые a и b, параллельные прямой с. Но это невозможно, т.к по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с.Значит, наше допущение неверно и α|| β. Теорема доказана.

Билет № 18

1.Формула прямоугольногопараллелепипеда. (формулировка и пример)

2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости( доказательство одного из них)

2. Определение.Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости.

Теорема.Если одна из 2-ух параллельных прямых перпендикуляр-на к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плос-кости.

Д-во. Рассмотрим 2 ║а и а₁ и пл α, такую, что а^α. Докажем, что и а₁^α.. проведем какую-нибудь прямую х в пл α. Так как а^α, то а^х. По лемме о перпендикулярности 2-ух параллельных прямых к третьей а₁^х. Т.о. прямая а₁ ^ к любой прямой , лежащей в пл a т.е а₁^α.

Теорема. Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости , то они параллельны.

Билет №20

1. Фрмула обьема шара( формула примеры)

2. Теорема о трех перпендикулярах

1.Теорема: Объем шара радиуса R равен ⁴/₃pR³

Д-во: Рассмотрим шар радиуса R с центром в т.О и выберем ост Ох произвольным образом. Сечение шара пл. ^к оси Ох и проходящей через т М этой оси является кругом с центром в т М. Обозничим радиус этого круга r , а его площадь S(x), где х- абсц-исса т М. Выразим S(х)через х и R.Из прямоуголь-ника ОМС находим: r=ÖOC² –OM^{2 =}ÖR²-x².Так как S(x)=pR² ,то S(x)= p(R²- x²). Заметим , что эта фор-мула верна для любого положения т.М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию -R£ x £R. Примеряя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим

2.Теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Д-во. Дана пл α и перпендикуляр АН , АМ- наклонная, а- прямая, проведенная в пл α через т м^ к проекции НМ наклонной. Докажем , что а ^АМ. Рассотрим пл АМН. Пр.а ^к этой пл, т.к она ^ к 2-ум пересекающимся прямым АН и МН(а ^ НМ по условию и а ^АН, т.к. АН^ α). Отсюда =>, что пр а ^ к любой прямой , лежащей в пл АМН, в частности а^АМ

Обратная теорема.Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней перпендикулярна и к её проекции