Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

Формулы сокращенного умножения

(а ± в)² = а²± 2ав + в²

(а ± в)³ = а³± 3а²в + 3ав²± в³

а²- в² = (а + в) (а - в)

а³ + в³ = (а + в) (а²- ав + в²)

а³- в³ = (а - в) (а² + ав + в²)

(а + в + с)² = а² + в² + с² +2ав +2ас +2вс

Степени.

а^м а^н = а^{м + н}

а^м: а^н = а^{м - н}

(ав)^м = а^м в^м

(а^м)^н = а^мн

(а : в)^м = а^м: в^м

а^{- м} = 1 : а^м

а^{м : н} = ^нÖ а^м

Корни.

^нÖав =^нÖа ^нÖв

^нÖа ^мÖв = ^{н м}Öа^м в^н

^нÖа : в = ^нÖа :^нÖв

(^нÖа^м)^х = ^нÖа^{м х}

^нÖа^м = а^м/н

^мÖ^нÖа = ^мнÖа

(^нÖа)^м = ^нÖа^м

Арифметическая прогрессия.

а₁, а₂, а₃, …, а_n-1, а_n

а_n-1 - а_n= d

d – разность прогрессии

а₂ = а₁+ d

а₃ = а₂ + d = а₁ + 2d

а_n= а₁ + d(n-1)

Sn = (а₁ + а_n) n = (2а₁ + ( n-1) d) n

2 2

Sn – сумма членов арифметической

прогрессии.

d – разность прогрессии.

d > 0 – прогрессия возрастающая

d < 0 – прогрессия убывающая.

Геометрическая прогрессия.

а₁, а₂, а₃, …, а_n-1, а_n

а_n+1 / а_n= q

а₂ = а₁ q

q - знаменатель прогрессии.

а₃ = а₂ q = а₁ q²

а_n= а₁q^n-1

Сумма членов для возрастающей

прогрессии (q > 1)

Sn = а_nq - а₁ = а₁ (qⁿ -1 : q – 1)

q – 1

Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1)

Sn = а₁ (1 - qⁿ)

1 - q

Сумма членов бесконечно убывающей

Прогрессии

Sn = а₁

1 - q

Вектора.

а = М₁М₂ ={х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂ –z₁}

Длина вектора

çа ç=Ö(х₂ - х₁)² +(у₂ - у₁)² + (z₂ - z₁)²

Умножение вектора на число

a а = d

Скалярное произведение векторов

а в = çа ççв çcosj

cosj = х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂

Öх₁² + у₁² +z₁²Öх₂² +у₂² + z₂²

а² = çа ç²

а в = х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂

Параллельность векторов

а ççв, то х₁ = у₁ = z₁

х₂у₂ z₂

Перпендикулярность векторов

а ^ в, то х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂

Производная.

(c u)¢ = с u¢

u ¢ = u¢ v – u v¢

v v²

(c)¢ = 0

(xⁿ )¢ = n x^n-1

(a^x)¢= a^x ln a

(е^х)¢ =е^х

(sin x)¢ = cos x

(cos x)¢ = - sin x

(tg x)¢ = 1

cos² x

(ctg x)¢ = - 1

sin² x

(ln x)¢ = 1

х

(1 / х)¢ = - 1

х²

(Öх)¢ = 1

2 Öх

(х)¢ = 1

Логарифмы.

log_ав = с

log_а 1 = 0

log_а а = 1

log_а (mn) = log_а m + log_а n

log_а m = log_а m - log_а n

n

log_а mⁿ = nlog_а m

log_а ⁿÖm = 1 log_а m

n

log_ав = log_св

log_с а

Основные тригонометрические тождества

sin²x + cos²x = 1

tg x = sin x

cos x

ctg x = cos x

sin x

1 + ctg² x = 1

sin² x

1 + tg² x = 1

cos² x

tg x ctg x = 1

Формулы сложения и вычитания

sin (a±b) = sina cosb± cosa sinb

cos (a±b) = cosa cosb± sina sinb

tg (a±b) = (tga± tgb)

(1 + tga tgb)

ctg (a±b) = ctga ctgb+ 1

ctgb±ctga

sina + sinb = 2 sin (a + b) cos (a-b)

2 2

sina- sinb = 2 cos (a + b) sin (a-b)

2 2

cosa + cosb = 2 cos (a + b) cos (a-b)

2 2

cosa- cosb = - 2 sin (a + b) sin (a-b)

2 2

tga± tgb = sin (a±b)

cosa cosb

ctga± ctgb = sin (b±a)

sina sinb

sin²a- sin²b = cos²b- cos²a =

sin (a + b) sin (a-b)

cos²a- sin²b = cos²b- sin²a =

cos (a + b) cos (a-b)

Связь между тригонометрическими функциями

sina = ±Ö1 - cos²a

sina = tga

±Ö1 + tg²a

sina = 1

±Ö1 + ctg²a

cosa = ±Ö1 - sin²a

cosa = 1

±Ö1 + tg²a

cosa = ctga

±Ö1 + ctg²a

tga = sina

±Ö1 - sin²a

tga = ±Ö1 - cos²a

cosa

tga = 1

ctga

ctga = ±Ö1 - sin²a

sina

ctga = cosa

±Ö1 - cos²a

ctga = 1

tga

Формулы преобразования произведения

sina sinb = cos (a-b) - cos (a + b)

2

cosa cosb = cos (a-b) + cos (a + b)

2

sina cosb = sin (a + b) + sin (a-b)

2

tga tgb = tga + tgb

ctga + ctgb

ctga tgb = ctga + tgb

tga + ctgb

ctga ctgb = ctga + ctgb

tga + tgb

Формулы двойных углов

sin2a = 2 sina cosa

sina = 2 sin (a) cos (a)

cos2a = cos²a- sin²a =

= 1 - 2sin²a =

= 2cos²a- 1

tg2a = 2 tga

1 - tg²a

= 2

ctga- tga

tga = 2 tg (a/2)

1 - tg² (a/2)

ctg2a = ctg²a- 1

2 ctga

= ctga- tga

2

ctga = ctg² (a/2) - 1

2 ctg (a/2)

sin x = a

x = (-1)ⁿ arksin a + pn

cos x = a

x = ± arkcos a + 2pn

tg x = a

x = arktg a + pn

ctg x = a

x = arkctg a + pn

Формулы приведения

sin (p /2 -a) = + cosa

sin (p /2 + a) = + cosa

sin (p-a) = + sina

sin (p + a) = - sina

sin (3p/2 -a) = - cosa

sin (3p /2 + a) = - cosa

sin (2p-a) = - sina

sin (2p + a) = + sina

----------------

cos (p/2 -a) = + sina

cos (p/2 + a) = - sina

cos (p-a) = - cosa

cos (p + a) = - cosa

cos (3p/2 -a) = - sina

cos (3p/2 + a) = + sina

cos (2p-a) = + cosa

cos (2p + a) = + cosa

-----------------

tg (p/2 -a) = + ctga

tg (p/2 + a) = - ctga

tg (p-a) = - tga

tg (p + a) = + tga

tg (3p/2 -a) = + ctga

tg (3p/2 + a) = - ctga

tg (2p-a) = - tga

tg (2p + a) = + tga

-------------

ctg (p/2 -a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (p-a) = - ctga

ctg (p + a) = + ctga

ctg (3p/2 -a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (2p-a) = - ctga

ctg (2p + a) = + ctga

sin (-a) = - sina

cos (-a) = cosa

tg (-a) = - tga

В прямоугольном треугольнике

a² + b² = c²

a = c sina

a = b tga

b = c cosa

теорема синусов:

a = b = c

sina sinb sing

теорема косинусов:

a² = b² + c² - 2 bc cosa

S = ½ ab

Площади фигур

Прямоугольник

S = a b = ½ d₁ d₂ sina,

d₁ и d₂ - диагонали

a - угол пересечения диагоналей

Параллелограмм

S = a h = a b sina

S = ½ d₁ d₂ sina

Трапеция

S = a + b h = ½ d₁ d₂ sina

2

Круг

S = l r = p r²

2

ТРЕУГОЛЬНИК

S = ½ ah = ½ ab sina

Формула Герона:

S = Ö p (p - a) (p - b) (p - c)

p = a +b + c

2

Площадь треугольника описанного окружностью:

S = a b c

4r

Площадь треугольника с вписанной окружностью:

S = ½ r P

где Р – периметр

радиус описанной окружности:

R = a b c

4S

радиус вписанной окружности:

r = 2S

a + b + c

длина окружности:

l = 2pr

Квадрат

S = a² = d²/2

Ромб

S = a² sina = ah = ½ dD

где d - малая диагональ

D - большая диагональ

Объемы тел:

Параллелепипед

V = S_оснh

Куб

V = abc = a³

Призма

V = S_оснh = S_^сечl

l - грань призмы

Пирамида

V = 1/3 S_оснh

Цилиндр

V = S_оснh = pr² h = 1/4pd²h

r - радиус основания

d - диаметр основания

Конус

V = 1/3 S_оснh = 1/3 pr²h

Шар

V = 4/3 pr³

Площади поверхностей

Призма

S_п = S_бок + 2S_осн

S_бок = ph = S_^сеч l

p = a + b +c

Куб

S_п = 6a²

Пирамида четырехугольная

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = ½ P_оснh

h – высота боковой грани

Пирамида треугольная

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = S_оснcosj

j - угол наклона грани

Цилиндр

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = 2prh

S_осн = 2pr (h + r)

Конус

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = prl

S_осн = pr (l + r)

Параллелепипед

S_п = S_бок + 2S_осн

S_бок = P_оснl

Шар

S = 4 pr²

Значения углов

a 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p

sin 0 ½ Ö2/2 Ö3/2 1 0

cos 1 Ö3/2 Ö2/2 ½ 0 -1

tg 0 1/Ö3 1 Ö3 - 0

ctg - Ö3 1 1/Ö3 0 -