Алгебра

˛˜¯—˘ ˝¨¯

6 ª º ß 3

6.1 ˚ º ª º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

6.2 º ŁŁ æ æ Œ . ` . ı ˆ 6

6.3 ˜ ºŁ æ ª º . ˝˛˜ Ł ˝˛˚ . . . . . . . . . . . . 9

6.4 ˝ Ł Ł æ . ˚ Ł æŒ º Ł . ˚ æ . . 20

6.5 ˇ Ł Ł Œ æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.6 ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.7 ª º ß Łæº ß Ł º Ł . . . . . . . . . . . . . 32

7 ˛æ ß ºª Æ Ł æŒŁ æ Œ ß 36

8 ¸Ł Ø ß æ æ 37

8.1 ˇ Ł ºŁ Ø ª æ æ . . . . . . . . . . . . . . . 37

8.2 ` Łæ ºŁ Ø ª æ æ . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8.3 ¨ Ł ºŁ Ø ßı æ æ . . . . . . . . . . . . . 43

8.4 ˇ ı ª Æ Łæ Œ ª . Ł ı . . 47

8.5 ¸Ł Ø ß æ æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9 ¸Ł Ø ß ß ºŁ Ø æ æ 58

9.1 ˇ æ æ Ł ºª Æ ºŁ Ø ßı . . . . . . . 58

9.2 Ł ºŁ Ø ª Œ ºŁ Ø

æ æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9.3 — ª Ł Œ ºŁ Ø ª . . . . . . . . . . . . . 68

9.4 ˛Æ Ł æ ºŁ Ø ª . . . . . . . . . . . . . . 71

1

2 ˛˜¯—˘ ˝¨¯

9.5 Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß Ł ºŁ Ø ª -

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.6 Ææ ß Œ ß Ł æ Ææ ß Ł ºŁ Ø ª

Ł Ł ß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

ˆº 6

ª º ß

6.1 ˚ º ª º

ˇ æ k Œ ŁŒæŁ º .

˛ º Ł 6.1.1. ª º Ł æ ª x Œ º k ß æ º ß Ł Ł

,

ª x æŁ º Ł æ ª , α_i º ß º k, Ł æ ß

0, æ (∃ n ∈ N) (∀ i > n) α_i = 0.

´ º Øł ª º ß Æ Æ f(x), g(x), h(x), f₁(x), f₂(x),...ŁºŁ Œ f, g, h, f₁, f₂,...

(6.1)

¯æºŁ ª º (6.1), ª º Æ ß º ß Ł Æ 0.

˛ º Ł 6.1.2. º ª ß α_ixⁱ Æ ß º Ł ª -

º (6.1), º ß α_i Æ ß Œ Ł Ł Ł ª º

(6.1).

3

¯æºŁ ª º (6.1) ∀ i > n α_i = 0, Æ Łæ :

ŁºŁ f(x) = α₀ + α₁x + ··· + α_nxⁿ. (6.2)

i=0

˙ æ Ł ı ŁæŁ (6.1) Œ ŁæŁ (6.2) ß Łł α₀ æ α₀x⁰. ˇ Ł α₀ ß æ æ Æ ß º ª º f(x).

˛ º Ł 6.1.3. º ª ª º f_(x) ß æ ŁÆ º łŁØ ºŁ ª º Œ Ł Ł ª ª º .

˛Æ Ł degf(x) æ ª º f(x).

¯æºŁ ŁæŁ (6.2) α_n 6= 0, æ ª º f(x) n, æ degf(x) = n. ´ æº , α_nxⁿ ß æ æ łŁ º

ª º , α_n ß æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º .

æ æ ı ª º Ł æ ª x º k Æ -

æ k_[x] Ł ß æ Œ º ª º º k.

ˇ æ

.

˛ º Ł 6.1.4. ˜ ª º f(x),g(x) ∈ k[x] ß æ ß Ł, æºŁ ß æ Łı Œ Ł Ł ß Ł Ł Œ ßı æ ı x,

æ (∀ 0 6 i < ∞) α_i = β_i.

´ æ k_[x] ŁŁ: æº Ł Ł Ł -

ª º .

˛ º Ł 6.1.5. Ø ı ª º f Ł g ß æ -

ª º

.

ˇ Ł Ł ı ª º f Ł g ß æ ª º

, ª γi = X ανβµ.

νν,µ+µ>=0i

6.1. ˚ º ª º

˙ _Ł 6.1.1_. º º Ł , º ª , Æß

Ł ª º , æ Œ ßØ º ª ª º Ł Œ ßØ º ª ª º Ł Ł æ Ł Æß º ß.

˛ º Ł 6.1.5 Œ Œ æ ßæº , f _{+ g} Ł f _{· g} Øæ Łº Æ ª º Ł. Œ Œ Œ f Ł g ª º ß, (∃ _n ∈

∈ N) (∀ i > n) α_i = 0, β_i = 0. ª (∀ i > n) α_i + β_i = 0 ⇒ f + g

º æ ª º .

˜º f · g æ Ł γ_i,∀ i > 2n. Œ Œ Œ i = ν + µ, Ł æº Ł

i > 2n ⇒ ν > n ŁºŁ µ > n ⇒ α_ν = 0 ŁºŁ β_µ = 0 ⇒ γ_i = ^Pα_νβ_µ = 0 º i > 2n. , f · g º æ ª º . — ææ Ł æ æ Ł æ ß Ł Ł Ł ı ª º .

ˇ æ f 6= 0 Ł g 6= 0 ª º ß Ł k[x],

.

ˇ æ degf = n, æ α_n 6= 0, degg = m, æ β_m 6= 0. ˛Æ Ł

N = max(n,m).

— ææ Ł

æ , . º -

º , deg(f + g) 6 N. ˙ Ł , deg(f + g) 6 max(degf,degg). ˙ Œ

æ æ Łª æ , Ł , Ł n 6_{= m}.

— ææ Ł

ª γi = X ανβµ.

νν,µ+µ>=0i

¯æºŁ i > n + m, ν > n ŁºŁ µ > m ⇒ α_ν = 0 ŁºŁ β_µ = 0 ⇒ γ_i = 0.

ˇ º degf · g 6 n + m. ˙ Ł , degf · g 6 degf + degg.

æ Ł

.

Œ Œ Œ α_n 6= 0 Ł β_m 6= 0, α_nβ_m 6= 0. ´ æº γ_n+m 6= 0 Ł

degf · g = degf + degg.

6.2 º ŁŁ æ æ Œ . ` . ı ˆ

¯˛—¯ 6.2.1 ( º ŁŁ æ æ Œ ). ˇ æ _k º , _f Ł g ∈ k[x], Ł g 6= 0. ª æ ø æ Ł æ ª -

º q,r ∈ k[x] Œ ,

1) f = gq + r;

2) r = 0 (ŁºŁ r 6= 0,degr < degg).

˜ Œ º æ . I) ø æ Ł ª º q Ł r.

) ˇ æ f = 0 (ŁºŁ f 6= 0,degf < degg). ´ æº Łæ f = 0 · g + f,(q = 0, r = f). æº Ł 1) Ł 2) ß º ß.

Æ) f 6= 0 Ł degf > degg. ˇ æ

f = α_nxⁿ + ... + α₀, α_n 6= 0, g = β_mx^m + ... + β₀, β_m 6= 0.

degf = n, degg = m, n > m. ˇ æ Ł ª º

(1)

ª º f1 æ Œ, Æß Ł Ł f. ¨ f1 = 0 ŁºŁ f1 6= 0 Ł degf1 = n1 < n.	æ	łŁØ º	ª	º
¯æºŁ n1 < m, ææ æ Ł ª	º	Œ	Ł	. ¯æ-

ºŁ n₁ > m, , Æ æ łŁØ Œ Ł Ł f₁, æ Ł

ª º

(2)

6.2. º ŁŁ æ æ Œ . ` . ı ˆ ˛ ª º f₂ æ Ł æ ŒŁ Æ , Æß Ł Ł æ -

łŁØ º ª º f₁. ¨ f₂ = 0 ŁºŁ f₂ 6= 0 Ł degf₂ = n₂ < n₁.

¯æºŁ n_{2 < m}, ææ æ Ł ª º Œ Ł . ¯æºŁ n₂ > m, º Ł . .

˙ Ł , æ Ł ª º f, f₁, f₂, f₃,... Æ æ ª

Æß ø æº º æ º ßı Łæ º, ª Œ Œ -

º Ł n > n₁ > n₂ > ... > n_s, ª n_s < m.

(s)

ª f_s = 0 ŁºŁ f_s 6= 0 Ł degf_s = n_s < m.

º Ł º æ æ (1),(2),...,(s), º Ł

˛Æ Ł f_{s r}, æ Ł æŒ ÆŒŁ q. ˇ º Ł r _{= fs} −

− qg ⇒ f = qg + r, æ º ŁºŁ æ 1), ª r = 0 ∨ (r 6=

6= 0 ∧ degr < degg) æº Ł 2).

II) ¯ Ł æ æ q Ł r.

˜ æ Ł , æ Ø ª º q Ł r, æ º ßı æ Ł I), æ ø æ ª ª º qŁ r, º ø

æº Ł 1) Ł 2), æ f = qg + r Ł r = 0 ∨ (r = 06 ∧ degr < degg).

¨

qg + r = qg + r ⇒ (q − q)g = r − r. (∗) ˇ Œ , q − q = 0. ˜ æ Ł Ł , æ q − q 6= 0. ˇ æ α _{6= 0} æ łŁØ Œ Ł Ł ª ª º , ª æ łŁØ Œ -

Ł Ł ª º (q−q)g Æ αβ_m 6= 0. ¯æºŁ Æß αβ_m = 0, α = 0.

˙ Ł deg(q − q)g = deg(q − q) + degg > degg.

ª Ø æ ß r − r = 0 ŁºŁ r − r 6= 0,deg(r − r) < degg. ß

º ŁºŁ, æ (_∗) æº æ Ł ª º , æ Œ ª ł deg_g, æ æ Ł º Ø ª º ŁºŁ ª º , æ Œ ª ł deg_g. Ł æ Ł Ł . ˛ º Ł 6.2.1. ´ Æ Ł ı ß 6.2.1 ª º ß q Ł r ß æ æ æ º ß æ ß Ł æ Œ º Ł

ª º f ª º g.

¯˛—¯ 6.2.2 (` ). ˛æ Œ º Ł ª º _f(x) x − γ Ł ª º f(x) Ł x = γ, æ f(γ).

˜ Œ º æ . ˇ æ f(x) = q(x)(x − γ) + r(x), r(x) = 0 ∨ (r(x) 6= 6= 0 ∧ degr(x) < 1). ˇ º r(x) = 0 ∨ degr(x) = 0, º Æ æº

r(x) = r ∈ k.

ˇ æ q(x) = β₀ +β₁x+...+β_sx^s, ª f(x) = q(x)·x−q(x)γ +r =

= β₀x + β₁x² + ... + β_sx^s+1 − β₀γ − β₁xγ − ... − β_sx^sγ + r.

æ Ł f(γ) = β₀γ+β₁γ²+...+β_sγ^s+1−β₀γ−β₁γ²−...+β_sγ^s+1+r =

= r. ŒŁ Æ , r = f(γ).

ˇ æ º Ł æ º Ł ª º f(x) (x − γ) Œ ß Ø æı ˆ .

ˇ æ f(x) = α₀xⁿ + α₁xⁿ⁻¹ + ... + α_n,α₀ 6= 0. — ºŁ f(x)

(x − γ) æ æ Œ , º Ł f(x) = q(x)(x − γ) + r. ª º q(x)

Æ ŁæŒ Ł q(x) = β₀xⁿ⁻¹ + β₁xⁿ⁻² + ... + β_n−1. ˝ ł Ø Ł Œ Ł Ł ß β₀,β₁,...,β_n−1 Ł æ Œ r.

ˇ æ Ł æ ł Ł æ q_(x) Ł f_(x) Łı Ł . ¨ , . ˜

ª º	ß ª Ł º Œ ª	, Œ ª ß Łı Œ Ł Ł	ß
Ł æ	æ øŁı æ ı.	Ł Œ Ł Ł ß.
xn : α0 = β0	⇒ β0 = α0;
xn−1 : α1 = β1 − β0γ	⇒ β1 = β0γ + α1;
xn−2 : α2 = β2 − β1γ ...	⇒ β2 = β1γ + α2;
x1 : αn−1 = βn−1 − βn−2γ	⇒ βn−1 = βn−2γ + αn−1;
x0 : αn = r − βn−1γ	⇒ r = βn−1γ + αn.

ŒŁ Æ Ł , Œ Ł Ł ß º ª æ ª Ł æ -

Œ ı æ æ ø Ł ßı ß Łæº ŁØ, Ł , Æß Ø-

Ł β_k = β_k−1γ+α_k. Ł ß Łæº Ł Æ Łæß Ł æº ø Ø æı ß ˆ .

α0	α1	α2	...	αn−1	αn
γ	α0	β0γ + α1	β1γ + α2	...	βn−2γ + αn−1	βn−1γ + αn
||	||	||	||	||
β0	β1	β2	...	βn−1	r = f(γ)

ˇ Ł : f(x) = x⁵ − 2x⁴ + 3x³ − 4x² + x − 1. ˝ Ø f(4).

1	−2	3	−4	1	−1
4	1	2	11	40	161	643

f(4) = 643, f(x) = (x⁴ + 2x³ + 11x² + 40x + 161)(x − 4) + 643.

6.3 ˜ ºŁ æ ª º . ˝ ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º Ł Ł ł Æø Œ

˛ º Ł 6.3.1. ˆ , ª º f_(x) ºŁ æ ª -

º g(x) 6= 0 ŁºŁ, ª º g(x) ºŁ ª º f(x) ŁºŁ,

ª º g_(x) º æ ºŁ º ª º f_(x) ŁºŁ, ª º f_(x) Œ ª º g_(x), æºŁ æ ø æ Œ Ø ª º q_(x),

f(x) = q(x) · g(x).

˛ º Ł 6.3.2. ˆ , ª º f_(x) ºŁ æ ª º

g(x) 6= 0, æºŁ æ Œ º Ł f(x) g(x) º .

, ª º g(x) ºŁ f(x) Æ æ Œ Œ g|f.

˛ º Ł 6.3.3. ˜ º ßı ª º f_(x) Ł g_(x) ß æ ææ ŁŁ ß Ł f _{∼ g}, æºŁ Ł ºŁ æ ª ª Ł º ß º Ø Œ æ , æ f = αg, α ∈ k^∗ = k{0}.

Øæ ºŁ æ Ł

1. (∀ f 6= 0) f|f.

2. (∀ g 6= 0) g|0.

3. ˜ º ßı ª º ææ ŁŁ ß ª Ł º Œ ª ,

Œ ª Ł º	ª ª , æ f ∼ g ⇔ f|g Ł g|f.
4. ¯æºŁ h|g, g|f,	h|f ( Ł Ł æ ).
5. ¯æºŁ h|g, h|f,	(∀ u,v ∈ k[x]) h|(ug + vf).
6. ˜ ºŁ º Ł	º ßı Œ æ ª Æß º Œ	º	ß Œ	-

æ ß, æ æºŁ g|f Ł degf = 0, degg = 0.

7. ˝ º Œ æ ºŁ º Ø ª º , æ æºŁ

degg = 0, (∀ f) g|f.

8. ¯æºŁ g|f Ł f 6= 0, degg 6 degf, Ł Œ æ æ Łª æ ª Ł º Œ ª , Œ ª g _{∼ f}.

9. ˛ ł Ł ºŁ æ Ł, æ ł Ł Œº ææ Ł ææ ŁŁ -

ßı ª º , æ æºŁ g|f, g₁ ∼ g, f₁ ∼ f, g₁|f₁.

˜ Œ º æ . 1) f(x) = 1 · f(x), æ f|f Ł q(x) = 1.

2) 0 = 0 · g(x), æ g|0 Ł q(x) = 0.

3) ) ˝ Æı Ł æ .

ˇ æ f ∼ g, ª f = αg, ª α ∈ k^∗, æ g|f Ł q = α. Œ Œ Œ

α 6= 0, g = α⁻¹f, æ f|g Ł q = α⁻¹.

b) ˜ æ æ .

ˇ æ g|f Ł f|g. ¨ , f = qg, g = q₁f, æº º f = q(q₁f), æ (1−qq₁)f = 0. Œ Œ Œ f 6= 0, 1−qq₁ = 0, æ qq₁ = 1. ˙ Ł degqq₁ = 0 ⇒ degq + degq₁ = 0 ⇒ degq = degq₁ = 0, æº º q Ł q₁ Œ æ ß. ¨ f = qg, ª q ∈ k^∗ ⇒ f ∼ g.

4) ¨ g = qh, f = q₁g. ª f = q₁(qh) = (q₁q)h ⇒ h|f.

5) ¨ g = qh, f = q₁h. ª ug = uqh, vf = vq₁h. — ææ Ł

ug + vf = (uq + vq₁)h ⇒ h|(ug + vf).

6) ¨ degf = 0 Ł f = qg ⇒ degf = degq + degg = 0 ⇒ degq = = degg = 0, æ q Ł g Œ æ ß.

7) Œ Œ Œ degg = 0, g ∈ k^∗, æ ø æ g⁻¹ ∈ k^∗. ª

f = (fg⁻¹)g ⇒ g|f.

8) ¨ f = qg ⇒ degf = degg + degq ⇒ degf > degg. ´Ł ,

Œ æ Æ ß º æ ª = 0 ⇒ q ∈ k∗ ⇔ f ∼ g.	Ł º Œ ª	, Œ ª degq =
9) ¨ f = qg, g = αq1, f = βf1, ª	α,β ∈ k∗. ª	βf1 = qαg1 ⇒

⇒ f₁ = (β⁻¹qα)g₁ ⇒ g₁|f₁.

´ º Øł Æ ææ Ł Œ	æŁæ ª	º
{f1,f2,...,fs}, æ Ł Œ ßı Œ Ø Ø º .	Ł ª º	ºŁ
˛ º Ł 6.3.4. ª º d ß	æ	ÆøŁ ºŁ º	æŁæ -
ß ª º {f1,f2,...,fs}, æºŁ æŁæ ß, æ (∀ 1 6 i 6 s) d|fi.	ºŁ	æ ª º ß	Ø
¯˛—¯ 6.3.1 ( æŁº ßı	æº	Ł ı, º	øŁı
˝˛˜). ˇ æ {f1,f2,...,fs} æŁæ	ª	º , æ Ł Œ	ßı
Œ Ø Ø Ł ª º ºŁ	º , Ł d Œ	ßØ
º Ø ª º (d 6= 0). — æŁº Ł :	ß æº	øŁ	-
1) æ Œ æ ºŁ º Ø ª º	d æ	æ æ Œ	æ
ÆøŁı ºŁ º Ø æŁæ ß ª º	{f1,f2,...,fs};
2) ª º d º æ ÆøŁ ºŁ	º æŁæ ß ª		º

{f₁,f₂,...,f_s}, Œ ßØ ºŁ æ º Æ Ø ª Ø ÆøŁØ ºŁ º Ø æŁæ ß.

˜ Œ º æ . 1) ⇒ 2)

Œ Œ Œ æ Ł ºŁ º Ø ª º d ı Ł æ æ ª º d, æº Ł 1), d º æ ÆøŁ ºŁ º {f₁,f₂,...,f_s}.

ˇ æ d⁰ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {f₁,f₂,...,f_s}, ª

æº Ł 1) d⁰ æ æ Ł Ł ºŁ º Ø ª º d, æ d

ºŁ æ d⁰.

2) ⇒ 1)

´ß º Ł æº Ł 1) æ Ł ł ª . ) ˇ æ d⁰ º Æ Ø ºŁ º ª º d. ¨ d⁰_|d, æº Ł

2) (∀ 1 6 i 6 s) d|f_i ⇒ (∀ 1 6 i 6 s) d⁰|f_i, æ d⁰ º æ ÆøŁ

ºŁ º æŁæ ß ª º {f₁,f₂,...,f_s}.

Æ) ˛Æ . ˇ æ d⁰ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º æŁæ ß ª º

{f₁,f₂,...,f_s}. ª æº Ł 2) ª º d ºŁ æ d⁰, æ d⁰ º æ ºŁ º ª º d.

˛ º Ł 6.3.5. ˝ ŁÆ º łŁ ÆøŁ ºŁ º (˝˛˜) æŁæ ß

ª º {f₁,f₂,...,f_s}, ß æ º Æ Ø º Ø ª º d, º øŁØ º Æ Ł æŁº ßı æº ŁØ ß 6.3.1.

˛ º Ł 6.3.6. ˝˛˜ æŁæ ß ª º ß æ Œ Ø ÆøŁØ ºŁ º Ø æŁæ ß, Œ ßØ ºŁ æ º Æ Ø ª Ø ÆøŁØ ºŁ º Ø æŁæ ß ª º .

º _{æ Ł} 6.3.1.1_. ¯æºŁ ˝˛˜ æŁæ ß ª º æ ø æ ,

º æ æ ææ ŁŁ æ Ł.

˜ Œ º æ . ˇ æ d₁, d₂ ˝˛˜ æŁæ ß ª º

f₁,f₂,...,f_s, Æ ææ Ł d₁ Œ Œ ˝˛˜ æŁæ ß, d₂ Œ Œ ˛˜ æŁæ ß f₁,f₂,...,f_s. ª º Ł 6.3.6 d₂|d₁. ˇ º Ł d₁ Ł d₂, æ d₁ Æ ææ Ł Œ Œ ˛˜, d₂ Œ Œ ˝˛˜

æŁæ ß f₁,f₂,...,f_s. ˇ º Ł 6.3.6 d₁|d₂, ª 3 æ Øæ ºŁ æ Ł d₁ ∼ d₂.

´ ŁŒ æ æ ßØ æ: æ ø æ ºŁ ˝˛˜ æŁæ ß ª º {f₁,f₂,...,f_s}? ˛ æ º Ł º ßØ. Æ Ł æ æ º º æŁæ ß Ł 2-ı ª º . ß Œ æ ø æ Ł ˝˛˜ 2-ı ª º Ł Œ ºª Ł ª ı Ł .

ºª Ł ß æ ºª Ł ¯ ŒºŁ Ł æ æº º ª º Ł . ˇ æ f Ł g º ßı ª º , degf > degg. — ºŁ f g æ æ Œ , º Ł

f = q₁g + r₁, ª r₁ = 0 ŁºŁ (r₁ = 06 Ł degr₁ < degg).

¯æºŁ r_{1 = 0}, ææ º Ł Œ Ł æ . ¯æºŁ r₁ 6_{= 0}, ºŁ g r₁ æ æ Œ , º Ł

g = q₂r₁ + r₂, ª r₂ = 0 ŁºŁ (r₂ = 06 Ł degr₂ < degr₁).

¯æºŁ r_{2 = 0}, ææ º Ł Œ Ł æ . ¯æºŁ r₂ 6_{= 0}, ºŁ r₁ r₂ æ æ Œ , º Ł

r₁ = q₃r₂ + r₃, ª r₃ = 0 ŁºŁ (r₃ = 06 Ł degr₃ < degr₂).

¨ Œ º . ´ ŁŒ æ: ł ææ Œ ŁºŁ Æ æŒ ? ˙ Ł , æ Ł æ Œ Æ æ ª Æß ø æº -

º æ º ßı Łæ º, Ł degg > degr₁ > degr₂ > deg_{r3 > ...}, Œ Æß Æ æŒ Ø. ´ Œ Œ º -

Ł æ

rk−2 = qkrk−1 + rk;

rk−1 = qk+1rk,

ª r_k æº ŁØ ßØ º æ Œ ºª Ł ¯ ŒºŁ .

¯˛—¯ 6.3.2. ˝ ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º 2-ı º ßı ª -

º f Ł g æ ø æ Ł æº º æ Œ

ºª Ł ¯ ŒºŁ , Ł Œ ª º f Ł g.

˜ Œ º æ . ˙ Łł æ , º øŁ ºª Ł ¯ ŒºŁ

Œ ª º f Ł g

f = q₁g + r₁ ⇒ r₁ = f − q₁g; (1) g = q₂r₁ + r₂ ⇒ r₂ = g − q₂r₁; (2) r₁ = q₃r₂ + r₃ ⇒ r₃ = r₁ − q₃r₂; (3)

...

rk−2 = qkrk−1 + rk ⇒ rk = rk−2 − qkrk−1; (k)

rk−1 = qk+1rk. (k + 1) ¨ æº ª æ Ł , r_k|r_k−1.

¨ æ (k) Ł , r_k|r_k−2.

¨ æ (k − 1) Ł , r_k|r_k−3.

... rk|r2, rk|r1

¨ æ (2) Ł , r_k|_g.

¨ æ (1) Ł , r_k|_f.

º º r_k º æ ÆøŁ ºŁ º æŁæ ß ª º

{_f,g}. ˇ æ d º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {_f,g}, ª

Ł æ (1) Ł , d|_r1, Ł æ (2) Ł , d|_r2,

...

Ł æ (k) Ł , d|r_k, æ r_k ÆøŁØ ºŁ º {_f,g}, Œ ßØ ºŁ æ º Æ Ø ª Ø

ÆøŁØ ºŁ º {_f,g}. ª º Ł 6.3.6 r_k ˝˛˜ {_f,g}.

ø æ Ł ˝˛˜ º Æ Ø Œ Ø æŁæ ß ª º æ -

ºŁ æ æº ø Ø Ø, Œ Œ ª ı -

Ł .

¯˛—¯ 6.3.3 ( Œ º ). ˝˛˜ Œ Ø æŁæ -

ß ª º æ ø æ Ł Ł æ ºŁ æ ł Ł

HOD {f₁,f₂,...,f_s−1,f_s} = HOD {HOD {f₁,f₂,...,f_s−1},f_s}.

˜ Œ º æ . ˇ Ł Ł Ł æŒ Ø Ł Œ ŁŁ s. ¯æ-

ºŁ s _{= 2}, Ł ß Ł . ˇ º Ł ,

º (_{s − 1)} ª º , æ ß º ª æ , æ ø æ ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º d æŁæ ß ª º

{f₁,f₂,...,f_s−1}. ˛Æ Ł d¯ = HOD {d,f_s}. ¨ , d¯|d, d¯|f_s,

Œ ª (∀ 1 6 i 6 s − 1) d|f_i, ª Ł Ł æ Ł ºŁ-

æ Ł (∀ 1 6 i 6 s − 1) d¯|f_i, d¯|f_s, æº º d¯ º æ ÆøŁ ºŁ º {f₁,f₂,...,f_s−1,f_s}. ˇ æ d⁰ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º

{f₁,f₂,...,f_s−1,f_s}, ª (∀ 1 6 i 6 s − 1) d⁰|f_i Ł d⁰|f_s æº -

º d⁰ º æ ÆøŁ ºŁ º {f₁,f₂,...,f_s−1}. ª º Ł 6.3.6 d⁰|d. ŒŁ Æ d⁰|d, d⁰|f_s æº º d⁰ º æ ÆøŁ ºŁ º {_d,fs}. ª Ł º Ł 6.3.6 æº d⁰|_d^¯.

¨ Œ d¯ º æ ÆøŁ ºŁ º {f₁,f₂,...,f_s−1,f_s} Ł d¯ ºŁ æ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {f₁,f₂,...,f_s−1,f_s}. ª º Ł 6.3.6

d^¯= HOD {f₁,f₂,...,f_s−1,f_s}.

¯˛—¯ 6.3.4 (Œ Ł ŁØ ˝˛˜ æŁæ ß ª º ).

˜º ª Æß ª º d º ºæ ˝˛˜ æŁæ ß ª º

{f₁,f₂,...,f_s} Æı Ł Ł æ , Æß ª º d Æߺ

˛˜ Ø æŁæ ß Ł Æß ºŁ Ø ß ºæ Ł ª º -

ß, æ (∃ u₁,u₂,...,u_s,∈ k[x]) d = u₁f₁ + u₂f₂ + ... + u_sf_s.

˜ Œ º æ . 1) ˜ æ æ .

ˇ æ d º æ ˛˜ {f₁,f₂,...,f_s} Ł ∃ u₁,u₂,...,u_s ∈ k[x] d =

= u₁f₁+u₂f₂+...+u_sf_s. ˇ æ d⁰ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {f₁,f₂,...,f_s}.

, (∀ ₁ 6 i 6 s_{) d}⁰|_fi. ª 5 æ Øæ ºŁ-

æ Ł d⁰|(u₁f₁ + u₂f₂ + ... + u_sf_s), æ d⁰|d. ˇ º Ł 6.3.6 d = HOD {f₁,f₂,...,f_s}.

2)˝ Æı Ł æ .

ˇ æ d º æ				˝˛˜ {f1,f2,...,fs}.	ª	d	º	æ ˛˜
{f1,f2,...,fs}. ˛æ				æ Œ , d ºŁ	Ø	ß	æ
f1,f2,...,fs. æ Ł				Œ	Ł	æŒ Ø Ł	Œ ŁŁ.
ˇ æ	s = 2. ˛Æ Ł			f1 = f,f2 = g. ˙ Łł	æ	,	º -
ø	ºª	Ł	¯ ŒºŁ	.
f = q1g + r1;	(1)
g = q2r1 + r2; ...	(2)
rk−3 = qk−1rk−2 + rk−1;	(k − 1)
rk−2 = qkrk−1 + rk;	(k)
rk−1 = qk+1rk.	(k + 1)
¨	æ	,	˝˛˜ d	ª º {f,g}	rk. ¨		æ	(k) Ł -
,

d = rk−2 − qkrk−1 = rk−2 − qk(rk−3 − qk−1rk−2) =

= (1 + q_kq_k−1)r_k−2 − q_kr_k−3 = ... = ug + vf.

ˇ º Ł , Ł ß æ ºŁ º æŁæ ß, æ æ ø Ø Ł (_{s − 1)} ª º . ˜ Œ æ ºŁ æ º æŁæ , æ æ øŁı Ł s ª º . ˇ 6.3.3 ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º d æŁæ ß ª º {f₁,f₂,...,f_s} æ æ ˝˛˜

2-ı ª º {d₁,f_s}, ª d₁ ˝˛˜ {f₁,...f_s−1}. ˇ º Ł Ł Œ ŁŁ æ ø æ ª º ß v₁,...,v_s−1 ∈ k[x] ŒŁ ,

d₁ = v₁f₁ + v₂f₂ + ... + v_s−1f_s−1. Œ Œ Œ d º æ ˝˛˜ {d₁,f_s}, æ ø æ ª º ß w₁,w₂ ∈ k[x] ŒŁ , d = w₁d₁ +w₂f_s. ¨

d = w1v1f1 + ··· + w1vs−1fs−1 + w2fs = u1f1 + u2f2 + ... + usfs. ˛ º Ł 6.3.7. ª º ß æ Ł ß , æºŁ ª æ łŁØ Œ Ł Ł 1.

æ , Œ Œº ææ ææ ŁŁ ßı ª º æ ø æ

Ł ßØ ª º . ´ æ æ Ł æ Ł ˝˛˜ æŁæ ß ª º -

, Œ ß º æ æ æ ææ ŁŁ æ Ł, æ ø æ Ł æ ßØ Ł ßØ ˝˛˜. Ł ßØ ˝˛˜

Æ Æ (f₁,f₂,...,f_s).

˛ º Ł 6.3.8. Łæ ª º {f₁,f₂,...,f_s} ß æ Ł æ Ø æ Œ æ Ł, æºŁ Ł ßØ ˝˛˜

(f₁,f₂,...,f_s) = 1. ´ æº ı ª º ª , Ł Ł æ ß .

¯˛—¯ 6.3.5 (æ Øæ Ł æ ßı ª º ).

ºŁ ß æº øŁ Ł .

1. Łæ ª º {f₁,f₂,...,f_s} Ł æ æ Œ æ Ł ª Ł º Œ ª , Œ ª Œ Łı ºŁ Ø Œ ÆŁ -

Ł Ł Ł , æ (∃ u₁,...,u_s ∈ k[x]) u₁f₁+...+u_sf_s = 1;

2. ¯æºŁ;

3. ¯æºŁ (f,h) = 1 Ł (g,h) = 1, (fg,h) = 1;

4. ¯æºŁ h|fg Ł (h,g) = 1 , h|f;

5. ¯æºŁ h|f Ł g|f Ł (h,g) = 1, hg|f.

˜ Œ º æ . 1) ˇ º Ł 6.3.4 d = 1. æ , d -

º æ ˛˜ æŁæ ß {f₁,f₂ ...,f_s}, ª 6.3.4 d = 1 Æ

˝˛˜ {f1,f2 ...,fs} ª Ł º Œ ª , Œ ª æ ø æ ª º ß

u₁,u₂,...,u_s ∈ k[x] ŒŁ , u₁f₁ + ... + u_sf_s = 1.

2) Œ Œ Œ HOD{f₁,f₂ ...,f_s} = d, 6.3.4 æ ø æ

ª º ß u₁,u₂,...,u_s ∈ k[x] ŒŁ , d = u₁f₁+...+u_sf_s. — ºŁ

Æ æ Ł æ , Ł æ Øæ 1 æº ,

.

3) Œ Œ Œ (f,g) = 1, 6.3.4 ∃ u,v ∈ k[x] 1 = uf +

+ vh. Œ Œ Œ (g,h) = 1, (∃ u₁,v₁ ∈ k[x]) 1 = u₁g + v₁h. ˇ º

Ł Ł æ ł Ł . 1 = (uu₁)fg + (vu₁g + uv₁f + vv₁h)h. ˇ

æ Øæ 1 Ł ºŁ Ø Œ ÆŁ Ł ª º fg Ł h

Ł Ł , æº º (fg,h) = 1.

4) Œ Œ Œ (h,g) = 1, ∃ u,v ∈ k[x] uh + vg = 1. Ł Æ æ Ł ª æ f, º Ł uhf + vgf = f. Œ Œ Œ h|fg,

fg = qh, ª uhf + vqh = f ⇒ (uf + vq)h = f ⇒ h|f.

5) Œ Œ Œ h|f, f = qh. ¨ g|qh Ł (g,h) = 1, æ Øæ 4 º , g|q, æº º q = q₁g. ŒŁ Æ f = q₁gh ⇒

⇒ gh|f.

` ææ Ł æŁæ ª º {f₁,f₂,...,f_s},

Œ ßØ Ł Œ ßı º . ˜º ŒŁı æŁæ ª º Ł º -

Ł Ł Ł ł ª Æø ª Œ ª (˝˛˚) æı , º ªŁ Ø Ł Ł ˝˛˜.

˛ º Ł 6.3.9. ª º m ß æ ÆøŁ Œ ß æŁæ ß

ª º {f1,f2,...,fs}, Œ ßØ Ł Œ ßı ºŁ º , æºŁ ºŁ æ æ ª º ß Ø æŁæ ß, æ (∀ ₁ 6 i 6 s_{) fi}|_m.

¯˛—¯ 6.3.6. ˇ æ {f₁,f₂,...,f_s} æŁæ º ßı ª -

º Ł m 6= 0 ( Œ ßØ º Ø ª º ). — æŁº ß æº øŁ Ł :

1) æ Œ æ Œ ßı ª º m æ æ æ Œ æ

˛˚ æŁæ ß ª º {f₁,f₂,...,f_s};

2) ª º m º æ ˛˚ {f₁,f₂,...,f_s}, Œ ºŁ º Æ ª ˛˚ Ø æŁæ ß.

˛ º	Ł 6.3.10. ˝ Ł łŁ ÆøŁ Œ		ß (˝˛˚) æŁæ	ß
ª º	{f1,f2,...,fs} ß	æ º Æ Ø	º Ø ª º	m,
º	øŁØ º Æ Ł	æŁº ßı æº	ŁØ ß 6.3.6.
˛ º	Ł 6.3.11. ˝˛˚ æŁæ	ß ª º	ß æ Œ	Æ-
ø Œ	Ø æŁæ ß, Œ	ºŁ º Æ	ª Æø Œ
Ø æŁæ	ß ª º .
º æ Ł	6.3.6.1. ¯æºŁ ˝˛˚ æŁæ	ß ª º	æ ø æ ,
º	æ æ ææ ŁŁ	æ Ł.

¯˛—¯ 6.3.7. ¯æºŁ æ ø æ ˝˛˚ 2-ı º Æßı º ßı -

ª º , æ ø æ ˝˛˚ Ł º Æ Ø Œ Ø æŁæ ß ª º -

, Ł Ł æ æº ø Ł Œ Ł º :

HOK{f₁,f₂,...,f_s−1,f_s} = HOK{HOK{f₁,f₂,...,f_s−1},f_s}.

6.3.7 æ Ł ı Ł ˝˛˚ æŁæ ß ª º Œ ı Ł ˝˛˚ 2-ı ª º .

¯˛—¯ 6.3.8. ¯æºŁ f Ł g º ßı ª º , Łı ˝˛˚

˜ Œ

º æ

. ˛Æ

Ł

ª

º

fg . ´Ł = m (f,g)

,

æ ø æ Ł .

Ł

æ m º æ ˛˚ ª º {f,g}. ˇ æ M	º Æ	˛˚ {f,g}.
, M = uf, M = vg ⇒ uf = vg. — ª æ (f,g). ˇ º Ł	ºŁ	Æ æ Ł

.

ˇ æ Øæ 2 ß 6.3.5 Ł . ˇ 4 æ Øæ -

ß 6.3.5 Ł . ª u = _(f,g^g ₎q. M = uf = _(f,g^fg₎q = mq. ´Ł , m|_M. ˇ º Ł 6.3.11 m º æ ˝˛˚ {_f,g}.

6.4 ˝ Ł Ł æ . ˚ Ł æŒ º Ł . ˚ æ

ˇ æ f ª º º Ł º Ø æ Ł, α ∈ _k^∗ _{= k}{₀}. ¨ æ ,

α|f Ł αf|f.

˛ º Ł 6.4.1. Ł Ł º ß Ł ºŁ º Ł ª º f º Ł-

º Ø æ Ł ß æ º ß Œ æ ß Ł ª º ß, ææ ŁŁ ß æ ª º f.

º _{æ Ł .} ˜ ºŁ º d ª º f º æ Ł Ł º ß ª Ł

º Œ ª , Œ ª 0 < degd < degf.

º _{æ Ł .} ª º f º Ł º Ø æ Ł Ł Ł Ł º ß

ºŁ ºŁ ª Ł º Œ ª , Œ ª ª æ Ł Ł Ł Ł 2-ı ª º , æ Ł Œ ßı ł æ Ł ª º

f, æ (∃ u,v ∈ k[x]) f = uv, ª degu,degv < degf.

˛ º Ł 6.4.2. ª º P º Ł º Ø æ Ł ß æ Ł Ł ß º k, æºŁ Ł Ł º º Œ Ł Ł º ß ºŁ ºŁ. ´ Ł æº , ª º P ß æ

Ł Ł ß .

˛ º Ł 6.4.3. ª º P º Ł º Ø æ Ł ß æ Ł Ł ß º k, æºŁ ª º æ Ł Ł º Ł Ł Ł 2-ı ª º , æ Ł Œ ßı ł æ Ł

ª º P.

˙ _Ł 6.4.1_. ˇ Ł Ł Ł æ Ł æ ø æ ŁæŁ æ-

ª º k. Œ, Ł , ª º f = x² −2 = (x+√2)( x−√2)

Ł Ł º Q. ˝ Ł Ł º R.

˙ _Ł 6.4.2_. ª º ß 1-Ø æ Ł º æ Ł Ł ß Ł º Æß º .

æº Ł ª , ª º ß 1-Ø æ Ł Ł º Œ Ł-

Ł º ß ºŁ ºŁ.

¯˛—¯ 6.4.1 (æ Øæ Ł Ł ßı ª º ). ºŁ ß æº øŁ Ł :

1. ¯æºŁ ª º P º æ Ł Ł ß , Ł º Æ Ø ææ ŁŁßØ æ Ł ª º Œ º æ Ł Ł ß .

2. ¯æºŁ P Ł Ł ßØ ª º , f º Æ Ø ª º , ºŁÆ

(P,f) = 1, ºŁÆ P|f.

3. ¯æºŁ P Ł Ł ßØ ª º Ł P|fg, P|f ŁºŁ P|g.

4. ¯æºŁ P Ł Q Ł Ł ßı ª º , ºŁÆ (P,Q) = 1, ºŁÆ P Ł Q ææ ŁŁ ß.

˜ Œ º æ . 1) ˇ æ P Ł Ł ßØ ª º . — ææ Ł αP, ª α ∈ _k^∗. ˝ Œ , αP º æ Ł Ł ß . ˜ æ Ł Ł , æ αP æ Ł Ł º ßØ ºŁ º , æ

(∃ d ∈ k[x]) d|αP, ª 0 < degd < degαP = degP. ¨ , d|αP Ł αP|P ⇒ d|P Ł 0 < degd < degP. Ł Ł Ł Ł æ Ł ª º P.

2) ˛Æ Ł (P,f) = d. ¨ d|P. Œ Œ Œ P Ł Ł , d

º Æß Ł Ł º ß ºŁ º , æ ºŁÆ d _{= α ∈ k}^∗, ºŁÆ d ∼ P. ´ æº Ł (P,f) = 1. ´ æº , Ł P|d

Ł d|f ⇒ P|f.

3) ˇ æ P|_fg. ¯æºŁ P|_f, æ Œ . ¯æºŁ P - f, æ Øæ 2 (P,f) = 1. ¨ Œ, P|fg Ł (P,f) = 1, ª æ Øæ 4 ß 6.3.5

P|g.

4) ˇ æ P Ł Q Ł Ł ßı ª º . ¯æºŁ (_{P,Q) = 1},

æ Œ . ˇ æ (P,Q) 6= 1, ª æ Øæ 2 P|Q. º Ł

P Ł Q, º Q|P ⇒ P ∼ Q.

¯˛—¯ 6.4.2 ( º ŁŁ Ł Ł ß Ł ºŁ).

¸ Æ Ø ª º f º Ł º Ø æ Ł º k Æß

æ º Ł f = αP₁ · P₂ · ... · P_s, ª α ∈ k^∗, P_i Ł -

ß Ł Ł ß k ª º ß. æ º Ł Ł æ

æ æ Œ æº Ł æ Ł º Ø Ł Ł Æı Ł , Æß α º º æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º f.

˜ Œ º æ . 1) ø æ Ł .

— ææ Ł æ M æ ı Ł ßı ºŁ º Ø º Ł-

º Ø æ Ł ª º f. ´ æ M ßÆ ª º

P₁ Ł ł Ø æ Ł. ˇ Œ , ª º P₁ º æ Ł-

Ł ß . ˜ æ Ł Ł , æ ª º P₁ º æ Ł Ł-

ß . º º P₁ = du, ª 0 < degd < degP₁, Ł Ł

ßÆ ª º P₁. ¨

f = P₁f₁, ª 0 6 degf₁ < degf. (1) ¯æºŁ deg_{f1 = 0}, ææ ß º Ł Ł Ł ßı Ł º Ø Œ Ł æ . ¯æºŁ deg_{f1 > 0}, æ ª º f₁ Ł ææ Ł , Ł æ ª º f. ˇ º Ł , ª º f₁ æ Ł ßØ Ł Ł ßØ Ł º P₂. ` Ł

f₁ = P₂f₂, ª 0 6 degf₂ < degf₁. (2)

¯æºŁ deg_{f2 = 0}, ææ ß º Ł Ł Ł ßı Ł º Ø -

Œ Ł . ¯æºŁ deg_{f2 > 0}, ææ º . ¨ Œ º . ´ Ł-

Œ æ: ł ææ Œ ŁºŁ Æ æŒ ? ˙ Ł , æ Ł ª º f₁,f₂,... Æ æ ª Æß ø æº º æ

º ßı Łæ º degf > degf₁ > degf₂ > ..., Œ Æß

Æ æŒ Ø. ´ Œ Œ º Ł

f_s−1 = P_sf_s, ª degf_s = 0. (s)

, fs = α ∈ k∗. ˇ Ł º æ æ

(1),(2),...,(s), º Ł f = αP₁ ·P₂ ·...·P_s. Œ Œ ŒP_i º æ Łß Ł ª º Ł, æ Ł æ Œ Ł Ł ß Ł æ ł Ø æ Ł x, º Ł , α º æ æ łŁ Œ Ł Ł -

ª º f.

2) ¯ Ł æ æ .

ˇ æ æ æ º Ł f = αP₁ · P₂ · ... · P_s Ł æ

ª æ º Ł f = βQ₁ · Q₂ · ... · Q_t, ª β ∈ k^∗, Q_j Ł ß Ł Ł ß k ª º ß. ª , Œ ßł , β º æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º f, æ β _{= α}.

f = αP₁ · P₂ · ... · P_s = βQ₁ · Q₂ · ... · Q_t. (∗)

— æ (∗) Œ ß , P₁|(Q₁ · Q₂ · ... · Q_t). ˇ æ Øæ 3 ß 6.4.1 (∃ 1 6 j 6 t) P₁|Q_j. ` æ Ł , P₁|Q₁. ª

æ Øæ 4 ß 6.4.1 P_{1 ∼ Q1}. Œ Œ Œ Æ ª º Ł ß, P₁ = Q₁. ª æ (∗) æ Œ ø P₁. ˇ º Ł

P₂ · ... · P_s = Q₂ · ... · Q_t. (∗∗)

ª º P₂ ææ Œ , Œ Œ æ ª º P₁. — æ

(∗∗) Œ ß , P₂|(Q₂ ·...·Q_t) ⇒ (∃ 2 6 j 6 t) P₂|Q_j. ` æ Ł , P₂|Q₂. ª P₂ ∼ Q₂ ⇒ P₂ = Q₂. ¨ Œ º . ¯æºŁ s = t,

Œ Œ º Ł P_s = Q_s. ºŁ s _{6= t}? ˇ º Ł , s < t, ª æ Œ ø æ

(∗) P₁ · P₂ · ... · P_s º Ł , 1 = Q_s+1 · ... · Q_t ª Æß

Œ Œ Œ æº æ Ł ª º º Ø æ Ł, æ ª -

º º Ł º Ø æ Ł. º ªŁ Æß Ł s > t ŒŁ

Æ Q_j æ ß P_i, º Œ Łæ ß ª Œ .

¯˛—¯ 6.4.3 ( Œ Ł æŒ æ º ŁŁ). _{¸ Æ Ø ª -}

º f º Ł º Ø æ Ł º k Æß æ º

Ł , ª α ∈ k^∗, P_i ºŁ ß Ł ß , Ł Ł ß k ª º ß, k_i ∈ N. æ º Ł

Ł æ æ æ Œ æº Ł æ Ł º Ø Ł Ł α Æı Ł º æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º f.

˜ Œ º æ . ˇ 6.4.2 Ł f = αP₁·P₂·...·P_s. ˛Æœ Ł

æ º ŁŁ Ł Ł Ł Œ ßı Ł º Ø æ Ł,

º Ł

.

˛ º Ł 6.4.4. ˇ æ º Ł ª º f Ł ß æ Œ Ł æŒŁ æ º Ł ª º

f. ª º ß ß æ º ß Ł ºŁ º Ł

ª º f. ˝ º ß Łæº k₁,k₂,...,k_t ß æ Œ æ Ł Ł Ł ßı ª º P₁,P₂,...,P_t ª º f.

ˇ æ γ _{∈ k}. ß ŁºŁ, ª º ß 1-Ø æ Ł Ł -

Ł ß º Æß º k. ´ æ æ Ł x _{− γ} º æ Ł ß

Ł Ł ß k ª º , ª Ł Œ æ Ł

ª º x − γ ª º f.

˛ º Ł 6.4.5. ˚ æ º γ _{∈ k} ª º f ßæ Œ æ Ł Ł ª ª º x − _γ ª º f.

˛ º Ł 6.4.6. º γ _{∈ k} ß æ Œ ª º

f(x), æºŁ f(γ) = 0.

ˇ º Ł 6.4.1. ˜º ª , Æß º γ ∈ k Æߺ Œ -

ª º f(x) Æı Ł Ł æ , Æß ª º f ºŁºæ x − γ, æ , Æß º γ Ł º º Ł º Œ æ

ª º f.

˜ Œ º æ . ´ æ º , ` f(x) = Q(x)(x − γ) +

+ f(γ), ª (x − γ)|f(x) ⇔ f(γ) = 0, æ º Ł 6.4.6 γ º æ Œ f(x).

º æ Ł . º γ ∈ _k º æ Œ ª º f_(x) ª Ł º Œ ª , Œ ª º γ Ł º Œ æ ª º

f(x).

˛ º Ł 6.4.7. ˚ γ ª º f_(x) ß æ æ ß , æºŁ Ł Œ æ .

ˇ æ Œ Ł æŒ æ º Ł ª º f Ł Ł

, ª degP_i > 2.

´Ł ,

deg æ

k₁ + k₂ + ... + k_s 6 degf.

æ , (∀ 1 6 i 6 s) f(γ_i) = 0, æ γ₁,γ₂,...,γ_s º æ Œ -

Ł ª º f. ¯æºŁ Œ ßØ Œ γ_i æ Ł k_i , Łæº k₁ + k₂ + ... + k_s Łæº Œ Ø ª º f æ Łı Œ æ Ø.

ˇ º Ł 6.4.2. Łæº Œ Ø ª º f(x) æ Łı Œ -

æ Ø æı Ł æ ª º f.

6.5	ˇ	Ł	Ł Œ	æ
ˇ æ	k	Œ	ŁŒæŁ	Łæº	º .

˛ º Ł 6.5.1. ˇ Ł Ø ª ºß æ

ª º Ł

.

¯˛—¯ 6.5.1 ( æ	ß Łº Ł	Ł Ł ).
¨ æ æº øŁ æ 1. α0 = 0, ª α ∈ k; 2. (αf)0 = αf0, ª α ∈ k; 3. (f ± g)0 = f0 ± g0; 4. (fg)0 = f0g + fg0; 5. (fn)0 = nfn−1f0, n ∈ N.	Øæ :
˛ º Ł 6.5.2. ˇ º ª	f(0) = f, f(l+1) = (f(l))0, ª	l > 0, l ∈ Z.
æ , æºŁ degf = n,	(∀ l > n) f(l) = 0.
¸ 6.5.1. ¯æºŁ f ª Ł degf0 = n − 1.	º º Ł º Ø æ	Ł n, f0 6= 0

˜ Œ º æ . ¨ f = α_nxⁿ+...+α₁x+α₀, ª α_n 6= 0, n > 1. ˇ

º Ł 6.5.1 f⁰ = nα_nxⁿ⁻¹ +...+α₁. łŁØ Œ Ł Ł -

ª º f⁰ nα_n, ª n ∈ N, α_n 6= 0. ª nα_n 6= 0, æº º

f⁰ 6= 0 Ł degf⁰ = n − 1.

¯˛—¯ 6.5.2. ˇ æ f ª º º Ł º Ø æ Ł Ł

Ł Ł ßØ Ł º P Ł º Ł º Œ æ k

ª º f. ª Ł Ł ßØ Ł º P Ł Œ æ k − 1 Ł Ø f⁰.

6.5. ˇ Ł Ł Œ æ

˜ Œ º æ . ¨ f = P ^lg, ª P - g. æ Ł f⁰ = lP ^l−1P ⁰g +

+ P ^lg⁰ = P ^l−1(lP ⁰g + Pg⁰). ´Ł , P ^l−1|f⁰, æ Œ æ P f⁰ ł , l ₋₁. ˇ Œ , P ^l - f⁰. ˜ æ Ł Ł , æ

P ^l|f⁰. ª P|(lP ⁰g + Pg⁰). ´Ł , P|Pg⁰, æº º P|(lP ⁰g). æ , (P,l) = 1. ˇ º P ⁰ 6= 0 Ł degP ⁰ < degP ⇒ (P,P ⁰) = 1. ˇ æ Øæ 3 ß 6.4.1 Ł , P_|g, Ł Ł , . º º P ^l - f⁰ Ł Œ æ P æ æ f⁰ _l − ₁. º _{æ Ł} 6.5.2.1_. º γ Ł Œ æ k ª º f ª Ł

º Œ ª , Œ ª f(γ) = f⁰(γ) = ... = f^(k−1)(γ) = 0, f^(k)(γ) 6= 0.

˜ Œ º æ . 1) ˝ Æı Ł æ .

ˇ æ γ Ł Œ æ k ª º f. ˇ º Ł -

, (_x − _γ) Ł Œ æ k ª º f. ˇ 6.5.2

x − γ Ł Œ æ k − 1 f⁰, x − γ Ł Œ æ k − 2 f⁰⁰, ..., x−γ Ł Œ æ 1 f(k−1), x−γ Ł Œ æ 0 f(k). ˇ Ł

º Ł 6.4.1 f(γ) = f⁰(γ) = ... = f^(k−1)(γ) = 0, f^(k)(γ) 6= 0.

2) ˜ æ æ .

ˇ æ f(γ) = f⁰(γ) = ... = f^(k−1)(γ) = 0, f^(k)(γ) 6= 0. ˇ æ Œ -

æ γ ª º f _l .˝ Œ , l _{= k}. ˜ æ Ł

Ł . ˇ æ , Ł , l < k. ª Ø æ Ł Œ º -

æ Æ Ł f(γ) = f⁰(γ) = ... = f^(l−1)(γ) = 0, f^(l)(γ) 6= 0. ª

Æß , æº Ł f^(l)(γ) = 0 Œ Œ Œ l 6 k−1. -

º ªŁ Ł Ł Œ Ł Ł Ł º Ł , l > k.

º æ Ł 6.5.2.2. ˚ æ º γ ª º f Ł ł Œ Ł Ø ª º f, Ł ø ª γ æ Ł Œ .

¯˛—¯ 6.5.3 ( Æ º ŁŁ Œ ßı Ł º Ø). _{ˇ æ}

f ª º º Ł º Ø æ Ł º k. ª ª º Ł æ ß Ł Ł ß Ł ºŁ, Ł

ª º f, º Œ Ø Œ æ Ł.

˜ Œ º æ . ˇ æ Œ Ł æŒ º Ł

ª º f. ª 6.5.2

ª (∀ 1 6 i 6 t) P_i - g.

æ Ł

.

6.6 ºª Æ Ł	æŒŁ Œ ß	º
ˇ æ k æ	º .
¯˛—¯ 6.6.1 (	æŁº ßı æº	Ł ı, º øŁı º-
ª Æ Ł æŒŁ Œ	º ). ˛ æŁ	º ŁŒæŁ	ª æ-
ª º k æ	ºŁ ß æº øŁ	æŁº ß	Ł .
1) º Æ Ø ª º	f º Ł º Ø æ	Ł æ Œ Ł Ł	Ł Ł
º k, Ł	º k, Œ Ø Ø	, Ł Œ ;
2) Ł Ł ß Ł æ Ł;	º k º æ	ª º ß º Œ	Ø
3) ª º º ºŁ;	k æ æ º	k ºŁ Ø ß	Ł-
4) º Æ Ø ª º	f º Ł º Ø æ	Ł æ Œ Ł Ł	Ł Ł
º k Ł	º k æ º Œ Œ Ø æ Łı Œ		æ Ø,

Œ Œ æ ª º f.

˜ Œ º æ . 1) ⇒ 2)

ˇ æ f º Æ Ø ª º , deg_f > 2. ª æº Ł 1)

ª º Ł º k Œ Ø Ł Œ γ. ª -

º Ł 6.4.1 f _{= (x}−_γ)g. º º f º æ Ł Ł ß k.

6.6. ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º

2) ⇒ 3)

ˇ æ f ª º º Ł º Ø æ Ł. ª 6.4.2 ª æ Ł Ł f = αP1 · P2 · ... · Ps, ª α ∈ k∗, Pi Ł ß Ł Ł ß k ª º ß. ¨ æº Ł 2) æº , Pi = x − γi ⇒ f = α(x − γ1)(x − γ2)...(x − γn). ŒŁ Æ
ª º æ æ ºŁ Ø ß Ł ºŁ. 3) ⇒ 4)
¨ f = α(x − γ1)(x − γ2)...(x − γs). ˛Æœ Ł Œ ßı Ł º Ø æ Ł.	Ł Ł Ł Ł
f = (x − γ1)k1(x − γ2)k2 ...(x − γt)kt,	ki ∈ N.
´Ł , γ1,...,γt Œ Ł ª º f æ Œ	æ Ł k1,...,kt Ł
degf = k1 +...+kt. ŒŁ Æ Łæº Œ Ø Łı Œ æ Ø æ Ł ª º f. 4) ⇒ 1)	ª º f æ
ˇ æ ª º f Ł deg > 0. ª æº	Ł 4) k1 +k2 +...+
+ kt = degf > 1 ⇒ (∃ 1 6 i 6 t) ki > 1. ˙ Ł ,	ª º f Ł

Œ Ø Ø Œ γ_i.

˛ º Ł 6.6.1. ˇ º k ß æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß , æºŁ º º Æ Ł æŁº ßı æº ŁØ ß 6.6.1.

˙ _Ł 6.6.1_. ˇ º Q Ł R º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß Ł, Œ Œ Œ ß º æ 1) æº Ł ß 6.6.1. ˇ Ł æº -

Ł ª º f _{= x}² _{+ 1}. ˛ Ł Ł ª Œ Ł º Q,

Ł º R.

˛ º Ł 6.6.2. ºª Æ Ł æŒŁ ߌ Ł º k ß æ Ł ł ºª Æ Ł æŒŁ Œ æłŁ Ł º k.

˛ º Ł 6.6.3. ˇ º k ß æ ºª Æ Ł æŒŁ ߌ Ł º k, æºŁ ß º ß æº øŁ 3 æº Ł :

2. k º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º ;
3. æºŁ k ⊂ k0 ⊂ k Ł k0 ºª Æ Ł æŒŁ Œ º ,	k0 = k.
¯˛—¯ 6.6.2 ( æ ºª Æ ß). ˇ º Œ Łæ º C º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º .	º Œæ ßı
º æ Ł 6.6.2.1. ºª Æ Ł æŒŁ ߌ Ł º Øæ Łæ º R º æ º Œ º Œæ ßı Łæ º, æ R = C.	Ł º ßı
˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , æ R ºª Æ Ł æŒ	ߌ Ł

;

º R. ª R ⊂ R. ˜ º , ª º x² ₊₁ Ł Œ R, æ i ∈ R. ß º æ ª Ł º Œ ª , Œ ª (∀ x,y ∈ R) x + +yi ∈ R, æ C ⊂ R. ¨ R ⊂ C ⊂ R. ˇ 6.6.2 C º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß , ª º Ł 6.6.3 Ł C = R.

ˇ æ γ₁,γ₂,...,γ_n º ß º k.

˛ º Ł 6.6.4. º ß Ł æŁ Ł æŒŁ Ł ª º Ł º γ1,...,γn ß æ æ ß Ł :

σ₁ = γ₁ + γ₂ + ... + γ_n;

σ₂ = γ₁γ₂ + γ₁γ₃ + ... + γ₁γ_n + γ₂γ₃ + ... + γ₂γ_n + ... + γ_n−1γ_n;

...

;

σ_n = γ₁ ...γ_n.

ˇ º Ł 6.6.1. ¯æºŁ γ₁,γ₂,...,γ_n ∈ k,

f(x) = (x+γ₁)(x+γ₂)...(x+γ_n) = xⁿ +σ₁xⁿ⁻¹ +...+σ_kx^n−k +...+σ_n,

ª σ₁,σ₂,...,σ_n º ß æŁ Ł æŒŁ ª º ß

γ₁,γ₂,...,γ_n.

6.6. ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º

˜ Œ º æ . Æß æ Ł Œ , æ -

Ł æŒ ÆŒŁ æ øŁ æº Ł Ł æ Ł Æ ß æº ª ß .

º æ Ł . ¯æºŁ γ₁,γ₂,...,γ_n ∈ k, f(x) = (x − γ₁)(x − γ₂)...(x −

− γn) = xn − σ1xn−1 + σ2xn−2 − ... + (−1)kσkxn−k + ... + (−1)nσn,

ª σ₁,σ₂,...,σ_n º ß æŁ Ł æŒŁ ª º ß

γ₁,γ₂,...,γ_n.

˜ Œ	º æ	. ´ æ	º , æ º	ŁŁ 6.6.1	æ
γi	æ	Ł	−γi. ª	σk Ł æ (−1)kσk Ł	æ ß æº	æ Ł

Æ æ º .

¯˛—¯ 6.6.3 (	´Ł	). ˇ æ	f(x) = xn + α1xn−1 +
+ α2xn−2 + ... + αn Ł	ª	º Ł	ºª Æ Ł æŒ ß-

Œ ŁŁ k Œ Ł γ₁,γ₂,...,γ_n. ª σ_k = (−1)^kα_k, ª σ₁,σ₂,...,σ_n

º ß æŁ Ł æŒŁ ª º ß Œ Ø γ₁,γ₁,...,γ_n.

˜ Œ º æ . ˝ º k ª º

f(x) = (x − γ₁)(x − γ₂)...(x − γ_n),

ª γ₁,γ₂,...,γ_n Œ Ł f(x) k. ˇ æº æ Ł Ł º Ł 6.6.1

Ł :

f(x) = xⁿ − σ₁xⁿ⁻¹ + σ₂xⁿ⁻² − ... + (−1)^kσ_kx^n−k + ... + (−1)ⁿσ_n.

ª Ø æ ß, æº Ł f(x) = xⁿ +α₁xⁿ⁻¹ +...+α_n. ŒŁ Æ -

Ł ß Ł ª Ł ª ª º Æß øŁ æ x. ª , Œ Ł Ł ß Ł Ł Œ ßı æ ı x º ß æ . ¨ −σ₁ = α₁, σ₂ = α₂,...,(−1)^kσ_k = α_k,...,(−1)ⁿσ_n =

= α_n. ¨ (∀ 1 6 k 6 n) (−1)^kσ_k = α_k. Ł (−1)^k, º Ł

σ_k = (−1)^kα_k.

32

æ ßØ æº Ø ß 6.6.3:

n=2, f(x) = x² + px + q. ˇ æ x₁, x₂ Œ Ł f(x), ª

( σ₁ = x₁ + x₂ = −p; σ₂ = x₁ · x₂ = q.

n=3, f(x) = x³ + px² + qx + r. ˇ æ x₁, x₂ x₃ Œ Ł f(x), ª



^_ σ1 = x1 + x2 + x3 = −p; σ₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = q; .

 σ3 = x1x2x3 = −r

6.7 ª º ß Łæº ß Ł º Ł

— ææ Ł æº Ø, Œ ª k ₌ C. ˇ æ Ø ºª Æ ß, º

C º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß , ª º ß º

C ƺ º Æß Ł æŁº ßı æº ŁØ ß 6.6.1. ´ æ æ Ł, Ł Ł ß Ł º C º æ ª º ß º Œ Ø æ Ł. ˜ º , º Æ Ø ª º º Ł º Ø æ Ł º C Ł , Œ Ø , Ł Œ . ˝ Œ , Œ Ł æŒ º Ł º Æ ª ª º f º Ł º Ø æ Ł º C Ł Ł :

f(x) = α(x − γ₁)^k1(x − γ₂)^k2 ...(x − γ_t)^kt,

ª γ₁,γ₂,...,γ_t ∈ C.

— ææ Ł æº Ø, Œ ª k = R. ˇ æ γ = α+β_i, ª α,β ∈ R, β 6=

6_{= 0}. ´ æº ª , γ æ ø æ Œ º Œæ Łæº .

ˇ º Ł 6.7.1. ¯æºŁ γ æ ø æ Œ º Œæ Łæº ,

ª º (x−γ)(x−γ) º æ Œ ß ı º æ Øæ Łº ß Ł Œ Ł Ł Ł Ł Ł º ß ŁæŒ Ł Ł .

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , (x − γ)(x − γ¯) = x² − (γ + ¯γ)x + γγ¯ =

= x² −2αx+α² +β² ∈ R[x], ª D = (−2α)² −4(α² +β²) = −4β² < 0,

Œ Œ Œ γ æ ø æ Œ º Œæ Łæº .

6.7. ª º ß Łæº ß Ł º Ł

¯˛—¯ 6.7.1. ¯æºŁ æ ø æ Œ º Œæ Łæº γ º æ

Œ ª º f æ Øæ Ł º ß Ł Œ Ł Ł Ł, Œ -

º Œæ æ Łæº γ¯ Œ º æ Œ ª ª º Ł Ł Ø Œ æ Ł, Ł Œ γ.

˜ Œ º æ . ˇ æ f(x) = α_nxⁿ + ... + α₁x + α₀, ª α_i ∈ R Ł γ æ ø æ Œ º Œæ ßØ Œ f(x), æ f(γ) = 0.

α_nγⁿ + ... + α₁γ + α₀ = 0.

ˇ Ø Œ Œ º Œæ æ ß Łæº , º Ł

α_nγⁿ + ... + α₁γ + α₀ = 0.

´ æ º æ æ Øæ Ł Œ º Œæ æ ßı Łæ º, Ł

α¯_n · γ¯ⁿ + ... + ¯α₁ · γ¯ + ¯α₀ = ¯0.

Œ Œ Œ α_i Ł 0 ∈ R, α¯_i = α_i, ¯0 = 0. ˇ º

α_n(¯γ)ⁿ + ... + α₁γ¯ + α₀ = 0.

æ Œ ß , f(¯γ) = 0 æ γ¯ º æ Œ

ª º f_(x). ˇ Œ , Œ æ Œ γ_¯ æ æ Œ æ Œ γ. ˇ æ Œ æ γ _k, Œ æ γ_{¯ l}. ˝ Æı Ł Œ , k _{= l}. ˜ æ Ł Ł , æ k 6_{= l}. ˇ æ ,

Ł , k > l, ª f = (x − γ)^k(x − γ¯)^lg(x), ª g(γ) 6= 0,g(¯γ) = 06.

ª f(x) = [(x − γ)(x − γ¯)]^l(x − γ)^k−lg(x) = [(x − γ)(x − γ¯)]^lg₁(x),

æ. ˇ º Ł (x − γ)(x − γ¯) ∈ R[x],

.

´Ł , g₁(x) = (x − γ)^k−lg(x) Ł γ æ Ł Œ º Ł º Ø

Œ æ Ł, k − l > 0, Ł æ Ł Œ γ¯. Ł Ł

Ł Œ ß Ø Ø. º ªŁ Ł Ł Œ Ł Ł º Ł , l > k.

34

º _{æ Ł} 6.7.1.1_. ø æ Œ º Œæ ß Œ Ł ª º æ Øæ Ł º ß Ł Œ Ł Ł Ł Œ º Œæ æ ß.

¯˛—¯ 6.7.2 ( Ł Ł ßı ª º ı R). _{˝ -}

º Øæ Ł º ßı Łæ º R Ł Ł ß Ł º æ ª º ß

Ø æ Ł Ł Ł º Œ Œ ß ı º ß, ŁæŒ Ł ŁŒ ßı Ł º ßØ.

˜ Œ º æ . ˇ æ f(x) ∈ R[x] Ł degf(x) > 3. ª º

Ł ºª Æ Ł æŒ ßŒ ŁŁ R = C Ł Œ Ø Ł

Œ α. ¯æºŁ α ∈ R , f(x) = (x − α)g(x), ª g(x) ∈ R[x] æ

ª º f Ł Ł R. ¯æºŁ α æ ø æ Œ º Œæ Łæº , α_¯ Œ Æ Œ ª º f. ˇ º Ł

f(x) = (x − α)(x − α¯)g(x) = (x² − 2Reα · x + |α|²)g(x).

´ æº

.

´Ł , f_(x) æ Ł Ł R. ŒŁ Æ , º Æ Ø ª º f, æ Œ ª deg_f > 3, º æ Ł Ł ß R.

ˇ æ f = ax²+bx+c,a 6= 0. ¨ æ , Œ ßØ ı º æ æ ºŁ Ø ß Ł ºŁ f = a(x−x₁)(x−x₂) R ª Ł

º Œ ª , Œ ª ª ŁæŒ Ł Ł D > 0. ´ æº , ª º

f Ł Ł R. º º , Æ Ł Ł R ª Ł º Œ ª , Œ ª D = b² − 4ac < 0. ª º ß Ø æ Ł º æ Ł Ł ß Ł º Æß º .

º _{æ Ł} 6.7.2.1_. ¸ Æ Ø ª º º Ł º Ø æ Ł º Øæ Ł º ßı Łæ º Ł Œ Ł æŒ æ º Ł Ł :

f = α(x − γ₁)^k1 ...(x − γ_t)^kt(x² + β₁x + δ₁)^l1 ...(x² + β_rx + δ_r)^lr,

ª α,β_i,δ_i,γ_j ∈ R, β_i² − 4δ_i < 0, k_j,l_i ∈ N Ł i = 1,r, j = 1,t.

6.7. ª º ß Łæº ß Ł º Ł

º _{æ Ł} 6.7.2.2_. ¸ Æ Ø ª º æ Øæ Ł º ß Ł Œ Ł Ł -

Ł Ø æ Ł Ł , Œ Ø , Ł Øæ Ł º ßØ Œ .

˜ Œ º æ . ´ æ º , æº æ Ł 6.7.2.1 degf = k₁ + ... + +k_t+2l₁+...+2l_r. ˇ æº Ł æ f Łæº , æº º k₁ + ... + k_t Łæº , Ł (∃ 1 6 i 6 t) k_i > 1, æ γ_i

º æ Øæ Ł º ß Œ ª º f.

ˆº 7

˛æ ß ºª Æ Ł æŒŁ æ Œ ß

36

ˆº 8

¸Ł Ø ß æ æ

8.1 ˇ Ł ºŁ Ø ª æ æ

˛ º Ł 8.1.1. ˇ æ k Ł V Ł º ßı æ . ˆ -

, æ V º ł ºª Æ Ł æŒ Ł æ æ º Ł ºŁŒ k, æºŁ Æ Ł Œ ª Ł Ł k × _V → _V . ˇ Ł Æ ŁŁ, Æ -

ßØ ß (α,a), ª α ∈ k, a ∈ V ß æ Ł Ł α a Ł Æ æ αa.

˙ _Ł 8.1.1_. ºª Æ Ł æŒŁ ŁŁ, Ł ß æ V , ß æ Ł Ł ºª Æ Ł æŒŁ Ł Ł Ł. ´ Œ æ æ k ø æ ª Æ ßæ º , Œ Æ ßæ ß . º ß º k Æ Æ α,β,γ,α₁,α₂,...

˛ º Ł 8.1.2. ¸Ł Ø ß ( Œ ß ) æ æ º

k ß æ æ V , ææ æ æ º Ø

Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø æº Ł Ł ł Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø Ł æŒ º ß º k, º ß Ł æº øŁ æ Ł ŒæŁ .

1. a + b = b + a;

2. a + (b + c) = (a + b) + c;

37

3. (∀ a,b ∈ V ) (∃ x ∈ V ) b + x = a;

4. α(a + b) = αa + αb;

5. (α + β)a = αa + βa;

6. (αβ)a = α(βa) = β(αa);

7. 1 · a = a,

ª a,b,c,x ∈ V ; α,β,1 ∈ k.

˙ _Ł 8.1.2_. æ V æ ß Æ Łæ ß æ

ºŁ Ø ª æ æ . ¯ª º ß Æ Æ a,b,c,a₁,a₂,...

Ł ß Œ Ł.

Øæ ºŁ Ø ßı æ æ

1. (∀ a ∈ V ) (∃ 0 ∈ V ) a + 0 = a;

2. (∀ a ∈ V ) (∃ (−a) ∈ V ) a + (−a) = 0;

3. (∀ a,b ∈ V ) (∃ (a − b) ∈ V ) a − b = a + (−b);

4. αa = 0 ⇔ α = 0 ŁºŁ a = 0;

5. α(−a) = (−α)a = −αa;

6. α(a − b) = αa − αb;

7. (α − β)a = αa − βa.

˜ Œ º æ . ŒæŁ ß 1 3 ºŁ Ø ª æ æ Œ ß , (_V,+) Æ Ł Ł ª , æ ºŁ ß æ Øæ 1) 3).

4) ˝ Æı Ł æ .

¨ αa = (α + 0)a = αa + 0a ⇒ 0a = αa − αa = 0. ˇ º ,

0a = 0.

8.2. ` Łæ ºŁ Ø ª æ æ

¨ αa = α(a + 0) = αa + α0 ⇒ α0 = αa − αa = 0. ˇ º ,

α0 = 0.

˜ æ æ .

ˇ æ αa _{= 0}. ¯æºŁ α _{= 0}, æ Œ . ¯æºŁ α 6_{= 0} Æ æ ø -

æ α⁻¹ ∈ k. ª a = 1 · a = (α⁻¹α)a = α⁻¹(αa) = α⁻¹ · 0 = 0.

5) — æ Ł αa + α(−a) = α(a + (−a)) = α · 0 = 0 ⇒ α(−a) = −αa.

˜ º , αa + (−α)a = (α + (−α))a = 0 · a = 0 ⇒ (−α)a = −αa.

6) ¨ , α(a − b) = α(a + (−b)) = αa + α(−b) = αa − αb.

7) ˇ æ Ł (α − β)a = (α + (−β))a = αa + (−β)a = αa − βa.

ˇ Ł ß ºŁ Ø ßı æ æ :
1. V = {0} º ºŁ Ø	æ	æ ( Ł Ł º	).
2. V = kn = {(α1,...,αn)|αi ∈ k} æ º k.	Œ	Ł ºŁ Ø	æ -
3. V = M(m×n,k) Ł ß	æ Ł m×n æ º	Ł Ł k.
4. V = L æ ł ŁØ ŁØ.	Ø æŁæ ß ºŁ	Ø ßı -
5. V = k[x] æ ª º Ł Ł Ł Ł k. 6. V = {f(x) ∈ k[x]|deg f 6 n}.	ª Ł æ	ª æ Œ -
8.2 ˚ ß Ł Æ æŒ		ß	ºŁ Ø ß
æ æ . ` Łæ ºŁ		Ø ª æ	æ
¸ ªŒ Ł , æ ß Ł		Ł Œ ß, º	ß Œ -
Ł ºŁ Ø æ æ		æ æ Ææ Œ	ß ºŁ Ø ß

æ æ . æ , Ł Ł Ł Œ ß Łæ º ºŁ

º Œ æ Øæ ŁØ Œ Ł, Łæ º ºŁ Ł

æ Łı Œ . Œ Œ Ł Ł º Ł 8.1.2, ŁŁ Ææ Œ ºŁ Ø æ æ ƺ Ł æ ß Ł æ Øæ Ł, Ł

ŁŁ Œ Ł ºŁ Ø æ æ . ˇ , Ææ Œ ßı ºŁ Ø ßı æ æ ı ª Ł ºŁ Ø Ø Œ ÆŁ ŁŁ Œ , ºŁ Ø ŁæŁ ßı Ł ºŁ Ø ŁæŁ ßı æŁæ ı Œ , Œ Ł ŁŁ Ł æ Øæ ı ºŁ Ø Ø ŁæŁ æ Ł, Æ æ Ø

ºŁ Ø Ø ŁæŁ æ Ł, ºŁ Ø ß ŁŁ Ø æŁæ ß Œ -

ª , Æ Œ Ł º ßı æŁæ ı Œ , Æ Łæ Ł ª æŁæ ß Œ . ˝ æ Ł ºŁ Ł .

ˇ Ł : V _{= k[x]}. — ææ Ł æº ø æŁæ Œ :

1,x,x²,...,xⁿ ∈ V . æŁæ Œ º æ ºŁ Ø ŁæŁØ. ˜ Øæ Ł º ,

α₀ · 1 + α₁x + α₂x² + ... + α_nxⁿ = 0 ⇔ α₀ = α₁ = α₂ = ... = α_n = 0,

Ł , 1,x,x2,...,xn º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø æŁæ -

Ø Œ . ł æ , n Æ º Æß Ł Œ Œ ª Æ º łŁ . ˇ æ æ V æ ø æ ºŁ Ø ŁæŁ ß æŁæ ß Œ æ Œ ŒŁ ª Æ º łŁ Łæº Łı Œ .

˛ º Ł 8.2.1. ¸Ł Ø æ æ V ß æ Œ ß , æºŁ æ ø æ º Łæº N Œ , Łæº ºŁ Ø

ŁæŁ ßı Œ º Æ Ø æŁæ æ æ V æı Ł N. ´ Ł æº , ºŁ Ø æ æ V ß æ Æ æŒ ß .

ˇ Ł :

1. V _{= k}ⁿ Œ ºŁ Ø æ æ .

2. V _{= k[x]} Æ æŒ ºŁ Ø æ æ .

8.2. ` Łæ ºŁ Ø ª æ æ

´ Œ ßı ºŁ Ø ßı æ æ ı ª Ł Æ Łæ

Œ Œ Œ Ø, Œ Ł Æ æŒ Ø æŁæ ß Œ . ´ æ æ Ł,

ª Ł Æ Łæ æ ª Œ ª ºŁ Ø ª æ æ V .

˛ º Ł 8.2.2. ` Łæ	º ª Œ	ª	æ æ
V ß æ ºŁ	Ø ŁæŁ	æŁæ	Œ
B = {e1,e2,...,en}, º æº ŁØ:	º Æ Ł æº	øŁı	æŁº	ßı
1. º Æ Ø Œ a ∈ V ºŁ Ø	ß æ	æŁæ	B;
2. ∀ a ∈ V æŁæ (B,a)	º æ ºŁ Ø	ŁæŁ Ø;
3. æ æ V æ ø æ	ºŁ Ø	ŁæŁ ßı	æŁæ	æ
Łæº Œ Æ º łŁ ,	B.

˛ º Ł 8.2.3. — æ º ª ºŁ Ø ª æ æ æ Ł æ Łæº 0. — æ º ª Œ ª ºŁ Ø ª æ æ V ß æ Łæº Œ º Æ Æ Łæ ª -

æ æ ŁºŁ ŒæŁ º Łæº ºŁ Ø ŁæŁ ßı Œ ª æ æ V .

— æ Œ ª ºŁ Ø ª æ æ V Æ Æ dim V ŁºŁ rang V .

ˇ Ł :

1. dim {0} = 0;

2. dim kⁿ = n;

3. dim M(m × n,k) = mn;

4. dim L = n − r;

5. dim{f(x) ∈ k[x]|deg f(x) 6 n} = n + 1.

ˇ æ V Œ ºŁ Ø æ æ Ł e₁,e₂,...,e_n ª Æ Łæ. ª º Æ Ø Œ a _{∈ V} ß Ł Æ Łæ

a = α₁e₁ + α₂e₂ + ... + α_ne_n. (8.1)

Œ Œ Œ Æ Łæ º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø æŁæ Ø Œ , ß Ł (8.1) º Œ a Ł æ . ŒŁ Æ , Œ -

Œ a _{∈ V} æ Ł æ æ æ Ł æŁæ

(α₁,α₂,...,α_n) æŁ º Æ Łæ e₁,e₂,...,e_n.

˛ º Ł 8.2.4. ˚ Ł Ł (Œ Ł) Œ a _{∈ V} æŁ º ª Æ Łæ e₁,e₂,...,e_n ºŁ Ø ª æ æ V ß æ æ Œ æ Œ Ł Ł ºŁ Ø ª ß Ł Œ a Æ Łæ.

ˇŁł , Œ a = (α₁,α₂,...,α_n).

˛	º Ł 8.2.5. ˚ Ł		ß	æ ºÆ Œ a æŁ º
ª	Æ Łæ e1,e2,...,en	ß	æ æ ºÆ , æ æ º ßØ Ł Œ -
Ł	Œ a æŁ º	ª	Æ Łæ .
˛Æ	  α1    α2  Ł aˇ =  .  ...     αn
˛	º	Ł 8.2.6. æ	º Ł	Œ a ∈ V ª Œ Ł -
ª æ	ºÆ	æŁ º	ª Æ	Łæ æ æ V ß æ
æ	ß Æ Ł ºŁ	Ø ª	æ æ V æ Ł n
Œ	Ł	ºŁ Ø æ	æ	kn.
æ	,	Œ ßØ Æ Łæ e1,e2,...,en º æ æ

Æ Ł V → kⁿ.

8.3. ¨ Ł ºŁ Ø ßı æ æ

ˇ º Ł 8.2.1. ˚ Ł ßØ æ ºÆ æ ß ı Œ æ Œ Ł ßı æ ºÆ æº ª ßı Œ . ˚ Ł ßØ æ ºÆ Ł Ł Œ æŒ º , Œ Ł æ ºÆ-

ª Œ , æŒ º .

º Ł 8.2.1 , a +ˇ b = aˇ +ˇb Ł αaˇ = αaˇ.

˜ Ł ª ŁæŁ (8.1). æ , aˇ^> = (α₁,α₂,...,α_n)

Ł æ Ł 1_×n. — ææ Ł Æ Łæ ßØ æ ºÆ æ æ

Ł æ Ł n×1. ª aˇ^>e˜ = α₁e₁ +α₂e₂ +

. ŒŁ Æ , a = aˇ^>e˜ Ł Łæ æ

8.3 ¨ Ł ºŁ Ø ßı æ æ

ˇ æ V Ł V ⁰ ºŁ Ø ßı æ æ Ł Ł æ ß º k.

˛ º Ł 8.3.1. ¨ Ł ºŁ Ø ª æ æ V ºŁ-

Ø æ æ V ⁰ Ł Ł æ ß º k ß æ æ Œ ÆŁ Œ Ł f _{: V → V} ⁰, º ø æº Ł ºŁ Ø æ Ł:

1. (∀ a,b ∈ V ) f(a + b) = f(a) + f(b);

2. (∀ α ∈ k, a ∈ V ) f(αa) = αf(a).

æº Ł 1 , Æ Ł f º æ Ł Ł -

Ł Ł Ø ª ß (_V,+) Ł Ł ª .

˛ º Ł 8.3.2. ¸Ł Ø æ æ V ß æ Ł ß ºŁ Ø æ æ V ⁰ (V ^∼_{= V} ⁰), æºŁ æ ø æ ı Æß

Ł Ł Ł f : V → V ⁰.

ˇ º Ł 8.3.1. ˛ ł Ł Ł Ł º æ ł Ł

Œ Ł º æ Ł Œº ææ ºŁ Ø ßı æ æ Ł Ł æ ß º k.

º Ł 8.3.1 , º ł Ł Ł æ Ł

æ ºŁ ß æº	øŁ	Ł
1. V ∼= V , æ	ß º æ	æ Øæ	º ŒæŁ	æ Ł;
2. æºŁ V ∼= V 0,	V 0 ∼= V (æŁ	Ł	æ	);

3. æºŁ V 00 ∼= V 0 Ł V 0 ∼= V , V 00 ∼= V ( Ł Ł æ ).

¯˛—¯ 8.3.1 ( æ Øæ ı Ł ßı ºŁ Ø ßı æ æ ). ºŁ ß æº øŁ Ł :

1. Ł Ł Ł ºŁ Ø ŁæŁ Ø æŁæ ß Œ ı

ºŁ Ø ŁæŁ ß , ºŁ Ø ŁæŁ ß æŁæ ß Œ

ı	ºŁ Ø	ŁæŁ ß ;
2. Ł	ß	ºŁ Ø ß	æ æ	ºŁÆ	Œ	-
ß , ºŁÆ	Æ æŒ	ß ;

3. Ł Ł Ł Æ Łæ æŁæ ß Œ ı Ł Æ Łæ, ª æŁæ ß Œ Ł Ł Ł Ł æ .

˜ Œ º æ . 1) ˇ æ f : V → V ⁰ º æ Ł Ł . ´ -

ºŁ Ø ŁæŁ æŁæ Œ a₁,a₂,...,a_s Ł V . , æ ø æ æŒ º ß α₁,α₂,...,α_s æ ß º ŒŁ , α₁a₁ + α₂a₂ + ... + α_sa_s = 0. ˇ Ø Œ Æ Łı Œ -

f(α₁a₁ + α₂a₂ + ... + α_sa_s) = f(0). Œ Œ Œ f Ł Ł ,

α₁f(a₁) + α₂f(a₂) + ... + α_sf(a_s) = 0, æ æ α_i = 0. ˇ æº æ ł Ł Œ ß , Œ ß f(a₁),f(a₂),...,f(a_s) º æ ºŁ Ø ŁæŁ ß Ł V ⁰.

8.3. ¨ Ł ºŁ Ø ßı æ æ ˇ æ a₁,a₂,...,a_s ºŁ Ø ŁæŁ æŁæ Œ Ł V . ˝

Œ , f(a₁),f(a₂),...,f(a_s) Œ º æ ºŁ Ø ŁæŁ-

Ø. ˜ æ Ł Ł , æ æŁæ f(a₁),f(a₂),...,f(a_s) º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø. ª ææ Ł Æ Ł f⁻¹ _{: V} ⁰ → _V ,

Œ Œ º æ Ł Ł . ˇ Ł Æ ŁŁ ºŁ Ø-

ŁæŁ ß Œ ß f(a₁),f(a₂),...,f(a_s) Ø ºŁ Ø ŁæŁß Œ ß a₁,a₂,...,a_s, Ł Ł ºŁ Ø Ø ŁæŁ æ Ł

a₁,a₂,...,a_s.

2) ˇ æ f _{: V} → _V ⁰ Ł V º æ Œ ß ºŁ Ø ß æ æ . , æ ø æ º Łæº N Œ ,

Łæº	Œ º Æ Ø ºŁ Ø ŁæŁ Ø æŁæ ß Ł	æ -
æ V	æı Ł ª Łæº N. Œ Œ Œ Ł Ł Ł	º Œ
ºŁ Ø	ŁæŁ æŁæ Œ ı Ł ºŁ Ø	Ł-
æŁ ,	æ æ V 0 Łæº Œ º Æ Ø ºŁ Ø	Ł-
æŁ Ø æŁæ	Œ Æ ª Ł Ł Łæº N, æº	º
æ æ	V 0 Æ Œ ß .
ˇ æ V	º æ Æ æŒ ß ºŁ Ø ß æ æ	. ˝

Œ , Ł V ⁰ æº Œ Æ Æ æŒ ß . ˜ æ Ł Ł , æ V ⁰ º æ Œ ß ºŁ Ø ß -

æ æ . ª ææ Ł Ł Ł f⁻¹ _{: V} ⁰ → _V . ˇ Ł

Ł Ł Ł Œ æ Ł V ⁰ Æ æº Œ æ

V , Ł Ł æº Ł .

3) ˇ æ A æŁæ Œ Ł V , B Æ Łæ æŁæ ß Œ A Ł

f : V → V ⁰ Ł Ł . ª , Œ Œ Œ B ⊂ A, f(B) ⊂ f(A). ˜ º ,

A ºŁ Ø ß æ B, ª f_(A) Æ ºŁ Ø ß æ f_(B). ˝ Œ , Œ Œ Œ B ºŁ Ø ŁæŁ æŁæ Œ -

, f_(B) Œ º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø. ŒŁ Æ , f_(B) º æ Æ Łæ f_(A), æ Æ Łæ B æŁæ ß Œ A ı Ł

Æ Łæ f_(B) æŁæ ß Œ f_(A). Œ Œ Œ f º æ ÆŁ Œ Ł Ø, Łæº Œ B Łæº Œ f(B), æ r(A) = r(f(A)).

º _{æ Ł} 8.3.1.1_. ¨ ß Œ ß ºŁ Ø ß æ æ

Ł Ł Œ æ .

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , f : V → V ⁰ Ł Ł Ł V Ł V ⁰ º æ Œ ß Ł ºŁ Ø ß Ł æ æ Ł. ª Æ Łæ

e₁,e₂,...,e_n æ æ V ı Ł Æ Łæ f(e₁),f(e₂),...,f(e_n) æ æ V ⁰, æ dim V = n = dim V ⁰.

¯˛—¯ 8.3.2. ¸ Æ Œ ºŁ Ø		æ æ V
æ Ł n Ł	Œ Ł ºŁ Ø	æ æ kn
Ł Ł Ł Ł	æ Łª æ æ ø	æ	ª Æ-
Ł f : V → kn	æŁ º º Æ ª Æ Łæ	æ	æ V .
˜ Œ º æ . ˇ æ	  e1    e2  dim V = n Ł e˜ =    ...     en	Æ	Łæ V . — ææ -
Ł æ Æ	Ł f : V → kn. ¨ æ	,	æºŁ a = aˇ>e˜,
f(a) = aˇ. ˇ Œ ,	Æ Ł f º	æ	Ł Ł .
´ - ßı, f º æ aˇ = ˇb ⇒ a = b.	Ł œ Œ Ł Ø. ˜ Øæ Ł º	, æºŁ f(a) = f(b),
´ - ßı, f º æ æ œ Œ Ł Ø. ´ æ		º , º Æ Ø

æ ºÆ aˇ ∈ kⁿ Ł æ Ł Œ a = aˇ^>e˜. ª f(a) = aˇ.

˛æ æ Œ , Æ Ł f æ ı ŁŁ. — ææ -

Ł f(a + b) = a +ˇ b = aˇ + ˇb = f(a) + f(b). f(αa) = αaˇ = αaˇ = αf(a).

ŒŁ Æ f _{: V} → _kⁿ º æ Ł Ł , æº º

V ^∼= kⁿ.

º _{æ Ł} 8.3.2.1_. ˚ ß ºŁ Ø ß æ æ Ł Œ Ø æ Ł Ł ß.

8.4. ˇ ı ª Æ Łæ Œ ª . Ł ı

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , æ æ dim V = n Ł dim V ⁰ = n . ª 8.3.2 V ^∼₌ kⁿ Ł V ^{0 ∼}₌ kⁿ, æº º -

V ^∼= V ⁰.

º æ Ł 8.3.2.2. — ª æŁæ ß Œ Œ	ª ºŁ Ø	ª
æ æ V ª æŁæ ß Œ Ł	ßı æ	ºÆ Œ
Ø æŁæ ß æŁ º º Æ ª Æ Łæ æ	æ	V .
˜ Œ º æ . ˇ æ a1,a2,...,as æŁæ	Œ	Ł V . — ææ	-
Ł f : V → kn æ ßØ Ł Ł	, ª	æŁæ Œ	-
a1,a2,...,as ı Ł aˇ1,aˇ2,...,aˇs. ˝	Ł 3	-

ß 8.3.1 r(a1,a2,...,as) = r(aˇ1,aˇ2,...,aˇs).

8.4 ˇ ı ª Æ Łæ Œ ª . Ł ı

ˇ æ V Œ ºŁ Ø æ æ k, dim V = n Ł æ

    e₁ u₁

   

 e₂   u2  e =   Ł ue =  ...  e  ... 

    e_n u_n

Æ Łæ æ æ V . ´ß Ł Œ ß Æ Łæ u_e Œ ß

Łæ ee:

u1 = α11e1 + α21e2 + ... + αn1en;
u2 = α12e1 + α22e2 + ... + αn2en; ... un = α1ne1 + α2ne2 + ... + αnnen.	(8.2)

˛ º Ł 8.4.1. Ł Ø ı Æ Łæ e_eŒ Æ Łæ u_e ß æ Ł , æ Ł Œ Ł , æ æ º Ø Ł Œ Ł-

Ł ºŁ Ø ª ß Ł ŒŁæ ue Œ ß Æ Łæ

e. e
˛	º Ł 8.4.1 , Ł ı  >   α11 α21 ... αn1 α11 α12 ... α1n      α12 α22 ... αn2   α21 α22 ... α2n  Q =   =  .  ... ... ... ...   ... ... ... ...      α1n α2n ... αnn αn1 αn2 ... αnn
ˇ ß	æ ºÆ Ł ß º æ Œ Ł ßØ æ ºÆ Œ	u1.
´ ß	Œ Ł ßØ æ ºÆ Œ u2, Ł . .
˛	º Ł 8.4.2. Ł Ø ı Æ Łæ ee Œ Æ Łæ	u ß- e
æ	Ł Q, æ ºÆ Ł Œ Ø º æ Œ Ł ß æ ºÆ ß
Œ	Æ Łæ ue æŁ º Æ Łæ ee, æ

.

˛ º Ł 8.4.3. Ł

Ø

ı

Æ Łæ eeŒ Æ Łæ ue ß -

æ Ł Q, º æŁæ ß (8.2).

æ

u = Q>e e e

Ł Łæ

¯˛—¯ 8.4.1 ( Ł

Ł

ı

).

ºŁ ß æº øŁ

1. Ł ı

ª

Æ Łæ

Œ ª

º æ æ -

Æ Ø. ˛Æ , º Æ

æ Æ

Ł

ææ -

Ł Œ Œ Ł ª Æ Łæ .

ı

ª Æ

Łæ Œ Œ

2. Ł ß ı Æ

Łæ

e Œ Æ e

Łæ u Ł e

Æ Łæ u Œ Æ Łæ e e e

º æ Ł Æ

ß Ł.

˜ Œ º æ . 1) ˇ æ Q º Æ

æ Æ

Ł Ł ee -

ßØ Æ Łæ æ æ V . ˇ æ Ł

Œ ß u1,u2,...,un ŒŁ

8.4. ˇ ı ª Æ

Łæ Œ ª

. Ł

ı

Æ , Æß Łı Œ

Ł ß æ

ºÆ ß

æŁ

º

Æ

Łæ

e æ e

-

ºŁ æ æ ºÆ Ł

Ł ß Q.

ΠΠΠ|Q| 6= 0,

æ ºÆ ß

Ł ß Q

º

æ

ºŁ

Ø

Ł-

æŁ ß Ł, Ł Œ ß u1,u2,...,un Æ ºŁ Ø ŁæŁ ß Ł.

´ æŁº ª , Œ ß u₁,u₂,...,u_n Œ æ Æ Łæ u_e æ æ V .

ˇ æ Ł Æ Ł u_e = Q^>e_e, æ Ł Q º æ Ł Ø ı ª Æ Łæ e_e Œ æ Æ Łæ

u_e.

2) ˇ æ Ł Æ Łæ æ æ V . ˇ æ Q Ł ı e_eŒ u_e, R Ł ı . ª º Ł 8.4.3 Æ

Ł u_e = Q^>e_e, e_e= R^>u_e. ˛ æ , e_e= R^>(Q^>e_e) = (R^>Q^>)e_e= (QR)^>e_e.

æ Œ	ß	,	Ł	QR º æ	Ł Ø
ı eeŒ ee. ˝	Ø	Ł Ø	º	æ	Ł E, æº	º
QR = E. æ	ł Ł	Œ	ß	,	Q Ł R	æ Æ	ß

Ł Æ ß Ł ß, æ Q _{= R}⁻¹.

¯˛—¯ 8.4.2. ˚	Ł	ßØ æ	ºÆ	Œ	æŁ º	-
ª Æ Łæ Œ Ł	æ	ºÆ	ª	Œ	æŁ	º
æ ª Æ Łæ , Łæ Œ æ , æ	æº	Ł	ı	ª Æ -

,

ª R	Ł	ı	Æ	Łæ u Œ Æ Łæ e	e. e
˜ Œ	º æ	. ˇ æ ee	æ	ßØ Æ Łæ, ue	ßØ Æ	Łæ, R -
Ł	ı	u Œ ee, e	æ	e = R>u. e e	Ø æ	ß, Œ

. ª Ø æ ß, Œ

(aˇ>|ee· R>)ue = (R · aˇ|ee)>ue.
Œ Œ Œ ß Ł Œ	a	Æ	Łæ ue	º æ	Ł æ	ß ,

aˇ^>|u_e = (R·aˇ|_ee)^>. æ Ł Ł Ł ß, º Ł aˇ|_ue = R·aˇ|_ee.

8.5 ¸Ł Ø ß æ æ

ˇ æ V ºŁ Ø æ æ º k.

˛ º Ł 8.5.1. ˇ æ L Æ Łæ ª æ V ß æ æ Ø Ł ß æ , æºŁ æ Ø Ł æŁ º -

ª æº Ł Ł ł ª Ł , æ

1. (∀ a,b ∈ L) a + b ∈ L;

2. (∀ α ∈ k, a ∈ L) αa ∈ L.

º æ Ł . æ Ø Ł æ L, ææ æ æ Ł Ł ß Ł Ł Ł, Æ ºŁ Ø æ æ .

˜ Œ º æ . L ⊂ V Ł L æ Ø Ł æ , ª L ææ Ł Ł ß ŁŁ ª æº Ł Ł

ł ª Ł . ˇ Œ , (∀ a,b ∈ L) a − b ∈ L. ˜ Øæ Ł-

º , −b = −(1 · b) = (−1)b ∈ L, ª a − b = a + (−b) ∈ L. ŒŁ

Æ , (L,+) Æ Ł Ł ª ª ß (V,+). ˇ ß Ł ŒæŁ ß ºŁ Ø ª æ æ ß º æ L, æ º -

ß ß ŒæŁ ß, æ øŁ æ Œ ł Ł , ß º æ æ æ V , Æ ß º æ Ł æ Ø Ł æ L. Ł æ º , L º æ ºŁ Ø ß æ æ .

˛ º Ł 8.5.2. ¸Ł Ø ß æ æ æ æ V ß æ æ Œ ª æ Ø Ł æ L, ææ æ

æ Ł Ł ß Ł Ł Ł.

ˇ º Ł 8.5.1. ˇ æ Ł æ Øæ ºŁ Ø ßı -

æ æ ºŁ Ø ª æ æ V æ º æ æ æ æ æ V .

˜ Œ	º æ	. ´ æ	º , æ	{Li}	æ	Øæ	ºŁ	Ø ßı	-
æ	æ	æ æ	V . — ææ	Ł	æ

.

˝	Œ , L æ	Ø Ł	æ	æ	æ	V .
ˇ æ	a,b ∈ L ⇒ (∀ i)	a,b ∈ Li.	Œ Œ Œ Li	ºŁ Ø	-

æ æ , . º º , L

æ	Ø Ł	æŁ º	ª æº Ł .
º ªŁ	Œ ß	æ ,	(∀ α ∈ k,a ∈ L)	αa ∈ L.

º º , L æ æ æ æ V .

ˇ æ	A	æ ºŁ	Ø ª	æ æ V . — ææ	-
Ł æ ºŁ	Ø ß	æ	æ L	æ	æ	V , æ øŁ	-
æ A.	ŒŁ	æ	æ æ ø æ	,	Ł , æ æ
V . æ Ł	æ	Ł æ ı	Łı	æ	æ	L, æ

.

ˇ º	Ł	8.5.2. æ L(A)	Ł	ł	ºŁ Ø	-
æ	æ	æ æ V , æ ø	æ	A.
˜ Œ	º æ	. ˜ Øæ Ł º , Œ ,	L(A)	º æ	-

æ æ æ æ V æº Ł º Ł 8.5.1. ˜ º , æ A æ Ł æ æ ı L Œ ß ß æ Œ , æº º

A ⊂ L(A).

˝ Œ , º Æ ºŁ Ø æ æ L⁰, Œ , A ⊂ _L⁰. ª ı Ł æ æ Ł æ Œ ßı æ æ L,

æº º L(A) ⊂ L⁰.

˛ º Ł 8.5.3. ¸Ł Ø Ø Æ º Œ Ø æ A æ æ V ß æ Ł ł ºŁ Ø æ æ L_(A) æ æ V , æ ø æ A.

æ ª , æ æ L_(A) æ A ŁºŁ æ A.

ˇ º Ł 8.5.3 (æ	Ł L(A)). ¸Ł Ø	Æ º	Œ L(A) æ -
æ Ł Ł æ ºŁ	Ø ßı Œ ÆŁ ŁØ Œ	ßı	æ
æ A æ Œ Ł Ł	Ł Ł æ ª	º	k,	æ

)

Ł Ł æ α_a = 0 .

˜ Œ º æ . ´ æ º , Æ Ł : .

˝ Æı Ł Œ , L(A) = L⁰.

Ø æ ß, Œ Œ Œ A ⊂ _L(A), L_(A) æ Ł º Æ ºŁ-

Ø Œ ÆŁ Ł Œ ª æ æ Œ A,

æ L⁰ ⊂ L(A).

ª Ø æ ß, æ , L⁰ æ Ø Ł æ æ æ V , æº º , L⁰ ºŁ Ø æ æ æ æ V .

˚ ª , æ A ⊂ L⁰ ( Œ Œ Œ a = 1 · a + 0 · a₁ + 0 · a₂ + ...).

ª º Ł 8.5.2 L(A) ⊂ L⁰.

´ Ł ª º , L(A) = L⁰.

º æ Ł 8.5.0.1. ¯æºŁ A = {a₁,a₂,...,a_s}, ª Œ ß a₁,a₂,...,a_s

º æ ºŁ Ø ŁæŁ ß Ł, L(A) Œ , dim L(A) =

= s Ł

.

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , Œ , L(A) Ł Œ ßØ

Ł æº Ł º Ł 8.5.3. ª Œ ß a₁,a₂,...,a_s Œ æ Æ Łæ L(A), æº º , dim L(A) = s.

º _{æ Ł} 8.5.0.2_. ¯æºŁ ºŁ Ø æ æ V Œ , º Æ ª ºŁ Ø æ æ L Œ º æ Œ ß Ł

dim L 6 dim V . ¯æºŁ dim L = dim V , L = V .

˜ Œ º æ . ´ æ º , æ dim V = n Ł e₁,e₂,...,e_n Æ -

Łæ V . Œ Œ Œ L æ æ ºŁ Ø ª æ æ V ,

º Æß Œ ß . ´ Ł æº , Ł Æ æŒ -

æ Ł æ æ L ß Œ º Æß Æ æŒ æ æ æ V .

ˇ æ a₁,a₂,...,a_s Æ Łæ L, æ dim L = s. Œ Œ Œ a₁,a₂,...,a_s ºŁ Ø ß æ Æ Łæ e₁,e₂,...,e_n æ æ V , æØ ºŁ Ø Ø ŁæŁ æ Ł s 6 n, æ dim L 6 dim V .

¯æºŁ dim L = dim V , æ s = n, Œ ß a₁,a₂,...,a_n

Œ æ Æ Łæ æ æ V . ´ æŁº º Ł 8.5.3 Æ

Ł

˛ º Ł 8.5.4. Ø æ Øæ ºŁ Ø ßı æ æ {_Li} æ æ V ß æ ºŁ Ø Æ º Œ æ ,

ŁŒ - æ Æœ Ł Ł Æ Łæ ßı æ Łı ºŁØ ßı æ æ , æ

.

˛ º Ł 8.5.5. Ø æ Øæ ºŁ Ø ßı æ æ {_Li} æ æ V ß æ Ł ł ºŁ Ø æ æ -

æ æ V , æ ø æ æ æ ª æ Øæ .

ˇ º Ł 8.5.4 (æ Ł æ ß). L₁ + L₂ ı ºŁ-

Ø ßı æ æ æ æ æ Œ Ł

{a₁ + a₂| a₁ ∈ L₁,a₂ ∈ L₂}.

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , º Ł 8.5.4 Ł L₁ +L₂ =

= L(L₁ ∪ L₂). ´ Æ Ł L⁰ = {a₁ + a₂| a_i ∈ L_i, i = 1,2}. ˝ Œ , L₁ + L₂ = L⁰.

Ø æ ß, æ , L⁰ æ Ø Ł æ æ æ V , L⁰ ºŁ Ø æ æ æ æ V .

˜ º , L₁ ⊂ L⁰. ˜ Øæ Ł º , (∀ a₁ ∈ L₁) a₁ = a₁ + 0, ª 0 ∈ L₂.

º ªŁ , L₂ ⊂ L⁰, Ł (∀ a₂ ∈ L₂) a₂ = 0+a₂, ª 0 ∈ L₁. ˛ æ ,

L₁ ∪ L₂ ⊂ L⁰, æº º L(L₁ ∪ L₂) ⊂ L⁰, æ L₁ + L₂ ⊂ L⁰.

ª Ø æ ß, Ł º ßØ Œ a _{∈ L}⁰. ¯ª

æ Ł Ł a = a₁ + a₂, ª a₁ ∈ L₁, a₂ ∈ L₂. ´ Œ ß a₁,a₂ ∈

∈ L1 ∪ L2, æº	º a = a1 + a2 ∈ L(L1 ∪ L2) = L1 + L2,	æ
a ∈ L1 + L2. ¨	L0 ⊂ L1 + L2.

ŒŁ Æ , Ł ı Œº ŁØ º , L₁ + L₂ = L⁰.

˙		Ł 8.5.1. Œ , Æø	æº
 X X Ł Ł Li = ai| ai ∈ Li (i)  (i)	æ	  ai = 0 . 
˛		º Ł 8.5.6. ºŁ Ø ßı	æ	æ L1 +L2 ß -
æ		Ø, æºŁ L1 ∩ L2 = {0}.
ˇ		æ Æ æ L1 ⊕ L2.
¸	8.5.1. ¸ Æ ºŁ Ø ŁæŁ	æŁæ	Œ Œ -
ª ºŁ Ø ª æ æ V	º Ł Æ Łæ -
æ	æ	V .
˜ Œ	º æ . ˇ æ a1,a2,...,as ºŁ	Ø	ŁæŁ æŁæ
Œ	Ł V Ł e1,e2,...,en Æ Łæ æ	æ	V , dim V = n. — æ-
æ	Ł	æº ø æŁæ Œ
a1,a2,...,as,e1,e2,...,en.		(8.3)
¨	Ø æŁæ ß Œ (8.3) º			Œ ß, Œ ß ºŁ-
Ø	ß æ ß øŁ . ˇ ß s			Œ æ æ
æ	, Œ Œ Œ Ł ºŁ Ø ŁæŁ ß . ˇ º Ł
a1,a2,...,as,ei1,ei2,...,eik.			(8.4)

Łæ Œ (8.4) Æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø, Œ Œ Œ Ł Ł Œß æ æ º ß Œ ß.

˜ º , º Æ Ø Œ a _{∈ V} , ºŁ Ø ß æ æŁæ (8.3),

Æ ºŁ Ø ß æ Ł æŁæ (8.4), Œ Œ Œ º ß Œß Ł æŁæ ß (8.3), ºŁ Ø ß æ æŁæ (8.4). ŒŁ

Æ , æŁæ Œ (8.4) Æ æ æ º Æ Łæ æ æ V .

Æ Łæ º Ł æŁæ ß a₁,a₂,...,a_s Æ º Ł Œ ßı Œ. k = n − s.

¯˛—¯ 8.5.1 ( æ Ł æ ß ı ºŁ Ø ßı æ æ ). — æ æ ß ı ºŁ Ø ßı æ æ Œ -

ª ºŁ Ø ª æ æ V æ æ Ø Łı

ºŁ Ø ßı æ æ Æ æ Ł Łı æ Ł , æ

dim (L₁ + L₂) = dim L₁ + dim L₂ − dim (L₁ ∩ L₂).

˜ Œ º æ . ˇ æ L1 Ł L2 ºŁ Ø ßı		æ		æ	-
æ	æ V . ˛Æ Ł L = L1 ∩ L2. ˇ æ	æŁæ		Œ
e1,e2,...,er	(8.5)
Æ Łæ L. ¯æºŁ L = {0}, r = 0 Ł Æ Łæ Æ	æ	æ .
ˇ	º Æ Łæ L º Ł Æ Łæ L1
e1,e2,...,er,ur+1,...,us,	(8.6)
ª	(8.6) Æ Łæ L1, dim L1 = s. º ªŁ , º Ł Æ Łæ L2	º	Æ	Łæ L
e1,e2,...,er,vr+1,...,vt,	(8.7)
ª	(8.7) Æ Łæ L2, dim L2 = t. — ææ Ł æº ø æŁæ Œ

e₁,e₂,...,e_r,u_r+1,...,u_s,v_r+1,...,v_t. (8.8)

ˇ Œ æŁæ (8.8) º æ Æ Łæ L_{1 + L2}. ˜ Øæ Ł º ,

Ł º ßØ Œ x ∈ L₁ + L₂. ª x = a + b, ª a ∈ L_{1, b} ∈ _L2. — º ª Œ a Æ Łæ (8.6), Œ b Æ Łæ (8.7) Ł

挺 ß º ß ß Ł , ß º Ł , Œ x ºŁ Ø ß æ æŁæ (8.8).

˛æ æ Œ , æŁæ Œ (8.8) º æ ºŁ Ø -

ŁæŁ Ø. — ææ Ł ºŁ Ø Œ ÆŁ Ł

α1e1 +...+αrer +βr+1ur+1 +...+βsus +γr+1vr+1 +...+γtvt = 0. (8.9)

˝ Œ , æ æŒ º ß αi,βi,γi = 0. — ææ Ł Œ

x = α₁e₁ + ... + α_re_r + β_r+1u_r+1 + ... + β_su_s. (8.10)

¨ æ (8.9) Ł , Œ

x = −γ_r+1v_r+1 − ... − γ_tv_t. (8.11)

— æ (8.10) Œ ß , Œ x _{∈ L1}, æ (8.11)

Œ ß , Œ x ∈ L₂, æº º x ∈ L₁ ∩ L₂ = L.

º º , Œ x ß Ł Æ Łæ L.

. (8.12)

Ł (8.10) Ł (8.12). ´ß Ł Œ x Æ Łæ (8.6) º

Æß Ł æ ß , ª

.

ª æ (8.9) Ł Ł Ł

α₁e₁ + ... + α_re_r + γ_r+1v_r+1 + ... + γ_tv_t = 0. (8.13)

Œ Œ Œ Æ Łæ (8.7) º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø æŁæ Ø Œ ,

Ł æ (8.13) æº , æ æŒ º ß α₁ = ... = α_r = γ_r+1 =

= ... = γ_t = 0.

´Ł , æŁæ Œ (8.8) º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø, æº º , æŁæ Œ (8.8) º æ Æ Łæ L_{1 + L2}. ª

dim (L₁ +L₂) = Łæº Œ Æ Łæ (8.8) = r+(s−r)+(t−r) = s+

+t−r = dim L₁+dim L₂−dim L = dim L₁++dim L₂−dim (L₁∩L₂).

º _{æ Ł} 8.5.1.1_. — æ Ø æ ß æ æ Ø æº ª ßı.

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , æºŁ L₁ + L₂ æ ,

º Ł L₁ ∩L₂ = {0}, dim {0} = 0. ˇ º , dim (L₁ ⊕L₂) =

= dim L₁ + dim L₂.

ˆº 9

¸Ł Ø ß ß ºŁ Ø æ æ

9.1 ˇ æ æ Ł ºª Æ ºŁ Ø ßı

ˇ æ V Ł V ⁰ ºŁ Ø ßı æ æ Ł Ł æ ß º k.

˛ º Ł 9.1.1. ¸Ł Ø ß Ł æ æ V æ æ V ⁰ Ł Ł º k ß æ æ Œ Æ Ł f : V → V ⁰, º ø æº Ł :

1. (∀ a,b ∈ V ) f(a + b) = f(a) + f(b);

2. (∀ α ∈ k,a ∈ V ) f(αa) = αf(a).

´Ł , Ł ºŁ Ø ßØ ¿ º æ Æ Æø Ł -

Ł Ł Ł ¿. ´ æº Ł Ł , Æ º æ Æß f Æߺ

ÆŁ Œ Ł Ø. æº Ł 1) , f º æ ª Ł (_V,+)

. æº Ł 1) ß æ æº Ł Ł Ł æ Ł, æº Ł 2) ß æ æº Ł æ Ł.

˛ º Ł 9.1.2. ¸Ł Ø ß Ł æ æ V æ æ V ⁰ Ł Ł æ ß º k ß æ æ Œ

58

9.1. ˇ æ æ Ł ºª Æ ºŁ Ø ßı

Æ Ł f _{: V} → _V ⁰, º ø æº Ł ºŁ Ø æ Ł:

(∀ α,β ∈ k, a,b ∈ V ) f(αa + βb) = αf(a) + βf(b).

˛Æ Ł L_(V,V ⁰₎ æ æ ı ºŁ Ø ßı Ł æ æ V æ æ V ⁰. ˝ æ ææ Ł

ºª Æ Ł æŒŁ ŁŁ: æº Ł Ł ł Ł .

˛ º Ł 9.1.3. ˇ æ f,g ∈ L(V,V ⁰) Ł α ∈ k. ˇ º ª , (f +

g)(a) = f(a) + g(a) Ł (αf)(a) = αf(a).

˛ º Ł 9.1.3 Œ Œ æ ßæº , f _{+ g} Ł αf º æ ºŁ Ø ß Ł Ł.

˜ Øæ Ł º , (∀ α,β ∈ k, a,b ∈ V ) (f +g)(αa+βb) = f(αa+βb)+

+g(αa+βb) = αf(a)+βf(b)+αg(a)+βg(b) = α(f(a)+g(a))+β(f(b)+

+ g(b)) = α(f + g)(a) + β(f + g)(b). º º f + g ∈ L(V,V ⁰).

¯ø ø Œ ß æ , αf ∈ L(V,V ⁰).

¯˛—¯ 9.1.1. æ L(V,V ⁰), ææ æ æ -

º ß Ł Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø æº Ł Ł ł Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø Ł , Æ ºŁ Ø æ æ º k.

˜ Œ º æ . ˇ æ f,g,h ∈ L(V,V ⁰),α,β,1 ∈ k. ˜º Œ º æ ß æ Œ , ß º æ 7 ŒæŁ ºŁ Ø ª æ æ , Ł

1. f + g = g + f;

2. f + (g + h) = (f + g) + h;

3. (∀ f,g)(∃ h) g + h = f;

4. α(f + g) = αf + αg;

5. (α + β)f = αf + βf;

6. (αβ)f = α(βf) = β(αf);

7. 1 · f = f.

ˇ Ł Œ ß Ł Łı.

1) ¨ (∀ a ∈ V ) (f+g)(a) = f(a)+g(a) = g(a)+f(a) = (g+f)(a).

º º , f + g = g + f.

3) ¨ f,g ∈ L(V,V ⁰). — ææ Ł Æ Ł h : V → V ⁰, -

º æº øŁ Æ (∀ a ∈ V ) h(a) = f(a) − g(a). ¸ ªŒ -

Œ	,	Æ	Ł	º æº	Ł ºŁ Ø æ Ł, æº -
º	, h ∈ L(V,V 0). ˇ	æ Ł	(∀ a ∈ V )	(g+h)(a) = g(a)+h(a) =

= g(a) + (f(a) − g(a)) = f(a). º º , g + h = f.

ˇ æ V,V 0,V 00 Ł ºŁ Ø ßı	æ æ	º k,	æ
f ∈ L(V,V 0), ϕ ∈ L(V 0,V 00). ª	ææ	Ł	Œ	Ł Ł
ºŁ Ø ßı ϕ◦f : V → V 00, Œ	º	æ æº	øŁ
Æ (ϕ ◦ f)(a) = ϕ(f(a)). Œ	Ł Ł	ϕ ◦ f Æ	Æ

ϕf.

ˇ Œ , ϕf æ ºŁ Ø ßØ Ł æ æ V _V ⁰⁰.

˜ Øæ Ł º , ϕf(αa + βb) = ϕ(f(αa + βb)) = ϕ(αf(a) + βf(b)) = = αϕ(f(a)) + βϕ(f(b)) = α(ϕf)(a) + β(ϕf)(b). º º , ϕf ∈

∈ L(V,V ⁰⁰).

¯˛—¯ 9.1.2. ˇ æ f,g ∈ L(V,V ⁰), ϕ,ψ ∈ L(V ⁰,V ⁰⁰), h ∈ L(V ⁰⁰,V ⁰⁰⁰), α ∈ k. ª æ ºŁ ß æº øŁ æ ł Ł :

1. ϕ(f + g) = ϕf + ϕg;

2. (ϕ + ψ)f = ϕf + ψf;

3. h(ϕf) = (hϕ)f;

4. α(ϕf) = (αϕ)f = ϕ(αf).

9.1. ˇ æ æ Ł ºª Æ ºŁ Ø ßı

ˇ æ f,g,ϕ,ψ,h ∈ L(V,V ), æ ºŁ Ø ß Ø ª æ æ V æ Æ .			ß Ł ºŁ-
˛ º Ł 9.1.4. ¸Ł Ø ßØ Ł V V ß æ Ł .			-
˝ æ L(V,V ) ææ Ł ºª Æ			Ł æŒ
Ł Ł . ¯æºŁ f,ϕ ∈ L(V,V ),			º ª
ϕf = ϕ ◦ f : V → V , ϕf ∈ L(V,V ). ˜º	Ø	ŁŁ	Ł
æ ºŁ ß æ ł Ł 1) 4)	ß 9.1.2.
¯˛—¯ 9.1.3. æ L(V,V ), ææ	æ	æ -
º ß Ł ºª Æ Ł æŒŁ Ł	Ł Ł:	Ł Ł
æº Ł Ł Ł Ł ł Ł º k.	Ł	, Æ	ºª Æ
9.1.3 , ŁŁ æº øŁ 10 ŒæŁ : 1) 7) ŒæŁ ß ºŁ Ø ª æ æ ; 8) f(g + h) = fg + fh, (f + g)h = fh + gh; 9) f(gh) = (fg)h; 10) α(fg) = (αf)g = f(αg).	æ	L(V,V )	º -
˚ Œ Ł æ Œ ºª Æ , ºª Æ ºŁ Ø ßı	æ æ	Ł Ł

ı ºª Æ Ł æŒŁı æ Œ : æ Œ ß ºŁ Ø ª æ æ ( ŒæŁ ß 1) 7)) Ł æ Œ ß Œ º ( ŒæŁ ß 1) 3) Ł 8) 9)). Ł æ Œ ß æ ß æ Æ Ø æ Øæ 10).

´ º ł Øł , æ L(V,V ) Æ Æ L(V ). ˇ Ł ß:

1) ˝ º Ø ºŁ Ø ßØ Ł L_{(V )}. ˛ Æ æ 0_V .

˛ º æ ŒŁ Æ (∀ a ∈ V ) 0_V (a) = 0. æ ,

(∀ f ∈ L(V )) f + 0_V = f.

2) æ ßØ ºŁ Ø ßØ Ł L(V ). ˛Æ				æ 1V .
˛ º æ ŒŁ Æ (∀ a ∈ V ) 1V (a)			=	a. æ ,
(∀ f ∈ L(V )) 1V · f = f · 1V = f.		,	ºª Æ L(V )
æ Ł Ł .
9.2 Ł ºŁ	Ø ª	Œ
ºŁ Ø	æ æ
˙ æ ß º Ł Æ ª dim V = n.	Ł æ ı ºŁ Ø ßı	ºª Æ ß L(V ),
¯˛—¯ 9.2.1. ˇ æ	e1,e2,...,en Æ	Łæ ºŁ	Ø	ª æ -
æ V . ˇ æ V 0	ª ºŁ Ø æ	æ	º k Ł

Ł º æŁæ Œ Ł V ⁰. ª æ ø æ -

Ł æ	ßØ ºŁ	Ø ßØ	f ∈ L(V,V 0),	øŁØ Æ Łæ
æ æ	V	æŁæ	Œ æ	æ	V 0,

æ

.

˜ Œ º æ . 1) ¯ Ł æ æ .

ˇ æ æ ø æ ºŁ Ø ßØ f ∈ _L(V,V ⁰₎ Œ Ø, (∀ ₁ 6

6 i 6 n) f(e_i) = a⁰_i. ¸ Æ Ø Œ a ∈ V æ Ł Ł . ª

.

˜ æ Ł , æ ø æ ª Ø ºŁ Ø ßØ f₁ ∈ _L(V,V ⁰₎, -

º øŁØ æº Ł . ª

.

º º f₁ = f.

2) ø æ Ł .

ˇ æ a ∈ _V . ª ⁿ . ˛ ºŁ Æ Ł f _{: V} → _V ⁰ æº øŁ Æ

.

ˇ Œ , Æ Ł º æº Ł ºŁ Ø æ Ł. ˜ Øæ Ł º , æ . ª

¯ø ø Œ ß æ , f(αa) = αf(a), ª α ∈ k. ŒŁ Æ ,

Æ Ł f ∈ L(V,V ⁰). ˝ Œ , (∀ 1 6 i 6 1) f(e_i) = f(0·e₁+...+

.

º _{æ Ł} 9.2.1.1_. ¸Ł Ø ßØ Ł V _V ⁰ º æ Æ Ł Æ Łæ ßı Œ æ æ V . ß Œ Ł Œ º æ Ø æ Ł ß 9.2.1.

º æ Ł 9.2.1.2.		æ	ºŁ	Ø ßı	Ł V V 0	ı Ł -
æ Ł	æ	æ ŁŁ æ	æ	ßı
æŁæ Ł n-	Œ	æ	æ	V .
ˇ æ V	ºŁ Ø	æ	æ	º k, dim V	= n,
e1,e2,...,en	Æ Łæ	æ	æ	V . ˇ æ ,	º , f ∈ L(V ),	æº -
æ Ł Ł	ß 9.2.1,	Ł æ	ß Æ	º -
æ Æ	Ł Æ Łæ ßı	Œ	f(e1),f(e2),...,f(en) ∈ V . —		º Ł

Ł Æ ß Æ Łæ æ æ V , º Ł

f(e1) = α11e1 + α12e2 + ... + α1nen;

f(e₂) = α₂₁e₁ + α₂₂e₂ + ... + α_2ne_n; (9.1)

...

f(en) = αn1e1 + αn2e2 + ... + αnnen.

˛ º Ł 9.2.1. Ł Ø ºŁ	Ø	ª	f ∈ L(V ) -
æŁ º Æ Łæ e1,e2,...,en ß	æ	Ł	,	æ Ł Œ
Ł , æ æ º Ø Ł Œ Ł Ł Æ Łæ ßı Œ Æ Łæ.	ºŁ Ø	ª	ß Ł Æ
 > α11 α12 ... α1n    α21 α22 ... α2n  Af|ee =  ... ... ... ...     αn1 αn2 ... αnn	=	 α11   α12   ...   α1n	α21 α22 ... α2n	 ... αn1  ... αn2  . ... ...   ... αnn
˛ º Ł 9.2.2. Ł Ø ºŁ Ø		ª	f ∈ L(V ) æŁ-
º Æ Łæ e1,e2,...,en ß æ		Ł , æ	ºÆ	Ł Œ Ø º -
æ Œ Ł ß æ ºÆ ß Œ f(e1),f(e2),...,f(en) æŁ º -

Łæ e, æ

e

A_f|ee = (f^ˇ(e₁)|_ee,f^ˇ(e₂)|_ee,...,f^ˇ(e_n)|_ee).

˛ º Ł 9.2.3. ¯æºŁ Æ Ł

    e₁ f(e₁)

     e₂   f(e₂) 

e =   Ł f(e) =  , e  ...  e  ... 

    e_n f(e_n)

Ø ºŁ Ø ª f æŁ º Æ Łæ e ß æ

_e

Ł A_f, º Ł æ

f(ee) = A^>_f e._e

¯˛—¯ 9.2.2. ˇ Ł ŁŒæŁ Æ Łæ e_e ºŁ Ø ª æ æ V , dim V = n, Æ Ł σ : L(V ) → M(n,k), æ æ º ø

ºŁ Ø f ª Ł æŁ º Æ Łæ ),

º æ Ł Ł ºª Æ ß ºŁ Ø ßı L(V ) ºª Æ Œ ßı Ł n-ª Œ M(n,k).

˜ Œ º æ . ˇ e_e Œ ßØ Æ Łæ æ æ V . — ææ Ł

Æ Ł σ : L(V ) → M(n,k), σ(f) = A_f, ª A_f Ł ºŁ Ø-

ª f æŁ º Æ Łæ e_e. ˇ Œ , Æ Ł º æ Ł Ł .

1) ¨ œ Œ Ł æ σ.

ˇ æ σ(f) = σ(g), ª f,g ∈ L(V ). , A_f = A_g ⇒

. ß º ŁºŁ, Æ ß

Æ Łæ ßı º æ æ V æ . ª æº æ Ł Ł ß 9.2.1 æº , f _{= g}.

2) œ Œ Ł æ σ.

ˇ æ A ∈ M(n,k). ˇ æ Ł n Œ æ æ V Œ, Æß Œ Ł ß æ ºÆ ß Łı Œ æŁ º Æ Łæ e_e æ ºŁ æ æ ºÆ Ł Ł ß A. ª 9.2.1 æ ø æ ºŁ Ø ßØ f ∈ L(V ), øŁØ Æ Łæ e_e æ ß Ł Œ ß.

ˇ æ Ł Æ Ł . ˛ æ Ł , æºŁ æ Ł

æ º Ł 9.2.3, A^> = A^>_f . ŒŁ Æ , σ(f) = A_f = A.

3) ı Ł ŁØ.

ˇ æ f,g ∈ L(V ) Ł A_f,A_g Ł ß Łı ºŁ Ø ßı æŁ º Æ Łæ e_e. ª .

— ææ Ł Øæ Ł æ ß ºŁ Ø ßı f _{+ g} Æ Łæ ß

Œ ß. Ø æ ß, .

ª Ø æ ß,

= (A_f + A_g)^>e.

˛ æ , . ŒŁ Æ , -

Ł æ ß ºŁ Ø ßı æ Ł Łı . º º

σ(f + g) = A_f+g = A_f + A_g = σ(f) + σ(g), æ Æ Ł σ æ ı æº Ł .

— ææ Ł Øæ Ł Ł Ł ºŁ Ø ßı fg Æ Łæ ß Œ ß. Ø æ ß, .

ª Ø æ ß,

.

˛ æ , A>fg = (AfAg)> ⇒ Afg = AfAg, æ Ł Ł -

Ł ºŁ Ø ßı Ł Ł Ł Łı . º º

σ(fg) = A_fg = A_fA_g = σ(f)σ(g),

æ	Æ	Ł σ æ ı	Ł .
˝ Œ	, æ	æ æ	Œ	ß	æ ,	Aαf = αAf ⇒ σ(αf) =

= ασ(f), ª α ∈ k.

ˇ º Ł	9.2.1. ˚	Ł ßØ æ ºÆ Æ	Œ	Ł Ø-
æ ŁŁ ºŁ Ø ß	Œ Ł æ	ºÆ	ª Œ-
, æ	æº	Ł ª ºŁ Ø f(ˇa) = Afa.ˇ	ª	,
˜ Œ º æ	. ˜ Øæ Ł	º , Œ a = aˇ>ee.	Ø æ ß,

. ª Ø æ ß,

. ¨ , f(^ˇa)^> = (A_faˇ)^> ⇒ f(^ˇa) = A_faˇ.

˛ º Ł 9.2.4. Ł B ß æ Æ Ø Ł A (B _∼

A) º k, æºŁ æ ø æ æ Æ Ł Q æ º Ł Ł º k Œ ,

B = Q⁻¹AQ.

¨ ª ª , Ł B º	æ Ł	Ł -
Ł ß A æ ø Ł ß Q, ŁºŁ Ł Ł ß A æ ø Ł ß Q.	B Æ	Ł -
˙ Ł 9.2.1. ¯æºŁ Ł ß B Ł A Œ ß Ł Ł Œ Ø æ Ł.	Æ ß, Ł	º ß Æß
ˇ º Ł 9.2.2. ˛ ł Ł ÆŁ Ł º æ Ł æ M(n,k). ˜ Œ º æ . 1) — º ŒæŁ æ .	º æ	ł Ł Œ-
¨ A = E−1AE, ª A ∼ A, º Ł . 2) Ł Ł æ .	Ł ß Q Łª	Ł Ł
ˇ æ B ∼ A. , (∃ Q,|Q| 6= 0) B = Q−1AQ ⇒ ⇒ QBQ−1 = Q(Q−1AQ)Q−1 ⇒ QBQ−1 = A ⇒ A = (Q−1)−1BQ−1 ⇒ ⇒ A ∼ B, º Ł ß Q Łª Q−1. 3) Ł Ł æ .

ˇ æ C ∼ B, B ∼ A, ª (∃ R,|R| 6= 0) C = R⁻¹BR, Ł

(∃ Q,|Q| 6= 0) B = Q⁻¹AQ. º º C = R⁻¹(Q⁻¹AQ)R = = (QR)⁻¹A(QR) ⇒ C ∼ A, º Ł ß Q Łª QR.

¯˛—¯ 9.2.3.		Ł ß ª Ł ª ºŁ	Ø ª	f
ºŁ ßı Æ	Łæ ı	Æ ß. ˇ Ł Ł	Af|u º e	æ	Ł
Ł ß Af|e e	æ	Ł Ł Ł øŁ	Ł ß	ı
Æ Łæ e Œ Æ Łæ e	u, e	æ Af|u = Q−1Af|eQ, e e
ª Q Ł	ı e Œ u.

e e

˜ Œ º æ . ˇ æ dim V = n, e_e Ł u_e Æ Łæ æ æ

V , f ∈ L(V ), A_f|ee Ł A_f|ue Ł ß f æŁ º ee Ł ue æ æ . ª

ˇ æ , Œ , Q Ł ı Œ , æ .

Ø æ ß,

= (A_f|eQ)^>ee. ª Ø æ ß,

. ŒŁ Æ ,

.

º æ	Ł 9.2.3.1. ¯æºŁ Af	Ł ºŁ Ø ª	f æŁ-
º	Æ Łæ ee Ł B ∼ Af,	Ł B ææ	Ł Œ Œ
Ł æ .	ºŁ Ø ª f	æŁ º Œ ª	ª ª Æ Ł-
˜ Œ	º æ . ˜ Øæ Ł º ,	Œ Œ Œ B ∼ Af,	(∃ Q,|Q| 6=
6= 0)	B = Q−1AfQ. — ææ Ł	ßØ Æ Łæ ue = Q>ee.	Œ Œ Œ Q
æ Æ	Ł , ue Æ ß Æ Łæ . ˇ		9.2.3 Ł

.

9.3 — ª Ł	Œ ºŁ Ø ª
ˇ æ V Ł V 0 ∈ L(V,V 0).	ºŁ Ø ßı æ	æ	º	k,	æ	f ∈

˛ º Ł 9.3.1. ˛Æ ºŁ Ø ª f (Im f) ß æ æ Æ æ ı º æ æ V . ºŁ Ø ª f (Ker f) ß æ æ ı Œ æ æ V , Œ ß Ł Æ ŁŁ f æ º æ æ V ⁰.

¨ ª º Ł Ł ,

Im f = {f(a)| a ∈ V }, Ker f = {a ∈ V | f(a) = 0}.

9.3. — ª Ł Œ ºŁ Ø ª

ˇ º Ł 9.3.1. Ł Æ ºŁ Ø ª f ∈ L(V,V ⁰)

º æ ºŁ Ø ß Ł æ æ Ł æ æ V Ł V ⁰ æ æ .

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , (∀ α,β ∈ k,a,b ∈ Ker f) Ł

f(αa + βb) = αf(a) + βf(b) = α · 0 + β · 0 = 0 ⇒ αa + βb ∈ Ker f.

, Ker f º æ æ Ø Ł ß æ æ æ V , æº º , º æ ª ºŁ Ø ß æ æ .

ˇ æ a⁰,b⁰ ∈ Imf. , (∃ a,b ∈ V ) f(a) = a⁰,f(b) = b⁰.

ª (∀ α,β ∈ k,a⁰,b⁰ ∈ Im f) Ł

αa⁰ + βb⁰ = αf(a) + βf(b) = f(αa + βb) ∈ Im f.

˛ æ Im f º æ æ Ø Ł ß æ æ æ V ⁰, æº º , º æ ª ºŁ Ø ß æ æ .

ˇ º Ł 9.3.2. ¯æºŁ V	Œ	ºŁ	Ø	æ	æ
Ł f ∈ L(V,V 0), Ł Æ	ºŁ	Ø	ª	f	º	æ	Œ -

ß Ł ºŁ Ø ß Ł æ æ Ł.

˜ Œ º æ . ´ æ º , Œ Œ Œ V Œ ºŁ Ø æ æ , Ł º Æ ª æ æ , æ æ Ł Ker f, Œ º æ Œ ß .

ˇ Ø Œ Æ Im f. ˇ æ e₁,e₂,...,e_n Æ Łæ æ æ V .

ª. ª

.

˝ ºŁ Ø Æ º Œ , Œ ß Łæº Œ , º æ Œ Ø Ł Ł

dim L({f(e₁),...,f(e_n)}) = rang {f(e₁),...,f(e_n)}.

º º , Im f º æ Œ ß ºŁ Ø ß æ -

æ .

˛ º Ł 9.3.2. ¯æºŁ V Œ ºŁ Ø æ æ

Ł f ∈ L(V,V ⁰), ª ºŁ Ø ª f r(f) ß æ æ ª Æ , Œ ºŁ Ø ª f d_(f) ß æ æ ª .

¨ ª º Ł Ł , r(f) = dim Im f, d(f) =

= dim Ker f.

º æ Ł . r(f) = r {f(e₁),...,f(e_n)}.

º æ Ł . ¯æºŁ f ∈ _{L(V )}, ª ºŁ Ø ª f ª Ł ß ª ºŁ Ø ª æŁ º º Æ ª Æ Łæ , æ

r(f) = r(A_f).

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , ß ø æº æ Ł Ł

r(f) = r {f(e₁),...,f(e_n)}. — ææ Ł æ ßØ Ł Ł σ :

V _{→ k}ⁿ æŁ º Æ Łæ . ª . ˇ Ł Ł Ł ª æŁæ ß Œ Ł æ ,

.

¯˛—¯	9.3.1 ( ª Ł Œ ºŁ Ø ª ). ¯æºŁ
V Œ	ºŁ Ø æ æ , dim V = n, f ∈ L(V,V 0),
æ	ª Ł Œ ºŁ Ø ª f æ Ł
æ æ	V , æ r(f) + d(f) = n.
˜ Œ º æ	. ´ Æ Ł d = d(f) = dim Ker f. ˇ æ
e1,e2,...,ed	Æ Łæ Ker f. ˜ º Ł Æ Łæ Æ Łæ æ -
æ V , º	Ł e1,e2,...,ed,ed+1,...,en Æ Łæ V . ˇ æº æ Ł Œ
º Ł	9.3.2 Ł

r(f) = r {f(e₁),f(e₂),...,f(e_d),f(e_d+1),...,f(e_n)} = r {f(e_d+1),...,f(e_n)}.

9.4. ˛Æ Ł æ ºŁ Ø ª

ˇ Œ , Œ ß f(e_d+1),...,f(e_n) º æ ºŁ Ø ŁæŁ ß-

Ł. ˇ æ

α_d+1f(e_d+1) + ... + α_nf(e_n) = 0;

f(αd+1ed+1 + ... + αnen) = 0 ⇒ αd+1ed+1 + ... + αnen ∈ Ker f.

— º Ł º Æ Łæ Ker f. ¨

αd+1ed+1 + ... + αnen = β1e1 + ... + βded;

−β1e1 − ... − βded + αd+1ed+1 + ... + αnen = 0.

Œ Œ Œ e₁,e₂,...,e_n Æ Łæ æ æ V , β₁ = ... = β_d = α_d+1 =

= ... = α_n = 0. ŒŁ Æ , Œ ß f(e_d+1),...,f(e_n) º æ ºŁ Ø ŁæŁ ß Ł. ª r(f) = r {f(e_d+1),...,f(e_n)} = n − d ⇒ ⇒ r(f) + d(f) = n − d + d = n.

9.4 ˛Æ Ł æ ºŁ Ø ª

ˇ æ V ºŁ Ø æ æ º k. — ææ Ł ºª Æ
L(V ). ´ Ø ºª Æ æ Ł Ł , º Ł Ł ß ß º æ ßØ 1V . ˝ Ł , (∀ a ∈ V ) 1V (a) = a.	-
˛ º Ł 9.4.1. ¸Ł Ø ßØ f ∈ L(V ) ß æ	Æ -
Ł ß , æºŁ Æ Ł Œ Œ º º Ł ºŁŒ Ł Ø º ª Œ º L(V ), æ (∃ f−1 ∈ L(V )) ff−1 = f−1f = 1V .	ß
¯˛—¯ 9.4.1 (Œ Ł ŁØ Æ Ł æ Ł ºŁ Ø ª	).
˜º ª , Æß ºŁ Ø ßØ f ∈ L(V ) Æߺ Æ Ł ß	Æ-
ı Ł Ł æ , Æß Œ Œ Æ Ł Æߺ ÆŁ Œ Ł	ß .
˜ ªŁ Ł æº Ł, f Æ Ł ª Ł º Œ ª , Œ ª f Ł Ł V V . ˜ Œ º æ . 1) ˝ Æı Ł æ .	Ł -

ˇ æ f ∈ _{L(V )} º æ Æ Ł ß . ˇ º Ł 9.4.1 (∃ _f⁻¹ ∈

L(V )) ff⁻¹ = f⁻¹f = 1_V . ˝ Œ , f º æ ÆŁ Œ Ł Ø.

ˇ æ f(a) = f(b). ˇ Ł Ł Œ æ Æ Ł f−1, º -

Ł f⁻¹(f(a)) = f⁻¹(f(b)) ⇒ (f⁻¹f)(a) = (f⁻¹f)(b) ⇒ 1_V (a) = 1_V (b) ⇒

⇒ a = b. ˇ æ b ∈ V . ˝ Œ , (∃ a ∈ V ) f(a) = b. ˇ æ -

Ł Œ b Œ a = f⁻¹(b). ª f(a) = f(f⁻¹(b)) =

= (ff⁻¹)(b) = 1_V (b) = b, æ f º æ ÆŁ Œ Ł Ø.

2) ˜ æ æ .

ˇ æ ∈ L(V ) Ł f º æ ÆŁ Œ Ł Ø. ª (∃ f⁻¹ : V → V ) ff⁻¹ =

= ff−1 = 1V . Æ Ł f−1 Œ º æ ÆŁ Œ Ł Ø. ˝

Œ , f−1 ∈ L(V ), æ f−1 º æº Ł ºŁ Ø-

æ Ł. ˇ æ a,b ∈ V , ª (∃ a⁰,b⁰ ∈ V ) f(a⁰) = a,f(b⁰) = b. ˛ æ f⁻¹(a) = a⁰, f⁻¹(b) = b⁰. ´ Ł º ß α,β ∈ k, æ æ Ł

f(αa⁰ + βb⁰) = αf(a⁰) + βf(b⁰) = αa + βb ⇒

⇒ f⁻¹(αa + βb) = αa⁰ + βb⁰ = αf⁻¹(a) + βf⁻¹(b).

˛ Æ Ł f⁻¹ º æº Ł ºŁ Ø æ Ł, æº º

f⁻¹ ∈ L(V ).

9.5 Œ Łæ Ł æŒŁØ		ª º		Ł ß Ł ºŁ-
Ø	ª
ˇ æ k æ	º Ł k[λ] Œ º	ª	º	Ł	æ ª λ.
˛ º Ł	9.5.1. λ- Ł Ø (	ª º	Ø	Ł	Ø)	º
k ß æ	Ł , º Ł Œ	Ø	º æ	º	ß Œ º
k[λ], æ	ª º ß λ æ Œ	Ł Ł	Ł Ł	º	k.
λ- Ł ß	挺 ß ,	,	æŒ º ß
Łº , Ł æŒ º	ß	Ł ß. ˇ æ		A =

= (α_ij), α_ij ∈ k, i,j = 1,n. ŒŁ Ł ß Æ ß æŒ º ß Ł.

9.5. Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß Ł ºŁ Ø ª

˛ º Ł 9.5.2. Œ Łæ Ł æŒ Ø Ł Ø º Œ Ø æŒ º Ø Ł ß A ß æ λ- Ł Ł λE − _A, æ

  λ − α11 −α12 ... −α1n    α21 λ − α22 ... α2n  λE − A =  .  ... ... ... ...     −αn1 −αn2 ... λ − αnn
˛ º Ł 9.5.3. Œ Łæ Ł æŒŁ ª º º	æŒ º	Ø
Ł ß A ß æ ºŁ º , ßØ ı Œ Ł Ø º Ł ß A.	Łæ Ł	æŒ Ø
Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß A Æ χA(λ) = |λE − A|.	æ

˛ º Ł 9.5.4. º Œ Ø æŒ º Ø Ł ß A (Tr_(A)) ß æ æ º ªº Ø Ł ª ºŁ. ˝ Ø Ł ß A

(N_(A)) ß æ ºŁ º .

º Ł ,

Tr(A) = α₁₁ + α₂₂ + ... + α_nn, N(A) = |A|.

æ , Tr(αA + βB) = αTr(A) + βTr(B); N(AB) = N(A) · N(B).

¯˛—¯ 9.5.1 ( æ ŁŁ ı Œ Łæ Ł æŒ ª ª º -

). Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º º æŒ º Ø Ł ß A º æ Ł ß ª º λ æ Ł n, Ł øŁ æº -

øŁØ Ł : χ_A(λ) = λⁿ − Tr(A)λⁿ⁻¹ + ... + (−1)ⁿN(A).

˜ Œ º æ . ¨ ,

ø (_n! − ₁₎ æº ª ßı.

´ æ łŁıæ (_{n! − 1)} æº ª ßı æ æ Œ Ø Ø

º ªº Ø Ł ª ºŁ. ˇ æ łŁ æ æº ª ß ª æ λ ßł , n _{− 2}. º ª ß æ λⁿ Ł æ λⁿ⁻¹ º æ æ Ł Ł (_∗). ´ Ł Ł (_{∗) λ}ⁿ ı Ł æ Œ Ł Ł 1.

˚ Ł Ł Ł λⁿ⁻¹ −α₁₁−α₂₂−...−α_nn = −Tr(A). ˇ º

χ_A(λ) = λⁿ − Tr(A)λⁿ⁻¹ + α_n−2λⁿ⁻² + ... + α₁λ + α₀, ª α₀ = χ_A(0) = = |0 · E − A| = | − A| = (−1)ⁿ|A| = (−1)ⁿN(A).

˛ º Ł 9.5.5.	Œ Łæ Ł	æŒŁ Ł Œ	Ł ( Łæº Ł)	Ł-
ß A ß æ æ	n Œ Ø ı	Œ Łæ Ł	æŒ ª ª º	, º -
øŁ , Æø ª	, ºª Æ Ł	æŒ ßŒ	ŁŁ æ ª	º k.
˙ Ł 9.5.1. ´ æ	æ	º k	Æø Æß	ı Œ-

Łæ Ł æŒŁı Œ Ø, ŁºŁ Łı Æß ł , n.

ˇ Ł : k ₌ R,

!

;

.

χ_A(λ) = 0 ⇒ λ² + 1 = 0 ⇒ λ₁ = i, λ₂ = −i. ´Ł , λ₁,λ₂ ∈/ ∈_/ R, λ_1,λ2 ∈ R = C. ´ º Øł ı Œ Łæ Ł æŒŁ Œ Ł Ł ß

A Æ Æ λ₁,λ₂,...,λ_n.

º _{æ Ł} 9.5.1.1_. ı Œ Łæ Ł æŒŁı Œ Ø Ł ß A

æº , Ł Ł ı Œ Łæ Ł æŒŁı Œ Ø .

˜ Œ _{º æ .} ß Œ Ł ß 9.5.1 Ł ß ´Ł . ˜ Øæ Ł º ,

λ₁ + λ₂ + ... + λ₊n = −(−Tr(A)) = Tr(A),

9.5. Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß Ł ºŁ Ø ª

λ₁,λ₂,...,λ_n = (−1)ⁿ · (−1)ⁿ · N(A) = N(A).

º _{æ Ł} 9.5.1.2_. ˚ Ł A æ Æ ª Ł º Œ ª , Œ ª æ ı Œ Łæ Ł æŒŁ Łæº ºŁ ß º .

˜ Œ º æ . ´ æ º , |A| 6= 0 ⇔ N(A) = 06 ⇔ λ₁ ·λ₂ ·...·λ_n 6= 0 ⇔ (∀ 1 6 i 6 n) λ_i 6= 0.

ˇ æ V Œ ºŁ Ø æ æ k Ł f ∈ L(V ).

ˇ æ e_˜ Æ Łæ V Ł A_f|e˜ Ł f æŁ º Æ Łæ e_˜. Œ Œ Œ

Ł ŁæŁ Æ Łæ , Ł ı Œ Łæ Ł æŒ Ø Ł ß

º ºŁ Ø ª Ł æ .

ˇ º Ł 9.5.1. Œ Łæ Ł æŒŁ ª º ß Æ ßı Ł ß.

˜ Œ º æ . ˇ æ B ∼ A, æ (∃ Q,|Q| 6= 0) B = Q⁻¹AQ. — ææ Ł ı Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß B. χ_{B(λ) =} |_λE −

− B| = |λE − Q⁻¹AQ| = |Q⁻¹(λE)Q − Q⁻¹AQ| = |Q⁻¹(λE − A)Q| = = |Q⁻¹||λE − A||Q| = |λE − A| = χ_A(λ).

º _{æ Ł .} º ß Ł ß Æ ßı Ł ß.

º _{æ Ł .} Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß ºŁ Ø ª -

ŁæŁ ßÆ Æ Łæ , æŁ º Œ ª æ Łº æ -

Ł , ŁæŁ º Œ æ ª ºŁ Ø ª .

˛ º Ł 9.5.6. Œ Łæ Ł æŒŁ ª º ºŁ Ø ª ß æ ı Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß ª ºŁ ت æŁ º º Æ ª Æ Łæ .

˛Æ Ł ı Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º ºŁ Ø ª f -

χ_f(λ). ª χ_f(λ) = χ_Af (λ).

˛ º Ł 9.5.7. º Tr_(f) Ł Ø N_(f) ºŁ Ø ª

f ß æ æº Ł Ł ß ª ºŁ Ø ª æŁ-

º º Æ ª Æ Łæ .

˛ º Ł 9.5.8. Œ Łæ Ł æŒŁ Ł Œ Ł ºŁ Ø ª ß æ æ Œ Ł ı Œ Łæ Ł æŒ ª ª º ª ºŁØ ª , º øŁ , Æø æº , ºª Æ Ł æŒ ßŒ ŁŁ æ ª º .

9.6 Ææ ß Œ ß Ł æ Ææ ß Ł ºŁ Ø ª Ł Ł ß

ˇ æ V ºŁ Ø æ æ º k, f ∈ _{L(V )}. ˇ æ V ⁰

ºŁ Ø æ æ æ æ V . ´ Æø æº f_(V ⁰₎ ⊂ _V ,

Æß Œ, f(V ⁰) ⊂ V ⁰.

˛ º Ł 9.6.1. ˇ æ æ V ⁰ ºŁ Ø ª æ æ V ß æ Ł Ł ß æŁ º ºŁ Ø ª f ∈ _{L(V )},

æºŁ f_(V ⁰₎ ⊂ _V ⁰, æ º Æ Ø Œ Ł æ æ V ⁰ ı Ł

Œ ª æ æ .

˙ Ø æ Ł Ł ßı Ł Ł ßı æ æ . ˇ æ V ⁰ Ł Ł æ æ . ´ º Æ Ø

Œ a ∈ V ⁰,a 6= 0. Œ Œ Œ dim V ⁰ = 1, Œ a

Œ æ Æ Łæ V ⁰ Ł ª V ⁰ = {αa|α ∈ k}. f(a) Æ Ł º

V ⁰, Œ Œ Œ V ⁰ Ł Ł . ª f(a) = αa, a 6= 0,α ∈ k.

˛Æ , æ V ⁰ æ æ Ł a 6= 0, a ∈

V ⁰, f(a) = αa, ª α ∈ k. Œ Œ Œ V ⁰ æ æ , a

Œ æ Æ Łæ V ⁰. ˇ V ⁰ = {βa|β ∈ k}. æ Ł

f(βa) = βf(a) = β(αa) = (βα)a ∈ V ⁰. ŒŁ Æ f(V ⁰) ⊂ V ⁰, æ

V ⁰ Ł Ł æ æ . ŒŁ Æ Ł Ł -

9.6. Ææ ß Œ ß Ł æ Ææ ß Ł ºŁ Ø ª Ł Ł ß

ßı Ł Ł ßı æ æ Ł Ł æ Œ Ł Ł º ßı

Œ a ∈ V 0, º Œ ßı f(a) = αa, ª α ∈ k. ˛ º Ł 9.6.2. Œ º α ß æ æ Ææ ß Ł ºŁ- Ø ª f ∈ L(V ), æºŁ æ ø æ º Ø Œ a ∈ V Œ Ø, f(a) = αa. ´ æº Œ a ß æ æ Ææ ß
Œ	ºŁ Ø ª f, Ł º øŁ æŒ º α.
´	æº ª , α Ł a æ Ł º	øŁ ª ª
æ Ææ	Ł Ł æ Ææ ßØ Œ ºŁ Ø ª	f.
˛	º Ł 9.6.3. ˆ , æŒ º α Ł º	Ø æ ºÆ X 6= 0
Ł kn	æ Ł º øŁ ª ª æ Ææ	Ł Ł æ Ææ -
ßØ	Œ Ł ß A ∈ M(n,k), æºŁ AX = αX.
ˇ	º Ł 9.6.1. ˜º ª , Æß æŒ º α Ł	Œ a ∈ V ÆߺŁ
Ł	º øŁ Ł ª ª æ Ææ ß Ł	Ł æ Ææ ß
Œ	ºŁ Ø ª f Œ ª ºŁ	Ø ª æ -
æ	V Æı Ł Ł æ , Æß α Ł Œ	Ł ßØ æ ºÆ
aˇ	æŁ º Œ ª Æ Łæ ÆߺŁ Ł º	øŁ Ł ª ª
æ Ææ	ß Ł Ł æ Ææ ß Œ	Ł ß Af ª
ºŁ Ø ª æŁ º ª Æ Łæ .

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , æ f(a) = αa, ª a 6= 0 Ł α ∈ k,

ª f(a) = αa ⇔ f(^ˇa) = αaˇ ⇔ A_faˇ = αaˇ. ˇ Ł aˇ 6= 0 ⇔ a 6= 0.

¯˛—¯ 9.6.1 (Œ Ł			ŁØ æ Ææ	ª Ł ). ˜º		ª ,
Æß æŒ º α Æߺ æ Ææ			ß	Ł Ł ß A (ºŁ		Ø ª
Œ ª			æ æ	) Æı Ł Ł æ		,
Æß α Æߺ ı Œ Łæ Ł			æŒŁ Œ	Ł ß A (ºŁ Ø		ª -
), º øŁ æ			º .
˜ Œ º æ . 1) ˝ Æı			Ł æ .
ˇ æ α º æ æ Ææ		ß Ł			Ł ß A,		,
AX = αX,			(9.2)
ª	X 6= 0 Ł X ∈ kn. ˇ	Łł æ (9.2): αEX − AX = 0,
(αE − A)X = 0.			(9.3)
˝	æ (9.3)	æ Œ Œ			æŁæ		n-
ºŁ	Ø ßı ŁØ æ n	Ł æ ß Ł. æŁæ			Łæ		-
Ł	Ł . ´Ł ,	º ß ł Ł			Ø æŁæ ß		º æ
æ	ºÆ X ∈ kn, X 6= 0.	ª æº æ Ł Ł Œ Ł Ł ºŁ Ł					-

º ª ł Ł ˛ ¸ æº , ºŁ º æŁæ ß (9.3) º

Æß º , æ |αE − A| = 0. ŒŁ Æ χ_A(α) = 0, æº º α º æ ı Œ Łæ Ł æŒŁ Œ Ł ß A Ł α _{∈ k}.

2) ˜ æ æ .

ˇ æ α _{∈ k} Ł α º æ ı Œ Łæ Ł æŒŁ Œ Ł ß A.

ª χ_A(α) = 0, , |αE−A| = 0. — ææ Ł æŁæ n-ºŁ Ø ßı ŁØ æ n Ł æ ß Ł (9.3)

(αE − α)X = 0,

ª X æ ºÆ Ł æ ßı. ˇ æº æ Ł Ł Œ Ł Ł ºŁ Ł -

º ª ł Ł ˛ ¸ æº , æŁæ (9.3) Ł º ł Ł X 6_{= 0}. º ł Ł X ∈ _kⁿ, Œ Œ Œ º ß -

Ł ß (_αE − _A) Ł º º k. ˇ æ Ł º ł Ł æŁæ (9.3) º Ł æ . ` Ł αEX − AX = 0,

æ AX = αX, ª X 6= 0 Ł X ∈ kⁿ. ˇ º Ł 9.6.2 Ł , α

º æ æ Ææ ß Ł Ł ß A.

º _{æ Ł} 9.6.1.1_. ¯æºŁ æ º k ºª Æ Ł æŒŁ Œ , æ æ Ææ ß Ł Ł ß A æ æ ı Œ Łæ Ł æŒŁ Ł

Œ Ł.